量子力學(xué)考試試卷

2011—2012學(xué)年第二學(xué)期

《量子物理學(xué)》課程考試試卷（A卷）

專業(yè)：應(yīng)物年級：09級考試方式：閉卷學(xué)分：4考試時間：110分鐘

曲

浙

總閱

題

-1:四五六分卷

g

人

.雀

郢

.分

.

.

.題（每空2分，總分20分）

.

.1.根據(jù)德布羅意關(guān)系式，微觀粒子都具有波粒二象性。其表示式為

S.

.——；鼠----------------

.3

.

_|2.粒子所帶電荷為q,則其電荷流密度的公式表示為：Jq=

苞

.

.

.

.

.3.粒子的坐標(biāo)與動量的對易關(guān)系為：［￡,力」=

^.

.

陽.

.4.屬于角動量平方算符2的本征值為：匕=

.

艇

.

.5.電子自旋算符的矩陣表示：$=

.

.

.

.

6.粒子數(shù)算符府=6%,^和。分別為產(chǎn)生算符和湮滅算符。在以1〃〉為基矢的占

￡.

.

.有數(shù)表象中，有戶________________

.

.

.

7.氫原子的狀態(tài)波函數(shù)巴而來描述，其中的m為_______________量子數(shù)。

8.已知幺正變換矩陣S,則ss'=.

9.勢壘貫穿效應(yīng)中粒子的透射系數(shù)為D,則反射系數(shù)的表達(dá)式為：R

前簡答題（每個5分，共計20分）

E分|1.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

2.量子力學(xué)中守恒量概念，定態(tài)概念與它們的區(qū)別

3.電子自旋概念和自旋角動量的本征值

4.全同粒子的概念和全同性原理的涵義

得|三.證明題（10分）

厄米算符片的本征值為4,請證明2必為實(shí)數(shù)

）

（15分

算題

.計

四

<0

oo,x

中

能

粒子的

：（1）

，求

運(yùn)動

?a中

,O<x

=<O

U（x）

勢場

一維

子在

外一粒

a

co,x>

。

”（X）

函數(shù)

化波

歸一

應(yīng)的

2）相

級；（

.

S

<

輪

分）

題（15

計算

五.

粒子

此時

）,求

cos乙

v+；

n2fc

A（si

（x）=

為〃

狀態(tài)

子的

0時粒

設(shè)f=

九

動能

）平均

；（2

量萬

均動

1）平

的：（

(攝

悵，

)

螟

海

照

都

y

td

%

得六.計算題（20分）

分010

h

已知在和的共同表象中，算符乙矩陣表示為：L101

zaX正

010

求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。

2011—2012學(xué)年第二學(xué)期《量子物理學(xué)》

課程考試試卷（A卷）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題（每空2分，共計20分）

1.如或力①;力左或〃/4

2.J=_/▽w）

2m

3.ih

4./（/+1）%2

打or

5.一

2|_10

6.

7.磁

8.1或/（I是單位矩陣）

9.1-D

二、簡答題（20分）

1.答：量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)用波函數(shù)來描述，波函數(shù)的時空變化

規(guī)律由薛定四方程表示。波函數(shù)的統(tǒng)計統(tǒng)計解釋為：物質(zhì)波或薛定謖方程中所描

述的，并不像經(jīng)典波那樣代表什么實(shí)在的物理量在空間分布的波動，只不過是刻

畫粒子在空間的概率分布的概率波。因此，波函數(shù)”（r）也稱為幾率波幅。根據(jù)

