河北省衡水中學(xué)高三年級下冊二調(diào)數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析

2016-2017學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（下）二調(diào)數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|x<2},B={y|y=2x-1,xGA},則ACB=（）

A.（-8,3）B.[2,3）C.（-8,2）D.（-1,2）

2.已知復(fù)數(shù)z=l-i（i為虛數(shù)單位），則2-z2的共粗復(fù)數(shù)是（）

z

A.1-3iB.l+3iC.-l+3iD.-1-3i

3.有一長、寬分別為50m、30m的游泳池，一名工作人員在池邊巡視，某時刻出現(xiàn)在池邊任

一位置的可能性相同.一人在池中心（對角線交點(diǎn)）處呼喚工作人員，其聲音可傳出1破4

則工作人員能及時聽到呼喚（出現(xiàn)在聲音可傳到區(qū)域）的概率是（）

A?力看C.箸D.喑

4.宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日

自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a,b分別

為5,2,則輸出的n等于（）

^入a,

A.2B.3C.4D.5

5.已知數(shù)列｛a/的前n項和為Sn，若Sn=l+2an(nB2),且a1=2,則S20()

A.219-1B.221-2C.219+1D.221+2

6.已知圓C：x2+y2=4,點(diǎn)P為直線x+2y-9=0上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB,

A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(J,B.(I，C.(2,0)D.(9,0)

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

ffIKIS

A.4V3B.5V3C.6^30.873

8.設(shè)函數(shù)f(x)=logj_(ax2+2x-l),2+2sinX2x+^-)_,若不論X2取何值，f(xD>g(x2)

2gsinx+V3cosx

對任意X[€喘，卷]總是恒成立，則a的取值范圍為()

A.9/B.Gq)c.嘲,+8)>嚼,4)

9.如圖，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊B3c3上有10個不同的點(diǎn)

Pi，P2，…Pio，記mj=AB2?AP￡(i=l,2,...,10),貝!Jmi+mz+...+mio的值為()

A.180B.6073C.45D.I&/3

10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x,y￡R都有f(x+y)=f(x)+f

(y),若動點(diǎn)P(x,y)滿足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,則x+y的最大值為()

A.2遍-5B.-5C.276+5D.5

數(shù)列滿足且*<-+」-+...+」一,則的整數(shù)部分

11.{ajai=),an+i-l=an(an-l)(nWN*)Sn

3ala2an

的所有可能值構(gòu)成的集合是()

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{0,2}

12.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),。為拋物線的頂點(diǎn)，OAJ_OB,AAOB

的面積是16,拋物線的焦點(diǎn)為F,若M是拋物線上的動點(diǎn)，則料的最大值為()

IMF|

用與告D?零

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

‘2x-y〉5

13.某校今年計劃招聘女教師x人，男教師y人，若x、y滿足卜,則該學(xué)校今年計劃

x<6

招聘教師最多—人.

14.已知函數(shù)￡6)=*2-2乂$加(；乂)+1的兩個零點(diǎn)分別為^0(01<11),則JHl-x2dx=.

15.已知四面體ABCD的每個頂點(diǎn)都在球。的表面上，AB=AC=5,BC=8,AD,底面ABC,G為

△ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為"，則球。的表面積為.

16.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足①f(4)=0；②曲線y=f(x+1)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱;

③當(dāng)時，x若在《［-］上有個零

xG(-4,0)f(x)=log2(~^y+e^rH-l),y=f(x)x4,45

點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍為.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知向量m二(?sin3x,1)，n=(cos^x,cos20)x+1)?設(shè)函數(shù)f(x)=m,n+b.

TT

(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xf-對稱，且u)￡[0,3]時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

6

(2)在(1)的條件下，當(dāng)x€[0,詈]時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值

范圍.

18.如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA,平面ABCD,ZABC=ZBCD=90°,且SA=AB=BC=2CD=2,

E是邊SB的中點(diǎn).

(1)求證：CE〃平面SAD；

(2)求二面角D-EC-B的余弦值大小.

