中科大保送生面試物理試題分析及解答

在線才智才智在線在線才智才智在線2011年中科大保送生面試物理試題分析及解答許冬保2010年12月中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)對具有保送資格的保送生進(jìn)行了面試。面試試題共五大題，其中物理2題，數(shù)學(xué)2題，化學(xué)1題?？忌伎紩r間45分鐘，然后向面試教師陳述試題解答思路、方法及結(jié)果。物理試題解答所涉及到的知識已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越中學(xué)教學(xué)的要求，難度大于高考試題，接近或達(dá)到競賽復(fù)賽題的要求。隨著高校招生制度的改革，自主招生的力度還將加大。因此，分析高校自主招生試題，研究命題思路，幫助理科優(yōu)秀學(xué)生如何應(yīng)對自主招生考試，是中學(xué)物理教師面臨的一個重要課題。考慮到多方面的原因，教育部原則上規(guī)定自主招生試題及解答不向社會公布。下面根據(jù)考生提供的試題，進(jìn)行分析及解答，以饗讀者。v0θ圖1試題1如圖1所示，一物體從地球表面發(fā)射，初速度大小為（式中為第一宇宙速度），初速度方向與豎直方向成θ角，其中。地球視為質(zhì)量均勻分布的球體，忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響。請解答以下問題：v0θ圖1（1）意味著什么？（2）物體運動過程中有哪些物理量守恒？（3）物體能到達(dá)的最大高度，并討論和兩種特殊情況。分析與解答：（1）設(shè)物體的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，地球半徑為R。物體從地球表面發(fā)射，成為繞地球運行的人造地球衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度即為第一宇宙速度。由萬有引力定律及牛頓運動定律，有①解得物體脫離地球引力的束縛，成為環(huán)繞太陽運動的一顆人造行星，物體的最小發(fā)射速度即為第二宇宙速度。由機械能守恒定律，有②解得由題意知：，這意味著物體發(fā)射的初速度小于第二宇宙速度，物體不能脫離地球引力的束縛，只能繞地球運動。（2）引力場是有心力場，物體在地球引力作用下的運動是平面運動。如果不考慮空氣阻力，物體在運動過程中機械能及角動量均守恒。（3）設(shè)物體運動離地面的最大高度為H，該處速度為。由機械能守恒定律，有③由角動量守恒定律，有④聯(lián)立①③④方程，得解關(guān)于（R+H）的一元二次方程，得⑤⑤式即為物體達(dá)到最大高度的表達(dá)式。討論：Ⅰ．當(dāng)發(fā)射角度時，⑤式簡化為解得（舍去），關(guān)于結(jié)果作兩點討論：?。绻?，則根據(jù)（g為地球表面的重力加速度）及解得這是我們所熟知的物體豎直上拋運動的結(jié)果。ⅱ．如果，則。Ⅱ．當(dāng)發(fā)射角度時，⑤式簡化為解得，。圖2此解的物理意義分析如下：圖2?。?dāng)時，，表明物體無法拋離地面或物體繞地球表面作勻速圓周運動。ⅱ．當(dāng)時，物體繞地球沿橢圓軌道運動，如圖2所示，，對應(yīng)物體在近地點；，對應(yīng)物體在遠(yuǎn)地點。因此，，即為物體在角度時所能達(dá)到的最大高度。當(dāng)角度時，物體運動所能達(dá)到的最大高度還有另一種解法：如圖2所示，設(shè)物體在遠(yuǎn)地點的曲率半徑為ρ，該處速度為。由萬有引力定律及牛頓運動定律，有⑥物體沿橢圓軌道運動，半長軸及半短軸的長度記為a、b，則由數(shù)學(xué)知識有，，。