2024年新九年級數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷（滬科版）

年秋季安徽省新九年級開學(xué)摸底考試卷數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分測試范圍：八下+二次函數(shù)與反比例函數(shù)）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題（本大題10小題，每小題4要，共40分）1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．2．已知函數(shù)，當(dāng)時，，那么這個函數(shù)的解析式是A． B． C． D．3．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且4．在長為，寬為的長方形田地中開辟三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為，求道路的寬度設(shè)道路的寬度為，則可列方程A． B． C． D．5．化簡二次根式得A． B． C． D．6．如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點，，均在格點上．若于點，則線段的長為A． B． C．1 D．27．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象為A． B． C． D．8．如圖，在中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點，若，，則的長為A．5 B．6 C．8 D．109．如圖，把含的直角三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)至如圖，使在上延長交于，若，則的長為A．4 B． C． D．610．如圖，已知拋物線、、為常數(shù)，且的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個①；②；③；④若方程兩根為，，則．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11．函數(shù)的自變量的取值范圍是．12．若、是一元二次方程的兩個根，則的值是．13．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，矩形的頂點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的中點，分別交邊，于，，則的面積為．14．在平行四邊形中，，，，點在邊上，如圖，將平行四邊形沿直線折疊，點落在邊上．①的長為；②已知是直線上的動點，則的最小值為．三、解答題（本大題共16分，每小題8分）15．計算：．16．解方程：．四、解答題（本大題共16分，每小題8分）17．已知關(guān)于的方程，（1）求證：方程恒有兩不等實根；（2）若，是該方程的兩個實數(shù)根，且，求的值．18．如圖，在長方形中，，在上存在一點，沿直線把折疊，使點恰好落在邊上，設(shè)此點為，若的面積為，求折疊的面積．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．觀察下列各式，，按照上述三個等式及其變化過程，①猜想，；②試猜想第個等式為；③證明②式成立．20．2023年12月18日凌晨，甘肅省積石山發(fā)生6.2級地震，牽動全國人民的心習(xí)近平總書記第一時間作出重要指示，要求全力開展搜救，盡最大努力保障人民群眾生命財產(chǎn)安全，為了進一步宣傳防震減災(zāi)科普知識，增強學(xué)生應(yīng)急避險和自救互救能力，某校組織全校學(xué)生進行“防震減災(zāi)知識測試”，現(xiàn)隨機抽取名學(xué)生的測試成績（單位：分）進行整理后，繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題：（1），本次抽取的學(xué)生測試成績的中位數(shù)是分，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）求本次抽取的學(xué)生測試成績的平均數(shù)；（3）若參加本次知識測試的共有600名學(xué)生，請你估計測試成績不低于95分的學(xué)生有多少名？六、（本題滿分12分）21．如圖1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點，一次函數(shù)與軸相交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接，，求的面積；（3）如圖2，點是反比例函數(shù)圖象上點右側(cè)一點，連接，把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點的坐標．七、（本題滿分12分）22．如圖，已知、、三點的坐標分別為、、，拋物線的圖象經(jīng)過、兩點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）過點作線段的平行線，交拋物線于點，連接，試判斷四邊形的形狀；（3）點為線段上一動點，過點作軸的平行線，交該拋物線于點，當(dāng)線段的長最大時，求點的坐標．八、（本題滿分14分）23．在菱形中，．（1）如圖1，點為線段的中點，連接，，若，求線段的長；（2）如圖2，為線段上一點不與，重合），以為邊，構(gòu)造如圖所示等邊三角形，線段與交于點，連接，，為線段的中點，連接，，求證：．

2024年秋季安徽省新九年級開學(xué)摸底考試卷數(shù)學(xué)?全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分測試范圍：八下+二次函數(shù)與反比例函數(shù)）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題（本大題10小題，每小題4要，共40分）1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【分析】最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．根據(jù)最簡二次根式的概念解答即可．【解答】解：選項被開方數(shù)是小數(shù)，可以化成分數(shù)，有分母，不符合題意；選項的被開方數(shù)含分母，不符合題意；選項是最簡二次根式，符合題意；選項的被開方數(shù)中有能開的盡方的因數(shù)4，不符合題意；故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式的概念，熟練掌握最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．2．已知函數(shù)，當(dāng)時，，那么這個函數(shù)的解析式是A． B． C． D．【分析】把時，代入反比例函數(shù)解析式進行計算即可得解．【解答】解：當(dāng)時，，，解得，這個函數(shù)的解析式是．故選：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析，把已知數(shù)據(jù)代入進行計算即可得解，比較簡單．3．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關(guān)于的不等式，解得即可，同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)不能為0．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，△，即：，解得：，關(guān)于的一元二次方程中，則的取值范圍是且．故選：．【點評】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況．4．在長為，寬為的長方形田地中開辟三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為，求道路的寬度設(shè)道路的寬度為，則可列方程A． B． C． D．【分析】根據(jù)余田的面積為468列出方程即可．【解答】解：設(shè)入口的寬度為，由題意得：．故選：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．5．化簡二次根式得A． B． C． D．【分析】先判斷出，再由二次根式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：二次根式有意義，，故選：．【點評】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知二次根式具有非負性是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點，，均在格點上．若于點，則線段的長為A． B． C．1 D．2【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面積公式得到的面積，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出的長．【解答】解：由勾股定理得：，，，，，，，是直角三角形，，的面積，，．故選：．【點評】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是由勾股定理的逆定理推出是直角三角形．7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上得到，再根據(jù)對稱軸確定出，根據(jù)與軸的交點確定出，然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解．【解答】解：二次函數(shù)圖象開口方向向上，，對稱軸為直線，，與軸的正半軸相交，，的圖象經(jīng)過第一三象限，且與軸的負半軸相交，反比例函數(shù)圖象在第一三象限，只有選項圖象符合．故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、與軸的交點坐標等確定出、、的情況是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點，若，，則的長為A．5 B．6 C．8 D．10【分析】連接，設(shè)交于點．證明四邊形是菱形，再利用勾股定理求解．【解答】解：連接，設(shè)交于點．平分，，四邊形是平行四邊形，，，，，由作圖可知：，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，故選：．【點評】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明四邊形是菱形．9．如圖，把含的直角三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)至如圖，使在上延長交于，若，則的長為A．4 B． C． D．6【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，設(shè)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，可得，由列方程即可得到答案．【解答】解：把含的直角三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知拋物線、、為常數(shù)，且的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個①；②；③；④若方程兩根為，，則．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置、與軸的交點坐標、根與系數(shù)的關(guān)系等知識，逐個判斷即可．【解答】解：拋物線開口向上，，對稱軸為，、同號，，與軸的交點在和之間，，，故①不正確；對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸交于另一點，，，故②不正確；由題意可得，方程的兩個根為，，又，即，，，因此，故③正確；若方程兩根為，，則直線與拋物線的交點的橫坐標為，，直線過一、二、三象限，且過點，直線與拋物線的交點在第一、第三象限，由圖象可知．故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有③④，故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與軸的交點，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，是正確判斷的前提．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11．函數(shù)的自變量的取值范圍是且．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．【解答】解：由題意得，且，解得且．故答案為：且．【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．12．若、是一元二次方程的兩個根，則的值是6．【分析】利用一元二次方程的解，可得出，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，再將其代入中，即可求出結(jié)論．【解答】解：是一元二次方程的根，，．，是一元二次方程的兩個根，，．故答案為：6．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．13．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，矩形的頂點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的中點，分別交邊，于，，則的面積為．【分析】根據(jù)題意先求出反比例函數(shù)解析式，利用解析式得到，，，根據(jù)計算即可．【解答】解：對角線的中點，且點，，點在反比例函數(shù)圖象上，，反比例函數(shù)解析式為：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)值的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)值幾何意義是關(guān)鍵．14．在平行四邊形中，，，，點在邊上，如圖，將平行四邊形沿直線折疊，點落在邊上．①的長為2；②已知是直線上的動點，則的最小值為．【分析】（1）根據(jù)折疊和平行四邊形的性質(zhì)求出是等邊三角形，即可得到的長；（2）用轉(zhuǎn)化的思想，得到直線是和點到點的最短距離，再利用勾股定理求出的長，即是答案．【解答】解：（1）由折疊可得到：，，，，又，是等邊三角形，，故答案為：2．（2）如圖，連接，，作，在四邊形中，由折疊得到：，四邊形是菱形，則，的長是和點到點最短的距離，即是的最小值．在直角三角形中，，，，，在直角三角形中，，，，（舍去），則的最小值為．