19.某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項目供選擇,

若投資甲項目一年后可獲得的利潤為6(萬元)的概率分布列如表所示：

■110120170

Pm0.4n

且&的期望E(&)=120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤&(萬元)與該項目建設(shè)材料的

成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否受第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價格

調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立，且調(diào)整的概率分別為P(OVpVl)和1-p,乙項目產(chǎn)品價格一年

內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與G的關(guān)系如表所示：

X(次)012

41.2117.6204.0

(1)求m,n的值;

(2)求&的分布列；

(3)根據(jù)投資回報率的大小請你為公司決策：當(dāng)p在什么范圍時選擇投資乙項目，并預(yù)測投

資乙項目的最大投資回報率是多少？(投資回報率=年均利潤/投資總額X100%)

2222

20.如圖，曲線「由曲線G：三+O：l(a〉b>0,y40)和曲線C2：與上f1缶>0)組成，

a2b2a2b2

其中點(diǎn)Fi，F(xiàn)2為曲線J所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F3,F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，

(1)若F2(2,0),F3(-6,0),求曲線「的方程；

(2)如圖，作直線I平行于曲線C2的漸近線，交曲線J于點(diǎn)A、B,求證：弦AB的中點(diǎn)M必

在曲線C2的另一條漸近線上；

(3)對于(1)中的曲線「，若直線k過點(diǎn)F4交曲線J于點(diǎn)C、D,求aCDFi面積的最大值.

(1,f(D)處的切線與直線x+y+l=0垂直.

(H)若對于任意的xe[i,+8),f(x)Wm(x-1)恒成立，求m的取值范圍；

n.

(ffi)求證：m(4n+l)W16￡%一)

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.［選修4-4：坐標(biāo)系

與參數(shù)方程］

22,在平面直角坐標(biāo)系*。丫中，曲線J的參數(shù)方程為(6為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)

x=acos$

方程為(a>b>0,。為參數(shù))，在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,

(y=bsin0

TT

射線I：e=a與Ci，C2各有一個交點(diǎn)，當(dāng)a=0時，這兩個交點(diǎn)間的距離為2,當(dāng)a=專時，這兩

個交點(diǎn)重合.

(I)分別說明C1，C2是什么曲線，并求a與b的值；

JT7T

(口)設(shè)當(dāng)a=；時，I與J,C2的交點(diǎn)分別為AI，Bi，當(dāng)a=-二/時，I與J,C?的交點(diǎn)分別

44

為A2，B2，求直線A1A2、B1B2的極坐標(biāo)方程.

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)函數(shù)f(x)=x-a,a<0.

(I)證明f(x)+f(--)22；

X

(□)若不等式f(x)+f(2x)v,的解集非空，求a的取值范圍.

2016-2017學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三(下)二調(diào)數(shù)學(xué)試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|x<2},B={y|y=2x-1,xGA},則ACB=()

A.(-8,3)B.[2,3)C.(-8,2)D.(-1,2)

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】由指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，化簡集合B,再由交集的定義，即可得到所求.

【解答】解：集合A={x|x<2}=(-8,2),B={y|y=2x-1,x《A},

由xV2,可得y=2x-lW(-1,3),

即B={y|-l<y<3}=(-1,3),

則AAB=(-1,2).

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z=l-i(i為虛數(shù)單位)，則2-z2的共規(guī)復(fù)數(shù)是()

Z

A.1-3iB.l+3iC.-l+3iD.-1-3i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】把Z代入2_z2,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

Z

【解答]解：；Z=1-i,-z2=7^-(1-i)2i=l+3i.

Z1-1U-1Jkl+lj

??.■l—z2的共輒復(fù)數(shù)為1-3i.

故選：A.

3.有一長、寬分別為50m、30m的游泳池，一名工作人員在池邊巡視，某時刻出現(xiàn)在池邊任

一位置的可能性相同.一人在池中心(對角線交點(diǎn))處呼喚工作人員，其聲音可傳出1圾4

則工作人員能及時聽到呼喚(出現(xiàn)在聲音可傳到區(qū)域)的概率是()

A.3B.WC.二D.生絲

481632

【考點(diǎn)】幾何概型.

【分析】由題意可知所有可能結(jié)果用周長160表示，事件發(fā)生的結(jié)果可用兩條線段的長度和

60表示，即可求得.

【解答】解：當(dāng)該人在池中心位置時，呼喚工作人員的聲音可以傳lW^ir，那么當(dāng)構(gòu)成如圖所

示的三角形時，工作人員才能及時的聽到呼喚聲，

所有可能結(jié)果用周長160表示，事件發(fā)生的結(jié)果可用兩條線段的長度和60表示,

故選B.

4.宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日

自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a,b分別

為5,2,則輸出的n等于（）

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模

擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：當(dāng)n=l時，a=萼，b=4,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,

當(dāng)n=2時，a=尊，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

當(dāng)n=3時，a=雪，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

O

當(dāng)n=4時，a=罌，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

16

故輸出的n值為4,

故選C.

5.已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn，若Sn=l+2an(n22),且ai=2,則S20()

A.219-1B.221-2C.219+1D.221+2

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式求和公式即可得出.

【解答】解：?.?Sn=l+2ari(n22),且ai=2,；.n22時,an=Sn-Sn.i=l+2an-(l+2an-i),化為：

=

an2an-1，

.??數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，公比與首項都為2.

22。二DR-2.

2-1

故選：B.

6.已知圓C：x2+y2=4,點(diǎn)P為直線x+2y-9=0上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB,

A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(J,B.(I，C.(2,0)D.(9,0)

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P(9-2m,m),由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的

圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線

AB過的定點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：因為P是直線x+2y-9=0的任一點(diǎn)，所以設(shè)P（9-2m,m）,

因為圓x?+y2=4的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,

所以O(shè)A_LPA,0B1PB,

則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓。和圓C的公共弦，

22

則圓心C的坐標(biāo)是（上碧，白），且半徑的平方是汽=色紅1±1_,

224

22

所以圓C的方程是（X-生答）2+（y-i）2=（絲辿坯①

224

又x2+y2=4,②，

②-①得，（2m-9）x-my+4=0,即公共弦AB所在的直線方程是：（2m-9）x-my+4=0,

即m(2x-y)+(-9x+4)=0,

2x，=0得x],

由

-9x+4=09

所以直線AB恒過定點(diǎn)（胃，I）,

99

故選A.

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯次圖

A.隊行B.W^C.6V3D.85/3

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積.

【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和

一個以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，代入棱錐和棱柱的體積公式，可

得答案.

【解答】解：由已知中的三視圖，可得：

該幾何體是一個以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個以俯視圖右上角的三角形為

底面的三棱柱相加的組合體，

棱錐和棱柱的底面面積均為：S=，X2X仔愿，高均為h=3,

故組合體的體積V=Sh+±Sh=4代，

故選：A

8.設(shè)函數(shù)f(x)=logj_(ax2+2x-l),2+2sin(2x母),若不論x2取何值，f(刈)>g(x2)

2gsinx+V3cosx

對任意3，楙］總是恒成立，則a的取值范圍為()

A.9B.9,卷C.(若，+8)D.濯，春

XUDOUSUD

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題.

TT

【分析】利用三角恒等變換化簡得g(x)=2sin(x+g)W2,依題意可得f(Xi)min>g(x2)

max=2,即當(dāng)?時，0Vax2+2x-lvg恒成立，通過分類討論，即可求得a的取值范圍.

1024

rJT.7T、r

2+2cos(2X+-T")]

【解答】解：?.?函數(shù)《)=1。8上32+2乂-1)2+2sin(2x4^-)___________乙b

g(x)=-2(--sinx+-^-cosx)

2sinx+>/3cosx

9n2

2-2cos(2x+o)2sin(x1r

---------------------------=---------------------=2sin(x+—)W2,即g(X)max=2，

7T7T3

2sin(x+-^-)sin(x+-y)

因為不論X2取何值，f(Xi)>g(X2)對任意xR［木，1?］總是恒成立,

所以f(Xi)min>g(X2)max，

即對任意xcjg，1?］，logJaxZ+Zx-Dx恒成立,

iUZ2

即當(dāng)工?時，0Vax2+2x-1〈與恒成立，

1024

1。由ax?+2x-IV4導(dǎo)：ax2<--2x,即aV-^y--反（!-且）2-里,

444xzx4x55

令h（X）=4（工-當(dāng)2-卷,

4x55

因為

3x7

所以‘當(dāng)W時」h（X）?-春故a（十

122

2°由0<ax2+2x-1得:

12n

令t（X）=（X）---1）2-1,

XXX

因為太％孚

3x7

所以，當(dāng)乂=.即，t（當(dāng)=-1）2-1=8

239

當(dāng)X唱，即產(chǎn)涉，"+=（半-1）23翳，顯然'-4-0>、--8

499

即[t（x）]max=-黑，故a>-黑；

4949

綜合1。2。知，-黑VaV-言，

495

故選：D.

9.如圖，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊B3c3上有10個不同的點(diǎn)

Pi，P2，...Pio，記rrii=AB2*APX（i=l,2,,10）,則mi+m2+...+mio的值為（）

A.180B.60/3C.45D.1573

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】由題意可得碼IB3C；,然后把皿=西?恒轉(zhuǎn)化為福求得答案.

【解答】解：由圖可知，ZB2AC3=30°,又NAC3B3=60。，

AB?_LB3c3，即AB2，B3c3=0.

則％=成?匹=麗(成+,3、；)二項?/=2?X6X亭=18,

/.mi+m2+...+mio=18X10=180.

故選：A.

10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x,yeR都有f(x+y)=f(x)+f

(y),若動點(diǎn)P(X,y)滿足等式f(X2+2X+2)+f(y2+8y+3)=0,則x+y的最大值為()

A.2遍-5B.-5C.2遍+5D.5

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】由條件可令x=y=0,求得f(0)=0,再由f(x)為單調(diào)函數(shù)且滿足的條件，將f(x2+2x+2)

+f(y2+8y+3)=0化為f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),可得x2+y2+2x+8y+5=0,配方后，再令x=

-1+2J5cosa,y=-4+2jmina(aG(0,2n)),運(yùn)用兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，

即可得到所求最大值.

【解答】解：對任意的x,yeR都有f(x+y)=f(x)+f(y),

令x=0,y=o>都有f(0+0)=f(0)+f(0)=>f(0)=0,

動點(diǎn)P(x,y)滿足等式f(x?+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,

即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),

由函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，

可得x2+y2+2x+8y+5=0,

化為(x+1)2+(y+4)2=12,

可令x=-1+2A/5cosa,y=-4+2V3sina(aG(0,2n)),

則x+y=2依(cosa+sina)-5

lJl

=2,6cos(a--)-5,

當(dāng)cos(a--y-)=1即。=多時,x+y取得最大值2%-5,

故選：A.

11.數(shù)列｛aj滿足ai=言，an,i-l=an(an-1)(n《N*)且Sn==f=二+…+白，則Sn的整數(shù)部分

3aia2an

的所有可能值構(gòu)成的集合是()

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{0,2}

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.

2

【分析】數(shù)列屈}滿足ai=*an-i-l=an(an-1)(n^N*).可得：an+i-an=(an-l)>0,可

J

得：數(shù)列{an}單調(diào)遞增.可得a2=W，a3=譽(yù)，24=鬻匚9丁=需>1，三不=器〈「另

9816561^315216916

一方面：TTT-二，可得

anan1an+l1

z11xz1lxz11、14、

S=(-------丁)+(----丁)+..?+(；7")=3-7，對n=l,2,3,n，4,

n-1a-1a_1

a「la22a3Tna肝「1an+i-1

分類討論即可得出.

【解答】解：,數(shù)列{an}滿足ai=￡,an+i-l=an(an-1)(n6N*).

o

可得：an+l-an=(an-l)2>0,；.an-i>an,因此數(shù)列{aj單調(diào)遞增.

則a2-14x(%l),可得a2=與，同理可得：a3=^,a4=搐匚

339816561

1—81.._J____6561^1

-a--

a3-l524~16916

另一方面：4=三不一1=?，

anan1an+l1

111,11、,11、,11、]

ala2anal-1a2-1a2-1a3-1an-1ad「1a「l

f3—-

an+lTan+l

當(dāng)n=l時，Si=—=4.其整數(shù)部分為0;

314

當(dāng)n=2時，S2=%*1+||,其整數(shù)部分為1；

當(dāng)n=3時，S3=%去■備2+著-,其整數(shù)部分為2；

4131336561

1

當(dāng)n24時，Sn=2+1---~re(2,3),其整數(shù)部分為2.

&n+lT

綜上可得：Sn的整數(shù)部分的所有可能值構(gòu)成的集合是{0,1,2}.

