2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-球的切、接、截問(wèn)題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分訓(xùn)練.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\數(shù)學(xué)課件\\高分訓(xùn)練.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陳麗2022年\\2022\\課件\\二輪\\2023版創(chuàng)新設(shè)計(jì)二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材通用版（魯津京……）\\教師word文檔\\板塊三立體幾何與空間向量\\高分訓(xùn)練.tif"INET2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-球的切、接、截問(wèn)題-專項(xiàng)訓(xùn)練一、基本技能練1.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A.π B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)2.若棱長(zhǎng)為2eq\r(3)的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12π B.24πC.36π D.144π3.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為eq\r(2)，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為()A.3π B.4πC.3eq\r(3)π D.6π4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B.2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D.3eq\r(10)5.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，以AD為折痕進(jìn)行折疊，使折后的∠BDC＝eq\f(π,2)，則過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為()A.3π B.4πC.5π D.6π6.如圖是一個(gè)由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成的十四面體，其所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，若十四面體的棱長(zhǎng)為1，則球O的表面積為()A.2π B.4πC.6π D.8π7.四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上且AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝4，AD＝2eq\r(6)，則球O的表面積為()A.eq\f(70π,3) B.eq\f(80π,3)C.30π D.40π8.已知三棱錐P－ABC的棱AP，AB，AC兩兩垂直，且長(zhǎng)度都為eq\r(3)，以頂點(diǎn)P為球心，2為半徑作一個(gè)球，則球面與三棱錐的表面相交所得到的四段弧長(zhǎng)之和等于()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(5π,6)C.π D.eq\f(3π,2)9.(多選)已知一個(gè)正方體的外接球和內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和N，若線段MN長(zhǎng)的最小值為eq\r(3)－1，則()A.該正方體的外接球的表面積為12πB.該正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(π,3)C.該正方體的棱長(zhǎng)為1D.線段MN長(zhǎng)的最大值為eq\r(3)＋110.(多選)設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為A，BC為圓錐底面圓O的直徑，點(diǎn)P為圓O上的一點(diǎn)(異于B，C)，若BC＝4eq\r(3)，三棱錐A－PBC的外接球表面積為64π，則圓錐的體積為()A.4π B.8πC.16π D.24π11.在三棱錐A－BCD中，△BCD和△ABD均是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，AC＝eq\r(2)，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______.12.如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為_(kāi)_______.二、創(chuàng)新拓展練13.(多選)已知三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，直線AF，CE相交于G，則過(guò)點(diǎn)G的平面α截三棱錐S－ABC的外接球O所得截面面積可以是()A.eq\f(2,3)π B.eq\f(8,9)πC.π D.eq\f(3,2)π14.(多選)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，AB＝BC＝AC＝1，∠APC＝eq\f(π,6)，平面PAC⊥平面ABC，則()A.直線OA與直線BC垂直B.點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值為eq\f(1＋\r(3),2)C.球O的表面積為eq\f(13π,3)D.三棱錐O－ABC的體積為eq\f(1,8)15.在菱形ABCD中，AB＝2eq\r(3)，∠ABC＝60°，若將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為60°的二面角B－AC－D，則四面體DABC的外接球球O的體積為_(kāi)_______.16.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝4，M為棱AB的中點(diǎn)，N是棱BC的中點(diǎn)，O是三棱柱外接球的球心，則平面MNB1截球O所得截面的面積為_(kāi)_______.參考答案與解析一、基本技能練1.答案B解析如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球的半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝eq\f(1,2).∴底面圓半徑r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3π,4).2.答案C解析由題意知球的直徑2R＝eq\r(（2\r(3)）2＋（2\r(3)）2＋（2\r(3)）2)＝6，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.故選C.3.答案A解析構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方體，該四面體的外接球也是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，所以外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)，所以外接球表面積為S＝4πR2＝3π.4.答案C解析將直三棱柱補(bǔ)為長(zhǎng)方體ABEC－A1B1E1C1，則球O是長(zhǎng)方體ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑.因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13，則R＝eq\f(13,2).5.答案C解析折后的幾何體構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體，其對(duì)角線即為球的直徑，三條棱長(zhǎng)分別為1，1，eq\r(3)，所以2R＝eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，球的表面積S＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2)＝5π.6.