浙江省寧波市奉化中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期分班考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

浙江省寧波市奉化中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期分班考試數(shù)學(xué)試卷奉化中學(xué)2024分班考數(shù)學(xué)一、單選題1.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a取值范圍是（）A B. C. D.2.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)4.已知，且，則下列不等式中恒成立是（）A. B.C. D.5.已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A77 B.49 C.45 D.30二、多選題6.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)成為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)是偶函數(shù)C.任意一個(gè)非零有理數(shù)，對任意恒成立D.存在三個(gè)點(diǎn)，使得ΔABC為等邊三角形7.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是減函數(shù)三、填空題8.，則的最小值為______.9.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．四、解答題10.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍奉化中學(xué)2024分班考數(shù)學(xué)一、單選題1.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.2.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義即可求解.【詳解】四邊形是平行四邊形不能推出四邊形是菱形，但是四邊形是菱形能推出四邊形是平行四邊形，所以“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的必要不充分條件．故選：B．3.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（）A0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】B【解析】【分析】由題意有，通過分析得到，是滿足題意的唯一解，注意檢驗(yàn).【詳解】由題意若不等式在上恒成立，則必須滿足，即，由，兩式相加得，再由，兩式相加得，結(jié)合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，有，，滿足在上恒成立，綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對為：，共一個(gè).故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是首先得到，進(jìn)一步由不等式的性質(zhì)通過分析即可求解.4.已知，且，則下列不等式中恒成立是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：①已知，，且，所以，則，故錯(cuò)誤．②利用分析法：要證，只需證明即可，即，由于，，且，所以：，，故正確．③，故錯(cuò)誤．④由于，，且，利用分析法：要證成立，只需對關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方5.已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A.77 B.49 C.45 D.30【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)榧?，所以集合中?個(gè)元素（即5個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中的整點(diǎn)，集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形中的整點(diǎn)，集合的元素可看作正方形中的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即個(gè)．考點(diǎn)：1．集合的相關(guān)知識，2．新定義題型．二、多選題6.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)成為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)是偶函數(shù)C.任意一個(gè)非零有理數(shù)，對任意恒成立D.存在三個(gè)點(diǎn)，使得ΔABC為等邊三角形【答案】ABCD【解析】【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：，故；判斷，為偶函數(shù)；判斷；取為等邊三角形，得到答案.【詳解】，正確；，偶函數(shù)，正確；，正確；易知三點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，正確；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義問題，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用能力.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是減函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對抽象函數(shù)采用賦值法，令、，結(jié)合題意可得，對A：令、，代入計(jì)算即可得；對B、C、D：令，可得，即可得函數(shù)及函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，代入，即可得.【詳解】令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；令，則有，即，故函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，即函數(shù)是減函數(shù)，令，有，故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到，再重新賦值，得到，再得到.三、填空題8.，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件等式可設(shè)，代入所求式子，利用二倍角公式和輔助角公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出最值.【詳解】，則，即，設(shè)，則，，其中是輔助角，且，當(dāng)時(shí)，原式取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查條件等式求最值，解題的關(guān)鍵是設(shè)，利用三角恒等變換化簡可求出.9.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．【答案】①.130.②.15.【解析】【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).四、解答題10.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或，；（2）或.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根據(jù)補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，從而可求出；(2)由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，則，或，