人教版初中數(shù)學(xué)同步講義七年級(jí)下冊(cè)第03講 一元一次不等式（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）

第03講一元一次不等式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①一元一次不等式②一元一次不等式的解法③一元一次不等式的應(yīng)用掌握一元一次不等式的定義并能夠熟練判斷一元一次不等式以及根據(jù)定義求值。掌握解一元一次不等式的解法并能夠熟練解一元一次不等式。掌握一元一次不等式解應(yīng)用題的基本步驟并能熟練利用一元一次不等式解決實(shí)際應(yīng)用題。知識(shí)點(diǎn)01一元一次不等式一元一次不等式的定義：只含有1個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。整個(gè)不等式中分母不含有字母?！炯磳W(xué)即練1】1．下列式子：①7＞4；②3x≥2x+1；③x+y＞1；④x2+3≤2x中，是一元一次不等式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐個(gè)判斷即可．【解答】解：①7＞4，不含未知數(shù)，不是一元一次不等式；②3x≥2x+1，是一元一次不等式；③x+y＞1，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式；④x2+3≤2x，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次不等式；∴一元一次不等式有1個(gè)，故選：A．【即學(xué)即練2】2．已知4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝1．【分析】根據(jù)定義得到3﹣m≠0，|m﹣2|＝1，解不等式即可得到答案【解答】解：∵4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是關(guān)于x的一元一次不等式，∴3﹣m≠0，|m﹣2|＝1，則m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1，且m≠3，解得m＝1，故答案為：1．知識(shí)點(diǎn)02一元一次不等式一元一次不等式的解法：具體步驟：①去分母：在不等式兩邊同時(shí)乘上分母的最小公倍數(shù)。（根據(jù)等式的性質(zhì)2）②去括號(hào)：利用去括號(hào)的法則去括號(hào)。③移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的移到等號(hào)的左邊，常數(shù)移到等號(hào)的右邊。（根據(jù)等式的性質(zhì)1）④合并：利用合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行合并。⑤系數(shù)化為1：不等式兩邊除以系數(shù)或乘上系數(shù)的倒數(shù)。當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向一定要改變。（根據(jù)不等式的性質(zhì)2或3）【即學(xué)即練1】3．小明解不等式的過(guò)程如下：解：3（1+x）≤2（1+3x）+6①3+3x≤2+6x+6②3x﹣6x≤2+6﹣3③﹣3x≤5④⑤其中，小明出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是（）A．從①到② B．從②到③ C．從③到④ D．從④到⑤【分析】要注意去分母時(shí)兩邊都要乘及兩邊乘以或除以負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向，運(yùn)用不等式性質(zhì)、去括號(hào)法則、移項(xiàng)法則，合并同類項(xiàng)法則逐步檢查，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤．【解答】解：，①去分母得3（1+x）≤2（1+3x）+6，②去括號(hào)得3+3x≤2+6x+6，③移項(xiàng)得3x﹣6x≤2+6﹣3，④合并同類項(xiàng)得﹣3x≤5，⑤未知數(shù)的系數(shù)為1得，故選：D．【即學(xué)即練2】4．解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：．【分析】先去分母，再移項(xiàng)，最后系數(shù)化1，解出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示，即可作答．【解答】解：，2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）＜4，4x﹣2﹣5x+1＜4，﹣x＜5，∴x＞﹣5．在數(shù)軸上表示如圖所示．知識(shí)點(diǎn)03一元一次不等式的應(yīng)用一元一次不等式的應(yīng)用：列不等式解決實(shí)際問(wèn)題的具體步驟：①審題：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量之間的關(guān)系，要抓住題設(shè)的關(guān)鍵字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要準(zhǔn)確理解他們的含義。②設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。③列：根據(jù)題目中的不等量關(guān)系，列出不等式。④解：解出所列的不等式的解集。⑤答：檢驗(yàn)結(jié)果是否符合題意，并寫(xiě)出答案?！炯磳W(xué)即練1】5．七年級(jí)的小明要從鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)到烈士陵園參加掃墓活動(dòng)，兩地相距3.6千米．