2025高考數(shù)學一輪復習- 用樣本的數(shù)字特征估計總體-專項訓練【含解析】

課時過關檢測(六十五)用樣本的數(shù)字特征估計總體【原卷版】1．數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6的60%分位數(shù)為()A．3 B．3．5C．3．6 D．42．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為()A．eq\o(x,\s\up6(－))和s2 B．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2C．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和s2 D．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2＋12s＋93．為了反映各行業(yè)對倉儲物流業(yè)務需求變化的情況，以及重要商品庫存變化的動向，中國物流與采購聯(lián)合會和中儲發(fā)展股份有限公司通過聯(lián)合調查，制定了中國倉儲指數(shù)．由2019年1月至2020年7月的調查數(shù)據(jù)得出的中國倉儲指數(shù)，繪制出如下折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結論正確的是()A．2019年各月的倉儲指數(shù)最大值是在3月份B．2020年1月至7月的倉儲指數(shù)的中位數(shù)為55C．2020年1月與4月的倉儲指數(shù)的平均數(shù)為52D．2019年1月至4月的倉儲指數(shù)相對于2020年1月至4月，波動性更大4．已知樣本甲：x1，x2，x3，…，xn與樣本乙：y1，y2，y3，…，yn，滿足yi＝2xeq\o\al(3,i)＋1(i＝1,2，…，n)，則下列敘述中一定正確的是()A．樣本乙的極差等于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數(shù)大于樣本甲的眾數(shù)C．若某個xi為樣本甲的中位數(shù)，則yi是樣本乙的中位數(shù)D．若某個xi為樣本甲的平均數(shù)，則yi是樣本乙的平均數(shù)5．已知樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，樣本y1，y2，…，ym的平均數(shù)為y(x≠y)，若樣本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均數(shù)z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜eq\f(1,2)，則n，m(n，m∈N*)的大小關系為()A．n＝m B．n≥mC．n＜m D．n＞m6．(多選)甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算后填入下表：班級參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135下列結論中，正確的是()A．甲、乙兩班學生成績的平均水平相同B．乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字數(shù)≥150個為優(yōu)秀)C．甲班的成績波動情況比乙班的成績波動大D．甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)7．(多選)某籃球愛好者在一次籃球訓練中，需進行五輪投籃，每輪投籃5次．統(tǒng)計各輪投進球的個數(shù)，獲知其前四輪投中的個數(shù)分別為2,3,4,4，則第五輪結束后，下列數(shù)字特征有可能發(fā)生的是()A．平均數(shù)為3，極差是3B．中位數(shù)是3，極差是3C．平均數(shù)為3，方差是0．8D．中位數(shù)是3，方差是0．568．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________，方差為_________．9．某經(jīng)銷商從外地一水殖廠購進一批小龍蝦，并隨機抽取40只進行統(tǒng)計，按重量分類統(tǒng)計結果如圖：(1)估計這批小龍蝦重量的第10百分位數(shù)與第90百分位數(shù)；(2)該經(jīng)銷商將這批小龍蝦分成三個等級，如表：等級三等品二等品一等品重量/克[5,25)[25,45)[45,55]試估計這批小龍蝦劃為幾等品比較合理？10．(多選)2020年2月8日，在韓國首爾舉行的四大洲花樣滑冰錦標賽雙人自由滑比賽中，中國組合隋文靜/韓聰以總分217．51分拿下四大洲賽冠軍，這也是他們第六次獲得四大洲冠軍．中國另一對組合彭程/金楊以213．29分摘得銀牌．花樣滑冰錦標賽有9位評委進行評分，首先這9位評委給出某對選手的原始分數(shù)，評定該隊選手的成績時從9個原始評分中去掉一個最高分、一個最低分，得到7個有效評分，則7個有效評分與9個原始評分相比，可能變化的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差11．(多選)隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質量的關注度也逐步增大，如圖是某城市1月至8月的空氣質量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質量等級，一級空氣質量最好，一級和二級都是質量合格天氣，下面四種說法正確的是()A．1月至8月空氣質量合格天數(shù)超過20天的月份有5個B．第二季度與第一季度相比，空氣質量合格天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質量最好的一個月D．6月的空氣質量最差12．某快遞網(wǎng)點收取快遞費用的標準是重量不超過1kg的包裹收費10元，重量超過1kg的包裹，除收費10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg計算)需要再收費5元．