新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第14講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（講）（原卷版）

第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法本講為高考命題熱點(diǎn)，分值12-17分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會(huì)出現(xiàn)，選擇填空題?？嫉炔畹缺葦?shù)列的性質(zhì)，大題題型多變，但對(duì)于文科來講?？疾旎玖康挠?jì)算與數(shù)列求和，對(duì)于理科考點(diǎn)相對(duì)難度較大，比如新定義，奇偶列等，考察邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力.考點(diǎn)一數(shù)列的定義與分類1.數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列考點(diǎn)二數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.考點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式1.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.考點(diǎn)四常用結(jié)論1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).3.易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).高頻考點(diǎn)一由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an【例1】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．659 B．661 C．663 D．665角度2累乘法——形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an【例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的n的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9角度3構(gòu)造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an【例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧】1.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且eq\f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq\f(q,1－p)，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.【跟蹤訓(xùn)練】1．已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．504 B．1008 C．2016 D．40324．某校為推廣籃球運(yùn)動(dòng)，成立了籃球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0高頻考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)【例4】(1)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0(2)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1023 B．1535 C．1538 D．2047【方法技巧】1.由Sn求an的步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式.(3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并.2.Sn與an關(guān)系問題的解題思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化，(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式求解；(2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1(n≥2)的關(guān)系式.【變式訓(xùn)練】1．在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，已知前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-22．若數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0高頻考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)【例5】(1)(2022·成都診斷)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*).則數(shù)列{an}前2021項(xiàng)的乘積a1a2a3a4…a2021＝________.(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，則nSn的最小值為()A.－3 B.－5C.－6 D.－9【方法技巧】1.在數(shù)學(xué)命題中，以數(shù)列為載體，?？疾橹芷谛?、單調(diào)性.2.(1)研究數(shù)列的周期性，常由條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定周期性，進(jìn)而利用周期性求值.(2)數(shù)列的單調(diào)性只需判定an與an＋1的大小，常用作差或作商法進(jìn)行判斷.【變式訓(xùn)練】1．已知數(shù)列SKIPIF1<0是嚴(yán)格增數(shù)列，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.則n的最大值為（

）A．10 B．11 C．12 D．132．在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<