已知他步行的平均速度為70米/分，跑步的平均速度為210米/分，若他要在不超過(guò)40分鐘的時(shí)間內(nèi)到達(dá)烈士陵園，至少需要跑步多少分鐘？設(shè)他需要跑步x分鐘，則列出的不等式為（）A．210x+70（40﹣x）≥3.6 B．70x+210（40﹣x）≤3600 C．210x+70（40﹣x）≥3600 D．70x+210（40﹣x）≤3.6【分析】根據(jù)跑步的路程加上步行的路程大于等于兩地距離列不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意列不等式為：210x+70（40﹣x）≥3600．故選：C．【即學(xué)即練2】6．某商店購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的工具，若購(gòu)進(jìn)A種工具10件，B種工具20件，共需要280元；若購(gòu)進(jìn)A種工具15件，B種工具10件，共需要220元．（1）求該商店購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的工具每件各需要多少元？（2）若該商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的工具共60件，且總預(yù)算費(fèi)用不超過(guò)550元，那么該商店最多可購(gòu)進(jìn)B種品牌的工具多少件？【分析】（1）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)每件A種品牌的工具需要x元，每件B種品牌的工具需要y元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)A種工具10件，B種工具20件，共需要280元；購(gòu)進(jìn)A種工具15件，B種工具10件，共需要220元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)B種品牌的工具m件，則購(gòu)進(jìn)A種品牌的工具（60﹣m）件，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過(guò)550元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)每件A種品牌的工具需要x元，每件B種品牌的工具需要y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：該商店購(gòu)進(jìn)每件A種品牌的工具需要8元，每件B種品牌的工具需要10元；（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)B種品牌的工具m件，則購(gòu)進(jìn)A種品牌的工具（60﹣m）件，根據(jù)題意得：8（60﹣m）+10m≤550，解得：m≤35，∴m的最大值為35．答：該商店最多可購(gòu)進(jìn)B種品牌的工具35件．題型01判斷一元一次不等式【典例1】下列是一元一次不等式的是（）A． B．3x+2 C．2x＞x﹣1 D．x2﹣2＜1【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、中不是整式，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、3x+2中不含有不等號(hào)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、2x＞x﹣1含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，是一元一次不等式，故本選項(xiàng)符合題意；D、x2﹣2＜1中含有一個(gè)未知數(shù)，但未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式1】下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．0個(gè)【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，未知數(shù)的次數(shù)是1，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：（1）﹣x≥5，是一元一次不等式；（2）y﹣3x＜0，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式；（3），是一元一次不等式；（4）x2+x≠3，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次不等式；一元一次不等式共2個(gè)，故選：A．【變式2】下列各式中，是一元一次不等式的有（）①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷選項(xiàng)即可．一元一次不等式的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，不等號(hào)左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．【解答】解：①x＜5滿足“未知數(shù)的次數(shù)是1”的條件，所以是一元一次不等式，故選項(xiàng)符合題意；②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B選項(xiàng)不符合題意；③不滿足“不等號(hào)左右兩邊為整式”的條件，所以不是一元一次不等式，故C選項(xiàng)不符合題意；④2x+y＜5+y化簡(jiǎn)后2x＜y滿足“只含有一個(gè)未知數(shù)”的條件，所以是一元一次不等式，故選項(xiàng)符合題意．