波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，粒子在空間各點(diǎn)的概率之和為1,即：=稱

為波函數(shù)的歸一化條件。

2.答：定態(tài)是體系的一種特殊的狀態(tài)，即能量本征態(tài)。在定態(tài)下，切力學(xué)量

（不顯含3但不管是不是守恒量）的平均值和測值概率都不隨時間改變。守恒

量是指在任何態(tài)下，也即一切狀態(tài)下（不管是否定態(tài)），力學(xué)量片的期望值與

測值概率不隨時間變化。

3.答：電子自旋及相應(yīng)的磁矩是電子本身的內(nèi)稟屬性，所以也稱為內(nèi)稟角動量

與內(nèi)稟磁矩。其性質(zhì)類似于軌道角動量與軌道磁矩，自旋可以與之相互耦合。自

B卷第1頁共4頁

旋角動量s在空_間任何方向的投影只能取兩個數(shù)值，=±tl4。

z2

4.答：將質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子稱為全同粒子。全

同性原理：全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改

變，它是量子力學(xué)的基本原理之一。全同粒子系的任何可觀測量對于兩個粒子交

換都是對稱不變的。

三、證明題（10分）

證明：/I表示厄米算符戶的本征值，設(shè)科表示其所屬的本征函數(shù)，根據(jù)本征方

程：

Fl//-入w

上式左乘爐并對全空間積分得：入=W戶wdT

取4的復(fù)共飄得：A：=（5

分）

由于算符戶為厄米算符，因此由=戶，代入上式中可得：

A"=Jw向w*di=聲W*dt=^y/Fi/zdr=A

厄米算符戶的本征值/l等于；l*,說明4為實(shí)數(shù)。（5

分）

定理得證。

四、計算題（15分）

解：（1）在勢阱內(nèi)部（0<x<a）,定態(tài)薛定丹方程為:

d22mE,、

江+卞甲=。

半,上面的方程化為："'+公獷=0

m為粒子質(zhì)量。令k（5分）

方程的通解可以表示為：沙（x）=Asin（丘+S）：A與6為待定積分常數(shù)。因?yàn)?/p>

勢壘無限高，從物理上考慮，粒子不能透過井壁。按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，要求

B卷第2頁共4頁

在阱壁上及阱壁外波函數(shù)為0,特別是：

什（0）=0與材9）=0,此即為波函數(shù)的連續(xù)性條件。

將條件帶入通解條件中得：sin5=0和sin（ka+3）=0

解得6=0與?，“=1,2,3,…

bmE7-2

將％=Jr-代入履=得到：E=E“==W，”=1,2,3,…（5

Vh22ma-

分）

（2）對應(yīng)與能級紇的波函數(shù)記為：匕（x）

2

匕（x）=4sin（"與，利用歸一化條件：「|〃（x）「dx=l

可得：歸一化常數(shù)A=「；則得到歸一化的波函數(shù)為：

,、（2.nnx

〃“（x）=\—sin（——）（5

Vaa

分）

五、計算題（15分）

解：利用三角函數(shù)公式：sin區(qū)=!?"一/湫），cos丘=,?心+"派）

2i2

2i2kx

可得到：/（X）=A（sinfcc+|cosfcr）=?儂必-e-e-^'+2e°）=

A1-1j」%-15-1>,1i

—（21方）2［（2左方）2eh+（2力力）28-（2萬力）2eh-（2萬方）2e+2（2萬力）1eh

4

（5

分）

表明粒子所處的狀態(tài)實(shí)際上是由5個平面波線性疊加而成的疊加態(tài)，根據(jù)態(tài)迭加

原理，此時粒子動量有5個可能取值，它們的取值及相應(yīng)的幾率分別是：

B卷第3頁共4頁

叫貓2

“==T?

2

a「2〃■力啜呼

=hk

Pl卬2=4

Pl=-hk

=郛/(5

P3=卬3=--yjljrti

4

Pa=-2M

叫"2

.P5=0w=----y127rh

44

叼=

分）

由此可得粒子動量與動能的平均值分別為：

55

i=\i=l

_T7555-%2同2_5新力2

7=茄=""29匕(5

8m|A|28加

分）

六、計算題（20分）

解：在2和乙的共同表象中，乙的本征方程為：=.0

'010'飛一

寫成矩陣的形式有：正

101。2=4。2(5

010-3__，3_

分）

力

-Z0

正

h力

相應(yīng)的久期方程為：=0；解得本征值丸=九0,-力。(5

正-A正

tl

0-2

正

B卷第4頁共4頁

分）

將每一個本征值帶回到矩陣形式的算符本征方程中可得到相應(yīng)的本征矢。

當(dāng)義=力時:

料

可以得出：q=C3，。2=應(yīng)。3。于是得到與本征值力相對應(yīng)的乙的本征矢為:

