初中函數(shù)復(fù)習(xí)

正比例函數(shù)的概念

一般地，兩個(gè)變量X,y之間的關(guān)系式可以表示成形如丫=1?（k為常數(shù)，且k=0）的函數(shù)，那么y

就叫做x的正比例函數(shù)。

正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，但一次函數(shù)卻不一定是正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形

式，即一次函數(shù)y=kx+b中，若b=0,即所謂“y軸上的截距”為零，則為正比例函數(shù)。正比例函

數(shù)的關(guān)系式表示為：y=kx（k為比例系數(shù)）

當(dāng)K>0時(shí)（一三象限），K越大，圖像與y軸的距離越近。函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大.

當(dāng)K<0時(shí)（二四象限），k越小，圖像與y軸的距離越近。自變量x的值增大時(shí)，y的值則逐漸

減小.

［編輯本段］正比例函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：R（實(shí)數(shù)集）

2.值域：R（實(shí)數(shù)集）

3.奇偶性：奇函數(shù)

4.單調(diào)性：當(dāng)k〉0時(shí)，圖象位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調(diào)遞增）；當(dāng)k〈0時(shí)，

圖象位于第二、四象限，y隨x的增大而減?。▎握{(diào)遞減）。

5.周期性：不是周期函數(shù)。

6.對稱軸：直線，無對稱軸。

［編輯本段］正比例函數(shù)解析式的求法

設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y=kx（k=0）,將已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶入上式得到k,即可求出正比例函

數(shù)的解析式。

另外，若求正比例函數(shù)與其它函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，則將兩個(gè)已知的函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，求出

其x,y值即可。

［編輯本段］正比例函數(shù)的圖像

正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）和定點(diǎn)（x,kx）兩點(diǎn)的一條直線，它的斜率是k,橫、

縱截距都為0。

［編輯本段］正比例函數(shù)圖像的作法

1.在x允許的范圍內(nèi)取一個(gè)值，根據(jù)解析式求出y值

2.根據(jù)第一步求的x、y的值描出點(diǎn)

3.做過第二步描出的點(diǎn)和原點(diǎn)的直線

［編輯本段］正比例函數(shù)的應(yīng)用

正比例函數(shù)在線性規(guī)劃問題中體現(xiàn)的力量也是無窮的。

比如斜率問題就取決于K值，當(dāng)K越大，則該函數(shù)圖像與x軸的夾角越大，反之亦然

還有，y=kx是y=k/x的圖像的對稱軸。

①正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)

的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系.①用字

母表示：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關(guān)系可以

用以下關(guān)系式表示：

②正比例關(guān)系兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律：對于比值為正數(shù)的，即y=kx（k〉O）,此時(shí)的y與x,同時(shí)

擴(kuò)大，同時(shí)縮小，比值不變.例如：汽車每小時(shí)行駛的速度一定，所行的路程和所用的時(shí)間是否成

正比例？

以上各種商都是一定的，那么被除數(shù)和除數(shù).所表示的兩種相關(guān)聯(lián)的量，成正比例關(guān)系.注意:

在判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例時(shí)應(yīng)注意這兩種相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量，隨著另一種的

變化而變化，但它們相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值不一定，它們就不能成正比例.例如：一個(gè)人的年齡和

它的體重，就不能成正比例關(guān)系，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關(guān)系。

［編輯本段］反比例函數(shù)的定義

一般地，如果兩個(gè)變量X、y之間的關(guān)系可以表示成丫=卜/乂（k為常數(shù)，k=0）的形式，那么稱y

是x的反比例函數(shù)。

因?yàn)閥=k/x是一個(gè)分式，所以自變量X的取值范圍是XW0。而y=k/x有時(shí)也被寫成xy=k或y=kx-1。

［編輯本段］反比例函數(shù)表達(dá)式

y=k/x其中X是自變量，Y是X的函數(shù)

y=k/x=k,1/x

xy=k

y=k,x-1

y=k\x（k為常數(shù)數(shù)#0）,x不等于0）

［編輯本段］反比例函數(shù)的自變量的取值范圍

①kW0;②一般情況下，自變量x的取值范圍是xW0的一切實(shí)數(shù)；③函數(shù)y的取值范

圍也是一切非零實(shí)數(shù).