⑤a﹣2＜5滿足“未知數(shù)的次數(shù)是1”的條件，所以是一元一次不等式，故選項(xiàng)符合題意；⑥x不滿足“只含有一個(gè)未知數(shù)”的條件，所以不是一元一次不等式，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．題型02根據(jù)一元一次不等式求值【典例1】若不等式（m+1）xm2＞3是一元一次不等式，則m的值為（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，可知所給不等式中x的指數(shù)是1，且系數(shù)不為零，據(jù)此列出關(guān)于m的不等式m+1≠0和方程m2＝1，通過(guò)解不等式和方程確定m的值．【解答】解：由題意可知m+1≠0且m2＝1．解m+1≠0得，m≠﹣1；解m2＝1得，m＝±1，故m的值為1．故選：B．【變式1】若關(guān)于x的一元一次不等式2a﹣x|2+3a|＞2，則a的值（）A．﹣1 B．1或﹣ C．﹣1或﹣ D．﹣【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可．【解答】解：∵2a﹣x|2+3a|＞2是關(guān)于x的一元一次不等式，∴|2+3a|＝1，∴a＝﹣或﹣1．故選：C．【變式2】已知（k﹣3）x|k|﹣2+2k＞0為關(guān)于x的一元一次不等式，則k＝﹣3．【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵（k﹣3）x|k|﹣2+2k＞0為關(guān)于x的一元一次不等式，∴，∴k＝﹣3，故答案為：﹣3．題型03解一元一次不等式【典例1】解下列不等式，并將其解集表示在數(shù)軸上．（1）5x﹣5＜2（2+x）；（2）．【分析】（1）先去括號(hào)，然后移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可；（2）先去分母，再去括號(hào)，然后移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可．【解答】解：（1）5x﹣5＜2（2+x），去括號(hào)，得：5x﹣5＜4+2x，移項(xiàng)，得：5x﹣2x＜4+5．合并同類項(xiàng)，得：3x＜9，系數(shù)化為1，得：x＜3，其解集在數(shù)軸上表示如下：；（2），去分母，得：4x﹣（6x+1）≤6，去括號(hào)，得：4x﹣6x﹣1≤6，移項(xiàng)，得：4x﹣6x≤6+1，合并同類項(xiàng)，得：﹣2x≤7，系數(shù)化為1，得：x≥﹣，其解集在數(shù)軸上表示如下：．【變式1】解下列不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：（1）3（2x+2）＞4（x﹣1）+7；（2）．【分析】（1）先去括號(hào)，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1，再把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)即可；（2）不等式兩邊都乘6去分母后，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將x系數(shù)化為1，求出解集，表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：（1）3（2x+2）＞4（x﹣1）+7，去括號(hào)，得6x+6＞4x﹣4+7，移項(xiàng)，得6x﹣4x＞﹣4+7﹣6，合并同類項(xiàng)，得2x＞﹣3，系數(shù)化1，得，將不等式的解集在數(shù)軸上表示為：（2），去分母，得3（x﹣1）﹣2（x+4）＞﹣12，去括號(hào)，得3x﹣3﹣2x﹣8＞﹣12，移項(xiàng)，得3x﹣2x＞﹣12+3+8，合并同類項(xiàng)，得x＞﹣1，將不等式的解集在數(shù)軸上表示為：【變式2】解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．（1）2（1﹣x）≤3x﹣8；（2）．【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的步驟即可求解，再將其解集表示在數(shù)軸上即可；（2）根據(jù)解一元一次不等式的步驟即可求解，再將其解集表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：（1）2（1﹣x）≤3x﹣8，去括號(hào)，得：2﹣2x≤3x﹣8，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：﹣5x≤﹣10，系數(shù)化為1，得：x≥2，在數(shù)軸上表示其解集如下，；（2），去分母，得：6﹣2（x﹣2）＞3（x+1），去括號(hào)，得：6﹣2x+4＞3x+3，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：﹣5x＞﹣7，系數(shù)化為1，得：，在數(shù)軸上表示其解集如下，．題型04不等式的特殊解【典例1】滿足不等式3（x﹣2）＜12的所有正整數(shù)解有幾個(gè)（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先求得不等式的解集，再求得所有正整數(shù)解，進(jìn)而可求解．【解答】解：解不等式3（x﹣2）＜12得x﹣2＜4，則x＜6，∴該不等式的所有正整數(shù)解為1，2，3，4，5，共5個(gè)，故選：B．【變式1】已知關(guān)于x的不等式2x﹣a＜3只有3個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍為3＜a≤5．【分析】解不等式得出，根據(jù)不等式只有3個(gè)正整數(shù)解得出，解之即可．【解答】解：由2x﹣a＜3，得：，因?yàn)椴坏仁街挥?個(gè)正整數(shù)解，所以不等式的正整數(shù)解為1、2、3，∴，解得3＜a≤5，故答案為：3＜a≤5．