第8章各地降水、蒸發(fā)與徑流的定量關(guān)系

空中水文學(xué)初探--第8章各地降水蒸發(fā)徑流的定量關(guān)系（2010.1.1修訂-）PAGEPAGE5第8章各地降水、蒸發(fā)與徑流的定量關(guān)系.TOC\o"1-4"\h\z\u第8章各地降水蒸發(fā)與徑流的定量關(guān)系 1§1.降水與蒸發(fā)的關(guān)系問題 1§2準(zhǔn)零維的水分循環(huán) 2§3一維離散模型下的水分輻合函數(shù)和輻散函數(shù) 3§4降水和蒸發(fā)方程 5§5兩個(gè)計(jì)算的例子 6§6兩維的降水與蒸發(fā)方程 76.1水分輻合函數(shù) 76.2水分輻散函數(shù) 76.3降水方程 86.4蒸發(fā)方程 8§7大氣水分循環(huán)方程組 8§8小結(jié) 9地球上任何一個(gè)地方地球上任何一個(gè)地方的降水可能來自世界各地的蒸發(fā)。類似地，一個(gè)地點(diǎn)蒸發(fā)的水分可能降落在地球各地。討論氣候平衡意義下的不同地點(diǎn)的降水-蒸發(fā)的定量關(guān)系是本章的核心問題。我們截留河水去灌溉、修建水庫(kù)、興建城市以致南水北調(diào)，而這都影響著各地的用水、徑流和蒸發(fā)，而各地的蒸發(fā)又影響著各地的降水。這種影響的具體計(jì)算就依賴對(duì)各地降水、蒸發(fā)與徑流的定量關(guān)系的知識(shí)?！?.降水與蒸發(fā)的關(guān)系問題 降水過程與蒸發(fā)過程是水分循環(huán)的兩個(gè)重要環(huán)節(jié)，在比較長(zhǎng)的時(shí)間間隔內(nèi)的（如一年或者多年）全球的降水量必需與蒸發(fā)量相等。而這種“相等”就是“水分平衡”?！八盅h(huán)”與“水分平衡”是兩個(gè)聯(lián)系密切又含義不同的概念。確實(shí)，對(duì)于兩三天的短時(shí)段內(nèi)，全球的降水量難以恰好等于同期的全球的蒸發(fā)量。但是比較長(zhǎng)的期間內(nèi)如果降水量不等于蒸發(fā)量，就引起空中水總量的顯著減少或者過多。而這是氣象學(xué)未曾看到過的（不包括氣候變化引起的空中水含量的緩慢變化）。長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)，即在氣候意義下，全球降水量P必需與全球蒸發(fā)量E相等的水分平衡要求，等于給我們一個(gè)定量的公式：P=E （8.1） 它也就是第2章的公式（2.1）本書在一般場(chǎng)合以R代表降水，但是本章中的徑流（按水文學(xué)習(xí)慣）要用R這個(gè)符號(hào)表示，故而本章的降水改用P表示?！，F(xiàn)在要在這個(gè)基本公式的基礎(chǔ)上把問題進(jìn)一步展開。我們不僅本書在一般場(chǎng)合以R代表降水，但是本章中的徑流（按水文學(xué)習(xí)慣）要用R這個(gè)符號(hào)表示，故而本章的降水改用P表示。 每個(gè)地方的降水的水汽來源可能是地球任何地方的蒸發(fā)，反之，每個(gè)地方蒸發(fā)的水分可以對(duì)世界各地的降水都有或多或少的貢獻(xiàn)。我們要提供一種理論思路和概念工具去定量描述這種復(fù)雜關(guān)系。 人們呼吁保護(hù)濕地，保護(hù)了濕地就維持了原有的蒸發(fā)。人們反對(duì)沙漠化，沙漠化減少了當(dāng)?shù)氐恼舭l(fā)量。我們使3000km2的羅布泊消失了，羅布泊的消失對(duì)蒸發(fā)以致降水有什么影響？我們進(jìn)行著南水北調(diào)，而這對(duì)我國(guó)各地的蒸發(fā)與降水有什么持續(xù)的影響？人類在廣袤的土地上農(nóng)耕，在城市里增加水分蒸發(fā),而這對(duì)降水的分布有 這些問題都依賴我們關(guān)于不同地點(diǎn)的降水、蒸發(fā)、徑流的關(guān)系的定量知識(shí)?！?準(zhǔn)零維的水分循環(huán)在氣候研究中，有所謂“零維模式”[黃建平.理論氣候模式[M].北京：氣象出版社，1992：37]。即把地球看成是一個(gè)點(diǎn)，而去分析在太陽輻射下，地球表層的能量、溫度平衡在什么水平上。這種模式固然簡(jiǎn)單，但是得到的大氣溫度與實(shí)際的溫度相當(dāng)接近?！