【點評】本題考查了折疊、直角三角形和菱形在平行四邊形中的應(yīng)用，以及兩點到直線最短距離的應(yīng)用，關(guān)鍵用轉(zhuǎn)化的思想找到是兩點到直線的最短距離．三、解答題（本大題共16分，每小題8分）15．計算：．【分析】先去絕對值，求立方根，再計算二次根式乘法，最后算加減法．【解答】解：原式．【點評】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握實數(shù)運算法則是關(guān)鍵．16．解方程：．【分析】利用因式分解法把原方程化為或，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：，或，所以，．【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．四、解答題（本大題共16分，每小題8分）17．已知關(guān)于的方程，（1）求證：方程恒有兩不等實根；（2）若，是該方程的兩個實數(shù)根，且，求的值．【分析】（1）先計算根的判別式的值，再利用非負數(shù)的性質(zhì)判斷△，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，則由，然后解關(guān)于的方程即可．【解答】（1）證明：△，方程恒有二不等實根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，，，解得．故的值是．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．也考查了根的判別式．18．如圖，在長方形中，，在上存在一點，沿直線把折疊，使點恰好落在邊上，設(shè)此點為，若的面積為，求折疊的面積．【分析】根據(jù)三角形的面積求得的長，再根據(jù)勾股定理求得的長，即為的長；設(shè)，則，．根據(jù)勾股定理列方程求得的值，進而求得的面積．【解答】解：由折疊的對稱性，得，．由，，得．在中，由勾股定理，得．所以．設(shè)，則，，，在中，，即．解得．故．【點評】此題主要是能夠根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到相等的線段，能夠熟練根據(jù)勾股定理列方程求得未知的線段．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．觀察下列各式，，按照上述三個等式及其變化過程，①猜想，；②試猜想第個等式為；③證明②式成立．【分析】①注意觀察左邊的被開方數(shù)是一個整數(shù)分數(shù)，其分數(shù)的分子是1，分母比其整數(shù)大2．右邊的結(jié)果根號外的比左邊的整數(shù)大1，根號內(nèi)的是左邊的分數(shù)．②觀察給出的例子得出規(guī)律：．③根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)即可證明．【解答】解：①猜想，；②根據(jù)規(guī)律，可以表示為：，③驗證如下：左邊右邊，等式成立；【點評】本題考查了完全平方公式和二次根式的性質(zhì)．解答此類題目的關(guān)鍵是認真觀察題中式子的特點，找出其中的規(guī)律．本題的規(guī)律為：從1開始，一個數(shù)加上的倒數(shù)再開方等于乘以的倒數(shù)再開方．20．2023年12月18日凌晨，甘肅省積石山發(fā)生6.2級地震，牽動全國人民的心習(xí)近平總書記第一時間作出重要指示，要求全力開展搜救，盡最大努力保障人民群眾生命財產(chǎn)安全，為了進一步宣傳防震減災(zāi)科普知識，增強學(xué)生應(yīng)急避險和自救互救能力，某校組織全校學(xué)生進行“防震減災(zāi)知識測試”，現(xiàn)隨機抽取名學(xué)生的測試成績（單位：分）進行整理后，繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題：（1）40，本次抽取的學(xué)生測試成績的中位數(shù)是分，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）求本次抽取的學(xué)生測試成績的平均數(shù)；（3）若參加本次知識測試的共有600名學(xué)生，請你估計測試成績不低于95分的學(xué)生有多少名？【分析】（1）用“95分”的人數(shù)除以它的占比可得的值；根據(jù)中位數(shù)的定義可得答案；用的值分別減去其它分數(shù)的人數(shù)可得85分的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖即可；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計算即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘樣本中成績不低于95分的學(xué)生的占比即可．【解答】解：（1）由題意得，，把本次抽取的學(xué)生測試成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為90分、90分，故中位數(shù)是（分，85分的人數(shù)為：，補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：40，90；（2）（分，答：本次抽取的學(xué)生測試成績的平均數(shù)為91.25分；（3）（名，答：估計測試成績不低于95分的學(xué)生大約有270名．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)以及用樣本估計總體，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．六、（本題滿分12分）21．如圖1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點，一次函數(shù)與軸相交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接，，求的面積；（3）如圖2，點是反比例函數(shù)圖象上點右側(cè)一點，連接，把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點的坐標．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得點的坐標，然后根據(jù)求得即可；（3）過點作軸的平行線，作于，于，設(shè)，，通過證得，得到，，代入，即可求得的值，從而求得點的坐標．【解答】解：（1）點，點在反比例函數(shù)上，，，，反比例函數(shù)為，點，把、的坐標代入得，解得，一次函數(shù)為：；（2）令，則，，；（3）如圖2，過點作軸的平行線，作于，于，設(shè)，，，，，把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，在和中，，，，，，，恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，，解得或（舍去），．【點評】本題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．（本題滿分12分）22．如圖，已知、、三點的坐標分別為、、，拋物線的圖象經(jīng)過、兩點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）過點作線段的平行線，交拋物線于點，連接，試判斷四邊形