【變式2】已知關(guān)于x的不等式x﹣m≥0的負(fù)整數(shù)解只有﹣1，﹣2，則m的取值范圍是（）A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)關(guān)于x的不等式x﹣m≥0的負(fù)整數(shù)解只有﹣1，﹣2得出答案即可．【解答】解：x﹣m≥0，x≥m，∵關(guān)于x的不等式x﹣m≥0的負(fù)整數(shù)解只有﹣1，﹣2，∴m的取值范圍是﹣3＜m≤﹣2．故選：B．【變式3】若關(guān)于x的不等式2x﹣a＞0的解集中存在負(fù)數(shù)解，但不存在負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)＜0 C．﹣2≤a＜0 D．﹣2＜a≤0【分析】先解一元一次不等式可得：x＞，然后根據(jù)題意可得：﹣1≤＜0，，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：2x﹣a＞0，2x＞a，x＞，∵不等式2x﹣a＞0的解集中存在負(fù)數(shù)解，但不存在負(fù)整數(shù)解，∴﹣1≤＜0，∴﹣2≤a＜0，故選：C．【變式4】若關(guān)于x的不等式3x+2≤a的正整數(shù)解是1，2，3，4，則整數(shù)a的最小值是14．【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【解答】解：不等式的解集是：x≤，∵不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，4，∴4≤＜5，∴a的取值范圍是14≤a＜17．∴整數(shù)a的最小值是14．故答案為：14．題型05二元一次方程與不等式【典例1】若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足9x+9y＜﹣2y﹣7，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣9 B．a(chǎn)＜9 C．a(chǎn)＞﹣9 D．a(chǎn)＞9【分析】把a(bǔ)看作已知數(shù)表示出方程組的解，代入已知不等式求出a的范圍即可．【解答】解：方程組，解得：，∵9x+9y＜﹣2y﹣7，∴，解得：a＜﹣9．故選：A．【變式1】關(guān)于x、y的方程組的解中x﹣y≥5，則k的取值范圍為（）A．k≥3 B．k≤3 C．k≥8 D．k≥9【分析】由可得x﹣y＝k﹣1，故k﹣1≥5，即可解得答案．【解答】解：由得：4x﹣4y＝3k﹣4，∴x﹣y＝k﹣1，∵x﹣y≥5，∴k﹣1≥5，解得k≥8；故選：C．【變式2】已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x+y＜0，m的取值范圍是m＜﹣1．【分析】方程組兩方程相加表示出x+y，代入已知不等式，即可求出m的范圍．【解答】解：，①+②得：3（x+y）＝2+2m，即x+y＝，根據(jù)題意得：＜0，解得：m＜﹣1．故答案為：m＜﹣1．【變式3】已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＞2，則m的最大整數(shù)值為m＝﹣2．【分析】②﹣①，得x﹣y＝1﹣m，根據(jù)x﹣y＞2得出關(guān)于m的不等式，求得最大整數(shù)解即可求解．【解答】解：，由②﹣①得：x﹣y＝1﹣m，∵x﹣y＞2，∴1﹣m＞2，∴m＜﹣1，m的最大整數(shù)值為﹣2．故答案為：﹣2．題型06一元一次不等式的應(yīng)用【典例1】某環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽一共有20道題，規(guī)定：答對(duì)一道題得5分，答錯(cuò)或不答一道題扣1分．得分超過(guò)85分可以獲一等獎(jiǎng)．小鋒在本次競(jìng)賽中獲得了一等獎(jiǎng)．假設(shè)小鋒答對(duì)了x題，可根據(jù)題意列出不等式（）A．5x+（20﹣x）≥85 B．5x+（20﹣x）＞85 C．5x﹣（20﹣x）＞85 D．5x﹣（20﹣x）≥85【分析】由該知識(shí)競(jìng)賽題目數(shù)及小鋒答對(duì)題目數(shù)，可得出小鋒答錯(cuò)或不答（20﹣x）題，利用得分＝5×答對(duì)題目數(shù)﹣1×答錯(cuò)或不答題目數(shù)，結(jié)合小鋒在本次競(jìng)賽中得分超過(guò)85分，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：∵該環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽一共有20道題，且小鋒答對(duì)了x題，∴小鋒答錯(cuò)或不答（20﹣x）題．根據(jù)題意得：5x﹣（20﹣x）＞85．故選：C．【變式1】某服裝網(wǎng)店購(gòu)進(jìn)男裝、女裝共100件，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：進(jìn)價(jià)（元/件）售價(jià)（元/件）男裝260320女裝240290該服裝網(wǎng)店預(yù)計(jì)獲得利潤(rùn)不少于5200元，設(shè)購(gòu)進(jìn)x件男裝，根據(jù)題意可列不等式（）A．（320﹣260）（100﹣x）+（290﹣240）x＞5200 B．（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）＞5200 C．（320﹣260）（100﹣x）+（290﹣240）x≥5200 D．（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）≥5200【分析】根據(jù)獲得利潤(rùn)不少于5200元列出不等式即可．【解答】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)x件男裝，則設(shè)購(gòu)進(jìn)（100﹣x）件女裝，由題意得（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）≥5200．