1

3=方〉=>加

1

1

將上式歸一化得，3=g即得：也=力〉n；

加(5

1

巖

分）

鄭

2

同理可解得:|4=°〉n0

2

-五

1

樂1

詞=>—(5

14=2

1

分）

2011—2012學(xué)年第二學(xué)期

《量子物理學(xué)》課程考試試卷（B卷）

專業(yè)：應(yīng)物年級：09級考試方式：閉卷學(xué)分：4考試時間：110分鐘

z-x

希

盤

隨

想

料

卷第

頁

上

B5/14頁

、

-aK

%

得填空題(每空2分，總分20分)

分1.6t為產(chǎn)生算符、6為湮滅算符、1〃〉為占有數(shù)表象的基矢，則

aIn)=

總閱

題

一二四六分;卷

號5

人

雀a\n)-

分

2.一維線性諧振子的分立譜能量本征值為E=

3.坐標(biāo)與動量的對易關(guān)系為：［必,可=

4.角動量的z分量算-符=-清d二的本征值為：_________________

d(p

5.電子自旋算符的矩陣表示：.$=

6.算符戶為厄米算符，則其轉(zhuǎn)置算符方=

7.氫原子的狀態(tài)波函數(shù)力，加來描述，其中的n為______________量子數(shù)。

8.己知幺正變換矩陣S,則s's=..

9.一維線性諧振子的能量本征函數(shù)為”“(x),空間反演后的波函數(shù)”“(-X)與

B卷第6頁共4頁

（X）的關(guān)系式為：i//n（-x）=

二.簡答題（每個5分，共計20分）

1.態(tài)迭加原理

2.量子力學(xué)中的不確定原理的物理意義

3.泡利不相容原理及其物理意義

4.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及其意義

^"!三.證明題（io分）

E14是厄米算符戶的本征值，請證明人必為實(shí)數(shù)

B卷第7頁共4頁

M］四.計算題(15分)

分00,y<0

|一粒子在--維勢場U(y)=<0,0<y<6中運(yùn)動，求：(1)粒子的能級;

E<x),y>b

(2)相應(yīng)的歸一化波函數(shù)”(y)。

哪

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

赭

五.計算題(15分)

在f=0時粒子的狀態(tài)波函數(shù)為：〃(x)=A(gcos2履+sin?,

S求此時粒子的：(1)平均動量,；(2)平均動能亍。

，

版

)

遽

貂

照

Y料

WB卷第8頁共4頁

型

六.計算題（20分）

已知在於和.的共同表象中，算符4矩陣表示為：

-0-iC）■

人h

i。求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。

B卷第9頁共4頁

B卷第10頁共4頁

2011—2012學(xué)年第二學(xué)期《量子物理學(xué)》

課程考試試卷（B卷）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題（每空2分，共計20分）

1.5AmM+1），4n\n-]^

2.（〃+,）方0,〃=0」,2,3一??

2

3.-ih

4.mh,m=0,±1,±2,±3,±4,…

力「10'

5.一

2|_0-1

6.F

7.主

8.1或/（I是單位矩陣）

9.（-DV（x）

二、簡答題（20分）

1.答：態(tài)迭加原理的表示式為：<//-+c2^2d----卜CM=E1cM“。式中

n

C],C2,…,C,為復(fù)數(shù)。態(tài)迭加原理表示如下:當(dāng)玄，-2,…，心是體系的可能狀態(tài)

