七年級數(shù)學下冊講義（北師大版）第五章第04講 易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解的問題之四大易錯(4類熱點題型講練)（解析版）

第04講易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解的問題之四大易錯(4類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】 1【考點二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 5【考點三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 8【考點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 11【考點一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】例題：（2024·廣東東莞·一模）一個等腰三角形的兩邊長分別是和，這個等腰三角形的周長是．【答案】16或17/17或16【分析】考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系．由等腰三角形兩邊長為和，分別從等腰三角形的腰長為和去分析即可求得答案，注意分析能否組成三角形．【詳解】解：若等腰三角形的腰長為，底邊長為，∵，∴能組成三角形，∴它的周長是：；若等腰三角形的腰長為，底邊長為，∵，∴能組成三角形，∴它的周長是：．∴它的周長是：或．故答案是：16或17【變式訓練】1．（23-24七年級下·四川成都·期中）等腰三角形的兩邊長為和，這個三角形的周長為cm．【答案】20【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．等腰三角形兩邊的長為和，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【詳解】解：①當腰是，底邊是時，，不能構(gòu)成三角形，②當?shù)走吺牵L是時，能構(gòu)成三角形，則其周長，所以，這個三角形的周長是．故答案為：20．2．（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習）等腰三角形兩邊長分別為6,9，則其周長為．【答案】21或24/24或21【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，熟練掌握“三角形兩邊之和大于第三邊；兩條之差小于第三邊”是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意分情況討論：①當腰長為6時；②當腰長為9時；分別求得周長即可．【詳解】解：由題可知：①當腰長為6時；則底邊為9，此時等腰三角形的周長為：，②當腰長為9時；則底邊為6，此時等腰三角形的周長為：，經(jīng)檢驗以上兩種情況都可以構(gòu)成三角形，故答案為：21,24．3．（23-24八年級上·浙江麗水·期末）一個等腰三角形的周長是20，若其中一條邊長為8，這個等腰三角形的腰長是．【答案】6或8【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)已知的等腰三角形的周長和一邊的長，先分清三角形的底和腰，再計算腰長．【詳解】解：等腰三角形的周長為20，當腰長時，底邊，當?shù)走厱r，腰長，且，故答案為：6或8．4．（23-24七年級下·吉林長春·階段練習）一個等腰三角形的周長是17，已知它的一邊長是5，則另外兩邊的長分別是．【答案】6，6或5，7【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．由于已知長度的邊沒有指明是等腰三角形的底邊還是腰，因此要分類討論，最后要根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意．【詳解】解：①當?shù)妊切蔚牡组L為5時，腰長；則等腰三角形的三邊長為5、6、6，能構(gòu)成三角形．②當?shù)妊切蔚难L為5時，底長；則等腰三角形的三邊長為5、5、7，能構(gòu)成三角形．故等腰三角形另外兩邊的長為6，6或5，7．故答案為：6，6或5，7．5．當三角形中一條邊a是另一條邊b的2倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中a稱為“特征邊”，如果一個“特征三角形”為等腰三角形，它的特征邊為4，那么這個特征三角形的周長為．【答案】10【分析】根據(jù)題中定義，可知其另一邊為2，利用等腰三角形的定義，可知第三邊為2或4，同時需要利用三角形三邊關(guān)系進行驗證，排除第三邊為2的情況，即可求得周長．【詳解】解：∵該三角形的特征邊為4，∴其另一邊為2，∵該三角形為等腰三角形，∴第三邊長為2或4，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知第三邊為2時，不能組成三角形，第三邊為4時，符合題意，∴這個特征三角形的周長為：4+4+2=10．故答案為：10．【點睛】本題主要考查的是三角形中邊長的計算，易錯點在于利用三角形三邊關(guān)系排除不能組成三角形的情況．6．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形為“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一邊長為，則的周長為．【答案】或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，設等腰三角形的腰長為，底長為，分兩種情況討論：當時；當時．【詳解】設等腰三角形的腰長為，底長為．（1）當時，分兩種情況：①若，解得．則三角形的三邊長為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長為，，，符合題意．的周長為．（2）當時，分兩種情況：①若，解得，則三角形的三邊長為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長為，，，符合題意．的周長為．綜上所述，的周長為或．7．（23-24八年級下·貴州畢節(jié)·階段練習）已知等腰三角形底邊為，一腰上的中線分此三角形的周長成兩部分，其差為，則腰長為．【答案】6或10/10或6【分析】本題主要考查了等腰三角形的計算，正確理解分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．由題意可知兩部分之差可以是底邊與腰之差，也可能是腰與底邊之差，解答時應注意．設等腰三角形的腰長是，根據(jù)其中一部分比另一部分長2，列方程求解．【詳解】解：如圖，設等腰三角形的腰長是．當與的差是2時，即，解得：，10，10，8能夠組成三角形，符合題意；當與的差是2時，即，解得：，6，6，8能夠組成三角形，符合題意．綜上所述，腰長是6或10．故答案為：6或10．8．（2023秋·江西南昌·八年級統(tǒng)考期末）若等腰三角形的三邊長分別為，5，，則此等腰三角形的周長可以是．【答案】11或13或17【分析】先根據(jù)題中已知等腰三角形的三邊的長，而沒有指明哪個是腰，哪個是底邊，故應該分三種情況進行分析求解即可．【詳解】解：①當是底邊時，則腰長為，5，∴，∴，即三角形三邊長分別為5，5，7，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的周長；②當5是底邊時，則腰長為，，∴，解得，即三角形三邊長分別為3，3，5，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的周長；③當是底邊時，則腰長為5，，∴，解得，即三角形三邊長分別為5，5，4，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的周長．綜上所述，三角形的周長可以是11，14或17．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次方程以及三角形三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論，并用三邊關(guān)系定理檢驗．【考點二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：（2023春·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】分的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當?shù)慕鞘堑捉菚r，則底角為，當?shù)慕鞘琼斀菚r，則底角為，故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學?？计谀┒x：在一個等腰三角形中，如果一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的頂角度數(shù)是（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】設等腰三角形的頂角為，則底角為，分兩種情況：當頂角為底角的2倍時，當?shù)捉菫轫斀堑?倍時，分別列出方程求出x的值即可．【詳解】解：設等腰三角形的頂角為，則底角為，當頂角為底角的2倍時，，解得：；當?shù)捉菫轫斀堑?倍時，，解得：；綜上分析可知，“倍角等腰三角形”的頂角度數(shù)是或，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是注意進行分類討論．2．（2023春·云南文山·八年級校聯(lián)考期中）等腰三角形有一內(nèi)角為，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為．【答案】或【分析】由于不明確的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應分的角是頂角和底角兩種情況討論．【詳解】分兩種情況：當?shù)慕菫榈妊切蔚捻斀菚r，底角的度數(shù)；當?shù)慕菫榈妊切蔚牡捉菚r，其底角為，故它的底角度數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解答此題時要注意的角是頂角和底角兩種情況，不要漏解，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．3．等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．【答案】或或【分析】設另一個角是，表示出一個角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設另一個角是，表示出一個角是，①是頂角，是底角時，，解得，所以，頂角是；②是底角，是頂角時，，解得，所以，頂角是；③與都是底角時，，解得，所以，頂角是；綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點在于分情況討論，特別是這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導致出錯．4．如圖，在中，，，點P在的三邊上運動，當為等腰三角形時，頂角的度數(shù)是________．【答案】或或【分析】作出圖形，然后分點P在上與上兩種情況討論求解．【詳解】解：①如圖1，點P在上時，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點P在上時，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解．【考點三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：（23-24八年級上·重慶渝北·期中）如圖，在中，，，，點Q是邊上的一個動點，點Q從點B開始沿方向運動，且速度為每秒，設出發(fā)的時間為t秒．當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，是以為腰的等腰三角形．【答案】或【分析】題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：當時；當時；然后分別進行計算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當時，如圖：秒；當時，如圖：，，，，，，，，秒；綜上所述：當點在邊上運動時，出發(fā)或秒后，是以為腰的等腰三角形，故答案為：或．【變式訓練】1．在△ABC中，∠B＝70°，過點A作一條直線，將△ABC分成兩個新的三角形．若這兩個三角形都是等腰三角形，則∠C的度數(shù)為．【答案】20°或27.5°或35°【分析】分三種情況討論：①當∠B為等腰三角形的頂角時；②當∠ADB為等腰△ADB的頂角時；③當∠DAB為等腰△ADB的頂角時；綜合三種情況即可．【詳解】解：設過點A且將△ABC分成兩個等腰三角形的直線交BC于點D，分三種情況討論．①當∠B為等腰△ADB的頂角時，如圖1，∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝27.5°；②當∠ADB為等腰△ADB的頂角時，如圖2，∵AD＝BD，∠B＝70°，∴∠BAD＝∠B＝70°，∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝20°；③當∠DAB為等腰△ADB的頂角時，如圖3，則∠ADB＝∠B＝70°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝35°．故答案為：20°或27.5°或35°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是綜合運用這些性質(zhì)和定理．2．（23-24八年級上·云南曲靖·期末）如圖所示，，點在直線上且在點右側(cè)運動，，作直線，若是等腰三角形，則．【答案】或或【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，由平行線的性質(zhì)可得，分三種情況：當時；當時；當時；分別求解即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，是等腰三角形，，當時，，此時，當時，，此時，當時，，，此時，綜上所述，或或，故答案為：或或．3．（23-24八年級上·江西贛州·期末）如圖，在中，，，，是邊BC上的動點，連接AP．當是等腰三角形時，度．【答案】60或105或150【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)：分和三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行運算解題即可．【詳解】解：當時，則；當時，，則；當時，，則；故答案為：60或105或150【考點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：（2023秋·山東泰安·七年級東平縣實驗中學?？计谀┑妊切我谎系闹芯€把三角形周長分為和兩部分,則此三角形的底邊長為(