故選：D．【變式2】近日，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中完全獨(dú)立出來(lái)，并在今年9月份開(kāi)學(xué)開(kāi)始正式施行．某學(xué)校組織八年級(jí)同學(xué)到勞動(dòng)教育基地參加實(shí)踐活動(dòng)，某小組的任務(wù)是平整土地300m2．開(kāi)始的半小時(shí)，由于操作不熟練，只平整完30m2，學(xué)校要求完成全部任務(wù)的時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)，若他們?cè)谑Ｓ鄷r(shí)間內(nèi)每小時(shí)平整土地xm2，則x滿足的不等關(guān)系為（）A．30+（3﹣0.5）x≤300 B．300﹣30x﹣0.5≤3 C．30+（3﹣0.5）x≥300 D．0.5+300﹣30x≥3【分析】利用工作總量＝工作效率×工作時(shí)間，結(jié)合完成平整土地300m2的任務(wù)所用時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：依題意得：30+（3﹣0.5）x≥300．故選：C．【典例2】某學(xué)校建立了勞動(dòng)基地，計(jì)劃在基地上種植甲、乙兩種樹(shù)苗．已知甲種樹(shù)苗的單價(jià)比乙種樹(shù)苗的單價(jià)多10元；3棵甲種樹(shù)苗與4棵乙種樹(shù)苗的總價(jià)相等．（1）求甲、乙兩種樹(shù)苗的單價(jià)分別為多少元？（2）若購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共500棵，且甲種樹(shù)苗的數(shù)量不少于乙種樹(shù)苗的兩倍．請(qǐng)為采購(gòu)組設(shè)計(jì)最省錢的方案，并求出此時(shí)的總費(fèi)用？【分析】（1）設(shè)甲種樹(shù)苗的單價(jià)為x元，則乙種樹(shù)苗的單價(jià)為（x﹣10）元，根據(jù)“甲種樹(shù)苗的單價(jià)×3＝乙種樹(shù)苗的單價(jià)×4”列出方程，求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買甲種樹(shù)苗a棵，則購(gòu)買甲種樹(shù)苗（500﹣a）棵，根據(jù)題意列出不等式，求得a的取值范圍，設(shè)購(gòu)買500棵甲、乙兩種樹(shù)苗的總費(fèi)用為y元，則可得出y關(guān)于a的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）設(shè)甲種樹(shù)苗的單價(jià)為x元，則乙種樹(shù)苗的單價(jià)為（x﹣10）元，根據(jù)題意得3x＝4（x﹣10），解得：x＝40，則x﹣10＝30，∴甲種樹(shù)苗的單價(jià)為40元，乙種樹(shù)苗的單價(jià)為30元．（2）設(shè)購(gòu)買甲種樹(shù)苗a棵，則購(gòu)買甲種樹(shù)苗（500﹣a）棵，根據(jù)題意得a≥2（500﹣a），解得a≥，∵a為正整數(shù)，∴a≥334，設(shè)購(gòu)買500棵甲、乙兩種樹(shù)苗的總費(fèi)用為y元，則y＝40a+30（500﹣a）＝10a+15000，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y隨a的增大而增大，∴當(dāng)a＝334時(shí)，y取得最小值，最小值為10×334+15000＝18340（元）．即最省錢的方案為購(gòu)買甲種樹(shù)苗334棵，購(gòu)買甲種樹(shù)苗166棵，此時(shí)的總費(fèi)用為18340元．【變式1】近日，許昌以其厚重的文化底蘊(yùn)，吸引了不少外地游客游覽打卡．在曹魏古城景區(qū)，游客們穿上漢服，戴上簪花，穿梭于亭臺(tái)樓榭之間，與古城相映成趣．景區(qū)內(nèi)某漢服商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批漢服用于出租，已知購(gòu)買1件A型漢服和4件B型漢服共550元；購(gòu)買2件A型漢服和3件B型漢服共需600元．（1）求A，B兩種類型漢服的單價(jià)．（2）該商店計(jì)劃購(gòu)買兩種類型漢服共100件，且A型漢服的數(shù)量不少于B型漢服數(shù)量的2倍．請(qǐng)計(jì)算該商店購(gòu)買兩種類型漢服各多少件時(shí)費(fèi)用最少．并求出最少費(fèi)用．【分析】（1）設(shè)A類型漢服的單價(jià)為每件x元，B類型漢服的單價(jià)為每件y元，列出二元一次方程組求解即可．（2）設(shè)總費(fèi)用為w，購(gòu)買B類型漢服a件，則購(gòu)買A類型漢服為（100﹣a）件，根據(jù)題意得出，再列出w關(guān)于a的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）設(shè)A類型漢服的單價(jià)為每件x元，B類型漢服的單價(jià)為每件y元，根據(jù)題意有：，解得：，故A類型漢服的單價(jià)為每件150元，B類型漢服的單價(jià)為每件100元．（2）設(shè)總費(fèi)用為w，購(gòu)買B類型漢服a件，則購(gòu)買A類型漢服為（100﹣a）件，且100﹣a≥2a，則，根據(jù)題意有：w＝150（100﹣a）+100a，整理得：w＝﹣50a+15000，∵﹣50＜0，∴w隨著a的增大而減小，則當(dāng)a取最大值33時(shí)，w取的最小值．當(dāng)a＝33時(shí)，100﹣a＝77，w＝﹣50×33+15000＝13350．故購(gòu)買B類型漢服33件，購(gòu)買A類型漢服為77件，總花費(fèi)最少為13350元．