概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題庫及答案（四）

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)試題(后面帶答案)

一、填空題

1.設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件。試用A、B、C分別表示事件

1)A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生

2)A、B、C中恰有一個(gè)發(fā)生

3)A、B、C不多于一個(gè)發(fā)生

2.設(shè)A、B為隨機(jī)事件，P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8o則P(BA)=_

3.若事件A和事件B相互獨(dú)立-P(A)=a,P(B)=0.3,P(AB)=0.7,貝!|a=

4.、將C,C,E,E,I,N,S甯R個(gè)字母隨機(jī)的排成一行，那末恰好排成英文單詞

SCIENCE的概率為

5.甲、乙兩人獨(dú)立的對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已

知目標(biāo)被命中，則它是甲射中的概率為

6.設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布律為X=?=5A(1、2)化(?則

A-

+"0<x<1

7.已知隨機(jī)變量X的密度為/U)=且P{x>l/2}=5/8,則

10,其它

h=________

8.設(shè)X?NQ,/),且P{2<x<4}=0.3,則P{x<0}=

on

9.一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為罷，則該

81

射手的命中率為一

10.若隨機(jī)變量J在(1，6)上服從均勻分布，則方程x2+Jx+l=0有實(shí)根的概率

是__________

34

11.設(shè)P{X20,yN0}=1,P{X>O}=P{y>O}=y,則P{max{X,y}N0}=

12.用(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示P{aWXKb,y<c}=

13.用(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示P{X<a,y<b}=

14.設(shè)平面區(qū)域D由y=x,y=0和x=2所圍成，二維隨機(jī)變量(x,y)在區(qū)

域D上服從均勻分布，則(x,y)關(guān)于X的邊緣概率密度在x=1處的值

為-

15.已知X~N(—LOT),則E(X+3)2=

16.設(shè)X~N(10,0.6),y~N(l,2),且X與丫相互獨(dú)立，則O(3X—丫)=

17.設(shè)X的概率密度為/(x)=1則D(X)=___________________

18.設(shè)隨機(jī)變量X”X2,X：,相互獨(dú)立，其中左在［0,6］上服從均勻分布，X2服從

正態(tài)分布N(0,22),Xs服從參數(shù)為4=3的泊松分布，記Y=X1-2XZ+3X3,則D(Y)

19.設(shè)D(X)=25,￡>(/)=36,分=04，則D(X+Y)=

20.設(shè)X「X2,…,X”,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序歹!I,且均值為〃，方差為人,那

么當(dāng)〃充分大時(shí)，近似有刀?或〃工二幺?o特別是，當(dāng)

(J

同為正態(tài)分布時(shí)，對(duì)于任意的〃，都精確有又?或

冊(cè)??.

(T

21.設(shè)X1,Xz，…,X“，…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且，

DX,=a2(z=l,2,---)那么依概率收斂于.

n,=i

22.設(shè)X,,X2,X3,X4是來自正態(tài)總體N(0,22)的樣本，令

222

丫=(X1+X2)+(X3-X4),則當(dāng)C=時(shí)CY?/(2)O

23.設(shè)容量n=10的樣本的觀察值為(8,7,6,9,8,7,5,9,6),則樣本

均值=，樣本方差=

24.設(shè)AXZ,…X0為來自正態(tài)總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則樣本均值

X=-fXj服從

二'選擇題

1.設(shè)A,B為兩隨機(jī)事件，且BuA,則下列式子正確的是

(A)P(A+B)=P(A);(B)P(AB)=P(A);

(C)P(8|A)=P(B);(D)P(B-A)=P(5)-P(A)

2.以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對(duì)立事件了為

(A)“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”；(B)“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”

(C)“甲種產(chǎn)品滯銷”；(D)“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”。

3.袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)黃的，30個(gè)白的，現(xiàn)在兩個(gè)人不放回地依次

從袋中隨機(jī)各取一球。則第二人取到黃球的概率是

(A)1/5(B)2/5(C)3/5(D)4/5

4.對(duì)于事件A,B,下列命題正確的是

(A)若A,B互不相容，則入與否也互不相容。

(B)若A,B相容，那么了與否也相容。

(C)若A,B互不相容，且概率都大于零，則A,B也相互獨(dú)立。

(D)若A,B相互獨(dú)立，那么久與方也相互獨(dú)立。

5.若P(叫A)=l,那么下列命題中正確的是

(A)Au6(B)BuA(C)A-B=0(D)P(A-8)=0

6.設(shè)X?NJ,"),那么當(dāng)增大時(shí)，P{|X—4<<T}=

A)增大B)減少C)不變D)增減不定。

7.設(shè)X的密度函數(shù)為〃x),分布函數(shù)為f(x),且/(x)=f(-x)。那么對(duì)任意給

定的a都有____________

ra、1ra

A)/(-?)=1-[f{x}dxB)F(-a)=—(f(x)dx

jo2Jo

C)F(?)=F(-a)D)F(-a)=2F(?)-l

8.下列函數(shù)中，可作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)是

A)F(x)=1+—B)F(x)=—+—arctanx

x~271

、一(1-e、)，x>0、rx.p+oo

C)F(x)=<2D)F(x)=[f⑴dt,其中[fQ)dt=l

J—00J—GO

0,x<0

9.假設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),密度函數(shù)為f(x).若X與-X有相同的分

布函數(shù)，則下列各式中正確的是—

A)F(x)=F(-x);B)F(x)=-F(-x);

C)f(x)=f(-x);D)f(x)=-f(-x).

