北京市一零一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題理含解析

PAGE21-北京市一零一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題理（含解析）一、選擇題1.已知集合，則A. B. C. D.【答案】A【解析】,所以，選A.2.若函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.（1,8） C.（4,8） D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列不等式，解得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以故選：D【點睛】本題考查依據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，考查基本分析推斷實力，屬中檔題.3.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得：即令F（x）=x2f（x），則當(dāng)時，

得即上是減函數(shù)，即不等式等價為在是減函數(shù)，∴由F得，，即故選B．【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性以及抽象不等式的解法，其中利用一種條件合理構(gòu)造函數(shù)，正確利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵4.的綻開式中的系數(shù)為A. B. C. D.【答案】C【解析】=所以的綻開式中的系數(shù)=故選C.5.大衍數(shù)列來源于乾坤譜中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)驗過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，則該數(shù)列第18項為A.200 B.162 C.144 D.【答案】B【解析】【分析】由題意，首先猜想數(shù)列的通項公式，然后求解該數(shù)列第18項即可.【詳解】偶數(shù)項分別為2，8，18，32，50，即，，，，，即偶數(shù)項對應(yīng)的通項公式為，則數(shù)列的第18項為第9個偶數(shù)即，故選B．【點睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，依據(jù)數(shù)列找尋偶數(shù)項的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．6.如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧得到的封閉圖形.在此圖形內(nèi)隨機取一點，則此點取自等邊三角形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出以為圓心，以邊長為半徑，圓心角為的扇形的面積，依據(jù)圖形的性質(zhì)，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形的面積就是萊洛三角形的面積，運用幾何概型公式，求出概率.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，設(shè)以為圓心，以邊長為半徑，圓心角為的扇形的面積為，則，，萊洛三角形面積為，則,在此圖形內(nèi)隨機取一點，則此點取自等邊三角形內(nèi)的概率為,,故本題選D.【點睛】本題考查了幾何概型.解決本題的關(guān)鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運算實力.7.已知定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)無極值，且，若在上與函數(shù)的單調(diào)性相同，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)連續(xù)可導(dǎo)且無極值，結(jié)合，推斷出為單調(diào)遞減函數(shù).對求導(dǎo)后分別常數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求得的取值范圍.【詳解】由于連續(xù)可導(dǎo)且無極值，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù).故可令，使成立，故，故為上的減函數(shù).故在上為減函數(shù).即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題，屬于中檔題.8.已知正三棱錐的全部頂點都在球的球面上，其底面邊長為3，，，分別為側(cè)棱，，的中點.若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的3倍，則平面截球所得截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】是底面的中心，則在上，而由得，與平面交于點，是過平面的截面圓圓心，在中由勾股定理求得，再由截面圓性質(zhì)可求得截面圓半徑．【詳解】如圖，是底面的中心，則在上，而由得，設(shè)，則，又，是中心，則，∴由得，解得，設(shè)與平面交于點，∵分別是的中點，則是的中點，∴，，設(shè)平面截球所得截面圓半徑為，則，∴此圓面積為．故選A．【點睛】本題考查棱錐與其外接球，解題關(guān)鍵首先是確定球的半徑，然后依據(jù)截面圓性質(zhì)求得截面圓半徑從而得出其面積．記住結(jié)論：正棱錐的外接球球心肯定在其高上．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.已知是銳角的外接圓圓心，是最大角，若，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】利用平面對量的運算，求得，由此求得的取值范圍.【詳解】設(shè)是中點，依據(jù)垂徑定理可知，依題意，即，利用正弦定理化簡得.由于，所以，即.由于是銳角三角形的最大角，故，故.【點睛】本小題主要考查平面對量加法、數(shù)量積運算，考查正弦定理，考查三角形的內(nèi)角和定理等學(xué)問，綜合性較強，屬于中檔題.10.若整數(shù)滿意不等式組，則最小值為_______.【答案】【解析】【分析】畫出可行域，由此推斷出可行域內(nèi)的點和原點連線的斜率的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，依題意只取坐標(biāo)為整數(shù)的點.由圖可知，在點處，目標(biāo)函數(shù)取得最小值為.【點睛】本小題主要考查簡潔的線性規(guī)劃問題，要留意不等式等號是否能取得，還要留意為整數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.11.執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸入l=2，m=3，n=5，則輸出的y的值【答案】68【解析】試題分析：第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；結(jié)束循環(huán)，輸出考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖【名師點睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖探討的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.12.已知雙曲線，圓.若雙曲線一條漸近線與圓相切，則當(dāng)取得最大值時，的實軸長為__________．【答案】【解析】【分析】首先利用直線與圓相切確定a,b的關(guān)系，然后利用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)取得最大值時雙曲線的實軸長度即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為：，圓與雙曲線的漸近線相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即：，據(jù)此可知：，則，故，令，則，由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)于可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值時，此時的實軸長為.【點睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與最值等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.13.已知的解集為[m，n]，則m+n的值為______．【答案】3【解析】【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法即可得出．【詳解】，所以，令，得，解得（舍去），；令，解得或．取．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．14.網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在將來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從年月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．依據(jù)幾個月運營發(fā)覺，產(chǎn)品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿意函數(shù)關(guān)系式．