高中數(shù)學必修5第一章解三角形同步練習

正弦定理和余弦定理同步練習基礎達標一、選擇題1.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,則B等于()A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120°解析:∵b=>a=1,A=30°,∴B有兩個解.∵=,∴sinB===.∴B=60°或120°.答案:B2.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=2,則此三角形的最小邊長為()A.2B.2-2C.-1D.2(-1)解析:∵A=60°,C=45°,∴B=180°-60°-45°=75°,故c邊最小.∵=,∴c====2-2.答案:B3.△ABC中,根據(jù)下列條件,確定△ABC有兩解的是()A.a=18,b=20,A=120°B.a=60,c=48,B=60°C.a=3,b=6,A=30°D.a=14,b=16,A=45°解析:三角形有兩解,則已知角必為銳角,故排除A;B是已知兩邊及夾角,只有一解;在C中,sinB===1,只有一解.答案:D4.已知△ABC中,a=,b=1,B=30°,則其面積等于()A.或B.C.或D.解析:∵=,∴sinA===.∴A=60°或120°.當A=60°時,C=90°,S△ABC=ab=;當A=120°時,C=30°,S△ABC=absinC=××=.答案:C5.在△ABC中,若=,則B的值為…()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:∵=,∴=.∴sinB=cosB.∴B=45°.答案:B6.在△ABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是()A.B.0C.1D.π解析:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.答案:B7.已知△ABC中,acosB=bcosA,則△ABC為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形解析:∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinAcosB=sinB·cosA,即tanA=tanB.∴A=B.∴△ABC為等腰三角形.答案:A8.在△ABC中,C=2B,則等于()A.B.C.D.解析:====.答案:A二、填空題9.三角形的兩邊分別為3cm和5cm,它們所夾角的余弦為方程5x2-7x-6=0的根,則這個三角形的面積是_______________________________.答案:6cm210.△ABC中,已知b=2a,B=A+60°,則A=___________________________.解析:∵=,∴=,即=.整理得sinA=cosA,即tanA=.∴A=30°.答案:30°三、解答題11.已知三角形的兩角分別是45°、60°,它們夾邊的長是1,求最小邊長.解:如圖所示,A=75°,故最小的邊長為b.∴=.解得b=-1.12.如圖所示,AB⊥BC,CD=33,∠ACB=15°,∠BCD=75°,∠BDC=45°,求AB的長.解:在△DBC中,∠DBC=180°-(∠BDC+∠BCD)=180°-(45°+75°)=60°.在△BCD中,由正弦定理,得=,∴BC==11.在Rt△ABC中,AB=BCtan15°=11(2-)=22-33.更上一層1.在△ABC中,已知tanA=,tanB=,且最長邊為1,求:(1)角C的大小;(2)△ABC最短邊的長.解:(1)∵tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-=-1,∴C=.(2)∵tanA=>=tanB,C=,∴C為最大角,B為最小角.又tanB=,∴sinB=.由正弦定理,得=,∴b==.2.在△ABC中,已知A+C=2B,tanA·tanC=2+.(1)求A、B、C的值;(2)若頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC各邊的長.思路分析:結合題目的條件,由tanA·tanC=2+,A+C=2B,可知B=60°,A+C=120°,∴可利用兩角和的正切公式求tanA+tanC,從而構造方程求A與C的正切值,再求角A與C.解:(1)∵A+C=2B,A+C+B=180°,∴B=60°.∴A+C=120°.∴tan(A+C)==-,則tanA+tanC=3+.那么tanA、tanC即為x2-(3+)x+(2+)=0的兩根.∴或∴或(2)如圖,當時,∵CD=4,∴CB=8,BD=4,AD=4,AC=4.∴AB=4+4.當時,如圖.∵CD=4,∴CB=8,BD=4,AC=====4(-)=4(-1).∴AB=BD+AD=4+4(2-)=8-8.3.某人在草地上散步,看到他西方有兩根相距6米的標桿,當他向正北方向步行3分鐘后,看到一根標桿在其西南方向上,另一根標桿在其南偏西30°方向上,求此人步行的速度.解:如圖所示,A、B兩點的距離為6米,當此人沿正北方向走到C點時,測得∠BCO=45°,∠ACO=30°,∴∠BCA=∠BCO-∠ACO=45°-30°=15°.由題意,知∠BAC=120°,∠ABC=45°.在△ABC中,由正弦定理,得=,即有AC===6+6.在Rt△AOC中,有OC=AC·cos30°=(6+6)×=9+3.設步行速度為x米/分,則x==3+≈4.73.即此人步行的速度約為4.73米/分.解三角形應用舉例同步練習1．在△ABC中，下列各式正確的是（）A.eq\f(a,b)＝eq\f(sinB,sinA) B.asinC＝csinBC.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)2．已知三角形的三邊長分別為a、b、eq\r(a2＋ab＋b2)，則這個三角形的最大角是（）A.135° B.120°C.60° D.90°3．海上有A、B兩個小島相距10nmile，從A島望B島和C島成60°的視角，從B島望A島和C島成75°角的視角，則B、C間的距離是（）A.5eq\r(2)nmile B.10eq\r(3)nmileC.eq\f(10,3\r(6))nmile D.5eq\r(6)nmile4．如下圖，為了測量隧道AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量應當用數(shù)據(jù)A.α、a、b B.α、β、aC.a、b、γ D.α、β、γ5．某人以時速akm向東行走，此時正刮著時速akm的南風，那么此人感到的風向為，風速為.6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，則c＝.7．某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行30nmile后看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是.8．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?00，則甲、乙兩樓的高分別是.9．在塔底的水平面上某點測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由此點向塔沿直線行走30米，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔前進10eq\r(3)米，又測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則塔高是米.10．在△ABC中，求證：eq\f(cos2A,a2)－eq\f(cos2B,b2)＝eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2).11．∠CBA＝75°，AB＝120m，求河寬.（精確到0.01m）12．甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45°方向，距A有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲艦以28nmile/h的速度行駛，應沿什么方向，用多少時間，能盡快追上乙艦？

解三角形應用舉例同步練習參考答案1．C2．B3．D4．C5．東南eq\r(2)a6．407．10eq\r(3)8．20eq\r(3)，eq\f(20,3)eq\r(3)9．1510．在△ABC中，求證：eq\f(cos2A,a2)－eq\f(cos2B,b2)＝eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2).提示：左邊＝eq\f(1－2sin2A,a2)－eq\f(1－2sin2B,b2)＝(eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2))－2(eq\f(sin2A,a2)－eq\f(sin2B,b2))＝右邊.11．∠CBA＝75°，AB＝120m，求河寬.（精確到0.01m）解：由題意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°在△ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)∴BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝eq\f(120×sin450,sin600)＝eq\f(120×eq\f(\r(2),2),eq\f(\r(3),2))＝40eq\r(6)S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)AB·h∴h＝BCsinB＝40eq\r(6)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝60＋20eq\r(3)≈94.64∴河寬94.64米.12．甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45°方向，距A有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲艦以28nmile/h的速度行駛，應沿什么方向，用多少時間，能盡快追上乙艦？解：設th甲艦可追上乙艦，相遇點記為C則在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120°由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－eq\f(1,2))整理得128t2－6