Ap-xX>2

10.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)='一(A>O,A為常數(shù))，則概率

0,x</l

P{A<X<A+a}(a>0)的值_____________

A)與a無關(guān)，隨X的增大而增大B)與a無關(guān)，隨X的增大而減小

C)與X無關(guān)，隨a的增大而增大D)與X無關(guān)，隨a的增大而減小

11.X1,X2獨(dú)立，且分布率為(i=1,2),那么下列結(jié)論正確

的是__________

A)X,=X2B)P[Xt=X2}=1C)P{X}=X2}=^

正確(X,y)|(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

12.設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律/「11/61/91/181/3aP

且X,y相互獨(dú)立，則

A)。=2/9,尸=1/9B)e=l/9,4=2/9

C)a=l/6,〃=l/6D)&=8/15,夕=1/18

13.若x?(從,端)，y?(〃2，&)那么(x,y)的聯(lián)合分布為

A)二維正態(tài)，且夕=0B)二維正態(tài)，且0不定

C)未必是二維正態(tài)D)以上都不對(duì)

14.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為R(x),F、(y),

則Z=max{X,Y}的分布函數(shù)是

A)Fz(z)=max{Fx(x),FY(y)};B)Fz(z)=max{|Fx(x)|,|Fy(y)|)

0Fz(z)=Fx(x)?Fv(y)D)都不是

15.下列二無函數(shù)中，可以作為連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。

,、cosx,<x<—,0KyK1

A)f(x,y)={22)

1°,其他

v/、cosx,--x<—,0<y一

B)g(x,y)={2K2>42

1其他

cosx,0<x<^,0<y<l

C)(p(x,y)=<

0,其他

、rcosx,0<x<^,0<y<1—

D)h(x,y)[2

1°,其他

16.擲一顆均勻的骰子600次，那么出現(xiàn)“一點(diǎn)”次數(shù)的均值為

A)50B)100C)120D)150

17.設(shè)X,,X2,X3相互獨(dú)立同服從參數(shù)2=3的泊松分布，令丫=」(X1+X2+X3),

則

￡(r2)=______________

A)1.B)9.C)10.D)6.

18.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量x和y,若E(xy)=E(x>E(y),則

A)z)(xy)=D(x)z)(y)B)o(x+y)=z)(x)+r>(y)

ox和y獨(dú)立D)x和y不獨(dú)立

19.設(shè)XP(2)(Poissio〃分布)，且E[(X-1)(X—2)]=1,則丸=

A)1,B)2,C)3,D)0

20.設(shè)隨機(jī)變量x和Y的方差存在且不等于0,則。(x+y)=o(x)+z)(y)是x

和Y的______

A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；B)獨(dú)立的必要條件，但不

是充分條件；

C)不相關(guān)的充分必要條件；D)獨(dú)立的充分必要條件

21.設(shè)X?N(〃,『)其中〃已知，/未知，x「X2，X3樣本，則下列選項(xiàng)中不是

統(tǒng)計(jì)量的是

3X2

A)X1+X2+X3B)C)gTD)X,-//

i=ib

22.設(shè)X?〃(l,p),X”X2,…,X,，是來自X的樣本，那么下列選項(xiàng)中不正確的

是_______

A)當(dāng)〃充分大時(shí)，近似有又?N(p,」若包)

B)P[X=k}=Cy(l-p)n-k,k=0,l,2,-,n

—k

C)P{X=—}=C；p“l(fā)一p)i，攵=0,1,2,〃

n

kk

D)P{Xi=k}=C^P(l-p)"-,l<i<n

23.若X?《〃)那么/?

A)F(l,n)B)F(n,l)C)/2(n)D)?〃)

24.設(shè)X1,X2,…X,為來自正態(tài)總體N(〃,/)簡單隨機(jī)樣本，又是樣本均值，記

1n_]"_1n

s；=S(x「xy,s；=—X(x,-x)2,s”—3(Xj-〃)2,

2

(X,.-A),則服從自由度為〃-1的/分布的隨機(jī)變量是

A)t=X~^_B)t=-X^=C)t=*二7D)f=*二3

S"J〃一1S2/VH-1S3IS4/yJn

25.設(shè)X1,X2,…Xn，Xn”…,Xw是來自正態(tài)總體N(0,/)的容量為n+m的樣本，

"力X；

則統(tǒng)計(jì)量丫=-^—服從的分布是

i=n+\

A)F(m,n)B)—1)C)F(n,m)D)F(m-1,?-1)