已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為萬元，產(chǎn)品每萬件進貨價格為萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是________萬元．【答案】【解析】利潤等于收入減成本，所以因為，所以原式，可化簡為，而，那么，等號成立的條件是，所以該公司的最大利潤是37.5，故填：37.5.【點睛】對應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、找尋切入點方面進行強化，留意培育將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言實力，強化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法，本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用及基本不等式，解決此題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時,肯定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件,留意創(chuàng)建“定”這個條件時常要對所給式子進行拆分、組合、添加系數(shù)等處理,使之可用基本不等式來解決,若多次運用基本不等式,必需保持每次取等的一樣性.三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15.數(shù)列{an}首項a1＝1，前n項和Sn與an之間滿意an＝（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列（2）求數(shù)列{an}的通項公式（3）設(shè)存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k對于一切n∈N*都成立，求k的最大值．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【解析】【分析】（1）利用與之間的關(guān)系，將an＝轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系式，再整理即可求得；（2）依據(jù)（1）中所證可得，依據(jù)與的聯(lián)系即可求得；（3）構(gòu)造數(shù)列，推斷其單調(diào)性，再求最小值即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，故an＝即為整理可得故可得，故數(shù)列{}是以首項為1公差為2的等差數(shù)列，即證.（2）由（1）可知，故可得代入an＝，即可得又當(dāng)時，不滿意上式，故（3）由（1）可知，設(shè)故可得故是單調(diào)遞增數(shù)列，則，要滿意（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k對于一切n∈N*都成立只需，即可得.故的最大值為：.【點睛】本題考查利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列等差，以及依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬數(shù)列綜合性中檔題；第三問中關(guān)鍵的步驟是構(gòu)造數(shù)列，并證明其單調(diào)性，屬經(jīng)典問題的經(jīng)典處理方法.16.已知△ABC的三個內(nèi)角△ABC所對的邊分別為a，b，c，向量，，且（1）求角A的大小；（2）若BC＝，試求△ABC面積的最大值及此時△ABC的形態(tài)．【答案】(1)；(2)，等邊三角形.【解析】【分析】（1）依據(jù)數(shù)量積的運算，結(jié)合倍角公式的運用，通過解三角方程，即可求解；（2）依據(jù)余弦定理，結(jié)合均值不等式，即可求得面積的最值，以及此時的形態(tài).【詳解】（1）因，故可得，由公式可得即可得，解得，又，故可得.（2）因為BC＝，即.由余弦定理可得，整理得即可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，又因為，故此時為等邊三角形.故，此時三角形的形態(tài)是等邊三角形.【點睛】（1）本題考查余弦的倍角公式，三角形面積的最大值問題，涉及均值不等式的運用，屬綜合性中檔題.17.某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行修理，每臺機器出現(xiàn)故障須要修理的概率為．（1）問該廠至少有多少名修理工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能剛好進行修理的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有修理1臺機器的實力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能剛好修理，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．【答案】（1）名；（2）萬元．【解析】【分析】（1）一臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次試驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障的概率為；4臺機器相當(dāng)于4次獨立重復(fù)試驗，設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，，求出對應(yīng)概率值，寫出分布列，計算“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能剛好進行修理”的概率不少于90%的對應(yīng)工人數(shù)；（2）設(shè)該廠獲利為Y萬元，Y的全部可能取值為18，13，8，計算對應(yīng)的概率值，求出分布列與數(shù)學(xué)期望值．【詳解】（1）設(shè)“機器出現(xiàn)故障設(shè)”為事務(wù)，則．設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為，則，，，，，．故的分布列為01234設(shè)該廠出名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能剛好進行修理”為，，，，…，，這個互斥事務(wù)的和事務(wù)，則01234因為，所以至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能剛好進行修理的概率不小于．（2）設(shè)該廠獲利為萬元，則的全部可能取值為18，13，8，，，．故的分布列為18138所以，故該廠獲利的均值為萬元．【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是綜合性題目．18.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE＝2，M為線段BF上一點，且DM⊥平面ACE．（1）求BM的長；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大?。敬鸢浮?1)；(2).【解析】【分析】（1）依據(jù)DM⊥平面ACE，找出線線垂直，在平面四邊形EFBD中依據(jù)垂直關(guān)系求得線段長度；（2）由題可知直線垂直于平面，故可過與中點作垂線，找到二面角的平面角，從而在三角形中求解角度的大小即可.【詳解】（1）記與的交點為，連接，如下圖所示：因為平面，平面，故，又因為//，可以確定一個平面，故均在平面中；因為四邊形是菱形，且，故可得；故在矩形中：因為，故可得，又因為，，故可得，故可得.即.（2）記與的交點為，連接，如下圖所示：因為四邊形為菱形，故可得，又因為平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF平面ABCD且平面，，故可得平面；由（1）可知，故即為二面角A﹣DM﹣B的平面角；在中，簡潔知，故在中，又，解得；在菱形中，簡潔知.故在中，因為，，故由勾股定理可得，故.二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小為.【點睛】本題考查由線面垂直求解線段的長度，以及二面角大小的求解，屬綜合性中檔題.19.已知橢圓C：的左右焦點分別為，，左頂點為A，上頂點為B，離心率為，的面積為．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；過的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，求內(nèi)切圓半徑的最大值．【答案】(1)(2)內(nèi)切圓半徑的最大值為．【解析】【分析】依據(jù)題意列方程組求出a，b的值得出橢圓方程；依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的最大值，再依據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)表示出的面積，從而得出內(nèi)切圓的最大半徑．【詳解】依題意有解得，故橢圓C的方程為．設(shè)，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，的周長為，所以．依據(jù)題意知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為，由，得，，，由韋達定理得，，令，則，．令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，即當(dāng)，時，的最大值為，此時，．內(nèi)切圓半徑的最大值為．【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所運用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次