［編輯本段］反比例函數(shù)圖象

反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線，

曲線越來越接近X和Y軸但不會(huì)相交（KW0）。

［編輯本段］反比例函數(shù)性質(zhì)

1.當(dāng)k〉0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k〈0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限。

2.當(dāng)k〉0時(shí).在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k〈0時(shí)，在同一個(gè)象限，y隨x的增大而

增大。

k>0時(shí)，函數(shù)在x〈0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k〈0時(shí)，函數(shù)在x〈0上為增函數(shù)、在x>0

上同為增函數(shù)。

定義域?yàn)閤WO；值域?yàn)閥WO。

3.因?yàn)樵趛=k/x（kWO）中，x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交,

也不可能與y軸相交。

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)P,Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍

成的矩形面積為SI,S2則S1=S2=|K|

5.反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=xy=-x（即第一

三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。

6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號(hào)），那么AB兩點(diǎn)關(guān)于原

點(diǎn)對稱。

7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n,要使它們有公共交點(diǎn)，則b2+4k?mN（不

小于）0o

8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。

［編輯本段］反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例

【例1】反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)P（m,n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程t2-3t+k=0的兩

根，且P到原點(diǎn)的距離為根號(hào)13,求該反比例函數(shù)的解析式.

分析：

要求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k,為此我們就需要列出一個(gè)關(guān)于k的方程.

解：：m,n是關(guān)于t的方程t2-3t+k=0的兩根

m+n=3,mn=k,

又P0二根號(hào)13,

m2+n2=13,

（m+n）2-2mn=13,

，9-2k=13.

/.k=-2

當(dāng)k=-2時(shí)，△=9+8>0,

k=-2符合條件，

【例2】直線與位于第二象限的雙曲線相交于A、A1兩點(diǎn)，過其中一點(diǎn)A向x、y軸作垂線，垂

足分別為B、C,矩形ABOC的面積為6,求：

（1）直線與雙曲線的解析式；

（2）點(diǎn)A、A1的坐標(biāo).

分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點(diǎn)到x軸和y軸的垂線段，

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n）,則AB=|n|,AC=|m|,

根據(jù)矩形的面積公式知|m-n=6.

【例3】如圖，在的圖象上有A、C兩點(diǎn)，分別向x軸引垂線，垂足分別為B、D,連結(jié)OC,0A,

設(shè)0C與AB交于E,記AAOE的面積為S1,四邊形BDCE的面積為S2,試比較S1與S2的大小.

［編輯本段］數(shù)學(xué)術(shù)語

【讀音】ylcihdnshu

【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地，在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量X和Y,并且對于x每一個(gè)

確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說X是自變量，y是x的函數(shù)。表示為y=Kx

+b（其中b為任意常數(shù),k不等于0）,當(dāng)b=0時(shí)稱y為x的正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)

中的特殊情況?？杀硎緸檠?1?

［編輯本段］基本定義

變量：變化的量

常量：不變的量

自變量x和X的一次函數(shù)y有如下關(guān)系：

y=kx+b（k為任意不為零常數(shù)，b為任意常數(shù)）

當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，y有且只有一個(gè)值與x對應(yīng)。如果有2個(gè)及以上個(gè)值與x對應(yīng)時(shí)，就不是一次

函數(shù)。

x為自變量，y為因變量，k為常量，y是x的一次函數(shù)。

特別的，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx（k為常量，但KW0）正比例函數(shù)圖像經(jīng)過

原點(diǎn)。

定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實(shí)際相符合。

［編輯本段］相關(guān)性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)

1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（kWO）（k不等于0,且k,b為常數(shù)）

2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的，坐標(biāo)為（0,b）.

3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tan?（角0為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角，@W90°）

形、取、象、交、減。

4.當(dāng)b=0時(shí)（即y=kx）,一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖像相交；當(dāng)k互

為負(fù)倒數(shù)時(shí)，兩直線垂直；當(dāng)k,b都相同時(shí)，兩條直線重合。

圖像性質(zhì)

1.作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟

(1)列表

(2)描點(diǎn)；［一般取兩個(gè)點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的道理］;

(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并

連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是-k分之b與0,0與b)

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x,y),都滿足等式：y=kx+b(kW0)。(2)一次函

數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像都是過原點(diǎn)。

3.函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

4.k,b與函數(shù)圖像所在象限：

y=kx時(shí)(即b等于0,y與x成正比例)：

當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大;

當(dāng)k<0時(shí)，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b時(shí)：

當(dāng)k>0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限。

當(dāng)k>0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限。

當(dāng)k<0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限。

當(dāng)k<0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限。

當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過第一、二象限；

當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過第三、四象限。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)0(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過第一、三象限，不會(huì)通過第二、四象限。當(dāng)k<0時(shí)，直線只通過

第二、四象限，不會(huì)通過第一、三象限。

4、特殊位置關(guān)系

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中K值(即一次項(xiàng)系數(shù))相等

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)(即兩個(gè)K值的乘積為-1)

［編輯本段］表達(dá)式

解析式類型

①ax+by+c=0［一般式］

②y=kx+b［斜截式］

(k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0)

③y-yl=k(x-xl)［點(diǎn)斜式］

(k為直線斜率，(xl,yl)為該直線所過的一個(gè)點(diǎn))

④(y-yl)/(y2-yl)=(x-xl)/(x2-xl)［兩點(diǎn)式］

((xl,yl)與(x2,y2)為直線上的兩點(diǎn))

⑤x/a-y/b=0［截距式］

(a、b分別為直線在x、y軸上的截距)

解析式表達(dá)局限性：

①所需條件較多(3個(gè))；

②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線(平行于x軸的直線)；

④參數(shù)較多，計(jì)算過于煩瑣；

⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點(diǎn)的直線。

傾斜角：X軸到直線的角(直線與X軸正方向所成的角)稱為直線的傾斜角。設(shè)一直線的傾斜角

為a,則該直線的斜率女?8色)

［編輯本段］常用公式

1.求函數(shù)圖像的k值：(yl-y2)/(xl-x2)

2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|xl-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|yl-y2|/2

4.求任意線段的長：V(xl-x2)*2+(yl-y2)"2(注：根號(hào)下(xl-x2)與(yl-y2)的平方和)

5.求兩個(gè)一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式

兩個(gè)一次函數(shù)yl=klx+bly2=k2x+b2令yl=y2得klx+bl=k2x+b2將解得的x=xO值代回

yl=klx+bly2=k2x+b2兩式任一式得到y(tǒng)=yO則(xO,yO)即為yl=klx+bl與y2=k2x+b2交點(diǎn)坐標(biāo)

6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：［(xl+x2)/2,(yl+y2)/2］

7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：(X-xl)/(Xl-x2)=(Y-yl)/(yl-y2)(其中分母為0,則

分子為0)

xy

++在第一象限

+-在第四象限

-+在第二象限

--在第三象限

8.若兩條直線yl=klx+blIIy2=k2x+b2,那么kl=k2,bl#b2

9.如兩條直線yl=klx+bl_Ly2=k2x+b2,那么klXk2=-l

10.

y=k(x-n)+b就是向右平移n個(gè)單位

y=k(x+n)+b就是向左平移n個(gè)單位

口訣：右減左加(對于y=kx+b來說，只改變k)

y=kx+b+n就是向上平移n個(gè)單位

y=kx+b-n就是向下平移n個(gè)單位

口訣：上加下減(對于y=kx+b來說，只改變b)

［編輯本段］相關(guān)應(yīng)用

生活中的應(yīng)用

1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。S=Vto

2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S?g=S-ft?

3.當(dāng)彈簧原長度b(未掛重物時(shí)的長度)一定時(shí)，彈簧掛重物后的長度y是重物重量x的一次函

數(shù)，即丫=1?+6(k為任意正數(shù))

數(shù)學(xué)問題

一、確定字母系數(shù)的取值范圍

例1已知正比例函數(shù)，則當(dāng)k〈0時(shí)，y隨x的增大而減小。

解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得且水0,即且，所以。

二、比較x值或y值的大小

例2.已知點(diǎn)Pl(xl,yl)、P2(x2,y2)是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且yl〉y2,則

xl與x2的大小關(guān)系是()

A.xl>x2B.xl<x2C.xl=x2D.無法確定

解：根據(jù)題意，知k=3〉0,且yl〉y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k〉0時(shí)，y隨x的增大而增大”，

得xl>x2。故選A。

三、判斷函數(shù)圖象的位置

例3.一次函數(shù)y=kx+b滿足kb〉O,且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：由kb>0,知k、b同號(hào)。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k〈0。所以b〈0。故一次函數(shù)y=kx+b

的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限。故選A.

典型例題

例1.一個(gè)彈簧，不掛物體時(shí)長12cm,掛上物體后會(huì)伸長，伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.

如果掛上3kg物體后，彈簧總長是13.5cm,求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)

關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm,求自變量x的取值范圍.

分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題，同時(shí)也是實(shí)際問題，其核心是彈簧的總長

是空載長度與負(fù)載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長一最大伸長一最大質(zhì)量

及實(shí)際的思路來處理.