三、解答題

1.10把鑰匙中有3把能打開門，今任意取兩把，求能打開門的概率。

2.任意將10本書放在書架上。其中有兩套書，一套3本，另一套4本。求下列

事件的概率。

1)3本一套放在一起。

2)兩套各自放在一起。

3)兩套中至少有一套放在一起。

3.調(diào)查某單位得知。購買空調(diào)的占15%,購買電腦占12%,購買DVD的占20%

其中購買空調(diào)與電腦占6%,購買空調(diào)與DVD占10%,購買電腦和DVD占5%,

三種電器都購買占2%。求下列事件的概率。

1)至少購買一種電器的；

2)至多購買一種電器的；

3)三種電器都沒購買的；

4.倉庫中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次為甲、乙、

丙廠生產(chǎn)的，且甲廠，乙廠、丙廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的次品率依次為

1/10,1/15,1/20.從這十箱產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。

5.一箱產(chǎn)品，A,B兩廠生產(chǎn)分別個(gè)占60%,40%,其次品率分別為1%,2%。

現(xiàn)在從中任取一件為次品，問此時(shí)該產(chǎn)品是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？

6.有標(biāo)號(hào)1』的n個(gè)盒子，每個(gè)盒子中都有m個(gè)白球k個(gè)黑球。從第一個(gè)盒子

中取一個(gè)球放入第二個(gè)盒子，再從第二個(gè)盒子任取一球放入第三個(gè)盒子，依

次繼續(xù)，求從最后一個(gè)盒子取到的球是白球的概率。

7.從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，各種產(chǎn)品被

抽到的可能性相同，求在二種情況下，直到取出合格品為止，所求抽取次數(shù)的分

布率。(1)放回(2)不放回

8.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為/(x)=AeTN(YO<X<”)，

求(1)系數(shù)A,

(2)P{O<x<l}

(3)分布函數(shù)/(x)。

9.對(duì)球的直徑作測(cè)量，設(shè)其值均勻地分布在內(nèi)。求體積的密度函數(shù)。

10.設(shè)在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)成功概率為0.5,問需要進(jìn)行多少次實(shí)驗(yàn)，

才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11.公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的，設(shè)

男子的身高XN(168,72),問車門的高度應(yīng)如何確定？

12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：F(x)=A+Barctanx,(-8<x<+8).

求：(1)系數(shù)A與B；

(2)X落在(-1,1)內(nèi)的概率；

(3)X的分布密度。

13.把一枚均勻的硬幣連拋三次，以X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，丫表示正、反兩面

次數(shù)差的絕對(duì)值，求(x,y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布。

14.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x,y)=A(B+arctan-1)(C+arctany)

求(1)AB、C的值，(2)(X,y)的聯(lián)合密度，(3)判斷X、y的

獨(dú)立性。

15.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為

0,其他

求(1)系數(shù)A；(2)落在區(qū)域D：{0<x?l,0<”2}的概率。

16.設(shè)(X,F)的聯(lián)合密度為f(x,y)=Ay(l-x),0<x<l,O<^<x,

(1)求系數(shù)A,(2)求(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。

17.上題條件下：(1)求關(guān)于X及丫的邊緣密度。(2)X與丫是否相互獨(dú)立？

18.在第16)題條件下，求和/(乂丫)。

19.盒中有7個(gè)球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任抽3個(gè)球，求抽到白球數(shù)

X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差O(X)o

20.有一物品的重量為1克，2克，???，10克是等概率的，為用天平稱此

物品的重量準(zhǔn)備了三組祛碼，甲組有五個(gè)祛碼分別為1,2,2,5,10克，乙組

為1,1,2,5,10克，丙組為1,2,3,4,10克，只準(zhǔn)用一組祛碼放在天平的

一個(gè)稱盤里稱重量，問哪一組祛碼稱重物時(shí)所用的祛碼數(shù)平均最少？

21.公共汽車起點(diǎn)站于每小時(shí)的10分，30分，55分發(fā)車，該顧客不知發(fā)車時(shí)

間，在每小時(shí)內(nèi)的任一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望(準(zhǔn)確到

秒)。

22.設(shè)排球隊(duì)A與B比賽，若有一隊(duì)勝4場(chǎng)，則比賽宣告結(jié)束，假設(shè)A,B在每

場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為1/2,試求平均需比賽幾場(chǎng)才能分出勝負(fù)？

23.一袋中有〃張卡片，分別記為1,2,???,〃，從中有放回地抽取出左張

來，以X表示所得號(hào)碼之和，求E(X),￡>(X)。

24.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f

求：①常數(shù)k,②E(XY)及。(XY).

25.設(shè)供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞電燈開燈的概率均為0.7,并且彼此開

閉與否相互獨(dú)立，試用切比雪夫不等式和中心極限定理分別估算夜晚同時(shí)開燈數(shù)

在6800到7200之間的概率。

26.一系統(tǒng)是由〃個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件正常工作的概率為

0.9,且必須至少由80%的部件正常工作，系統(tǒng)才能正常工作，問〃至少為多

大時(shí)，才能使系統(tǒng)正常工作的概率不低于0.95?