聯(lián)立以上各式及方程④解得該題第（3）問，亦可以在極坐標(biāo)系中建立方程求解。將物體的發(fā)射速度沿徑向和角向分解，寫成⑦或⑧物體達(dá)到最大高度H時徑向速度，角向速度為，由機械能守恒定律及角動量守恒定律，有⑨⑩聯(lián)立⑦⑨⑩式解得討論：Ⅰ．當(dāng)發(fā)射角度時，，。所得結(jié)果同上。Ⅱ．當(dāng)發(fā)射角度時，，。所得結(jié)果同上。rCABD圖3O試題2如圖3所示，在半徑為R的金屬球A內(nèi)，有兩個球形空腔，金屬球整體不帶電，在兩空腔中心各放置一點電荷B和C，所帶電荷量分別為和。在金屬球A之外離球心O為r處放置另一點電荷D，電荷量為，已知rrCABD圖3O（1）寫出庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（2）寫出點電荷D所受靜電力大小的表達(dá)式；（3）求出點電荷B和C所受的靜電力。分析與解答：（1）設(shè)真空中兩個靜止點電荷的電荷量分別為Q1和Q2，從Q1指向Q2的矢徑為，則Q1對Q2的靜電力即庫侖力為①式中，為靜電力常量?；?qū)懗扇缦碌男问舰?，為真空中的介電常量或真空電容率。①或②式即為庫侖定律的?shù)學(xué)表達(dá)式。（2）置于空腔內(nèi)的點電荷B和C，由于靜電感應(yīng)，在空腔內(nèi)表面感應(yīng)異種電荷，在A球外表面感應(yīng)同種電荷。由于金屬球A與點電荷D處的距離r遠(yuǎn)大于金屬球A的半徑，因此，所有這些電荷在點電荷D處的總場強，可以等效為處于球心處的兩個點電荷和在點電荷D處產(chǎn)生的場強的矢量和。其次，點電荷D在金屬球A的表面也會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷是面電荷。該面電荷可以等效為兩個鏡像電荷：一個鏡像電荷距離導(dǎo)體球A中心O點的距離為，并在點電荷與球心的連線上，電荷量為；另一個鏡像電荷可以看成是集中在球心O處，由于導(dǎo)體球A原來不帶電，因此其電荷量為。補充說明的是：第一個鏡像電荷是為了與點電荷共同作用下保證導(dǎo)體球為零電勢的等電勢球；第二個鏡像電荷是為了保證導(dǎo)體球A總電荷量為零的等電勢球。感應(yīng)電荷在球外產(chǎn)生的電場，用鏡像電荷等效處理，會使問題變得簡單。根據(jù)靜電場唯一性定理，這個場就是所求的感應(yīng)電荷在球外產(chǎn)生的靜電場。綜合上述，點電荷D處的電場等效為由四部分構(gòu)成，由庫侖定律可得其所受靜電力的大小為③整理后得④由④式可知，如果除外，其他量均保持不變，討論如下：Ⅰ．如果所受靜電力為零，則Ⅱ．如果所受靜電力表現(xiàn)為引力，則Ⅲ．如果所受靜電力表現(xiàn)為斥力，則（3）由于靜電屏蔽，因此，除空腔中的點電荷及空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷外，其它電荷在空腔內(nèi)的場強均為零。點電荷B和C只受到各自內(nèi)表面感應(yīng)電荷的作用，已知點電荷B、C又處于空腔中心，則感應(yīng)電荷均勻分布在空腔內(nèi)表面上，所以點電荷B和C所受靜電力之合力均等于零。該結(jié)果也可以由高斯定律得到。引力勢能、角動量守恒定律、鏡像電荷（球面問題）等知識點，屬于競賽內(nèi)容。因此，理科優(yōu)秀學(xué)生要通過這樣的考試，必須學(xué)習(xí)相關(guān)競賽知識。最后需要說明的是，試題是由多名考生回憶整理出來的，試題文字部分一定和原題有出入。盡管如此，這并不影響對問題的分析。解答中如有不妥之處，敬請同仁斧正。參考文獻(xiàn)[1]張永德，物理學(xué)大題典（力學(xué)上冊）[M]．北京：科學(xué)出版社，2008：300[2]