青海大學(xué)附中版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元訓(xùn)練 新人教A版

青海大學(xué)附中版《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿(mǎn)分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，0）處的切線(xiàn)方程為()A． B． C． D．【答案】A2．函數(shù)處的切線(xiàn)方程為()A． B． C． D．【答案】A3．已知f(x)＝x3的所有切線(xiàn)中，滿(mǎn)足斜率等于1的切線(xiàn)有()A．1條 B．2條 C．多于兩條 D．以上都不對(duì)【答案】B4．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的值也使值為0，則常數(shù)的值為()A．0 B． C．0或 D．非以上答案【答案】A5．過(guò)點(diǎn)（0，1）且與曲線(xiàn)在點(diǎn)（3，2）處的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方程為()A． B． C． D．【答案】A6．圖為函數(shù)軸和直線(xiàn)分別交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N（0，1），若△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則b的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】C7．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)e的單調(diào)遞增區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】A8．等于()A． B．2 C．-2 D．+2【答案】D9．如果是二次函數(shù),且的圖象開(kāi)口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,eq\r(3)),那么曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B10．已知定義在上的函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是()A． B． C． D．【答案】A11．設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則()A．1 B． C． D．【答案】A12．已知實(shí)數(shù)，則表示()A．以為半徑的球的體積的一半B．以為半徑的球面面積的一半C．以為半徑的圓的面積的一半D．由函數(shù)，坐標(biāo)軸及所圍成的圖形的面積【答案】A第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)13．曲線(xiàn)處的切線(xiàn)與x軸、直線(xiàn)所圍成的三角形的面積為=

.【答案】±114．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，____________.【答案】215．已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表，的導(dǎo)函數(shù)y=的圖像如圖所示，給出關(guān)于的下列命題：①函數(shù)在x=2時(shí)，取極小值②函數(shù)在[0，1]是減函數(shù)，在[1，2]是增函數(shù)，③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)④如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么t的最大值為5，其中所有正確命題序號(hào)為_(kāi)___________．【答案】①④16．對(duì)于函數(shù)，若有六個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍為【答案】（0，3）三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)．(I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)方程；(II）若存在，使得，求的最大值；(III）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】,由得,.（I）當(dāng)時(shí)，，，，所以函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)方程為即(II）存在,使得，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立∴的最大值為.(III）當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：的極大值，的極小值又，.所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn).18．設(shè)t＞0，已知函數(shù)f(x)＝x2(x－t)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)．(1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2）設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)的斜率為k，當(dāng)x0∈(0，1]時(shí)，k≥－eq\F(1,2)恒成立，求t的最大值；(3）有一條平行于x軸的直線(xiàn)l恰好與函數(shù)y＝f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)C，D，若四邊形ABCD為菱形，求t的值．【答案】（1）f′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因?yàn)閠＞0，所以當(dāng)x＞eq\F(2t,3)或x＜0時(shí)，f′(x)＞0，所以(－∞，0)和(eq\F(2t,3)，＋∞)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)0＜x＜eq\F(2t,3)時(shí)，f′(x)＜0，所以(0，eq\F(2t,3))為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(2）因?yàn)閗＝3x02－2tx0≥－eq\F(1,2)恒成立，所以2t≤3x0＋eq\F(1,2x0)恒成立，因?yàn)閤0∈（0，1]，所以3x0＋eq\F(1,2x0)≥2eq\R(,3x0×eq\F(1,2x0))＝eq\R(,6)，即3x0＋eq\F(1,2x0)≥eq\R(,6)，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝eq\F(eq\R(,6),6)時(shí)取等號(hào)．所以2t≤eq\R(,6)，即t的最大值為eq\F(eq\R(,6),2)．(3）由（1）可得，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值0，在x＝eq\F(2t,3)處取得極小值－eq\F(4t3,27)．因?yàn)槠叫杏趚軸的直線(xiàn)l恰好與函數(shù)y＝f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以直線(xiàn)l的方程為y＝－eq\F(4t3,27)．令f(x)＝－eq\F(4t3,27)，所以x2(x－t)＝－eq\F(4t3,27)，解得x＝eq\F(2t,3)或x＝－eq\F(t,3)．所以C（eq\F(2t,3)，－eq\F(4t3,27)），D（－eq\F(t,3)，－eq\F(4t3,27)）．因?yàn)锳（0，0），B（t，0）．易知四邊形ABCD為平行四邊形．AD＝eq\R(,(－eq\F(t,3))2＋(－eq\F(4t3,27))2)，且AD＝AB＝t，所以eq\R(,(－eq\F(t,3))2＋(－eq\F(4t3,27))2)＝t，解得：t＝eq\F(3eq\r(4,8),2)．19．已知函數(shù)．(1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，試求的取值或取值范圍【答案】(1）當(dāng)時(shí)，，∴， 令，則，， 、和的變化情況如下表即函數(shù)的極大值為1，極小值為； (2）， 若在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)， 則在區(qū)間內(nèi)恒大于或等于零， 若，這不可能， 若，則符合條件， 若，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知 ，即，這也不可能，綜上a=0時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增，20．請(qǐng)先閱讀：在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：．(1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式

（，正整數(shù)），證明：．(2）對(duì)于正整數(shù)，求證：(i）；

(ii）；

(iii）．【答案】（1）在等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得

移項(xiàng)得

（*）(2）（i）在（*）式中，令，整理得

所以

(ii）由（1）知兩邊對(duì)求導(dǎo)，得在上式中，令

即，亦即

（1）

又由（i）知

（2）由（1）+（2）得(iii）將等式兩邊在上對(duì)積分

由微積分基本定理，得

所以

21．設(shè)(1）若，求函數(shù)在點(diǎn)（2，）處的切線(xiàn)方程；(2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍【答案】(1）由得，令，得，∵，過(guò)點(diǎn)（2，）的直線(xiàn)方程為，即；(2）令在其定義域（0，+）上單調(diào)遞增，只需恒成立，由上恒成立，∵，∴，∴，∴22．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格（元/噸）之間的關(guān)系