人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊(cè)專題強(qiáng)化訓(xùn)練01 等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)（30題）（原卷版）

專題第01講等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)一．解答題（共30小題）1．（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點(diǎn)G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．2．（2023春?修水縣期末）在△ABC中，BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若AB＝AC，請(qǐng)判斷△AEF是否是等腰三角形，并說明理由；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為18，BC＝6，求△AEF的周長(zhǎng)．3．（2023春?新泰市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)D，AF⊥AB交BE于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度數(shù)．（2）如圖2，若BD⊥AC，垂足為D，BF＝8，求DF的長(zhǎng)．4．（2023春?淄博期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DF⊥BC于點(diǎn)F，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，（1）試判斷AD、AE的大小關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說明理由．5．（2023春?郫都區(qū)期末）如圖，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分線交于點(diǎn)D，DE∥BN交BC于點(diǎn)E．（解答過程要求寫出每步推導(dǎo)的理由）（1）求∠BDC的度數(shù)；（2）若AB＝AC，求證：AE⊥BC．6．（2023春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的求解過程補(bǔ)充完整如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．解：在線段CD上取一點(diǎn)E，使ED＝BD，連接AE，∵ED＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AE（）．∴＝∠AEB（）．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB+∠AEC＝180°（），∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（），∴∠AEB＝∠EAC+∠C．∴＝∠EAC．∴＝（）．∴AB＝CE（）．∵AB＝6，BD＝2，∴CE＝6，ED＝2．∴CD＝CE+ED＝6+2＝8．7．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)F．①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．8．（2023春?高陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC．過點(diǎn)A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：△ACD為等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度數(shù)．9．（2023春?寶山區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊AC上，且DE＝BE＝AE，延長(zhǎng)線段DE交邊AB于點(diǎn)F．（1）說明△AEF是等腰三角形的理由；（2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．10．（2022秋?祁陽縣期末）（1）操作實(shí)踐：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，請(qǐng)畫出一條直線把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法）（2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B＝24°，若△ABC被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫出相應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值；（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足什么條件？（請(qǐng)你至少寫出兩個(gè)條件，無需證明）11．（2022秋?陽谷縣期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，AC與AB邊上的高BD、CE相交于點(diǎn)O．（1）求證：△OBC是等腰三角形．（2）判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．12．（2022秋?禹州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED和CA，交于點(diǎn)F．（1）求證：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的長(zhǎng)．13．（2022秋?開福區(qū)校級(jí)期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE∥BC．（1）如圖1，求證：△CDE是等腰三角形；（2）如圖2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的長(zhǎng)．14．（2022秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于點(diǎn)E．（1）求證：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度數(shù)．15．（2023春?東港市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．16．（2023春?榆陽區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分線，交AB、BC于點(diǎn)D、E連接CD、AE．求證：（1）△ADC是等邊三角形；（2）點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上．17．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于點(diǎn)C，且DC⊥AB，過C作CE∥DA交DB于點(diǎn)E，連接AE．（1）求證：△ADB是等邊三角形．（2）求證：AE⊥DB．18．（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠DOE的度數(shù)；（3）求證：△MNC是等邊三角形．19．（2022秋?離石區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE＝2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．20．（2023春?畢節(jié)市期末）已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．21．（2022秋?南充期末）如圖，在等邊△ABC中，AC＝12cm，點(diǎn)M以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)N以3cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），設(shè)點(diǎn)M，N同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過幾秒時(shí)△BMN為等邊三角形？（2）在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)過程中，△BMN的形狀能否為直角三角形，若能，請(qǐng)計(jì)算運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說明理由．22．（2022秋?長(zhǎng)清區(qū)期末）如圖，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．（1）求證：△ACD為等邊三角形；（2）求∠BAC的度數(shù)．23．（2022春?林甸縣期末）如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上任一動(dòng)點(diǎn)，將一60°角的頂點(diǎn)置于點(diǎn)D處，它的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊與直線a交于點(diǎn)E．（1）若D恰好在BC的中點(diǎn)上（如圖1）求證：△ADE是等邊三角形；（2）若D為直線BC上任一點(diǎn)（如圖2），其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．24．（2021秋?隨縣期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）求證：BE＝AF．25．（2021秋?白水縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BD，CE交于點(diǎn)F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長(zhǎng)．26．（2021秋?閻良區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長(zhǎng)．27．（2022春?汝州市期末）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)．（答案：40°或70°或100°）張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編的題目如下：變式題：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數(shù)．（1）請(qǐng)你解答上面的變式題．（2）請(qǐng)繼續(xù)探索，完成下面問題：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，則∠B的度數(shù)為60°．（3）根據(jù)以上探索，我們發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到的∠B度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同．請(qǐng)你直接寫出當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí)，∠B能得到三個(gè)不同的度數(shù)．28．（2021秋?臨河區(qū)期末）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且AE＝BD，（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，求證：EC＝ED；（2）當(dāng)點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形；（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請(qǐng)說明理由．29．（2023春?大竹縣校級(jí)期末）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是，△AEF的周長(zhǎng)是（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有2個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．30．（2021秋?大荔縣期末）在Rt△A