答案B解析根據(jù)圖形可知，該十四面體是由一個(gè)正方體切去八個(gè)角得到的，如圖所示，十四面體的外接球球心與正方體的外接球球心相同，建立空間直角坐標(biāo)系，∵該十四面體的棱長(zhǎng)為1，故正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，∴該正方體的外接球球心的坐標(biāo)為Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，設(shè)十四面體上一頂點(diǎn)為D，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(2),2)，0))，所以十四面體的外接球半徑R＝OD＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝1，故外接球的表面積為S＝4πR2＝4π.故選B.7.答案B解析如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，DM，由題意可知，△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，且AM＝DM＝2eq\r(3)，又∵AD＝2eq\r(6)，∴AM2＋DM2＝AD2，∴AM⊥DM，∵BC∩DM＝M，BC，DM?平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∵AM?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，△ABC與△BCD外接圓半徑r＝eq\f(2,3)DM＝eq\f(4\r(3),3)，又△ABC與△BCD的交線段BC＝4.所以四面體外接球半徑R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2)－\f(42,4))＝eq\f(2\r(15),3)，四面體ABCD的外接球的表面積為4π×R2＝eq\f(80,3)π.8.答案D解析如圖，∠APC＝eq\f(π,4)，AP＝eq\r(3)，AN＝1，∠APN＝eq\f(π,6)，∠NPM＝eq\f(π,12)，eq\o(MN,\s\up8(︵))＝eq\f(π,12)×2＝eq\f(π,6)，同理eq\o(GH,\s\up8(︵))＝eq\f(π,6)，eq\o(HN,\s\up8(︵))＝eq\f(π,2)，eq\o(GM,\s\up8(︵))＝eq\f(2π,3)，故四段弧長(zhǎng)之和為eq\f(π,6)＋eq\f(π,6)＋eq\f(π,2)＋eq\f(2π,3)＝eq\f(3π,2).9.答案AD解析設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為a，則其外接球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)a，內(nèi)切球的半徑R′＝eq\f(a,2)，該正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，由于兩球球心相同，可得MN的最小值為eq\f(\r(3)a,2)－eq\f(a,2)＝eq\r(3)－1，解得a＝2，故C錯(cuò)誤；所以外接球的半徑R＝eq\r(3)，表面積為4π×3＝12π，故A正確；內(nèi)切球的半徑R′＝1，體積為eq\f(4,3)π，故B錯(cuò)誤；MN的最大值為R＋R′＝eq\r(3)＋1，故D正確.故選AD.10.答案BD解析如圖，設(shè)圓錐AO的外接球球心為M，半徑為r，則M在直線AO上，4πr2＝64π，解得r＝4.由勾股定理得BM2＝OM2＋OB2，即42＝(2eq\r(3))2＋OM2，可得OM＝2，即OM＝|AO－r|＝|AO－4|＝2，解得AO＝6或AO＝2.當(dāng)AO＝6時(shí)，圓錐AO的體積為V＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×6＝24π；當(dāng)AO＝2時(shí)，圓錐AO的體積為V＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.故選BD.11.答案2π解析取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OD，在△ABC中，AB＝BC＝1，AC＝eq\r(2)，所以∠ABC＝90°，所以O(shè)A＝OB＝OC＝eq\f(\r(2),2)，同理得OD＝eq\f(\r(2),2)，故點(diǎn)O為該三棱錐外接球的球心，所以球O的半徑r＝eq\f(\r(2),2)，S球＝4πr2＝2π.12.答案eq\f(3π,2)解析根據(jù)題意知，平面ACD1是邊長(zhǎng)為eq\r(9＋9)＝3eq\r(2)的正三角形，且所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，△ACD1內(nèi)切圓的半徑r＝eq\f(1,3)eq\r(（3\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)，所以平面ACD1截球O的截面面積為S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3π,2).二、創(chuàng)新拓展練13.答案BCD解析因?yàn)锳B2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC，故三棱錐S－ABC的外接球O的半徑R＝eq\f(\r(2＋2＋2),2)＝eq\f(\r(6),2)，取AC的中點(diǎn)D，連接BD必過(guò)G，因?yàn)锳B＝BC＝eq\r(2)，故DG＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(1,3)，因?yàn)镺D＝eq\f(\r(2),2)，故OG2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(11,18)，則過(guò)點(diǎn)G的平面截球O所得截面圓的最小半徑r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(11,18)＝eq\f(8,9)，故截面面積的最小值為eq\f(8,9)π，最大值為πR2＝eq\f(3,2)π，故選BCD.14.答案ACD解析設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1，連接OO1，O1A.因?yàn)镺為三棱錐P－ABC外接球的球心，所以O(shè)O1⊥平面ABC，所以O(shè)O1⊥BC，因?yàn)锳B＝BC＝AC＝1，所以O(shè)1A⊥BC，所以BC⊥平面OO1A，所以O(shè)A⊥BC，故A選項(xiàng)正確；設(shè)△PAC外接圓的圓心為O2，AC的中點(diǎn)為D，連接O2D，由于AC＝1，∠APC＝eq\f(π,6)，所以圓O2的半徑r2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,sin\f(π,6))＝1，則易知O2D＝eq\f(\r(3),2)，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值為1＋eq\f(\r(3),2)(此時(shí)P，O2，D三點(diǎn)共線)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于AB＝BC＝AC＝1，平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以圓O1的半徑r1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，圓O2的半徑r2＝1，△ABC與△PAC的交線段AC＝1，所以三棱錐P－ABC外接球半徑R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＋12－eq\f(1,4)＝eq\f(13,12).故球O的表面積S＝4π×eq\f(13,12)＝eq\f(13π,3)，故C選項(xiàng)正確；由于OO1⊥平面ABC，且OO1＝O2D＝eq\f(\r(3),2)，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，所以三棱錐O－ABC的體積為eq\f(1,3)×OO1×S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,8)，故D選項(xiàng)正確，故選ACD.15.答案eq\f(52\r(39)π,27)解析如圖，設(shè)M，N分別為△ABC，△ACD的外心，E為AC的中點(diǎn)，則EN＝EM＝eq\f(1,3)BE＝1，在平面BDE內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作BE的垂線與過(guò)點(diǎn)N作DE的垂線交于點(diǎn)O.∵BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BDE.∵OM?平面BDE，∴OM⊥AC，∵OM⊥BE，BE∩AC＝E，∴OM⊥平面ABC，同