27.甲乙兩電影院在競爭1000名觀眾，假設(shè)每位觀眾在選擇時(shí)隨機(jī)的，且彼此

相互獨(dú)立，問甲至少應(yīng)設(shè)多少個(gè)座位，才能使觀眾因無座位而離去的概率小于

1%O

28.設(shè)總體X服從正態(tài)分布，又設(shè)又與S?分別為樣本均值和樣本方差，又設(shè)

xrt+1且與XI,X2,…,X“相互獨(dú)立，求統(tǒng)計(jì)量x--x巨2的

SV〃+1

分布。

29.在天平上重復(fù)稱量一重為a的物品，假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨(dú)立且同服從正

態(tài)分布N(a,0；2,若以耳，表示〃次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，為使

P(匿“_《＜().1)20.95成立，求〃的最小值應(yīng)不小于的自然數(shù)？

30.證明題設(shè)A,B是兩個(gè)事件，滿足P(B|A)=P(平)，證明事件A,B相互獨(dú)

立。

31.證明題設(shè)隨即變量X的參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明y=l-e-2x在區(qū)間(0,

1)上服從均勻分布。

〈數(shù)理統(tǒng)計(jì)〉試題

一、填空題

1.設(shè)X"X2,…,X|6是來自總體X~N(4,b2)的簡單隨機(jī)樣本，/已知，令

x=^-Yxi,則統(tǒng)計(jì)量把二也服從分布為_____________(必須寫出分布的參

16,=1。

數(shù))。

2.設(shè)X~N(〃Q2),而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是從總體X中抽取的樣本，

則〃的矩估計(jì)值為。

3.設(shè)X~。[aJ,X],…,X”是從總體X中抽取的樣本，求a的矩估計(jì)

為o

4.已知心?(8,20)=2,貝七9(2。，8)=。

5.6和8都是參數(shù)a的無偏估計(jì)，如果有成立，則稱。是比8有

效的估計(jì)。

6.設(shè)樣本的頻數(shù)分布為

X0123

4

頻數(shù)1321

2

則樣本方差S2=o

7.設(shè)總體X~N(u,d),xi,X2,…，Xn為來自總體X的樣本，又為樣本

均值，則D(1)=。

8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(u,d),其中u未知，xi,X2,…，Xn為其

2

樣本。若假設(shè)檢驗(yàn)問題為H°：<T=1^H1：Mwl,則采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)

9.設(shè)某個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)閃,且當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，樣本值(xl,x2,…，

xn)落入W的概率為0.15,則犯第一類錯(cuò)誤的概率為

_________________________________________O

10.設(shè)樣本XI,X2,…，Xn來自正態(tài)總體N(u,1),假設(shè)檢驗(yàn)問題為：

Ho：—?jiǎng)t在H0成立的條件下，對(duì)顯著水平a,拒絕域

W應(yīng)為O

11.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(〃，D,且〃未知，設(shè)％,為來自該總體的一個(gè)

樣本，記一〃白'，則〃的置信水平為1-々的置信區(qū)間公式是；若

已知1-。=0.95,則要使上面這個(gè)置信區(qū)間長度小于等于0.2,則樣本容量n至

少要取o

12.設(shè)…,X〃為來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，其中參數(shù)〃

x^-Yxe2=Y(x,.-x)2?

和〃均未知，記i,海，則假設(shè)“。：〃=°的r檢

驗(yàn)使用的統(tǒng)計(jì)量是______o(用刀和°表示)

13.設(shè)總體且〃已知、/未知，設(shè)X1,X2，Xa是來自該總體的一

12

個(gè)樣本，則5(*+X2+X3)+b,Xi+2^X2+3aX39X：+X；+X”〃,X“)+2〃

中是統(tǒng)計(jì)量的有。

14.設(shè)總體X的分布函數(shù)尸(%),設(shè)…,X”為來自該總體的一個(gè)簡單隨機(jī)

樣本，則X1，X2,…,X〃的聯(lián)合分布函數(shù)。

15.設(shè)總體X服從參數(shù)為2的兩點(diǎn)分布，P(°<〃<1)未知。設(shè)X，，X”是

fX,,￡(X,-又)2,X-6,max{XJ,X.+pXt

來自該總體的一個(gè)樣本，則M占團(tuán)“中是統(tǒng)

計(jì)量的有。

16.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(〃,D,且〃未知，設(shè)X，，X”為來自該總體的一個(gè)

樣本，記〃白'，則〃的置信水平為的置信區(qū)間公式是0

17.設(shè)X?N"用竣,y~N(〃”；)，且X與y相互獨(dú)立，設(shè)X|，，x,“為來自

總體x的一個(gè)樣本；設(shè)小，匕為來自總體y的一個(gè)樣本；s；和W分別是其無

s；/一

偏樣本方差，則服從的分布是。

18.設(shè)X?NJ,。1),餐量〃=9,均值又=5,則未知參數(shù)〃的置信度為0.95

的置信區(qū)間是(查表Z0o25=L96)

