2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)34等比數(shù)列含解析蘇教版

PAGEPAGE6課時(shí)作業(yè)34等比數(shù)列一、選擇題1．(2024·武漢調(diào)研)等比數(shù)列{an}中，a1＝－1，a4＝64，則數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和S3＝(B)A．13 B．－13C．－51 D．51解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由已知得－q3＝64，所以q＝－4，所以S3＝－1－1×(－4)－1×(－4)2＝－13，故選B．2．(2024·福州質(zhì)檢)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.若a3＝4，a2a6＝64，則S5＝(B)A．32 B．31C．64 D．63解析：解法1：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n>0，所以q>0，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1·q2＝4，,a1q·a1q5＝64，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))所以S5＝31，故選B．解法2：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n>0，所以q>0，由a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故選B．3．(2024·洛陽(yáng)聯(lián)考)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S5＝(B)A．32 B．62C．27 D．81解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)．∵a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，∴a2＋a5＝2(a4＋2)，∴2q＋2q4＝2(2q3＋2)，解得q＝2，∴S5＝eq\f(2×1－25,1－2)＝62，故選B．4．(2024·安徽淮北、宿州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則“a1<a2<a3”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的(C)A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，則a1<a2<a3，即必要性成立；若a1<a2<a3，則a1<a1q<a1q2，若a1>0，則1<q<q2，解得q>1，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增；若a1<0，則1>q>q2，解得0<q<1，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增；據(jù)此可知充分性成立，綜上可得：“a1<a2<a3”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的充要條件．故選C．5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主子要求賠償5斗粟．羊主子說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主子說(shuō)：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”準(zhǔn)備按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主子各應(yīng)償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列推斷正確的是(D)A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝eq\f(50,7)B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝eq\f(50,7)C．a(chǎn)，b，c成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，且a＝eq\f(50,7)D．a(chǎn)，b，c成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，且c＝eq\f(50,7)解析：由題意可得，a，b，c成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，b＝eq\f(1,2)a，c＝eq\f(1,2)b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝eq\f(50,7).故選D．6．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12＝(B)A．40 B．60C．32 D．50解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，因此S9－S6＝16，S6＝12，S12－S9＝32，S12＝32＋16＋12＝60.7．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，全部的奇數(shù)項(xiàng)之和為85，全部的偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(C)A．4 B．6C．8 D．10解析：由題意得a1＋a3＋…＝85，a2＋a4＋…＝170，所以數(shù)列{an}的公比q＝2，由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，得85＋170＝eq\f(1－2n,1－2)，解得n＝8.8．已知遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和Sn<0，則(A)A．a(chǎn)1<0,0<q<1 B．a(chǎn)1<0，q>1C．a(chǎn)1>0,0<q<1 D．a(chǎn)1>0，q>1解析：∵Sn<0，∴a1<0，又?jǐn)?shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列，∴an＋1>an，且|an|>|an＋1|，∴－an>－an＋1>0，則q＝eq\f(－an＋1,－an)∈(0,1)，∴a1<0,0<q<1.故選A．二、填空題9．(2024·蘭州診斷)已知數(shù)列{an}中，an＝eq\f(1,2)an＋1對(duì)隨意的n∈N*恒成立，且a3＝12，則a1＝3.解析：解法1：由題意，知a2＝eq\f(1,2)a3＝6，所以a1＝eq\f(1,2)a2＝3.解法2：由題意，知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以a1＝eq\f(a3,22)＝3.10．(2024·廣州綜合測(cè)試)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝27，則a1＝eq\f(3,7).解析：設(shè)公比為q(q≠1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S3＝\f(a11－q3,1－q)＝3，,S6＝\f(a11－q6,1－q)＝27，))解得eq\f(1,1＋q3)＝eq\f(1,9)，即q3＝8，得q＝2，代入eq\f(a11－q3,1－q)＝3得eq\f(a11－8,1－2)＝3，所以a1＝eq\f(3,7).11．(2024·重慶調(diào)研)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5＝5，則log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝9.解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1·a9＝a2·a8＝a3·a7＝a4·a6＝aeq\o\al(2,5)＝52，則log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝log5(a1·a3·…·a9)＝log5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log5aeq\o\al(9,5)＝log559＝9.12．在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(15,8)，a2a3＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝－eq\f(5,3).解析：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(a1＋a4,a1·a4)＋eq\f(a2＋a3,a2·a3).∵在等比數(shù)列{an}中，a1·a4＝a2·a3，∴原式＝eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,a2·a3)＝eq\f(15,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)))＝－eq\f(5,3).三、解答題13．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1＋3＋…＋2n－1＝n2.14．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn.(2)求T2n.解：(1)因?yàn)閍n·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，所以an＋1·an＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，所以eq\f(an＋2,an)＝eq\f(1,2)，即an＋2＝eq\f(1,2)an，因?yàn)閎n＝a2n＋a2n－1，所以eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(a2n＋2＋a2n＋1,a2n＋a2n－1)＝eq\f(\f(1,2)a2n＋\f(1,2)a2n－1,a2n＋a2n－1)＝eq\f(1,2)，因?yàn)閍1＝1，a1·a2＝eq\f(1,2)，所以a2＝eq\f(1,2)?b1＝a1＋a2＝eq\f(3,2).所以{bn}是首項(xiàng)為eq\f(3,2)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以bn＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(3,2n).(2)由(1)可知，an＋2＝eq\f(1,2)an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝eq\f(1,2)為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝3－eq\f(3,2n).15．(2024·江西八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若ma6·a7＝aeq\o\al(2,8)－2a4·a9，且公比q∈(eq\r(3,5)，2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)A．(2,6) B．(2,5)C．(3,6) D．(3,5)解析：∵ma6·a7＝aeq\o\al(2,8)－2a4·a9，a6·a7＝a4·a9，∴m＝eq\f(a\o\al(2,8),a6·a7)－2＝q3－2，又q∈(eq\r(3,5)，2)，∴3<m<6，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,6)，故選C．16．(2024·湖南郴州一模)已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝1，公差d為整數(shù)，且滿意a1＋1≤a3，a2＋3≥a4，數(shù)列{bn}滿意bn＝eq\f(1,an＋1an)，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若S1，S2，Sm(m∈N*)成等比數(shù)列，求m的值．解：(1)等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝1，且滿意a1＋1≤a3，a2＋3≥a4，可得2d≥1，且2d≤3，即eq\f(1,2)≤d≤eq\f(3,2)，由d為整數(shù)，可得d＝1，則an＝1＋n－1＝n.(2)bn＝eq\f(1,an＋1an)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，由S1，S2，Sm(m∈N*)成等比數(shù)列，可得S1Sm＝Seq\o\al(2,2)，即eq\f(1,2)·eq\f(m,m＋1)＝eq\f(4,9)，解得m＝8.17．(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝b，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若{an}是等差數(shù)列，且a8＝22，求b的值；(2)對(duì)隨意的n∈N*，有eq\f(an＋2,an)＝4，且S10＝2a10－1.試證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.則由a1＝1，a8＝a1＋(8－1)·d＝1＋7d＝22，解得d＝3.又∵a2－a1＝d，即b－1＝3，∴b＝4.(2)證明：∵對(duì)隨意的n∈N*，有eq\f(an＋2,an)＝4，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為4的等比數(shù)列．∴S10＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝eq\f(1－45,1－4)＋eq\f(b1－45,1－4)＝eq\f(45－1,3