該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)．(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)該快遞網(wǎng)點負責人從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為工作人員的工資和網(wǎng)點的利潤，剩余的作為其他費用．已知該網(wǎng)點有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該網(wǎng)點每天的利潤有多少元？13．記樣本x1，x2，…，xm的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，樣本y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))(eq\o(x,\s\up6(－))≠eq\o(y,\s\up6(－)))．若樣本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(3,4)eq\o(y,\s\up6(－))，則eq\f(m,n)的值為()A．3 B．4C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)14．某校有高中生2000人，其中男女生比例約為5∶4，為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機抽樣方法，抽收了樣本量為n的樣本，得到如圖所示的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．方案二：采用分層隨機抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計算得到男生樣本的均值為170，方差為16，女生樣本的均值為160，方差為20．身高(單位：cm)[145，155)[155，165)[165，175)[175，185)[185，195]頻數(shù)mpq64(1)根據(jù)圖表信息，求n，q并補充完整頻率分布直方圖，估計該校高中生的身高均值；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值為代表)(2)計算方案二中總樣本的均值及方差；(3)計算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體均值的估計合適嗎？為什么？課時過關檢測(六十五)用樣本的數(shù)字特征估計總體【解析版】1．數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6的60%分位數(shù)為()A．3 B．3．5C．3．6 D．4解析：D由6×60%＝3．6，所以數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6的60%分位數(shù)是第四個數(shù)，故選D．2．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為()A．eq\o(x,\s\up6(－))和s2 B．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2C．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和s2 D．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2＋12s＋9解析：B原數(shù)據(jù)乘以2加上3得到一組新數(shù)據(jù)，則由平均數(shù)、方差的性質可知得到的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2．3．為了反映各行業(yè)對倉儲物流業(yè)務需求變化的情況，以及重要商品庫存變化的動向，中國物流與采購聯(lián)合會和中儲發(fā)展股份有限公司通過聯(lián)合調查，制定了中國倉儲指數(shù)．由2019年1月至2020年7月的調查數(shù)據(jù)得出的中國倉儲指數(shù)，繪制出如下折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結論正確的是()A．2019年各月的倉儲指數(shù)最大值是在3月份B．2020年1月至7月的倉儲指數(shù)的中位數(shù)為55C．2020年1月與4月的倉儲指數(shù)的平均數(shù)為52D．2019年1月至4月的倉儲指數(shù)相對于2020年1月至4月，波動性更大解析：D2019年各月的倉儲指數(shù)最大值是在11月份，所以A錯誤；由題圖可知，2020年1月至7月的倉儲指數(shù)的中位數(shù)約為53，所以B錯誤；2020年1月與4月的倉儲指數(shù)的平均數(shù)約為eq\f(51＋55,2)＝53，所以C錯誤；由題圖可知，2019年1月至4月的倉儲指數(shù)比2020年1月至4月的倉儲指數(shù)波動更大，故選D．4．已知樣本甲：x1，x2，x3，…，xn與樣本乙：y1，y2，y3，…，yn，滿足yi＝2xeq\o\al(3,i)＋1(i＝1,2，…，n)，則下列敘述中一定正確的是()A．樣本乙的極差等于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數(shù)大于樣本甲的眾數(shù)C．若某個xi為樣本甲的中位數(shù)，則yi是樣本乙的中位數(shù)D．若某個xi為樣本甲的平均數(shù)，則yi是樣本乙的平均數(shù)解析：C∵yi＝2xeq\o\al(3,i)＋1，∴yi關于xi單調遞增，甲樣本極差為xn－x1，乙樣本極差為yn－y1＝2(xeq\o\al(3,n)－xeq\o\al(3,1))＝2(xn－x1)(xeq\o\al(2,n)＋xnx1＋xeq\o\al(2,1))，兩個數(shù)據(jù)大小關系不定，∴樣本乙的極差不一定等于樣本甲的極差，A錯誤；樣本乙的眾數(shù)不一定大于樣本甲的眾數(shù)，B錯誤；若xi為樣本甲的平均數(shù)，yi不一定是樣本乙的平均數(shù)，D錯誤；若xi為樣本甲的中位數(shù)時，則yi一定是樣本乙的中位數(shù)，C正確．