傲憔S模式”概念如果改用到地球整體水分平衡上（這顯然是個(gè)合適的起點(diǎn)）就是公式黃建平.理論氣候模式[M].北京：氣象出版社，1992：37現(xiàn)在一般書籍給出的水分循環(huán)模型要比它略為復(fù)雜一點(diǎn)，不妨稱為“準(zhǔn)零維模型”。這個(gè)模型不僅把地球分為地面以下和地面以上（大氣）兩個(gè)部分。而且把地面部分細(xì)分為海洋和陸地這兩部分。表8.1包括海洋和陸地的水分循環(huán)相對(duì)量（根據(jù)文獻(xiàn)[DavidR.Maidment水文學(xué)手冊(cè)[M].北京：科學(xué)出版社，2002：DavidR.Maidment水文學(xué)手冊(cè)[M].北京：科學(xué)出版社，2002：6水分循環(huán)要素相對(duì)量陸地上的降水量100海洋上的降水量385陸地上的蒸發(fā)量61海洋上的蒸發(fā)量424陸地流入海洋的河水38陸地流入海洋的地下水1 在表8.1中我們不僅看到降水與蒸發(fā)這兩個(gè)基本水分循環(huán)環(huán)節(jié)，而且補(bǔ)充兩個(gè)徑流環(huán)節(jié)。它代表了地球的陸地部分接受的降水量與蒸發(fā)量的余額（差值）作為河水和地下水而流入海洋。只有補(bǔ)充了這兩個(gè)徑流環(huán)節(jié)，長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)的水分循環(huán)才是平衡的（否則陸地的積水就過多，而海平面就降低，這顯然是不符合實(shí)際的）。有了海陸的區(qū)分，我們必需引入徑流（河水、地下水）這個(gè)水文學(xué)概念（全球每年的入海徑流水量）。 這種“準(zhǔn)零維”的水分循環(huán)模型對(duì)于說明地球上的水分循環(huán)總體概況是有意義的。但是依靠它還難以分析某個(gè)地區(qū)降水來自何方以及當(dāng)?shù)卣舭l(fā)的水分去了哪里。要了解不同地點(diǎn)的水分的來龍去脈就需要把水分循環(huán)與水分平衡的模型擴(kuò)展到1維,甚至2維。 §3一維離散模型下的水分輻合函數(shù)和輻散函數(shù)多年來學(xué)術(shù)界針對(duì)某有限的區(qū)域開展了很多的水汽輸入輸出量的計(jì)算。這些計(jì)算可以使局部的、部分的水分循環(huán)過程清楚一些。但是這類計(jì)算難以對(duì)不同地域的水分循環(huán)變量做比較完備的描述?？罩兴膶W(xué)的分析自然要考慮更普遍情況下變量間的關(guān)系。具有理論性的分析不僅要借助于重要的實(shí)際數(shù)據(jù)，可能更重要的是借助一些重要概念，然后在有關(guān)規(guī)律的配合下展開邏輯、數(shù)學(xué)和物理推論，從而得到新的規(guī)律或者數(shù)據(jù)。在水分循環(huán)研究中要把研究推進(jìn)到這個(gè)水平上就需要引入有普遍意義的概念。水分輻合函數(shù)和輻散函數(shù)就是我們?yōu)榇硕氲母拍頪張學(xué)文.張學(xué)文.大氣水分循環(huán)方程.高原氣象[J]，2006，25（2）：190-194水分輻合函數(shù)和輻散函數(shù)是兩個(gè)氣候?qū)W的概念，它們不是描述天氣過程（數(shù)天）中有關(guān)水分循環(huán)的函數(shù)，而是多年平均的氣候意義下有關(guān)水分循環(huán)的函數(shù)，其中水分輻合函數(shù)水分輻合函數(shù)C(x,y)是描述當(dāng)?shù)亟邓膩碓吹囊粋€(gè)函數(shù)。它說明x處每單位降水中有多少（權(quán)重）是來自y處的蒸發(fā)。水分輻散函數(shù)D(x,y)是描述當(dāng)?shù)卣舭l(fā)的去向的一個(gè)函數(shù)。它說明x處每單位蒸發(fā)中有多少（權(quán)重）是去了y處（在y處形成降水）。以上定義中的x,y都是指地球表面上的某一區(qū)域，即x,y都是地球表面的一部分?；蛘哒f，作為自變量的x,y的“定義域”是地球表面積的這個(gè)總體。如何把地球表面劃分為不同的部分？這里研究者自己有很大的伸縮自由度。如果僅把問題局限于一維的離散的情況，問題就比較簡(jiǎn)單。這時(shí)可以（實(shí)際上這僅是一種劃分的例子）把x,y都分別指定為地球的各個(gè)緯帶。例如表8.2就是一種規(guī)定（例子）。