新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題31 圓錐曲線大題綜合 （解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題31圓錐曲線大題綜合1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的弦，點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線的準(zhǔn)線SKIPIF1<0上.當(dāng)SKIPIF1<0過拋物線焦點(diǎn)SKIPIF1<0且長度為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0.(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0為直角，求證：直線SKIPIF1<0過定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）利用拋物線弦長公式，以及中點(diǎn)到SKIPIF1<0軸的距離公式，計(jì)算出SKIPIF1<0即可；（2）先設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為直角可得SKIPIF1<0，化簡求解可得SKIPIF1<0，所以得出直線過定點(diǎn)SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，則由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以拋物線的方程為SKIPIF1<0（2）直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，證明如下：設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0.2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，過左焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn).當(dāng)SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為3.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而求解；（2）設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，由對稱性知以SKIPIF1<0為直徑的圓必過SKIPIF1<0軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為SKIPIF1<0，代入雙曲線方程，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由題意，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；（2）方法一：設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由對稱性知以SKIPIF1<0為直徑的圓必過SKIPIF1<0軸上的定點(diǎn)，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)SKIPIF1<0；方法二：設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由對稱性知以SKIPIF1<0為直徑的圓必過SKIPIF1<0軸上的定點(diǎn).設(shè)以SKIPIF1<0為直徑的圓過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)SKIPIF1<0.3．（2023秋·浙江紹興·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，直線PA與直線PB的斜率之積為SKIPIF1<0，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線MA，NB與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，求證：直線l過定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得結(jié)果；（2）設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0的坐標(biāo)，根據(jù)SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以曲線C的方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0都成立，SKIPIF1<0，故直線l過定點(diǎn)SKIPIF1<0．4．（2023秋·浙江·高三期末）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)求雙曲線的方程；(2)已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，與雙曲線的右支交于點(diǎn)M，N，且直線SKIPIF1<0經(jīng)過F，求圓C的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由已知條件列方程求出SKIPIF1<0，即可求出雙曲線的方程；（2）討論直線SKIPIF1<0的斜率不存在時不滿足題意；當(dāng)斜率存在時設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立雙曲線的方程，由韋達(dá)定理求出SKIPIF1<0的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)以及SKIPIF1<0的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理有SKIPIF1<0，代入解方程即可得出答案.【詳解】（1）由已知條件得：SKIPIF1<0雙曲線方程為：SKIPIF1<0．（2）若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，則圓C的圓心不在y軸上，因此不成立．設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消元得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理有SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．化簡得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）∴SKIPIF1<0，∴圓C的方程為SKIPIF1<0．5．（2023春·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點(diǎn)恰好在y軸上．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線SKIPIF1<0與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由題意得SKIPIF1<0，設(shè)F關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，根據(jù)題意列出方程組，解之即可求解；(2)將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式，并求得線段AB的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，設(shè)F關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則線段AB的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，此時SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．6．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，左焦點(diǎn)SKIPIF1<0到其漸近線SKIPIF1<0的距離為2，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0于A，B兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于P，Q兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，試問：以線段SKIPIF1<0為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過定點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解SKIPIF1<0，進(jìn)而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長公式即可求解SKIPIF1<0，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)圓的對稱性可判斷若有定點(diǎn)則在SKIPIF1<0軸上，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系得向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）∵雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0到雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．依題意直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去y整理得：SKIPIF1<0，依題意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）依題意直線SKIPIF1<0的斜率不等于0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0．由對稱性可知，若以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在SKIPIF1<0軸上，設(shè)該定點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過定點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的對稱性可判斷定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算化簡求解就可，對計(jì)算能力要求較高.7．（2023春·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：一般地，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，我們把方程SKIPIF1<0表示的橢圓SKIPIF1<0稱為橢圓SKIPIF1<0的相似橢圓.(1)如圖，已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點(diǎn)，延長SKIPIF1<0至點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的垂直平分線與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，記點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程；(2)在條件（1）下，已知橢圓SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的相似橢圓，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左?右頂點(diǎn).點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上異于四個頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的離心率）時，設(shè)直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)5【分析】（1）由圖可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，由此可得SKIPIF1<0長為定值，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分線上，所以SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓定義求解析式即可；（2）假設(shè)出點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo)，表示直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率，并找出兩斜率關(guān)系，最后表示出兩直線方程，分別與橢圓C聯(lián)立方程，利用弦長公式和韋達(dá)定理求出SKIPIF1<0的值.【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分線上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足橢圓定義，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）知橢圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，則離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0楄圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0異于四個頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0恰為拋物SKIPIF1<0的準(zhǔn)線.(1)求拋物線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動點(diǎn)，拋物線SKIPIF1<0上四點(diǎn)SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0.（i）求直線SKIPIF1<0的斜率；（ii）設(shè)SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)（i）0；（ii）48【分析】（1）設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，由幾何性質(zhì)易得：SKIPIF1<0，即可解決；（2）設(shè)SKIPIF1<0，（i）中，由于SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，代入聯(lián)立得SKIPIF1<0點(diǎn)縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0，即可解決；（ⅱ）由（i）得點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，得SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0即可解決.【詳解】（1）設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0.