故選：A.

12.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),。為拋物線的頂點(diǎn)，OAJ_OB,AAOB

|0M

的面積是16,拋物線的焦點(diǎn)為F,若M是拋物線上的動點(diǎn)，則的最大值為()

IMF

A返B.逅C.D.

3333

【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).

【分析】設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(xi，yi),B(x2,y2),利用OA=OB可求得x】=X2,

進(jìn)而可求得AB=4p,從而可得SMAB.設(shè)過點(diǎn)N的直線方程為y=k(x+1),代入y2=4x,過M作

準(zhǔn)線的垂線，垂足為A,則|MF|=|MA|,考慮直線與拋物線相切及傾斜角為0。，即可得出p.設(shè)

M到準(zhǔn)線的距離等于d,由拋物線的定義，化簡為瞿一粵L』+磐,換元，利用基本不

照dV(irH-l)2

等式求得最大值.

【解答】解：設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,丫2),則y/=2pxi,yz2=2px2.

由OA=OB得：xi2+yi2=X22+y22,

/.Xi2-X22+2pxi-2px2=0,HR(xi-X2)(xi+xz+2p)=0,

Vxi>0,x2>0,2p>0,

「?Xi=X2,即A,B關(guān)于x軸對稱.

???直線。A的方程為：y=xtan45°=x,

與拋物線聯(lián)立，解得上;或代，，

1y=0[y=2p

故AB=4p,

2

.?.SAOAB=yX2pX4p=4p.

?.?△AOB的面積為16,，p=2；

焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)M(m,n),則r)2=4m,m>0,設(shè)M到準(zhǔn)線x=-1的距離等于d,

則附用唇

令m+l=t,t>l,則犒一卜今總產(chǎn)居w手(當(dāng)且僅當(dāng)t=3時，等號成立).

故耦的最大值為竽，

故選C.

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

’2x-y〉5

13.某校今年計劃招聘女教師x人，男教師y人，若x、y滿足xr42,則該學(xué)校今年計劃

x<6

招聘教師最多10人.

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，則目標(biāo)函數(shù)為z=x+y,利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解

即可.

【解答】解:^z=x+y,

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=x+y得y=-x+z,

平移直線y=-x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A時，

直線y=-x+z的截距最大，

此時z最大.但此時z最大值取不到，

由圖象當(dāng)直線經(jīng)過整點(diǎn)E(5,5)時，z=x+y取得最大值，

代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=5+5=10.

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為10.

故答案為：10.

14.已知函數(shù)f(x)=J-2xsin(-了x)+1的兩個零點(diǎn)分別為m、n(mVn),則J7dx劣

71

【考點(diǎn)】定積分；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【分析】先求出m,n,再利用幾何意義求出定積分.

【解答】解：7?函數(shù)f(x)=x2-2xsin(”-x)+l的兩個零點(diǎn)分別為m、n(m<n),

??m=-1,n=1,

，JNl-x2dx=J2dx卷兀-12=^-.

故答案為

15.已知四面體ABCD的每個頂點(diǎn)都在球。的表面上，AB=AC=5,BC=8,ADJ_底面ABC,G為

△ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為《則球。的表面積為駕匚.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【分析】求出4ABC外接圓的直徑，利用勾股定理求出球。的半徑，即可求出球。的表面積.

【解答】解：由題意，AG=2,AD=1,

?_/CA_25+25-64_7/A<-_24

cos/BAC=2x5x5=_而'°.sinNBNAC=元,

.,.△ABC外接圓的直徑為2r=存孕,

去3

設(shè)球。的半徑為R,，R=

...球。的表面積為嗎匚，

故答案為駕二.

16.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足①f(4)=0；②曲線y=f(x+1)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱;

X

③當(dāng)xG(-4,0)時，f(x)=log2(~^y+e-nH-l),若y=f(x)在x《［-4,4］上有5個零

點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍為［-3e“，1)U{-小}.

【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【分析】可判斷f(x)在R上是奇函數(shù)，從而可化為當(dāng)xe(-4,0)時，

x

f(x)=log2(―^j-+e-m1-l),有1個零點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為xex+ex-m=0在(-4,0)上有1個不

同的解，再令g(x)=xex+ex-m,從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，從而解得.

【解答】［-3e31)u{-e2}

解：?.?曲線y=f(x+1)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱；

曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱；(x)在R上是奇函數(shù)，

/.f(0)=0,又』(4)=0,Af(-4)=0,

而y=f(x)在x￡［-4,4］上恰有5個零點(diǎn)，

故xd(-4,0)時，f(x)=lo§2(—釬有］.個零點(diǎn)，

xx

x￡(-4,0)時f(x)=log2(xe+e-m+1),

故xex+ex-m=0在(-4,0)上有1個不同的解，

令g(x)=xex+ex-m,

gz(x)=ex+xex+ex=ex(x+2),

故g(x)在(-4,-2)上是減函數(shù)，在(-2,0)上是增函數(shù)；

2-2

而g(-4)=-4e4+e4-m,g(o)=1-m=-m,g(-2)=-2e+e-m,

而g(-4)<g(0),

故-2e這+e2-m-l<0<-4e4+e4-m-1,

故-3e4^m<l或m=-e2

故答案為：[-3e-4,1)U{-e-2}

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知向量x,1)，n=(cosWx,cos2Wx+1)，設(shè)函數(shù)f(x)二％+b.

(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xTfT對稱，且3W[0,3]時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)x€[0,*]時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值

范圍.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解出函數(shù)f(x)=2G+b，利用函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于

直線XT4T對稱，且3￡[0,3]時，求解3,可求函數(shù)f(X)的單調(diào)增區(qū)間.

0

(2)當(dāng)x€[0,時，求出函數(shù)f(X)的單調(diào)性，函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)，利用其

單調(diào)性求解求實數(shù)b的取值范圍.

【解答】解：向量m=(6sin3x,1)>n=(cosWx,cos2Wx+1)?函數(shù)f(x)==，；+b.

則

V3i3

f(x)=in,1n+b^VSsinxcosCOx+cos3x+l+bsin23x+,cos23x+1+b

2

sin(2^

TT

(1)?.?函數(shù)f(X)圖象關(guān)于直線對稱，

0

.TT兀兀/1r、

??23?)+7?=k兀+F~(k￡Z)，

662

解得:u)=3k+l(kez),

Va)e[0,3],

u)=l,

K3

??f(x)=sin(2x+-^~)-Ky+b，

解得：k九兀+■卷(k￡Z),

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［k兀TTT，k兀+T：T］(kez).

36

TT2

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+~x)七7+b，

bZ

???xEEo.旨，

??.2乂亭小，寫],

663

?**2x+:W，■?-]?即x€[0,時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

6626

2x+-^-E冬即x€三弓~]時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

bZJbiz

TT

又f(O)=f(.)，

.??當(dāng)(2)或f(3)=0時函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn).

o1Zo

即sing^W-b-半弋m書-或l+-^-+b=0?

所以滿足條件的b￡(-2,與與U{￡}?

18.如圖,已知四棱錐S-ABCD中，SA_L平面ABCD,ZABC=ZBCD=90°,且SA=AB=BC=2CD=2,

E是邊SB的中點(diǎn).

(1)求證：CE〃平面SAD；

(2)求二面角D-EC-B的余弦值大小.

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定.

【分析】（1）取SA中點(diǎn)F,連結(jié)EF,FD,推導(dǎo)出四邊形EFDC是平行四邊形，由此能證明CE

〃面SAD.

（2）在底面內(nèi)過點(diǎn)A作直線AM〃BC,則AB_LAM,以AB,AM,AS所在直線分別為x,y,z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值.

【解答】證明：（1）取SA中點(diǎn)F,連結(jié)EF,FD,

1E是邊SB的中點(diǎn)，

；.EF〃AB,且EF==AB,

XVZABC=ZBCD=90°,

；.AB〃CD,

又?.,AB=2CD,且EF=CD,

...四邊形EFDC是平行四邊形，

，F(xiàn)D〃EC,

又FDu平面SAD,CEC平面SAD,

；.CE〃面SAD.