5．已知樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，樣本y1，y2，…，ym的平均數(shù)為y(x≠y)，若樣本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均數(shù)z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜eq\f(1,2)，則n，m(n，m∈N*)的大小關系為()A．n＝m B．n≥mC．n＜m D．n＞m解析：C由題意得z＝eq\f(1,n＋m)(nx＋my)＝eq\f(n,n＋m)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,n＋m)))y，∴a＝eq\f(n,n＋m)，∵0＜a＜eq\f(1,2)，∴0＜eq\f(n,n＋m)＜eq\f(1,2)，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，∴n＜m．故選C．6．(多選)甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算后填入下表：班級參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135下列結論中，正確的是()A．甲、乙兩班學生成績的平均水平相同B．乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字數(shù)≥150個為優(yōu)秀)C．甲班的成績波動情況比乙班的成績波動大D．甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)解析：ABC甲、乙兩班成績的平均數(shù)都是135，故兩班成績的平均水平相同，∴A正確；seq\o\al(2,甲)＝191＞110＝seq\o\al(2,乙)，∴甲班成績不如乙班穩(wěn)定，即甲班成績波動較大，∴C正確；甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班成績的中位數(shù)為149，乙班成績的中位數(shù)為151，從而易知乙班每分鐘輸入漢字數(shù)≥150個的人數(shù)要多于甲班，∴B正確；由題表看不出兩班學生成績的眾數(shù)，∴D錯誤．7．(多選)某籃球愛好者在一次籃球訓練中，需進行五輪投籃，每輪投籃5次．統(tǒng)計各輪投進球的個數(shù)，獲知其前四輪投中的個數(shù)分別為2,3,4,4，則第五輪結束后，下列數(shù)字特征有可能發(fā)生的是()A．平均數(shù)為3，極差是3B．中位數(shù)是3，極差是3C．平均數(shù)為3，方差是0．8D．中位數(shù)是3，方差是0．56解析：BCD2＋3＋4＋4＝13，①若平均數(shù)為3，則第五輪投中的個數(shù)為2，所以極差為4－2＝2，方差為eq\f(1,5)×[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0．8，即選項A錯誤，C正確；②若中位數(shù)為3，則第五輪投中的個數(shù)為0或1或2或3，當投中的個數(shù)為0時，極差為4，平均數(shù)為2．6，方差為eq\f(1,5)×[(0－2．6)2＋(2－2．6)2＋(3－2．6)2＋(4－2．6)2×2]＝2．24；當投中的個數(shù)為1時，極差為3，平均數(shù)為2．8，方差為eq\f(1,5)×[(1－2．8)2＋(2－2．8)2＋(3－2．8)2＋(4－2．8)2×2]＝1．36；當投中的個數(shù)為2時，極差為2，方差為0．8；當投中的個數(shù)為3時，極差為2，平均數(shù)為3．2，方差為eq\f(1,5)×[(2－3．2)2＋(3－3．2)2×2＋(4－3．2)2×2]＝0．56，即選項B和D均正確．故選B、C、D．8．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________，方差為_________．解析：∵－1,0,4，x,7,14的中位數(shù)為5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，∴x＝6，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5，這組數(shù)據(jù)的方差是eq\f(1,6)×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝eq\f(74,3)．答案：5eq\f(74,3)9．某經(jīng)銷商從外地一水殖廠購進一批小龍蝦，并隨機抽取40只進行統(tǒng)計，按重量分類統(tǒng)計結果如圖：(1)估計這批小龍蝦重量的第10百分位數(shù)與第90百分位數(shù)；(2)該經(jīng)銷商將這批小龍蝦分成三個等級，如表：等級三等品二等品一等品重量/克[5,25)[25,45)[45,55]試估計這批小龍蝦劃為幾等品比較合理？解：(1)因為40×10%＝4，所以第10百分位數(shù)為第4項與第5項的平均數(shù)，在[5,15)范圍內約為eq\f(5＋15,2)＝10．因為40×90%＝36，所以第90百分位數(shù)為第36項與第37項的平均數(shù)，在[35,55]范圍內，約為eq\f(35＋55,2)＝45，所以估計這批小龍蝦重量的第10百分位數(shù)為10，第90百分位數(shù)為45．(2)由(1)知，這批小龍蝦重量集中在[10,45]范圍內，所以劃為二等品比較合理．10．(多選)2020年2月8日，在韓國首爾舉行的四大洲花樣滑冰錦標賽雙人自由滑比賽中，中國組合隋文靜/韓聰以總分217．51分拿下四大洲賽冠軍，這也是他們第六次獲得四大洲冠軍．中國另一對組合彭程/金楊以213．29分摘得銀牌．