數(shù)學(xué)數(shù)列多選題知識點(diǎn)及練習(xí)題含答案

數(shù)學(xué)數(shù)列多選題知識點(diǎn)及練習(xí)題含答案一、數(shù)列多選題1．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.則以下結(jié)論正確的是（）A．若是等差數(shù)列，且，公差，則數(shù)列是“數(shù)列”B．若是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“數(shù)列”C．若，則數(shù)列是“數(shù)列”D．若，則數(shù)列是“數(shù)列【答案】BC【分析】寫出等差數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合“數(shù)列”的定義判斷A；寫出等比數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合“數(shù)列”的定義判斷B；利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C；當(dāng)無限增大時(shí)，也無限增大判斷D．【詳解】在A中，若是等差數(shù)列，且，公差，則，當(dāng)無限增大時(shí)，也無限增大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故A錯(cuò)誤.在B中，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且公比滿足，所以，所以數(shù)列是“數(shù)列”，故B正確.在C中，因?yàn)椋?所以數(shù)列是“數(shù)列”，故C正確.在D中，因?yàn)?，所以，?dāng)無限增大時(shí)，也無限增大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.2．已知數(shù)列均為遞增數(shù)列，的前n項(xiàng)和為的前n項(xiàng)和為且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用數(shù)列單調(diào)性及題干條件，可求出范圍；求出數(shù)列的前2n項(xiàng)和的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明其大小關(guān)系，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故A正確；因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故B正確；的前2n項(xiàng)和為=，因?yàn)?，則，所以，則的2n項(xiàng)和為=，當(dāng)n=1時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，所以對于任意，都有，即，故C正確故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，解題的關(guān)鍵在于，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，得到項(xiàng)之間的大小關(guān)系，再結(jié)合題干條件，即可求出范圍，比較前2n項(xiàng)和大小時(shí)，需靈活應(yīng)用等差等比求和公式及性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行分析，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.3．已知數(shù)列中，，，.若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)可能為（）A．－4 B．－2 C．0 D．2【答案】AB【分析】由題意可得，利用裂項(xiàng)相相消法求和求出，只需對于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立，然后將選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可求解.【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對于任意的恒成立，整理得對于任意的恒成立，對A，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故A正確；對B，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故B正確；對C，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故C錯(cuò)誤；對D，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故D錯(cuò)誤，故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查了裂項(xiàng)相消法、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.4．（多選題）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的為（）A．B．C．對任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立D．【答案】ABCD【分析】對于A，結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)可確定正誤；對于B，將原式化簡為，由得到結(jié)果；對于C，結(jié)合范圍和A中結(jié)論可確定，由此判斷得到結(jié)果；對于D，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論.【詳解】對于A，，若，則，又，可知，，又，，A正確；對于B，由已知得：，，B正確；對于C，由及A中結(jié)論得：，，，顯然對任意的正數(shù)，在在正整數(shù)，使得，此時(shí)成立，C正確；對于D，（i）當(dāng)時(shí)，由已知知：成立，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，又，即，，綜上所述：當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于能夠熟練應(yīng)用不等式的性質(zhì)與函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡辨析，同時(shí)對于數(shù)列中的不等式證明問題，可采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.5．已知數(shù)列，滿足，，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的有（）A．， B．，C．， D．，【答案】BD【分析】用累加法得到，代入，得，代入求出m可判斷A；代入求最值可判斷B；令解出m可判斷C；裂項(xiàng)相消后可求出的范圍可判斷D.【詳解】因?yàn)椋砸陨细魇嚼奂拥?，所以，?dāng)時(shí)，成立，所以，由，得，對于A，，，當(dāng)時(shí)，，得，A錯(cuò)誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，因?yàn)?，所以時(shí)，，所以B正確；對于C，令得，，解得，所以C錯(cuò)誤；對于D，，，可以看出是關(guān)于遞增的，所以時(shí)有最小值，所以，D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消求數(shù)列和，關(guān)鍵點(diǎn)是用累加法求出，然后代入求出，考查了學(xué)生的推理能力、計(jì)算能力.6．在遞增的等比數(shù)列中，已知公比為，是其前項(xiàng)和，若，，則下列說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】ABC【分析】計(jì)算可得，故選項(xiàng)正確；，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故選項(xiàng)正確；，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】為遞增的等比數(shù)列，由得解得或∵為遞增數(shù)列，∴∴，，故選項(xiàng)正確；∴，，∴，，∴數(shù)列是等比數(shù)列，故選項(xiàng)正確；所以,則，故選項(xiàng)正確.又，∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列常用的方法有：（1）定義法；（2）通項(xiàng)公式法（3）等差（等比）中項(xiàng)法（4）等差（等比）的前項(xiàng)和的公式法.要根據(jù)已知靈活選擇方法證明.7．斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又稱黃金分割數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例，該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，即，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】選項(xiàng)A分別求出可判斷，選項(xiàng)B由，得，相加得可判斷,選項(xiàng)C，由，，兩式錯(cuò)位相減可判斷.選項(xiàng)D.由可判斷.【詳解】因?yàn)?，，所以，則A正確；由，得，相加得，所以，所以B正確；因?yàn)?，，兩式錯(cuò)位相減可得，所以，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由，，兩式錯(cuò)位相減可得，以及由遞推關(guān)系可得，屬于中檔題.8．設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列中 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】BCD【分析】由已知可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B；可得，結(jié)合和的關(guān)系可求出的通項(xiàng)公式，即可判斷A；由的通項(xiàng)公式，可判斷C；由分組求和法結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以．又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故B正確；所以，則．當(dāng)時(shí)，，但，故A錯(cuò)誤；由當(dāng)時(shí)，可得，故C正確；因?yàn)?，所以所以?shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在數(shù)列中，根據(jù)所給遞推關(guān)系，得到等差等比數(shù)列是重難點(diǎn)，本題由可有目的性的構(gòu)造為，進(jìn)而得到，說明數(shù)列是等比數(shù)列，這是解決本題的關(guān)鍵所在，考查了推理運(yùn)算能力，屬于中檔題,二、平面向量多選題9．已知為的重心，為的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則依次討論即可的答案.【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得為三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)的點(diǎn).對于A選項(xiàng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得，故A正確；對于B選項(xiàng)，，由于為三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)的點(diǎn)，，所以，故正確；對于C選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查向量加法與減法的運(yùn)算法則，是基礎(chǔ)題.10．下列說法中錯(cuò)誤的為A．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．若，則在方向上的正射影的數(shù)量為D．三個(gè)不共線的向量，，，滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【分析】對于A，由向量的交角為銳角的等價(jià)條件為數(shù)量積大于0，且兩向量不共線，計(jì)算即可；對于B，由，可知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；對于C，利用向量投影的定義即可判斷；對于D，由，點(diǎn)在角的平分線上，同理，點(diǎn)在角的平分線上，點(diǎn)在角的平分線上，進(jìn)而得出點(diǎn)是的內(nèi)心.【詳解】對于A，已知，，且與的夾角為銳角，可得，且與不共線，，即有，且，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故A不正確；對于B，向量，，，，向量，不能作為平面內(nèi)所