八年級數(shù)學(xué)人教版（上冊）第2課時 含30°角的直角三角形的性質(zhì)

13.3.2等邊三角形第十三章軸對稱第2課時含30°角的直角三角形的性質(zhì)目錄頁講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點學(xué)習(xí)重點學(xué)習(xí)難點運(yùn)用等邊三角形能推導(dǎo)出30°角的直角三角形的性質(zhì)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用會運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計算學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入問題引入問題1

如圖，將兩個相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ACB新課導(dǎo)入問題2

將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課含30°角的直角三角形的性質(zhì)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？講授新課證法1證明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

講授新課EABC在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法證法2講授新課知識要點含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

講授新課√判斷下列說法是否正確：1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半．

2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半。

3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．講授新課

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.例題講授新課

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例題講授新課方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．講授新課

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例題講授新課在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.講授新課方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時，要聯(lián)想此性質(zhì)．講授新課例題想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？

如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D

是斜梁AB的中點，立柱BC，DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長？ABCDE講授新課ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.講授新課例題

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.講授新課方法總結(jié)：在求三角形邊長的一些問題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來解決．本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問題.講授新課例題

如圖，某貨輪于上午8時20分從A處出發(fā)，此時觀測到

海島B的方位為北偏東60°，該貨輪以每小時30海里

的速度向東航行到C處，此時觀測到海島B的方位為北

偏東30°，繼續(xù)向東航行到D處，觀測到海島B的方位

為北偏西30°.當(dāng)貨輪到達(dá)C處時恰好與海島B相距60海

里，求該貨輪到達(dá)C，D處的時間．講授新課導(dǎo)引：說明△ABC是等腰三角形及△BCD是等邊

三角形是解決本題的關(guān)鍵．解：由已知，得∠BAC＝90°－60°＝30°，

∠ACB＝90°＋30°＝120°，

∠BCD＝∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，

∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝30°，

∴AC＝BC＝60海里，

∴貨輪從A處到C處所需時間為60÷30＝2(小時)．講授新課∵∠CBD＝∠BCD＝∠BDC

＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴CD＝BC＝60海里，∴貨輪從C處到D處所需時間為60÷30＝2(小時)，∴貨輪從A處到D處所需時間為2＋2＝4(小時)．答：該貨輪到達(dá)C處的時間是上午10時20分，到達(dá)D處的時間是中午12時20分．講授新課總

結(jié)本題運(yùn)用建模思想，把實際問題轉(zhuǎn)化為等邊三角形和等腰三角形模型，從而利用等邊三角形、等腰三角形及方位角的有關(guān)知識解決問題．當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，則AB等于(

)A．6cmB．7cmC．8cm

D．9cmC當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(

)A．BD＝CD

B．BD＝2CDC．BD＝3CD

D．BD＝4CDB當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米B當(dāng)堂練習(xí)4.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B當(dāng)堂練習(xí)5.如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.A

B

C

D

1當(dāng)堂練習(xí)6.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.57.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______.ACB8當(dāng)堂練習(xí)8.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．當(dāng)堂練習(xí)9.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=