19.設(shè)總體X?％(〃,〃)，x”X2,…，X”為來自總體X的樣本，又為樣本均值,

則D(1)=o

20.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(口，。2),其中口未知，X”X2,…，X”為其樣

本。若假設(shè)檢驗(yàn)問題為H。：標(biāo)=1一?。篰2片］,則采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)

___________________________________________O

21.設(shè)X"X2,…,X”是來自正態(tài)總體"(〃,〃)的簡單隨機(jī)樣本，〃和〃均未知，

記文,^2=￡(X,.-X)2,則假設(shè)“。：〃=0的f檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量T

幾/=1i=\

O

_1in____1n

22.設(shè)X=—￡X,和y=—Z工分別來自兩個(gè)正態(tài)總體N(從，必2)和N(〃,,b,2)的

m,=in/=|

樣本均值，參數(shù)月，出未知，兩正態(tài)總體相互獨(dú)立，欲檢驗(yàn),應(yīng)

用檢驗(yàn)法，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是。

23.設(shè)總體X?N(〃,")，為未知參數(shù)，從X中抽取的容量為〃的樣本均

值記為歹，修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S：,在顯著性水平a下，檢驗(yàn)假設(shè)“。：〃=80,

M：〃工80的拒絕域?yàn)?在顯著性水平a下，檢驗(yàn)假設(shè)4：人二5/

2

(a0已知)，M:b尸cr0的拒絕域?yàn)閛

24.設(shè)總體X?伏〃,p),0<p<l,X1,X2,…,X”為其子樣，〃及p的矩估計(jì)分別

是o

25.設(shè)總體X?。［0,句,(乂,乂2,…,X〃)是來自X的樣本，則e的最大似然估計(jì)量

是O

26.設(shè)總體X?N(〃,0.92),X1,Xz，…,Xg是容量為9的簡單隨機(jī)樣本，均值7=5,

則未知參數(shù)4的置信水平為0.95的置信區(qū)間是o

27.測(cè)得自動(dòng)車床加工的10個(gè)零件的尺寸與規(guī)定尺寸的偏差(微米)如下：

+2,+1,-2,+3，+2,+4,-2,+5，+3，+4

則零件尺寸偏差的數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)量是

28.設(shè)X,,X2,X3,是來自正態(tài)總體N(0,2b的樣本，令

22

y=(X1+x2)+(x3-x4),則當(dāng)c=時(shí)cy?/⑵。

29.設(shè)容量n=10的樣本的觀察值為(8,7,6,9,8,7,5,9,6),則樣本

均值=，樣本方差=

30.設(shè)％,Xz,…X0為來自正態(tài)總體XN(〃Q2)的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則樣本均

值X=，￡X：服從

〃,=i

二、選擇題

1.X,,X2,---,XI6是來自總體X~N(0,l)的一部分樣本，設(shè)：

7

Z=X：+…+X；Y=X"..+X：6，則()

(A)N(0,l)(B)t(16)?￡(16)(。)F(8,8)

2.已知天/2,…,X,是來自總體的樣本，則下列是統(tǒng)計(jì)量的是()

-1"_1_____

(A)X+X+A(B)——VX.2(C)X+a+10(D)-X+aX,+5

仁13

3.設(shè)…,X$和匕,…,。分別來自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體N(-1,2?)和N(2,5)

的樣本，S；和分別是其樣本方差，則下列服從尸(7,9)的統(tǒng)計(jì)量是()

25：5s255：

⑷5SJ?祟(O)

，J22sf

1〃一

4.設(shè)總體*~^〃。2),X1,…,X”為抽取樣本，則一￡(Xj-乂)2是()

?,=1

(A)〃的無偏估計(jì)(8)/的無偏估計(jì)(C)〃的矩估計(jì)(O)的矩估計(jì)

5、設(shè)X「…,X“是來自總體X的樣本，且EX=〃，則下列是〃的無偏估計(jì)的是

()

|zi-l1n|n1H-I

(A)—ZX,(B)--2^-⑹―(D)-

〃i=i〃-1j=]nj=2〃-1?=i

6.設(shè)Xl，X2,…,X”為來自正態(tài)總體N(〃,/)的一個(gè)樣本，若進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，當(dāng)

時(shí)，一般采用統(tǒng)計(jì)量一S7n

⑷〃未知，檢驗(yàn)標(biāo)=0-；⑻〃已知，檢驗(yàn)■:

(C)b未知，檢驗(yàn)〃=〃()⑴)cr~i_L知，檢驗(yàn)〃=〃()

7.在單因子方差分析中，設(shè)因子A有r個(gè)水平，每個(gè)水平測(cè)得一個(gè)容量為外的

樣本，則下列說法正確的是______

(A)方差分析的目的是檢驗(yàn)方差是否相等

(B)方差分析中的假設(shè)檢驗(yàn)是雙邊檢驗(yàn)

■(Xi)