由幾何性質(zhì)易得：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以拋物線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0（i）由題意，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，得：SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0點(diǎn)縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率為0.（ⅱ）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入上式可得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最大價SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值為48.9．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的準(zhǔn)線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0的面積為1．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0作一條直線SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，試問在SKIPIF1<0上是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之和等于直線SKIPIF1<0斜率的平方？若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，根據(jù)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，即可得解；（2）假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之和等于直線SKIPIF1<0斜率的平方．設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡SKIPIF1<0，即可得到方程，求出SKIPIF1<0的值，即可得解.【詳解】（1）解：由題意知SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之和等于直線SKIPIF1<0斜率的平方．由（1）得SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之和等于直線SKIPIF1<0斜率的平方，其坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．10．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的上?下頂點(diǎn)，不垂直坐標(biāo)軸的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在上方，SKIPIF1<0在下方，且均不與SKIPIF1<0點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)條件，得到關(guān)于SKIPIF1<0的方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，再由SKIPIF1<0列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓的方程為SKIPIF1<0；（2）依題意設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消元得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，兩邊同除SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0代入上式得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，滿足條件，所以SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.11．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l與C相切，且與圓SKIPIF1<0交于M，N兩點(diǎn)，M在N的左側(cè)．(1)若SKIPIF1<0，求l的斜率；(2)記直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為定值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)圓弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)直線l不存在斜率時，方程為SKIPIF1<0，顯然與圓也相切，不符合題意，設(shè)直線l的斜率為SKIPIF1<0，方程為SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立，得SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€l與C相切，所以有SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.12．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個點(diǎn)在橢圓SKIPIF1<0，橢圓外一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)證明：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率之積為定值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)向量關(guān)系用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入橢圓方程即可求解；（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入斜率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是定值.13．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線SKIPIF1<0，過焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0.(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交準(zhǔn)線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，證明：以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義，根據(jù)SKIPIF1<0建立方程求出SKIPIF1<0得解；（2）由直線方程求出SKIPIF1<0的坐標(biāo)，計(jì)算SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)SKIPIF1<0化簡SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性令SKIPIF1<0可得解.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0是以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上得任意一點(diǎn)，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由對稱性令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以以線段SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出SKIPIF1<0的點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0，是解題的關(guān)鍵之一，其次寫出以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程SKIPIF1<0，由對稱性，令SKIPIF1<0求定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.14．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，且經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點(diǎn)M，再由弦長公式及兩點(diǎn)距離公式表示出SKIPIF1<0，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即橢圓方程為SKIPIF1<0；（2）當(dāng)直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，此時切線平行無交點(diǎn)．故設(shè)直線l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0不妨設(shè)SKIPIF1<0在x軸上方，則SKIPIF1<0在x軸下方．橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則A處切線斜率為SKIPIF1<0，得切線方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.同理可得B處的切線方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓在x軸上方的部分方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則過SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得過SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，為2．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線問題，一般設(shè)出直線，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出所求的內(nèi)容，進(jìn)而進(jìn)行進(jìn)一步討論.15．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的長軸長為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0為定值；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】(1)根據(jù)題意求出橢圓方程為SKIPIF1<0，將橢圓，及相關(guān)直線、點(diǎn)進(jìn)行平移，將SKIPIF1<0看作方程SKIPIF1<0的兩不等實(shí)根，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，代入直線方程化簡即可；(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，化簡SKIPIF1<0，代入韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）由題意知SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0.將橢圓平移至SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0點(diǎn)平移至SKIPIF1<0分別平移至SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，兩邊同除以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可看作關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程，SKIPIF1<0的兩不等實(shí)根，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率為定值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的定值SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<016．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)也是離心率為SKIPIF1<0的橢圓SKIPIF1<0的一個焦點(diǎn)F．(1)求拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過F的直線SKIPIF1<0交拋物線于A、B，交橢圓于C、D，且A在B左側(cè)，C在D左側(cè)，A在C左側(cè)．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時，是否存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；②若存在直線SKIPIF1<0，使得a，b，c成等差數(shù)列，求SKIPIF1<0的范圍．【答案】(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是SKIPIF1<0，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0(2)①不存在，理由見解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)相同焦點(diǎn)得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，得到答案.（2）設(shè)l：SKIPIF1<0和各點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到方程，方程無解得到答案；整理得到SKIPIF1<0，解不等式即可.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，橢圓的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是SKIPIF1<0．（2）①設(shè)l：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線與拋物線聯(lián)立，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，將直線與橢圓聯(lián)立，則有SKIPIF1<0，得到二次方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假設(shè)存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列，即SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，方程無解，因此不存在l滿足題設(shè)．②只需使得方程SKIPIF1<0有解即可．整理得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，等差數(shù)列性質(zhì)，直線和拋物線，橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)設(shè)而不求的思想，可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，需要熟練掌握.17．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓SKIP