函數(shù)的奇偶性6種常見考法歸類

3.1.3函數(shù)的奇偶性6種常見考法歸類1、奇、偶函數(shù)的定義偶函數(shù)奇函數(shù)條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)結(jié)論則稱y＝f(x)為偶函數(shù)則稱y＝f(x)為奇函數(shù)定義域特征定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱等價(jià)形式若f(x)≠0，則eq\f(f（－x）,f（x）)＝－1?f(x)為奇函數(shù)，eq\f(f（－x）,f（x）)＝1?f(x)為偶函數(shù)2、利用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟(1)一看定義域．定義域D要具有對稱性，即對?x∈D，－x∈D，也就是說奇、偶函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對稱，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù)．(2)二看等式．當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，要看f(x)與f(－x)的關(guān)系：①f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函數(shù)；②f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函數(shù)；③f(－x)≠±f(x)?f(x)是非奇非偶函數(shù)；④f(－x)＝±f(x)?f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，這樣的函數(shù)只有一類，即f(x)＝0，x∈D，且D關(guān)于原點(diǎn)對稱．3、奇、偶函數(shù)的圖像特征(幾何意義)（1）奇函數(shù)的圖像特征(幾何意義)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．（2）偶函數(shù)的圖像特征(幾何意義)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．注：(1)若f(x)是奇函數(shù)，點(diǎn)(x，f(x))在其圖像上，則點(diǎn)(－x，f(－x))，即點(diǎn)(－x，－f(x))也在其圖像上．(2)若f(x)是偶函數(shù)，點(diǎn)(x，f(x))在其圖像上，則點(diǎn)(－x，f(－x))，即點(diǎn)(－x，f(x))也在其圖像上．4、函數(shù)奇偶性判斷的方法(1)定義法：(2)圖像法：若函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱．則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在解選擇、填空題中．(3)性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).(4)分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.5、函數(shù)奇偶性的圖像特征根據(jù)奇偶函數(shù)在原點(diǎn)一側(cè)的圖像求解與函數(shù)有關(guān)的值域、定義域、不等式問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對稱性作出函數(shù)在定義域另一側(cè)的圖像，根據(jù)圖像特征求解問題．6、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)的解題思路奇、偶函數(shù)的定義既是判斷函數(shù)是否具有奇偶性的一種方法，也是在已知函數(shù)奇偶性時(shí)可以運(yùn)用的一個(gè)性質(zhì)，解題時(shí)要注意奇、偶函數(shù)的定義的正用和逆用．利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)一般有如下兩種題型．(1)定義域含參，需根據(jù)定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱列式求解．(2)解析式含參，需根據(jù)f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比較各項(xiàng)的系數(shù)求解．7、利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法已知函數(shù)f(x)的奇偶性及函數(shù)f(x)在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法如下：(1)求哪個(gè)區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在那個(gè)區(qū)間上；(2)把x對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).注意：若奇函數(shù)定義域包含0，則必有f(0)＝0.8、函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系(1)若f(x)是奇函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相同的單調(diào)性．(2)若f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相反的單調(diào)性．9、利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時(shí)要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的圖像特征考點(diǎn)三利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)考點(diǎn)四利用函數(shù)奇偶性求值考點(diǎn)五利用函數(shù)奇偶性求解析式考點(diǎn)六函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷1．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并加以證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)非奇非偶函數(shù)，證明見解析(3)非奇非偶函數(shù)，證明見解析(4)奇函數(shù)，證明見解析(5)偶函數(shù)，證明見解析(6)奇函數(shù)，證明見解析(7)偶函數(shù)，證明見解析(8)奇函數(shù)，證明見解析【分析】先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為非奇非偶函數(shù)；若關(guān)于原點(diǎn)對稱，求出，與比較，即可得出答案.【詳解】（1）為奇函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù).（2）為非奇非偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，且，所以，為非奇非偶函數(shù).（3）為非奇非偶函數(shù)，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，為非奇非偶函數(shù).（4）為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為奇函數(shù).（5）為偶函數(shù)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為偶函數(shù).（6）為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為奇函數(shù).（7）為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱.對于，都有，且.對于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為偶函數(shù).（8）為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱.對于，都有，且.對于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為奇函數(shù).2．（山東省濰坊市國開中學(xué)、日照市莒縣某高中校級聯(lián)考20232024學(xué)年高三上學(xué)期春季高考階段性檢測數(shù)學(xué)試題）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)增減的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故A正確；B選項(xiàng)，是奇函數(shù)，在，上遞減，故B錯誤；C選項(xiàng)，偶函數(shù)，故C錯誤；D選項(xiàng)，是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，故D錯誤，．