(C)方差分析中<='>=>.包含了隨機(jī)誤差外,還包含效應(yīng)間的差異

SA爾%-9了

(D)方差分析中包含了隨機(jī)誤差外,還包含效應(yīng)間的差異

8.在一次假設(shè)檢驗(yàn)中，下列說法正確的是

(A)既可能犯第一類錯(cuò)誤也可能犯第二類錯(cuò)誤

(B)如果備擇假設(shè)是正確的，但作出的決策是拒絕備擇假設(shè)，則犯了第一類錯(cuò)誤

(C)增大樣本容量，則犯兩類錯(cuò)誤的概率都不變

(D)如果原假設(shè)是錯(cuò)誤的，但作出的決策是接受備擇假設(shè)，則犯了第二類錯(cuò)誤

9.對(duì)總體的均值〃和作區(qū)間估計(jì)，得到置信度為95%的置信區(qū)間，

意義是指這個(gè)區(qū)間

(A)平均含總體95%的值(B)平均含樣本95%的值

(C)有95%的機(jī)會(huì)含樣本的值(D)有95%的機(jī)會(huì)的機(jī)會(huì)含〃的值

10.在假設(shè)檢驗(yàn)問題中，犯第一類錯(cuò)誤的概率a的意義是()

(A)在H。不成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H。被拒絕的概率

(B)在H。不成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H。被接受的概率

(C)在H。。成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H。被拒絕的概率

(D)在H。成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H。被接受的概率

11.設(shè)總體X服從正態(tài)分布NJ?！?》?，，X“是來自X的樣本，則/的最

大似然估計(jì)為

2

(A)，f(X「又f(B)-L^(X;-X)(C)，￡x；(D)

n,=i?-1,=i?,=i

X2

12.X服從正態(tài)分布，EX=-\,EX2=5,(Xi，…,X”)是來自總體*的一個(gè)樣

n

本，則/=1服從的分布為。

(A)M-1,5/n)(B)M-1,4/n)(C)M-1/n,5/n)

(D)M-l/n,4/n)

13.設(shè)X1，X2,…,X”為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，若進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，

U二又一*

當(dāng)時(shí)，一般采用統(tǒng)計(jì)量b7n

⑷〃未知，檢驗(yàn)4=5；⑻〃已知，檢驗(yàn)

⑹人未知，檢驗(yàn)〃=〃o(D)/已知，檢驗(yàn)〃=4

14.在單因子方差分析中，設(shè)因子力有r個(gè)水平，每個(gè)水平測(cè)得一個(gè)容量為犯的

樣本，則下列說法正確的是

(A)方差分析的目的是檢驗(yàn)方差是否相等

(B)方差分析中的假設(shè)檢驗(yàn)是雙邊檢驗(yàn)

卜A

(C)方差分析中‘H閆"包含了隨機(jī)誤差外,還包含效應(yīng)間的差異

(D)方差分析中I包含了隨機(jī)誤差外,還包含效應(yīng)間的差異

15.在一次假設(shè)檢驗(yàn)中，下列說法正確的是

(A)第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤同時(shí)都要犯

(B)如果備擇假設(shè)是正確的，但作出的決策是拒絕備擇假設(shè)，則犯了第一類錯(cuò)

誤

(C)增大樣本容量，則犯兩類錯(cuò)誤的概率都要變小

(D)如果原假設(shè)是錯(cuò)誤的，但作出的決策是接受備擇假設(shè)，則犯了第二類錯(cuò)誤

16.設(shè)』是未知參數(shù)夕的一個(gè)估計(jì)量，若,則。是夕的

(A)極大似然估計(jì)(B)矩法估計(jì)(C)相合估計(jì)(D)有偏估計(jì)

17.設(shè)某個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)閃,且當(dāng)原假設(shè)H。成立時(shí)，樣本值(X、X"…，

xn)落入W的概率為0.15,則犯第一類錯(cuò)誤的概率為。

(A)0.1(B)0.15(C)0.2(D)0.25

18.在對(duì)單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)總體方差已知時(shí)，選用

2

(A)，檢驗(yàn)法(B)〃檢驗(yàn)法(C)尸檢驗(yàn)法(D)力檢驗(yàn)法

19.在一個(gè)確定的假設(shè)檢驗(yàn)中，與判斷結(jié)果相關(guān)的因素有

(A)樣本值與樣本容量(B)顯著性水平a(C)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(D)A,B,C

同時(shí)成立

20.對(duì)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望〃進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，如果在顯著水平0.05下接受

"o：〃=〃o,那么在顯著水平0.01下，下列結(jié)論中正確的是

(A)必須接受兒(B)可能接受，也可能拒絕“°

(C)必拒絕兒(D)不接受，也不拒絕兒

21.設(shè)七》2,…,X”是取自總體X的一個(gè)簡單樣本，則E(X?)的矩估計(jì)是

產(chǎn)

cos；+x-(D)S2+x

22.總體X?N(〃,")，4已知，?>時(shí)，才能使總體均值〃的置信水平

為0.95的置信區(qū)間長不大于L

(A)15(T2/￡2(B)15.3664(T2/L2(C)16CT2/A2(D)16

23.設(shè)X「X2,…,X”為總體X的一個(gè)隨機(jī)樣本，E(X)=JU,D(X)=(J2,

2/I-1

夕=cX(X*-Xj2為/的無偏估計(jì)，c=

/=1

(A)\/n(B)\/n-\(C)l/2(n-l)(D)1/〃—2

24.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(〃Q2),X,X2，,X”是來自X的樣本，則〃的最