時，他們的線性迭加〃也是體系的一個可能狀態(tài)；當(dāng)體系處于態(tài)材時，體系部

分地處于態(tài)必收,…"“中，相應(yīng)的概率分別為L「，間2,…,除「。

2.答：當(dāng)兩個算符片和@不對易時，它們不能同時有確定值。如果[戶,6]=從

（（為算符或普通的數(shù)），根據(jù)不確定性原理，其均方偏差與的乘積

（AF）2（AG）2>—,集中反映了量子力學(xué)規(guī)律的特點(diǎn)。不確定關(guān)系給我們指出

4

了使用經(jīng)典粒子概念的一個限度。這個限度用Planck常量//來表征。當(dāng)人-0

B卷第1頁共4頁

時，量子力學(xué)將回到經(jīng)典力學(xué)，或者說量子效應(yīng)可以忽略。

3.答：如果N個單粒子態(tài)落內(nèi),…，丸中有兩個單粒子態(tài)相同，則Slater（斯萊

特）行列式中有兩行相同，因而行列式等于零。這表示不能有兩個或兩個以上的

費(fèi)米子處于同?狀態(tài)，這個結(jié)果稱為泡利不相容原理。

4.答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應(yīng)滿足三個條件：單值、有限、連

續(xù)。由于粒子出現(xiàn)的概率卬=帆「應(yīng)是坐標(biāo)和時間的單值函數(shù)，這樣才能使粒子

的概率在時刻t、在尸點(diǎn)有唯一確定的值。由于概率密度和概率流密度應(yīng)當(dāng)連續(xù),

所以“必須在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)是有限的利連續(xù)的，并且有連續(xù)的微商（在

有限個點(diǎn)上，”和它的微商在保持平方可積的條件下可以趨于無窮大）。波函數(shù)

的標(biāo)準(zhǔn)條件對波函數(shù)的取值提出了要求，它在解量子力學(xué)問題中占有重要地位。

三、證明題（10分）

證明：/I表示厄米算符戶的本征值，設(shè)科表示其所屬的本征函數(shù)，根據(jù)本征方

程：

Fy/-

上式左乘”并對全空間積分得：九=J”戶"dr

取4的復(fù)共飄得：匯=J”自*“dr（5

分）

由于算符戶為厄米算符，因此戶"=1，代入上式中可得：

2,=W"y/"dT==Z

厄米算符戶的本征值/t等于萬，說明4為實(shí)數(shù)。（5

分）

定理得證。

四、計算題（15分）

解：（1）在勢阱內(nèi)部（0<y<6）,定態(tài)薛定丹方程為:

d22mE

西"+『=。n

B卷第2頁共4頁

m為粒子質(zhì)量。令k上面的方程化為：〃"+/〃=()(5分)

方程的通解可以表示為：勿(y)=4sin(6+3)；A與b為待定積分常數(shù)。因?yàn)?/p>

勢壘無限高，從物理上考慮，粒子不能透過井壁。按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，要求

在阱壁上及阱壁外波函數(shù)為0,特別是：

-(0)=0與=0，此即為波函數(shù)的連續(xù)性條件。

將條件帶入通解條件中得：sinb=0和sin(妨+3)=0

解得5=0與kb=n兀，n=1,2,3,--?

將％=3華代入妨=”乃得到：E=E“=已注，”=1,2,3,…

(5

Vn'2mb~

分)

(2)對應(yīng)與能級紜的波函數(shù)記為：匕(y)

2

〃“(>)=Asin(?^薩),利用歸一化條件：￡|^(y)|dy=1

可得：歸一化常數(shù)A=J；則得到歸一化的波函數(shù)為：

,、2.nnx

^,(y)=Jrsin(--)(5

Vbh

分)

五、計算題(15分)

I11

解：利用三角函數(shù)公式：sin—乙=—(e2—e2),cos2kx=-(ei2kx+e~i2kx)

22i2

可得到：

-(x)=A(|cos2kx+sin2g依)=~(e'2kr+e-i2kx-eikx-e-ikx+2e°)=

A1」&-1%,-*i,A--1*-1i,A-

—(2萬力尸］(2左方)2eh+(2不力)2eh一(2萬力)2ehP-(2萬方)2e+2(2萬方)2ehP

4

B卷第3頁共4頁

(5

分）

表明粒子所處的狀態(tài)實(shí)際上是由5個平面波線性疊加而成的疊加態(tài)，根據(jù)態(tài)迭加

原理，此時粒子動量有5個可能取值，它們的取值及相應(yīng)的幾率分別是：

/=2匹

2J2〃■力

Pi=2hk卬2=

4

p2=-2hk

=郛|

p=hk<嗎=--yjlTlh(5

34

p4=-hk

乃力141

.P5=0一4J24方

%二

4

4丁27■力

卬5=

2