解：(2)在底面內(nèi)過點(diǎn)A作直線AM〃BC,則AB_LAM,

又SAJ_平面ABCD,

以AB,AM,AS所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(1,2,0),D(1,2,0),E(1,0,1),

則前=(0,2,0),BE=(-1,0,1),(-1,0,),eg=(-1,-2,1),

設(shè)面BCE的一個法向量為奈(x,y,z),

則b?嚀2尸0

,取x=l,得旨（1，0,1）,

,n*BE=-x+z=0

同理求得面DEC的一個法向量為涓（0,1,2）,

cos<n,合=苦"?VTo

In|"Im|

由圖可知二面角D-EC-B是鈍二面角,

二面角D-EC-B的余弦值為-Y里.

5

19.某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項目供選擇,

若投資甲項目一年后可獲得的利潤為h（萬元）的概率分布列如表所示：

5110120170

Pm0.4n

且h的期望E（&）=120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤6（萬元）與該項目建設(shè)材料的

成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否受第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價格

調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立，且調(diào)整的概率分別為P（0<p<l）和1-p,乙項目產(chǎn)品價格一年

內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次）與&的關(guān)系如表所示：

X（次）012

&41.2117.6204.0

（1）求m,n的值；

（2）求&的分布列；

（3）根據(jù)投資回報率的大小請你為公司決策：當(dāng)p在什么范圍時選擇投資乙項目，并預(yù)測投

資乙項目的最大投資回報率是多少？（投資回報率=年均利潤/投資總額X100%）

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【分析】（1）利用概率和為1,期望值列出方程組求解即可.

（2）&的可能取值為41.2,117.6,204.0,求出概率，得到&的分布列；

（3）利用期望關(guān)系，通關(guān)二次函數(shù)求解最值即可.

firrl-O.4+n=l

【解答】解：(1)由題意得:1110in+120X0.4+170n=12C，

得：m=0.5,n=0.1.

(2)6的可能取值為41.2,117.6,204.0,P(&=41.2)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p)

22

P(g2=117.6)=p[l-(l-p)]+(l-p)(l-p)=p+(l-p)

P(^2=204.0)=p(1-p)

所以&的分布列為

41.2117.6204.0

PP(1-p)P2+(1-p)2P(1-p)

22

(3)由(2)可得：E(2)=41.2Xp(l-p)+117.6X[p+(l-p)]+204.0Xp(l-p)=-

10p2+10p+117.6

根據(jù)投資回報率的計算辦法，如果選擇投資乙項目，只需E(￡i)<E(&)，

即120<-10p2+10p+117.6,得0.4<p<0.6.

2

因為E(￡2)=-10p+10p+117.6，

所以當(dāng)P弓時，E(&)取到最大值為120.1,

所以預(yù)測投資回報率的最大值為12.01%.

2222

20.如圖，曲線「由曲線Ci：廣1(a〉b〉0,y《0)和曲線C2：尸1(y>0)組成,

a2b2a2b2

其中點(diǎn)Fi，F(xiàn)2為曲線J所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F3,F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，

(1)若F2(2,0),F3(-6,0),求曲線「的方程；

(2)如圖，作直線I平行于曲線C2的漸近線，交曲線J于點(diǎn)A、B,求證：弦AB的中點(diǎn)M必

在曲線C2的另一條漸近線上；

(3)對于(1)中的曲線「，若直線li過點(diǎn)F4交曲線J于點(diǎn)C、D,求ACDFI面積的最大值.

y

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題.

【分析】⑴由F2(2,0),F3(-6,0),可得a+b=36,解出即可；

.a-b^=4

(2)曲線C2的漸近線為y=±卜乂，如圖，設(shè)點(diǎn)A(Xi，yi),B(X2，丫2),M(Xo>yo)>設(shè)直線

a

I：y=—(x-m)>與橢圓方程聯(lián)立化為2x2-2mx+(m2-a2)=0,

a

利用△>(),根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，只要證明yo=《xo,即可.

22

(3)由(1)知，曲線Ci：金+猾：i(y<o)，點(diǎn)F4(6,0).設(shè)直線k的方程為x=ny+6(n>

0).與橢圓方程聯(lián)立可得(5+4?)y2+48ny+64=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形

的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】(1)解:VF2(2,0),F3(-6,0),

a2+b2=36

22

ua-b=4

a2=20

解得

>2=16

2222

則曲線「的方程為去+*l(y40)和徐■書

ZUlbZUlb

(2)證明：曲線C2的