初中數(shù)學(xué)+列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系+考點(diǎn)梳理及難點(diǎn)突破+課件+人教版（2024）數(shù)學(xué)七年級上冊

第三章代數(shù)式考點(diǎn)梳理及難點(diǎn)突破2.3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系第一課時代數(shù)式●

考點(diǎn)清單解讀●

重難題型突破●

易錯易混分析●

方法技巧點(diǎn)撥■考點(diǎn)一

用字母表示數(shù)意義用字母表示數(shù)，字母和數(shù)一樣可以參與運(yùn)算，可以用式子把數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來特點(diǎn)①簡明性：可以把一般的數(shù)量關(guān)系或具有普遍意義的數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確、簡明地表述出來，如加法交換律可寫成a＋b＝b＋a②普遍性：數(shù)與字母是特殊與一般的關(guān)系，一個字母可以表示無數(shù)個數(shù)，如正整數(shù)有無數(shù)個，可以用字母

n表示正整數(shù)續(xù)表特點(diǎn)③相對性：在同一個問題中，同一個字母應(yīng)表示同一個量，不同字母應(yīng)表示不同的量，不能混淆④條件性：用字母表示數(shù)，有時要受一定條件的限制，如字母作分母時，不能為0注意同一問題中，不同的數(shù)或數(shù)量要用不同的字母表示；不同的問題中，不同的數(shù)或數(shù)量可以用相同的字母表示；一個字母表示的數(shù)往往不止一個，具有任意性，但要受到實(shí)際問題的限制歸納總結(jié)（1）用字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系具有一般性，僅僅是將具體的數(shù)字用字母代替了，但有些時候，字母的取值也受實(shí)際情況的制約；（2）某些特定的字母表示特定的數(shù)，如π表示圓周率，是一個常數(shù).典例1

用含字母的式子表示：（1）某產(chǎn)品去年的產(chǎn)量是n件，今年的產(chǎn)量是去年產(chǎn)量的m倍，則今年的產(chǎn)量是__________件；（2）一件衣服原來賣x元，現(xiàn)在打九折銷售，則現(xiàn)在是________元；（3）如果長方形的面積為20cm2，它的寬為xcm，那么它的長為____cm；（4）n的相反數(shù)是_________.對點(diǎn)典例剖析

■考點(diǎn)二

代數(shù)式定義用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子稱為代數(shù)式.單獨(dú)的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式舉例x+y，a+6，，ab，8m+9n,，a，1等都是代數(shù)式代數(shù)式意義代數(shù)式的意義就是將代數(shù)式中的字母及運(yùn)算符號賦予具體的含義，如3x-2y的意義就是x的3倍與y的

2倍的差續(xù)表代數(shù)式的書寫①表示字母與字母或者數(shù)與字母相乘，乘號“×”通常寫作“·”或者省略不寫，如a×b可以寫成a·b或ab②省略乘號時應(yīng)把數(shù)字寫在字母的前面，如一般不寫成a×6，要寫成6a或6·a③1或-1和字母相乘時，1可以省略不寫，如1×a可以寫成a，-1×a可以寫成-a續(xù)表代數(shù)式的書寫④帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，必須把帶分?jǐn)?shù)先化成假分?jǐn)?shù)，如2a應(yīng)寫成a⑤在除法算式中，通常寫成分?jǐn)?shù)的形式，被除數(shù)作分子，除數(shù)作分母，如b÷a寫成⑥式子后面若有單位，且式子是和差的形式，應(yīng)用括號把式子括起來，如（2m+3n）元；若式子是積或商的形式，則在式子后面直接寫單位，如2m元，

m等

歸納總結(jié)

（1）運(yùn)算符號指的是“＋”“－”“×”“÷”等，“＞”“＜”“＝”“≠”均不是運(yùn)算符號，含有這些符號的式子均不是代數(shù)式；

（2）指出代數(shù)式的意義除靈活運(yùn)用和、差、積、商等詞語外,還要注意倒數(shù)、相反數(shù)等詞語的運(yùn)用，最后注意運(yùn)算順序.