花樣滑冰錦標賽有9位評委進行評分，首先這9位評委給出某對選手的原始分數(shù)，評定該隊選手的成績時從9個原始評分中去掉一個最高分、一個最低分，得到7個有效評分，則7個有效評分與9個原始評分相比，可能變化的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差解析：BCD因為7個有效評分是9個原始評分中去掉一個最高分、一個最低分，所以中位數(shù)不變，平均數(shù)、方差、極差可能發(fā)生變化，所以可能變化的數(shù)字特征是平均數(shù)、方差、極差，故選B、C、D．11．(多選)隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質量的關注度也逐步增大，如圖是某城市1月至8月的空氣質量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質量等級，一級空氣質量最好，一級和二級都是質量合格天氣，下面四種說法正確的是()A．1月至8月空氣質量合格天數(shù)超過20天的月份有5個B．第二季度與第一季度相比，空氣質量合格天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質量最好的一個月D．6月的空氣質量最差解析：ABC1月至8月空氣質量合格天數(shù)超過20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5個，所以A是正確的；第一季度合格天數(shù)的比重為eq\f(22＋26＋19,31＋29＋31)≈0．7363，第二季度合格天數(shù)的比重為eq\f(19＋13＋25,30＋31＋30)≈0．6264，所以第二季度與第一季度相比，空氣質量合格的天數(shù)的比重下降了，所以B是正確的；8月空氣質量合格天氣達到30天，是空氣質量最好的一個月，所以C是正確的；5月空氣質量合格天氣只有13天，5月份的空氣質量最差，所以D是錯誤的，故選A、B、C．12．某快遞網(wǎng)點收取快遞費用的標準是重量不超過1kg的包裹收費10元，重量超過1kg的包裹，除收費10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg計算)需要再收費5元．該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)．(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)該快遞網(wǎng)點負責人從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為工作人員的工資和網(wǎng)點的利潤，剩余的作為其他費用．已知該網(wǎng)點有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該網(wǎng)點每天的利潤有多少元？解：(1)每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為0．1×50＋0．1×150＋0．5×250＋0．2×350＋0．1×450＝260(件)，因為[0,200)的頻率為0．2，[200,300)的頻率為0．5，中位數(shù)為200＋eq\f(0.5－0.2,0.5)×100＝260(件)，所以該網(wǎng)點每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件．(2)由(1)可知平均每天的攬件數(shù)為260件，利潤為260×5－3×100＝1000(元)，所以該網(wǎng)點平均每天的利潤有1000元．13．記樣本x1，x2，…，xm的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，樣本y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))(eq\o(x,\s\up6(－))≠eq\o(y,\s\up6(－)))．若樣本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(3,4)eq\o(y,\s\up6(－))，則eq\f(m,n)的值為()A．3 B．4C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)解析：D由題意知x1＋x2＋…＋xm＝meq\o(x,\s\up6(－))，y1＋y2＋…＋yn＝neq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm＋y1＋y2＋…＋yn,m＋n)＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－)),m＋n)＋eq\f(n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)＝eq\f(1,4)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(3,4)eq\o(y,\s\up6(－))，所以eq\f(m,m＋n)＝eq\f(1,4)，eq\f(n,m＋n)＝eq\f(3,4)，可得3m＝n，所以eq\f(m,n)＝eq\f(1,3)．14．某校有高中生2000人，其中男女生比例約為5∶4，為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機抽樣方法，抽收了樣本量為n的樣本，得到如圖所示的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．方案二：采用分層隨機抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計算得到男生樣本的均值為170，方差為16，女生樣本的均值為160，方差為20．身高(單位：cm)[145，155)[155，165)[165，175)[175，185)[185，195]頻數(shù)mpq64(1)根據(jù)圖表信息，求n，q并補充完整頻率分布直方圖，估計該校高中生的身高均值；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值為代表)(2)計算方案二中總樣本的均值及方差；(3)計算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體均值的估計合適嗎？為什么？解