【變式2】廣東百千萬(wàn)高質(zhì)量發(fā)展工程預(yù)計(jì)到2025年將實(shí)現(xiàn)縣域經(jīng)濟(jì)發(fā)展加快，鄉(xiāng)村振興取得新成效．某鄉(xiāng)村龍眼上市，先后兩次共摘龍眼21噸，第一次賣出龍眼的價(jià)格為0.5萬(wàn)元/噸；因龍眼大量上市，價(jià)格下跌，第二次賣出龍眼的價(jià)格為0.4萬(wàn)元/噸，兩次龍眼共賣了9萬(wàn)元．（1）求兩次各摘龍眼多少噸？（2）由于龍眼放置時(shí)間短，村民把龍眼加工成桂圓肉和龍眼干進(jìn)行銷售，預(yù)計(jì)還能摘20噸，若1噸龍眼可加工成桂圓肉0.2噸或龍眼干0.5噸，桂圓肉和龍眼干的銷售價(jià)格分別是10萬(wàn)元/噸和3萬(wàn)元/噸，若全部的銷售額不少于36萬(wàn)元，則至少需要把多少噸龍眼加工成桂圓肉？【分析】（1）設(shè)第一次摘龍眼x噸，則第二次摘龍眼（21﹣x）噸，根據(jù)“第一次摘龍眼的噸數(shù)×第一次賣出龍眼的價(jià)格+第二次摘龍眼的噸數(shù)×第二次賣出龍眼的價(jià)格＝9”列出方程，求解即可；（2）設(shè)把m噸龍眼加工成桂圓肉，則把（20﹣m）噸龍眼加工成龍眼干，根據(jù)題意列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)第一次摘龍眼x噸，則第二次摘龍眼（21﹣x）噸，根據(jù)題意得0.5x+0.4（21﹣x）＝9，解得：x＝6，則21﹣6＝15，∴第一次摘龍眼6噸，第二次摘龍眼15噸．（2）設(shè)把m噸龍眼加工成桂圓肉，則把（20﹣m）噸龍眼加工成龍眼干，根據(jù)題意得0.2m×10+0.5（20﹣m）×3≥36，解得：m≥12，∴至少需要把12噸龍眼加工成桂圓肉．【變式3】某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運(yùn)輸成本如表：貨車類型載重量（噸/輛）運(yùn)往A地的成本（元/輛）運(yùn)往B地的成本（元/輛）甲種161200900乙種121000750（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運(yùn)往B地．設(shè)甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運(yùn)輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．求當(dāng)t為何值時(shí)，w最?。孔钚≈凳嵌嗌伲痉治觥浚?）設(shè)甲種貨車用了x輛，則乙種貨車用了（14﹣x）輛，根據(jù)18輛貨車恰好一次性運(yùn)輸256噸物資，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出使用甲種貨車的數(shù)量，再將其代入（18﹣x）中，即可求出使用乙種貨車的數(shù)量；（2）利用總運(yùn)輸成本＝每輛甲種貨車運(yùn)往A地的成本×前往A地的甲種貨車的數(shù)量+每輛乙種貨車運(yùn)往A地的成本×前往A地的乙種貨車的數(shù)量+每輛甲種貨車運(yùn)往B地的成本×前往B地的甲種貨車的數(shù)量+每輛乙種貨車運(yùn)往B地的成本×前往B地的乙種貨車的數(shù)量，可得出w關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，由運(yùn)往A地的物資不少于160噸，可列出關(guān)于t的一元一次不等式，解之可得出t≥4，結(jié)合（1）的結(jié)論，可得出t的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)甲種貨車用了x輛，則乙種貨車用了（24﹣x）輛，根據(jù)題意得：16x+12（24﹣x）＝328，解得：x＝10，∴24﹣x＝24﹣10＝14（輛）．答：甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛；（2）∵前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，且前往A地的甲種貨車為t輛，∴前往A地的乙種貨車為（12﹣t）輛，前往B地的甲種貨車為（10﹣t）輛，乙種貨車為8﹣（12﹣t）＝（t﹣4）輛．根據(jù)題意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750（t﹣4），即w＝50t+18000．∵前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，∴16t+12（12﹣t）≥160，解得：t≥4，又∵甲種貨車共用了10輛，∴4≤t≤10．∵k＝50＞0，∴w隨t的增大而增大，∴當(dāng)t＝4時(shí)，w取得最小值，最小值＝50×4+18000＝18200（元）．答：當(dāng)t為4時(shí)，w最小，最小值是18200元．1．不等式x﹣1＞2x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】按照解一元一次不等式的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x﹣1＞2x，x﹣2x＞1，﹣x＞1，x＜﹣1，∴該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：故選：B．2．若3m﹣5x3+m＞4是關(guān)于x的一元一次不等式，則該不等式的解集是（）A．x＜ B．x＞ C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義得出3+m＝1，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．【解答】解：∵3m﹣5x3+m＞4是關(guān)于x的一元一次不等式，∴3+m＝1，m＝﹣2，∴﹣6﹣5x＞4，∴該不等式的解集是x＜﹣2；故選：C．3．