對點(diǎn)典例剖析

［答案］D■考點(diǎn)三

列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系含義列代數(shù)式就是把問題中的數(shù)量關(guān)系用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來.簡言之，就是把用文字語言敘述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)式方法（1）抓關(guān)鍵性詞語：比如：多、少、和、差、積、商、增加、減少、擴(kuò)大、縮小等都是常用的表示數(shù)量關(guān)系的詞語，要掌握好它們和運(yùn)算之間的對應(yīng)關(guān)系續(xù)表方法（2）理清運(yùn)算順序，一般是先讀先寫.如：a的平方與b

的平方的和，順序是先平方后求和，列代數(shù)式為a2+b2（3）在比較復(fù)雜的問題中，要弄清題中數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算順序，正確使用表明運(yùn)算順序的括號，分出層次，逐步列出代數(shù)式

典例3

下列用代數(shù)式表示“m與

n的差的平方的3倍”，正確的是（

）A．（3m-n）2

B．3（m-n）2C．3m-n2

D．（m-3n）2對點(diǎn)典例剖析［解題思路］［答案］

B

例1

我們知道，用字母表示的代數(shù)式是具有一般意義的．請仔細(xì)分析下列賦予4a實(shí)際意義的例子中不正確的是（）A．若葡萄的價格是4元/kg，則4a表示買akg葡萄的金額B．若a表示一個正方形的邊長，則4a表示這個正方形的周長C．若三角形的底邊長為3，面積為6a，則4a表示這條邊上的高D．若4和a分別表示一個兩位數(shù)中的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則4a表示這個兩位數(shù)［答案］

D［解析］A，B，C選項正確；D選項中若4和a分別表示一個兩位數(shù)中的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則40+a表示這個兩位數(shù)，此選項錯誤.變式衍生1

請為代數(shù)式6x+3y

賦予一個實(shí)際意義.

解：代數(shù)式6x+3y的意義可以是一支鋼筆

x元，一支鉛筆y元，小紅買了6支鋼筆和3支鉛筆，共付了（6x+3y）元錢.（答案不唯一）解題通法

代數(shù)式的實(shí)際意義就是將代數(shù)式中的字母及運(yùn)算符號賦予具體的含義.代數(shù)式要與實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系保持一致.

例2

某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：若每月用水量不超過

10m3，則收費(fèi)為a元/m3；若超過10m3，則超過部分收費(fèi)為（a+1.5）元/m3，該地區(qū)某用戶上月用水量為16m3，則該用戶應(yīng)繳水費(fèi)為（

）A．10a元

B．16a元C．16（a+1.5）元

D．［10a+6（a+1.5）］元［解析］因為16m3中，前10m3的單價為a元/m3，后面6m3的單價為（a+1.5）元/m3，所以應(yīng)繳水費(fèi)為［10a+6（a+1.5）］元.［答案］

D變式衍生2

若原價為a元的書包，提高20%后再打八折出售，則現(xiàn)售價為_________元．0.96a解題通法

解答此類問題需將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為用文字語言表示的數(shù)量關(guān)系，再用字母列代數(shù)式.■列代數(shù)式時漏掉括號例

“a的2倍與b的差的平方”用代數(shù)式表示，正確的是（

）A．（a-2b）2

B．2（a-b）2

C．2a-b2

D．（2a-b）2［解析］［答案］

D［易錯］

C［錯因］

寫代數(shù)式時，遺漏括號.易錯警示

當(dāng)乘、除、乘方對和或差作用時，要加上括號，避免計算失誤.領(lǐng)悟提能

根據(jù)敘述列代數(shù)式時，要認(rèn)真審題，抓關(guān)鍵詞語，如“除”與“除以”“平方的差（或平方差）”與“差的平方”等詞義的區(qū)分，再根據(jù)題意列出代數(shù)式．第二課時反比例關(guān)系●

