2017高考數(shù)學(xué)專題數(shù)列

專題二

數(shù)列的通項(xiàng)與求和第一頁，共47頁?！局鞲芍R(shí)】1.必記公式(1)“基本數(shù)列”的通項(xiàng)公式:①數(shù)列-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式是an=_____(n∈N*).②數(shù)列1,2,3,4,…的通項(xiàng)公式是an=__(n∈N*).③數(shù)列3,5,7,9,…的通項(xiàng)公式是an=_____(n∈N*).④數(shù)列2,4,6,8,…的通項(xiàng)公式是an=___(n∈N*).(-1)nn2n+12n第二頁，共47頁。⑤數(shù)列1,2,4,8,…的通項(xiàng)公式是an=____(n∈N*).⑥數(shù)列1,4,9,16,…的通項(xiàng)公式是an=__(n∈N*).⑦數(shù)列1,3,6,10,…的通項(xiàng)公式是an=______(n∈N*).⑧數(shù)列,…的通項(xiàng)公式是an=___(n∈N*).2n-1n2第三頁，共47頁。第四頁，共47頁。第五頁，共47頁。2.易錯(cuò)提醒（1）裂項(xiàng)求和的系數(shù)出錯(cuò)：裂項(xiàng)時(shí)，把系數(shù)寫成它的倒數(shù)或者忘記系數(shù)致錯(cuò).（2）忽略驗(yàn)證第一項(xiàng)致誤:利用求通項(xiàng)，忽略n≥2的限定，忘記第一項(xiàng)單獨(dú)求解與檢驗(yàn).（3）求錯(cuò)項(xiàng)數(shù)致誤：錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后總項(xiàng)數(shù)為n+1,易錯(cuò)并且還易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng).第六頁，共47頁?！究碱}回顧】1.一組高考題回做?。。?/p>

第七頁，共47頁。第八頁，共47頁。第九頁，共47頁。第十頁，共47頁。第十一頁，共47頁。第十二頁，共47頁。第十三頁，共47頁?！酒渌碱}回顧】1.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(

)A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an【解析】選D.因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1,公比為,

所以Sn=3-2an.第十四頁，共47頁。2.(2016·紹興模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3+a8=13,S7=35,則a7=

(

)A.8 B.9 C.10 D.11【解析】選A.由已知條件可得,所以a7=a1+6d=2+6×1=8.第十五頁，共47頁。3.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,a1,a2,a5成等比數(shù)列,則a2017的值為

4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,若a1>0,且a1+9a6=0,則Sn取最大值時(shí)n為(

)A.11 B.10 C.6 D.5第十六頁，共47頁?！窘馕觥窟xD.因?yàn)閍1>0,a1+9a6=a1+a6+8a6=a2+a5+8a6=a2+a6+a5+7a6=2a4+a5+7a6=2(a4+a6)+a5+5a6=5(a5+a6)=0,所以a5>0,a6<0,即前5項(xiàng)和最大.第十七頁，共47頁。5.(2016·銀川模擬)某音樂酒吧的霓虹燈是用?∮?三個(gè)不同音符組成的一個(gè)含n+1(n∈N*)個(gè)音符的音符串,要求由音符?開始,相鄰兩個(gè)音符不能相同.例如n=1時(shí),排出的音符串是?∮,??;n=2時(shí)排出的音符串是?∮?,?∮?,???,??∮,…,記這種含n+1個(gè)音符的所有音符串中,排在最后一個(gè)的音符仍是?的音符串的個(gè)數(shù)為an,故a1=0,a2=2.則(1)a4=

;(2)an=

.第十八頁，共47頁?！窘馕觥縜1=0,a2=2=21-a1,a3=2=22-a2,a4=6=23-a3;a5=10=24-a4,所以an=2n-1-an-1,所以an-1=2n-2-an-2,兩式相減得:an-an-2=2n-2,第十九頁，共47頁。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),利用累加法得an-a1=21+23+…+2n-2=,所以an=,同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),利用累加法得an-a2=22+24+…+2n-2=,所以an=,綜上所述an=.答案:(1)6

(2)第二十頁，共47頁。熱點(diǎn)考向一求數(shù)列的通項(xiàng)公式【考情快報(bào)】難度:中檔題命題指數(shù):★★★題型:在客觀題、解答題中都會(huì)出現(xiàn)考查方式:考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解,考查an與Sn的關(guān)系,遞推關(guān)系等,體現(xiàn)方程思想、整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用第二十一頁，共47頁?！镜漕}1】(1)(2015·衢州模擬)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,則an=