解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12

則13.5=3k+12,得k=0.5

，所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：x=22

自變量x的取值范圍是0WxW22

例2某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學(xué)校自刻，除租用刻錄機(jī)

120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較??？

此題要考慮X的范圍

解:設(shè)總費(fèi)用為Y元，刻錄X張

電腦公司：Y1=8X

學(xué)校：Y2=4X+120

當(dāng)X=30時(shí)，Y1=Y2

當(dāng)X〉30時(shí)，Y1〉Y2

當(dāng)X<30時(shí)，YKY2

【考點(diǎn)指要】

一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析

式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級(jí)知識(shí)點(diǎn).它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、

方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左

右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

例3如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2WxW6,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是TlWyW9.求此

函數(shù)的的解析式。

解：

(1)若k>0,則可以列方程組-2k+b=-ll

6k+b=9

解得k=2.5b=-6,則此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x-6

(2)若k<0,則可以列方程組—2k+b=9

6k+b=-ll

解得k=-2.5b=4,則此時(shí)的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4

【考點(diǎn)指要】

此題主要考察了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，若k>0,則y隨x的增大而增大；若k<0,則y隨x的

增大而減小。

定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式：1：y=ax-2;+bx+c（aW0,a、b、c為常數(shù)），則稱y為x的二次函

數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b/2a,（4ac-b,2）/4a）

2：頂點(diǎn)式：y=a（x-h）~2+k或y=a（x+m）~2+k（兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)一樣，

但初中課本上都是第一個(gè)式子）

3：交點(diǎn)式（與x軸）：y=a（x-xl）（x-x2）

重要概念：（a,b,c為常數(shù)，aWO,且a決定函數(shù)的開口方向，a〉0時(shí)，開口方向向上，a〈0時(shí),

開口方向向下。lai還可以決定開口大小,lai越大開口就越小,lai越小開口就越大。）

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

xl,x2=［-b土根號(hào)下（b-2-4ac）］/2a（即一元二次方程求根公式）

求根的方法還有十字相乘法和配方法

［編輯本段］二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像

如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注名函數(shù)。

2畫出對稱軸，并注明X=什么

3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。

［編輯本段］拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a?

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)Po

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P（-b/2a,（4ac-b*2）/4a）

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)A=b'2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對稱軸在y軸左；因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0,也就是

-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號(hào)

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0）,對稱軸在y軸右。因?yàn)閷ΨQ軸在右邊則對稱軸要大于0,也就是

-b/2a〉0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號(hào)

可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)

（即ab<0）,對稱軸在y軸右。

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函

數(shù)）的

斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

△=b'2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

△=b'2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

△=b-2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±Vb'2-4ac的值的相反

數(shù)，乘上

虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

當(dāng)a〉0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a；在｛x|x〈-b/2a｝上是減函數(shù)，在

｛x|x〉-b/2a｝上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是｛y|y24ac-b'2/4a｝相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax,2+c(aW0)

7.特殊值的形式

①當(dāng)x=l時(shí)y=a+b+c

②當(dāng)x=-l時(shí)y=a-b+c

③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c

④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c

8.定義域：R

值域：(對應(yīng)解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請讀者自行推斷)①［(4ac-b-2)/4a,

正無窮)；②［t,正無窮)

奇偶性：偶函數(shù)

周期性：無

解析式：

①y=ax"'2+bx+c［一般式］

⑴aWO

(2)a>0,則拋物線開口朝上；a<0,則拋物線開口朝下；

⑶極值點(diǎn)：(-b/2a,(4ac-b~2)/4a)；

(4)A=b-2-4ac,

A>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

(［-b-VA］/2a,0)和(：-b+VA］/2a,0)；

A=0,圖象與x軸交于一點(diǎn)：

(-b/2a,0)；

A<0,圖象與x軸無交點(diǎn)；

②y=a(x-h)-2+k［頂點(diǎn)式］

此時(shí)，對應(yīng)極值點(diǎn)為(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b*2)/4a；

③y=a(x-xl)(x-x2)［交點(diǎn)式(雙根式)］(a20)

對稱軸X=(Xl+X2)/2當(dāng)a>0且X2(Xl+X2)/2時(shí)，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a〉0且X<(X1+X2)

/2時(shí)Y隨X

的增大而減小

此時(shí)，xl、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程

連

用)。

［編輯本段］二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax-2+bx+c,

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，

即ax"2+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=ax「2;,y=a(x-h廠2;,y=a(x-h廠2+k,y=axt+bx+c(各式中,aWO)的圖象形狀相

同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表：

解析式

y=ax2;

y=ax「2+K

y=a(x-h)~2;

y二a(x-h廠2+k

y=ax-2+bx+c

頂點(diǎn)坐標(biāo)

(0,0)

(0,K)

(h,0)

(h,k)

(-b/2a,4ac-b2/4a)

對稱軸

x=0

x=0

x二h

x二h

x=-b/2a

當(dāng)h>0時(shí)，尸a(x-h廠2;的圖象可由拋物線尸ax八2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，

當(dāng)h〈0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.

當(dāng)h〉O,k〉O時(shí)，將拋物線丫=2*”；向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到

y=a(x-h)、2+k的圖象；

當(dāng)h〉O,k〈O時(shí)，將拋物線丫=2*、2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到

y=a(x-h)-2-k的圖象；

當(dāng)h〈0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x+h)?+k的圖