)A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，設，然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可求解．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：．可設，∴．由題意得：或，解得：或．當時，即此時等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立；當時，即此時等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立．綜上可知這個等腰三角形的底邊長是或．故選：C．【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·遼寧沈陽·八年級校考階段練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．2．（23-24七年級下·上海浦東新·期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，那么這個等腰三角形的頂角為度．【答案】或【分析】此題考查了等腰三角形的定義．此題難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，如圖（1），，則，如圖（2），，∴，∴．故這個等腰三角形的頂角是：或．故答案為：或3．（2024·四川達州·模擬預測）一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則此三角形頂角度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的內(nèi)容，要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．解決等腰三角形的問題時分類討論是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，，，為高，即，此時，，若三角形為鈍角三角形時，如圖，，，為高，即，

此時，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．故答案為：或．4．已知一個等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個三角形的周長分為的兩部分，則這個等腰三角形的底長為．【答案】9cm或21cm【分析】本題可分別設出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立方程組，進而可求得等腰三角形的底邊長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是否滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：設該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm．根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個三角形的周長分為27cm和18cm兩部分，∴或，解得或，經(jīng)檢驗，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此這個等腰三角形的腰長為9cm或21cm．故答案為：9cm或21cm．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．5．已知中，，在AB邊上有一點D，若CD將分為兩個等腰三角形，則________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三種情況討論即可求解．【詳解】第一種請況：BD=CD時，如圖，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）當DA=DC時，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）當DA=AC時，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）當CD=CA時，∠A=∠ADC=40°；第二種請況：BC=CD