大似然估計(jì)為

(d)

(A)山(X「町2⑻e一到?掙;

11Z=1

X2

25.設(shè)X?儀l,p),X1,X2,…,X”,是來自X的樣本，那么下列選項(xiàng)中不正確的是

(A)當(dāng)〃充分大時(shí)，近似有五?N(p,四片包)

(B)P[X=k]=Cpk(l-p尸,k=0,l,2,--,n

-k

(C)P[X=-}^C^pk(l-py-k,k=0,l,2,-,n

n

(D)P{X,=%}=C：pk(1-py-k,i<i<n

26.若X~t(n)那么%2~

(A)E(L")(B)"〃』)(C)/(〃)(D)?〃)

27.設(shè)X，X2,…X,為來自正態(tài)總體N(〃Q2)簡單隨機(jī)樣本，又是樣本均值，記

S；=-(X,「X)2,S；=，￡(X,—X)2,S；=；￡(X..—〃)2,

n-1,=In,=ln-1,=l

則服從自由度為〃_］的f分布的隨機(jī)變量是

(A)t=.(B)t=(C)t=三淮(D)

SjJ〃一1S2/VH-1S3/Vn

t-I^L

SJ^n

28.設(shè)X?Xz,…Xn，Xe,…,Xm是來自正態(tài)總體N(0,/)的容量為n+m的樣本，則

〃這X；

統(tǒng)計(jì)量V=1思一服從的分布是

心X；

i=n+\

(A)F(m,n)(B)F(n-l,m-V)(C)F(n,m)(D)

29.設(shè)x~N出吟，其中〃已知，,未知，X-X2，X3，X4為其樣本，下列各

項(xiàng)不是統(tǒng)計(jì)量的是

_14

(A)又(B)X1+X「2〃

4i=i

14_14

(C)K='￡(Xj-又)2(D)52=i￡(X,.-X)

o/=i3/=i

30.設(shè)j~N(〃,b2)，其中〃已知，『未知，X「X,,X3為其樣本，下列各項(xiàng)

不是

統(tǒng)計(jì)量的是()

(A)4(X：+X；+X；)(B)X1+3〃

(J

(C)max(X1,X2,X3)(嗎&+X2+X3)

三'計(jì)算題

1.已知某隨機(jī)變量X服從參數(shù)為X的指數(shù)分布，設(shè)X1,X2,…,X,是子樣觀察值，

求4的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)。（10分）

2.某車間生產(chǎn)滾珠，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取6個(gè)，測(cè)得直徑為：14.615.1

14.914.815.215.1已知原來直徑服從N（%0.06）,求：該天生產(chǎn)的滾

珠直徑的置信區(qū)間。給定（a=0.05,Z005=1.645,Z0025=1.96）（8分）

3.某包裝機(jī)包裝物品重量服從正態(tài)分布N（〃,42）?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取16個(gè)包裝袋，算

得平均包裝袋重為1=900,樣本均方差為S2=2,試檢查今天包裝機(jī)所包物品

重量的方差是否有變化？（a=0.05）（Zo.975（15）=6.262,公025a5）=27.488）（8

分）

4.設(shè)某隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求久的極大似然估

計(jì)。

（6分）

5.某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐可以認(rèn)為滾珠的直徑服從正態(tài)分布，且直徑的方

差為=0.04,從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得直徑平均值為15毫米,

試對(duì)a=0.05求出滾珠的平均直徑的區(qū)間估計(jì)。（8分）

（Z（）.o5=1-645,Z0025-L96）

6.某種動(dòng)物的體重服從正態(tài)分布N（〃,9）,今抽取9個(gè)動(dòng)物考察，測(cè)得平均體重為

51.3公斤，問：能否認(rèn)為該動(dòng)物的體重平均值為52公斤。（a=0.05）（8分）

(Z005=1.645Z0025=1.96)