(

)A.2+lnn B.2+(n-1)lnnC.2+nlnn D.1+n+lnn(2)(2016·浙江五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=則an=第二十二頁，共47頁。【信息聯(lián)想】（1）看到an+1=an+ln，即an+1-an=ln(n+1)-lnn，想到___________.（2）看到前n項(xiàng)和形式，想到_________________.累加或累乘第二十三頁，共47頁?！疽?guī)范解答】(1)選A.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn.(2)當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2an=2(Sn-Sn-1),Sn=2Sn-1,S1=2,所以Sn=2n，所以an=第二十四頁，共47頁?！净?dòng)探究】題(1)條件變化為:已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】已知條件可化為第二十五頁，共47頁?！疽?guī)律方法】求通項(xiàng)的常用方法(1)歸納猜想法:已知數(shù)列的前幾項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式,可采用歸納猜想法.(2)已知Sn與an的關(guān)系,利用an=求an.(3)累加法:數(shù)列遞推關(guān)系形如an+1=an+f(n),其中數(shù)列{f(n)}前n項(xiàng)和可求,這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí),常用累加法(疊加法).(4)累乘法:數(shù)列遞推關(guān)系如an+1=g(n)an,其中數(shù)列{g(n)}前n項(xiàng)積可求,此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法).第二十六頁，共47頁。（5）構(gòu)造法：①遞推關(guān)系形如an+1=pan+q(p,q為常數(shù))可化為an+1+=p(an+)(p≠1)的形式，利用是以p為公比的等比數(shù)列求解.(又配湊法或待定系數(shù)法)②遞推關(guān)系形如an+1=(p為非零常數(shù))可化為的形式.（取倒數(shù)法）（6）第二十七頁，共47頁。（2）.已知{an}中,a1=1,,求通項(xiàng)an第二十八頁，共47頁。2.已知數(shù)列{an}滿足a1=4,a2=2,a3=1,又{an+1-an}成等差數(shù)列(n∈N*),則an等于

.【解析】由已知,{an+1-an}是首項(xiàng)為-2,公差為1的等差數(shù)列,an+1-an=-2+(n-1)=n-3,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=.答案:第二十九頁，共47頁?！炯庸逃?xùn)練】3.（2016·杭州模擬）等差數(shù)列{an}中，a1=2015,前n項(xiàng)和為Sn,=-2，則S2

017的值為_____.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則所以是首項(xiàng)為2015，公差為-1的等差數(shù)列，

=2015+(n-1)(-1)=2016-n,S2

017=-2017.答案：-2017第三十頁，共47頁。熱點(diǎn)考向二求數(shù)列的前n項(xiàng)和【考情快報(bào)】高頻考向多維探究難度:中檔題命題指數(shù):★★★題型:客觀題、解答題都可能出現(xiàn)考查方式:主要考查等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及其他求和方法,尤其是錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)相消法是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,常與通項(xiàng)公式相結(jié)合考查,有時(shí)也與函數(shù)、方程等知識(shí)綜合命題第三十一頁，共47頁。命題角度一基本數(shù)列求和、分組求和【典題2】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且滿足S3=a4,a3+a5=a4+2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)求S2n.第三十二頁，共47頁。【信息聯(lián)想】(1)看到數(shù)列{a2n-1}是等差數(shù)列、{a2n}是等比數(shù)列,想到_________________________.(2)看到求S2n,想到______________________________.等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和分組求和第三十三頁，共47頁?！疽?guī)范解答】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,則a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d,所以解得d=2,q=3.所以an=(k∈N*).(2)S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+5+…+2n-1)+(2×30+2×31+…+2×3n-1)第三十四頁，共47頁。命題角度二裂項(xiàng)相消求和【典題3】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S5=35,a5和a7的等差中項(xiàng)為13.(1)求an及Sn.(2)令bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.第三十五頁，共47頁。【信息聯(lián)想】(1)看到等差數(shù)列、等差中項(xiàng),想到等差數(shù)列的_________________.(2)看到bn=的結(jié)構(gòu),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,想到______________.基本量、基本公式裂項(xiàng)相消求和第三十六頁，共47頁?！疽?guī)范解答】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)镾5=5a3=35,a5+a7=26,所以解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1(n∈N*),Sn=3n+×2=n2+2n(n∈N*).(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=第三十七頁，共47頁。命題角度三錯(cuò)位相減求和【典題4】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.第三十八頁，共47頁。【現(xiàn)場(chǎng)答案】第三十九頁，共47頁?！炯m錯(cuò)析因】找出以上答案的錯(cuò)誤之處,分析錯(cuò)因,并給出正確答案.提示:以上解題過程中出錯(cuò)之處是①-②后所得式子最后一項(xiàng)的符號(hào)寫錯(cuò),應(yīng)是減號(hào),從而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).第四十頁，共47頁。【規(guī)范解答】（1）依題意得所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1(n∈