故洗：A3．（2023秋·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對A，，故是奇函數(shù)，故A錯誤；對B，，故是偶函數(shù)，故B正確；對C，，故是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，，故是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B4．（2023秋·云南昆明·高一校考期中）已知函數(shù)，點(diǎn)，是圖象上的兩點(diǎn)．(1)求，的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．【答案】(1)(2)為奇函數(shù)，理由見解析【分析】（1）分別代入兩點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立求解即可；（2）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】（1）由題意，，解得.（2）由（1），易得定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.又，故為奇函數(shù).5．（2023秋·新疆烏魯木齊·高一校考期中）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞增；【答案】(1)非奇非偶函數(shù)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得解；（2）利用作差法計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，得，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（2），令，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，且．(1)判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性．(2)證明函數(shù)在上是增函數(shù)．(3)畫出在上的圖象，并求在上值域．【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析．(2)證明見解析(3)圖象見解析，值域【分析】（1）先將代入，求出的值代入后再判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）結(jié)合第（2）問單調(diào)性的結(jié)果，判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性，再求最值．【詳解】（1）在其定義域上為奇函數(shù)，，定義域?yàn)椋?，解得，，，在定義域上為奇函數(shù)．（2）任取，且，，，，則又，，，即，在上為增函數(shù)．（3）在上的圖象如圖.在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，,又，則故函數(shù)值域?yàn)?考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的圖像特征7．（2023秋·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C，根據(jù)特殊值法可排除BD，即可求解.【詳解】由于定義域?yàn)?，所以，故，為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，C錯誤；，B錯誤，，D錯誤，故選：A．8．【多選】（2023秋·山東棗莊·高三棗莊市第三中學(xué)?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)滿足，且時(shí)，，則下列說法中，正確的是（

）A．2是的周期 B．不是圖象的對稱軸C． D．是圖象的對稱中心【答案】AC【分析】由周期性、對稱性的定義判斷．【詳解】時(shí)，，由知2是的一個(gè)周期，A正確；由得是圖象的一條對稱軸，從而也是圖象的一條對稱軸，時(shí)，，BD錯誤；，C正確；故選：AC．9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸及軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請把函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的值域．【答案】(1)作圖見解析，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)【分析】（1）利用偶函數(shù)的對稱性即可補(bǔ)全圖象，根據(jù)圖象可看出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)時(shí)的解析式可求得，由對稱性可得的值域即為.【詳解】（1）由為偶函數(shù)可知，其圖象關(guān)于軸對稱，作出已知圖象關(guān)于y軸對稱的圖象，即得該函數(shù)的完整圖象，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，的最小值為；由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，即函數(shù)的值域?yàn)?10．（2023秋·湖北黃岡·高一校考期中）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)在上的表達(dá)式；(2)畫出函數(shù)的大致圖象；(3)直接寫出函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．(4)若方程a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)值域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；(4)∪（0，1）【分析】先設(shè)，則代入已知函數(shù)的解析式，從而求出的函數(shù)解析式，進(jìn)而可以求解；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可畫出函數(shù)的圖像；根據(jù)圖像即可求出函數(shù)的值域研究單調(diào)區(qū)間．（4）數(shù)型結(jié)合根據(jù)圖像求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，則，所以，又，則，所以函數(shù)在上的解析式為；（2）函數(shù)的圖像如圖所示：（3）由圖象可得函數(shù)的值域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（4）∪（0，1）.考點(diǎn)三利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)11．（2023秋·福建泉州·高一?？计谥校┤羰桥己瘮?shù)，則（

）A．2 B．1 C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以，則，解得.故選：A12．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可代入求解.【詳解】由可得，由于為偶函數(shù)，所以，所以，故，13．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】由題意，可解出，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可解出.【詳解】函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，得，所以，解得，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，解得，所以．故答案為：2.14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．【答案】/【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，進(jìn)而代入即可求解.【詳解】由題意可知，即.又是奇函數(shù)，故，即，∴對任意都成立，則，∴.所以，故答案為：15．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的定義，建立方程，可得答案.【詳解】由題意可得，則，可得.故選：C.16．（2023秋·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】化簡函數(shù)為，根據(jù)，列出方程，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，可得，即，所以，解得.故選：D.17．（2023春·陜西安康·高三校考階段練習(xí)）若是奇函數(shù)，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】利用題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程組，解之即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】是奇函數(shù)，則，，即，解之得，則，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù).故選：B18．（2023春·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且．(1)求的值；(2)求使成立的實(shí)數(shù)的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）由列式求出m，n，再檢驗(yàn)奇偶性即可得解；（2）先根據(jù)函數(shù)定義域可得，再判斷的單調(diào)性，由奇偶性和單調(diào)性將原不等式化簡，求解關(guān)于a的不等式組即可．【詳解】（1）由題意可得：，解得，則，可得，則符合題意，所以.（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，解得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，可得，則或，解得或，綜上所述：或，所以能使成立的實(shí)數(shù)的取值集合為.考點(diǎn)四利用函數(shù)奇偶性求值19．（2023秋·甘肅蘭州·高三?？茧A段練習(xí)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.【答案】1【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，故答案為：120．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】9【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：.21．（2023秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知，其中為常數(shù)，若，則．【答案】【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義求解．【詳解】設(shè)，，是奇函數(shù)，，則，又，所以．故答案為：．22．（2023秋·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性求參數(shù)，然后求函數(shù)值即可.【詳解】由已知可得，則．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，因?yàn)?，解得，所以，所?故選：D．考點(diǎn)五利用函數(shù)奇偶性求解析式23．（2023秋·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┮阎瘮?shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故答案為：24．（2023秋·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則在上的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義與性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，則，可得，所以.故答案為：.25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的解析式為.【答案】（或）【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，，則，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，因此當(dāng)時(shí)，，所以的解析式為.故答案為：26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，可得所求解析式；（2）作出函數(shù)的圖象，從而得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)題意列不等式，即可得答案.【詳解】（1）解：設(shè)，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，又因函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上的解析式為.（2）解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由函數(shù)圖象可知，在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.27．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式．【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合已知的解析式可求出當(dāng)時(shí)的解析式，從而可求出函數(shù)解析式【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以，，所以.28．（2023秋·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)（）是偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件令，得到，從而求出，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)區(qū)間和分段函數(shù)的臨界值，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性分類討論即可.【詳解】（1）令，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以時(shí)，故.（2）∵在區(qū)間上的最小值為，又由（1）得：，可得：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以；④當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；⑤當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；綜上，.29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的解析式；（2）設(shè)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解析式即可；（2）利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)列方程組求解解析式即可.【詳解】（1）設(shè)，則，∴，又∵函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴，∴當(dāng)時(shí)，.又時(shí)，，所以；（2）∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，∴．則即，解之得.考點(diǎn)六函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可列出不等關(guān)系求解.【詳解】由于在上是減函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，若，則，平方可得，解得，故答案為：31．（2023秋·江蘇常州·高三常州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為．【答案】【分析】先確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，再將不等式等價(jià)變形，即可得到結(jié)論．【詳解】若的定義域?yàn)椋瑒t，不合題意；若的定義域?yàn)?，顯然不合題意；奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且，可得：當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，因?yàn)榈葍r(jià)于或，可得或，所以不等式的解集為.故答案為：.32．（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)．又，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意在上是增函數(shù)且，再結(jié)合是奇函數(shù)，可以先求得的符號隨的變化情況，然后列表即可求解.【詳解】由題意在上是增函數(shù)且，所以當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，有，，所以，當(dāng)時(shí)，有，，所以，所以的符號隨的變化情況如下表：由表可知不等式的解集為.故選：A.33．（2023秋·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┒x在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，解