7.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：/?（%）=卜+1口“設(shè)七,…,X”是

0其他

X的樣本，求。的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)。（10分）

8.某礦地礦石含少量元素服從正態(tài)分布，現(xiàn)在抽樣進(jìn)行調(diào)查，共抽取12個(gè)子樣

算得S=0.2,求。的置信區(qū)間（。=0.1,%（11）=19.68,（11）=4.57）（8

-1--

22

分）

9.某大學(xué)從來自A,B兩市的新生中分別隨機(jī)抽取5名與6名新生，測(cè)其身高（單

位：cm）后算得1=175.9,y=172.0；sf=11.3,=9.10假設(shè)兩市新生

2

身高分別服從正態(tài)分布X-N（u“o）,Y-N（U2＞。2）其中未知。試求

u-L的置信度為0.95的置信區(qū)間。（t0.025（9）=2.2622,t0,025（ll）=2.2010）

10.（10分）某出租車公司欲了解：從金沙車站到火車北站乘租車的時(shí)間。

隨機(jī)地抽查了9輛出租車，記錄其從金沙車站到火車北站的時(shí)間，算得了=20（分

鐘），無偏方差的標(biāo)準(zhǔn)差s=3。若假設(shè)此樣本來自正態(tài)總體N（〃，〃），其中〃。2

均未知，試求。的置信水平為0.95的置信下限。

11.（10分）設(shè)總體服從正態(tài)分布N（〃，。2）,且〃與人都未知，設(shè)，”為

來自總體的一個(gè)樣本，其觀測(cè)值為仆，龍"，設(shè)〃片，〃汩o

求〃和。的極大似然估計(jì)量。

12.（8分）擲一骰子120次，得到數(shù)據(jù)如下表

出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)123456

次數(shù)X2020202040一%

若我們使用/檢驗(yàn)，則x取哪些整數(shù)值時(shí)，此骰子是均勻的的假設(shè)在顯著性水

平a=0.05下被接受？

13.（14分）機(jī)器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽的凈重服從X~N（〃Q2）正態(tài)分布，

規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為〃=1kg,方差^《（）.022。某天開工后，為檢驗(yàn)其機(jī)器工作

是否正常，從裝好的食鹽中隨機(jī)抽取抽取9袋，測(cè)得凈重（單位：kg）為：

0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述樣本相關(guān)數(shù)

y（x-Y）2=0.008192

據(jù)為：均值為亍=。998,無偏標(biāo)準(zhǔn)差為s=0。32,G。

問⑴在顯著性水平。=0.05下，這天生產(chǎn)的食鹽的平均凈重是否和規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)

有顯著差異？

（2）在顯著性水平。=0.05下，這天生產(chǎn)的食鹽的凈重的方差是否符合規(guī)定的

標(biāo)準(zhǔn)？

（3）你覺得該天包裝機(jī)工作是否正常？

14.（8分）設(shè)總體X有概率分布

123

取值X,

概率Pi26(1-6)(IS

現(xiàn)在觀察到一個(gè)容量為3的樣本，X=l,々=2,七=1。求。的極大似然估計(jì)值?

15.（12分）對(duì)某種產(chǎn)品進(jìn)行一項(xiàng)腐蝕加工試驗(yàn)，得到腐蝕時(shí)間X（秒）和

腐蝕深度丫（毫米）的數(shù)據(jù)見下表：

X551020304050606590120

Y4681316171925252946

假設(shè)y與x之間符合一元線回歸模型Y=0O+0\X+￡

（1）試建立線性回歸方程。

（2）在顯著性水平a=O.（）l下，檢驗(yàn)"。：氏=°

16.（7分）設(shè)有三臺(tái)機(jī)器制造同一種產(chǎn)品，今比較三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)能力，記錄其

五天的日產(chǎn)量

機(jī)器IIIIII

138163155

H144148144

產(chǎn)135152159

,SL

里149146141

143157153

現(xiàn)把上述數(shù)據(jù)匯總成方差分析表如下

方差來源平方和自由度均方和尸比

4352.933

e12

T893.73314

17.（10分）設(shè)總體X在（°，。）（6>°）上服從均勻分布，X],…,X〃為其一個(gè)

樣本，設(shè)X（〃）=max{X],…,X”}

⑴X（〃）的概率密度函數(shù)P，，（x）⑵求仇'（"J

18.（7分）機(jī)器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽的凈重服從X~N（〃Q2）正態(tài)分布，規(guī)定

每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為〃=1kg,方差〃某天開工后，為檢驗(yàn)其機(jī)器工作是否

正常，從裝好的食鹽中隨機(jī)抽取抽取9袋，測(cè)得凈重（單位：kg）為：

0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述樣本相關(guān)數(shù)

據(jù)為：均值為寵=0.998,無偏標(biāo)準(zhǔn)差為s=0.032,在顯著性水平a=0.05下，這

天生產(chǎn)的食鹽的凈重的方差是否符合規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)？

19.（10分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（〃，〃），X，，X”是來自該總體的一個(gè)

_1k

，求統(tǒng)計(jì)量%+「3

樣本，記k,=1的分布。

20.某大學(xué)從來自A,B兩市的新生中分別隨機(jī)抽取5名與6名新生，測(cè)其身高

（單位：cm）后算得x=175.9,y=172.0；s；=11.3,s；=9.1。假設(shè)兩市新生

2

身高分別服從正態(tài)分布X-N（u,a）,Y-N（u2,/）其中。2未知。試求d

一口2的置信度為。95的置信區(qū)間。（to.。25⑼=2.2622,to,期（1D=2.2010）

〈概率論》試題參考答案

一、填空題

1.(1)AU8UC(2)ABC\JABC\JABC

(3)BC\JAC\JAB或ABCUABCUABCUABC

2.0.7,3.3/7,4.4/7!=1/1260,5.0.75,6.1/5