能使代數(shù)式4x﹣7的值不小于代數(shù)式8x+5的值，x可以是（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2【分析】根據(jù)題意得出不等式，再根據(jù)不等式求出不等式的解集，再逐個(gè)判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意得：4x﹣7≥8x+5，4x﹣8x≥5+7，﹣4x≥12，x≤﹣3，只有選項(xiàng)C符合，選項(xiàng)A、選項(xiàng)B、選項(xiàng)D都不符合．故選：C．4．若不等式（a﹣2）x＜a﹣2的解集為x＞1，則a必須滿足的條件是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)≠2 D．a(chǎn)＜2【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)不等號(hào)改變了，說(shuō)明兩邊同時(shí)乘或除了一個(gè)負(fù)數(shù)，即可求出a的范圍．【解答】解：∵x＞1，∴a﹣2＜0，∴a＜2，故選：D．5．不等式的解集為（）A．x≥1 B．x≤1 C． D．【分析】去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【解答】解：去分母得x+1≥6x﹣4，移項(xiàng)得﹣5x≥﹣5，解得x≤1．∴原不等式的解集為x≤1，故選：B．6．某批服裝每件進(jìn)價(jià)為200元，標(biāo)價(jià)為300元，現(xiàn)商店準(zhǔn)備將這批服裝降價(jià)處理，按標(biāo)價(jià)打x折出售，使得每件衣服的利潤(rùn)不低于5%，根據(jù)題意可列出來(lái)的不等式為（）A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%）【分析】設(shè)售價(jià)可以按標(biāo)價(jià)打x折，根據(jù)“每件衣服的利潤(rùn)不低于5%”即可列出不等式．【解答】解：按標(biāo)價(jià)打x折出售，根據(jù)題意得：：．故選：B．7．已知關(guān)于x的方程3x﹣1＝2x﹣a的解是負(fù)數(shù)，則點(diǎn)M（﹣2，a）在哪個(gè)象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】解方程得出x＝1﹣a，根據(jù)解為負(fù)數(shù)得出a＞1，從而得出答案．【解答】解：解方程3x﹣1＝2x﹣a，得：x＝1﹣a，根據(jù)題意知，1﹣a＜0，解得a＞1，∴點(diǎn)M（﹣2，a）在第二象限，故選：B．8．如果關(guān)于x的不等式2x﹣5≤2a+1只有4個(gè)正整數(shù)解，那么a的取值范圍是（）A．1≤a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1＜a≤2【分析】求出不等式的解集，根據(jù)不等式只有4個(gè)正整數(shù)解即可求得a的取值范圍．【解答】解：解不等式2x﹣5≤2a+1得：x≤a+3，又∵不等式2x﹣5≤2a+1只有4個(gè)正整數(shù)解，∴4個(gè)正整數(shù)解是1、2、3、4，∴4≤a+3＜5，解不等式組得：1≤a＜2，故選：C．9．春到人間，綠化爭(zhēng)先．為增強(qiáng)師生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，提升學(xué)生的勞動(dòng)實(shí)踐能力，某學(xué)校開(kāi)展了以“建綠色校園，樹(shù)綠色理想”為主題的植樹(shù)活動(dòng)，決定用不超過(guò)4200元購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共100顆，已知甲種樹(shù)苗每顆45元，乙種樹(shù)苗每顆38元，則至少可以購(gòu)買乙種樹(shù)苗（）A．42顆 B．43顆 C．57顆 D．58顆【分析】設(shè)購(gòu)買乙種樹(shù)苗x棵，根據(jù)用不超過(guò)4200元購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共100顆，列出不等式求解即可．【解答】解：設(shè)購(gòu)買乙種樹(shù)苗x棵，則購(gòu)買甲種樹(shù)苗（100﹣x）棵，由題意得：45（100﹣x）+38x≤4200，解得：，∵x為正整數(shù)，∴x最小取43，故選：B．10．定西市居民用電的電價(jià)實(shí)行階梯收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：一戶居民每月用電量電費(fèi)價(jià)格（單位：元/度）不超過(guò)160度的部分0.51超過(guò)160度且不超過(guò)240度的部分0.56超過(guò)240度的部分0.81七月份是用電高峰期，李叔計(jì)劃七月份電費(fèi)支出不超過(guò)256元，則李叔家七月份最多可用電的度數(shù)是（）A．300 B．350 C．400 D．450【分析】設(shè)李數(shù)家七月份用電x度，根據(jù)李叔計(jì)劃七月份電費(fèi)支出不超過(guò)256元，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)李數(shù)家七月份用電x度，根據(jù)題意得：0.51×160+0.56×（240﹣160）+0.81（x﹣240）≤256，解得：x≤400，∴x的最大值為400，∴李數(shù)家七月份最多可用電的度數(shù)是400．故選：C．11．不等式x﹣1≤2的解集中所有非負(fù)整數(shù)的解是0，1，2，3．【分析】移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1即可求出此不等式的解集，進(jìn)而得出非負(fù)整數(shù)解．