考點(diǎn)清單解讀●

重難題型突破●

易錯易混分析■考點(diǎn)

反比例關(guān)系意義兩個相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的乘積一定，這兩個量就叫作成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫作反比例關(guān)系字母表達(dá)如果用字母x和y表示兩個相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積（k是一個確定的值，且k≠0），反比例關(guān)系可以用xy=k或y=來表示，其中k叫作比例系數(shù)續(xù)表與正比例關(guān)系比較正比例關(guān)系：變化方向相同，一個量擴(kuò)大（縮?。?，另一個量也擴(kuò)大（縮?。?相對應(yīng)的兩個量的比值（商）一定反比例關(guān)系：變化方向相反，一個量擴(kuò)大（縮?。硪粋€量反而縮?。〝U(kuò)大）.相對應(yīng)的兩個量的積一定續(xù)表舉例單價×數(shù)量=總價（一定）單價和數(shù)量是兩個相關(guān)聯(lián)的量，單價變化，數(shù)量也隨著變化.當(dāng)單價和對應(yīng)數(shù)量的積總是一定（也就是總價一定）時，我們就稱單價和購買的數(shù)量成反比例關(guān)系，單價和購買的數(shù)量是成反比例的量續(xù)表拓展已知反比例關(guān)系，求其中一個量：根據(jù)兩個量之間的反比例關(guān)系，設(shè)出形如xy=k或y=（k一定）的代數(shù)式，再由已知條件求出k值，最后將已知的量代入式子從而求出另一個量歸納總結(jié)判斷兩個量成正比例關(guān)系還是反比例關(guān)系的方法：典例下面各題中兩個量成反比例關(guān)系的是（

）①圓錐的體積V一定，它的底面積

S和高h(yuǎn)；②加工零件的總時間T一定，加工一個零件的時間t和加工零件的總個數(shù)x；③圓的周長C一定，圓周率π和這個圓的直徑d；④比的前項a一定，比的后項b和比值c.A．①②③

B．①③④C．②③④

D．①②④對點(diǎn)典例剖析

［答案］

D

例

給一間房子鋪地磚，每塊地磚的面積S和所需地磚的數(shù)量x如下表：（1）每塊地磚的面積和所需地磚數(shù)量有什么關(guān)系？（2）若每塊地磚的面積是0.5m2，需要多少塊地磚？每塊地磚的面積/m20.20.30.40.60.8…所需地磚數(shù)量/塊30020015010075…［解析］（1）根據(jù)每塊地磚的面積×需要的塊數(shù)=鋪地面積，算出每一組對應(yīng)數(shù)量的乘積一定，從而進(jìn)行判斷；（2）將（1）中數(shù)量關(guān)系用式子表示出來，再把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計算即可.［答案］

解：（1）0.2×300=60，0.3×200=60，150×0.4=60，…所以每塊地磚的面積×需要的塊數(shù)=鋪地面積（一定），所以每塊地磚的面積和所需地磚的數(shù)量成反比例關(guān)系；

變式衍生

辦公室買進(jìn)一包白紙，計劃每天用18張，可以用30天．每天用的張數(shù)與可用天數(shù)成_______

關(guān)系，如果每天只用a張，這包紙實(shí)際能用_______天.反比例

思路點(diǎn)撥

先判斷兩個量之間是商一定，還是積一定，然后再根據(jù)關(guān)系代入求解．解題通法

解答此類問題需觀察實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，兩個數(shù)量成反比例關(guān)系時，它們的乘積為定值.■混淆正、反比例關(guān)系的概念例

下面各選項中，成反比例關(guān)系的是（

）A．路程一定，速度和時間B．時間一定，路程和速度C．單價一定，總價和數(shù)量D．?dāng)?shù)量一定，總價和單價［解析］選項關(guān)系判斷A速度×?xí)r間=路程（一定）速度和時間成反比例關(guān)系B