【解答】解：移項(xiàng)，得：x≤2+1，合并同類項(xiàng)，得：x≤3，不等式的非負(fù)整數(shù)解為0，1，2，3．故答案為：0，1，2，3．12．已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x+y＞7，則k的取值范圍是k＞．【分析】先把兩方程相加可得到x+y＝5k﹣2，所以5k﹣2＞7，然后解不等式得到k的取值范圍．【解答】解：，①﹣②得x+y＝5k﹣2，∵x+y＞7，∴5k﹣2＞7，解得k＞，即k的取值范圍為k＞．故答案為：k＞．13．一次生活常識(shí)競(jìng)賽，一共有25道題，答對(duì)一題得4分，不答得0分，答錯(cuò)一題扣1分，小明有2題沒(méi)答，競(jìng)賽成績(jī)要不低于83分，則小明至少要答對(duì)22道題．【分析】設(shè)小明答對(duì)x道，根據(jù)“一共有25道題，答對(duì)一題得4分，不答得0分，答錯(cuò)一題扣1分，有2題沒(méi)答，競(jìng)賽成績(jī)要不低于83分”可得相應(yīng)的一元一次不等式．【解答】解：設(shè)小明答對(duì)x道，根據(jù)題意得：4x﹣1×（25﹣2﹣x）≥83，解得x≥21.2，即小明至少要答對(duì)22道題．故答案為：22．14．已知關(guān)于x的不等式ax≤b的解集為x≥2，則關(guān)于x的不等式2ax+a＞b+3bx的解集為x＞﹣．【分析】先根據(jù)題意判斷出a、b的符號(hào)及大小，再代入不等式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵關(guān)于x的不等式ax≤b的解集為x≥2，∴a＜0，b＜0，＝2，∴b＝2a，∵2ax+a＞b+3bx，∴（2a﹣3b）x＞b﹣a，∴（2a﹣6a）x＞2a﹣a，即﹣4ax＞a，∴x＞，即x＞﹣．15．已知關(guān)于x、y的方程組，滿足，則下列結(jié)論：①a≥﹣2；②時(shí)，x＝y(tǒng)；③當(dāng)a＝﹣1時(shí)，關(guān)于x、y的方程組的解也是方程x+y＝2的解；④若y≤1，則a≤﹣1，其中正確的有①②③．（填序號(hào)）【分析】將a當(dāng)成已知數(shù)，求得x，y，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【解答】解：，①+②可得：2x＝2a+6，解得x＝a+3，①﹣②可得：2y＝﹣4a﹣4，解得y＝﹣2a﹣2，由可得：，解得a≥﹣2，①正確．當(dāng)時(shí)，，，∴x＝y(tǒng)，②正確，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，x＝2，y＝0滿足x+y＝2，∴關(guān)于x、y的方程組的解也是方程x+y＝2的解；③正確，由y≤1可得﹣2a﹣2≤1，解得，④錯(cuò)誤．正確的為①②③，故答案為：①②③．16．解不等式．亮亮同學(xué)的解法如下：解：去分母，得3+3x≤4x+1．①移項(xiàng)，得3x﹣4x≤1﹣3．②合并同類項(xiàng)，得﹣x≤﹣2．③兩邊同除以﹣1，得x≥2．④找出亮亮同學(xué)解答中錯(cuò)誤的步驟，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可得到答案．【解答】解：第①步錯(cuò)，去分母得，3+3x≤4x+6，移項(xiàng)得，3x﹣4x≤6﹣3，合并同類項(xiàng)得，﹣x≤3，兩邊同除以﹣1得，x≥﹣3．17．已知關(guān)于a的方程2（a﹣2）＝a+4的解也是關(guān)于x的方程2（x﹣3）﹣b＝7的解．（1）求a、b的值；（2）求出關(guān)于x的不等式的最大整數(shù)解．【分析】（1）根據(jù)同解方程，可得兩個(gè)方程的解相同，根據(jù)第一個(gè)方程的解，可求出第二個(gè)方程中的b；（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．【解答】解；（1）2（a﹣2）＝a+4，2a﹣4＝a+4a＝8，∵x＝a＝8，把x＝8代入方程2（x﹣3）﹣b＝7，∴2（8﹣3）﹣b＝7，b＝3；（2）由（1）可知不等式為8x﹣1，去分母，得：16x﹣2≥18x﹣5﹣6，移項(xiàng)，得：﹣18x+16x≥2﹣5﹣6，合并同類項(xiàng)，得：﹣2x≥﹣9，系數(shù)化為1，得：x≤4.5，∴不等式的最大整數(shù)解為4．18．某貨運(yùn)電梯限重標(biāo)志顯示，載重總質(zhì)量禁止超過(guò)3000kg．現(xiàn)要用此貨運(yùn)電梯裝運(yùn)一批設(shè)備，每套設(shè)備由1個(gè)甲部件和2個(gè)乙部件組成．現(xiàn)已知2個(gè)甲部件和1個(gè)乙部件總質(zhì)量為440kg，3個(gè)甲部件和4個(gè)乙部件質(zhì)量相同．（1）請(qǐng)分別求出1個(gè)甲部件和1個(gè)乙部件的質(zhì)量各是多少千克？（2）每次裝運(yùn)都需要工人裝卸，設(shè)備需要成套裝運(yùn)，現(xiàn)已知裝卸工人總重量為160kg，則貨運(yùn)電梯一次最多可裝運(yùn)多少套設(shè)備？【分析】（1）設(shè)1個(gè)甲部件的質(zhì)量是x千克，1個(gè)乙部件的質(zhì)量是y千克，根據(jù)“2個(gè)甲部件和1個(gè)乙部件總質(zhì)量為440kg，3個(gè)甲部件和4個(gè)乙部件質(zhì)量相同”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)貨運(yùn)電梯一次可裝運(yùn)m套設(shè)備，根據(jù)貨運(yùn)電梯的載重總質(zhì)量禁止超過(guò)3000kg，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)1個(gè)甲部件的質(zhì)量是x千克，1個(gè)乙部件的質(zhì)量是y千克，根據(jù)題意得：，解得：．答：1個(gè)甲部件的質(zhì)量是160千