表8.2輻合、輻散函數(shù)中的自變量x,y的一種離散取值的情況（例子）x的具體名稱x1x2x3x4x5x6x7y的具體名稱y1y2y3y4y5y6y7x,y代表的緯度帶90-70°N70-40°N40-10°N10°N-10°S10-40°S40-70°S70-90°S表8.2把變量x,y作為離散的、有限（7個(gè)）的可能取值來對(duì)待（處理）。即我們用7個(gè)數(shù)代表了x或者y在地球表面上的允許取值。例如x3就代表北緯40-10度這30度的緯帶帶的面積。表中多數(shù)的x,y代表了20度緯帶的范圍，有4個(gè)自變量代表著30個(gè)緯帶帶的面積。應(yīng)當(dāng)承認(rèn)這個(gè)范圍是相當(dāng)大的，它們代表了對(duì)大氣的一種粗的劃分。實(shí)際上只要你愿意還可以把地球表面分割的更細(xì)。在這種離散取值的情況下，水分輻合函數(shù)C(x,y)和水分輻散函數(shù)D(x,y)的取值也是一些離散的值。顯然，現(xiàn)在的x,y是兩個(gè)自變量，而每個(gè)自變量允許有7個(gè)取值，所以水分輻合函數(shù)C(x,y)和水分輻散函數(shù)D(x,y)的取值分別有7×7個(gè)，即49個(gè)取值。這兩組49個(gè)數(shù)（函數(shù)值）分別說明不同緯帶的每1單位降水量有多少來自那個(gè)緯帶的蒸發(fā)和不同緯帶的每單位的蒸發(fā)都在哪些緯帶形成了多少降水。表8.3和表8.4就是文獻(xiàn)[張學(xué)文.大氣水分循環(huán)方程.高原氣象[J]，2006，25（2）：190-194張學(xué)文.大氣水分循環(huán)方程.高原氣象[J]，2006，25（2）：190-194表8.3離散的大氣水分輻合函數(shù)C(x,y)的示例（表左側(cè)緯度帶蒸發(fā)的水分在上側(cè)緯度區(qū)間降落而變成的降水中占的比例,權(quán)重）緯度區(qū)間水分降落的緯度帶xx1x2x3x4x5x6x790-70°N70-40°N40-10°N10°N-10°S10-40°S40-70°S70-90°S該水分蒸發(fā)緯度帶yy10.50.0100000y20.350.50.10000y30.150.40.80.2000y400.090.10.550.1200y50000.250.780.570.04y600000.10.430.49y70000000.47合計(jì)1111111例如根據(jù)這個(gè)函數(shù)值的表C(x2,y3)=0.4，它就代表x2處的單位降水有0.4（即40%）來自y3處的蒸發(fā)。或者說北緯70-40度的緯帶內(nèi)的每1t降水，就有0.4t是來自北緯40-10度緯度帶的蒸發(fā)。顯然，70-40度的緯帶內(nèi)的降水量如果是P，就有0.4P來自北緯40-10度之間的蒸發(fā)。附帶指出，由于每個(gè)x所代表的面積不一定相同，我們?cè)诒磉_(dá)蒸發(fā)量或者降水量時(shí)，是指該區(qū)域的單位水體的體積（即立方米，由于水的密度為每立方米1噸，所以單位水體的體積等價(jià)于每噸水體），不是指氣象學(xué)的降水所慣用的單位降水的厚度（如毫米）。降水的厚度乘該區(qū)域的面積，才是這里的水體體積，或者噸（t）數(shù)。某緯度帶的單位降水量應(yīng)當(dāng)是各個(gè)緯帶的蒸發(fā)權(quán)重的合計(jì)值，所以這個(gè)表的各個(gè)列的合計(jì)值，它顯然應(yīng)當(dāng)?shù)扔?。即應(yīng)當(dāng)有下面的通式： i=1,2,…,7 （8.2）這個(gè)公式無論i的值是什么，都是對(duì)的。在前面的設(shè)定下i允許有7個(gè)可能值（7個(gè)緯帶），公式（8.2）就表示對(duì)每個(gè)緯帶，這個(gè)公式都是對(duì)的。即它實(shí)際代表了7個(gè)公式。從這個(gè)表可以清楚地看到各緯帶的蒸發(fā)對(duì)某緯帶的降水量的貢獻(xiàn)。或者說，這個(gè)表告訴我們每個(gè)緯帶的降水是如何定量地收集了各緯帶所蒸發(fā)的水分的。這種“收集”就是水分的“輻合”，（對(duì)各個(gè)緯帶的蒸發(fā)的本緯帶的輻合）。而這也正是“水分輻合函數(shù)”這個(gè)名稱的由來。表8.4離散的大氣水分輻散函數(shù)D(x,y)的示例（表中的值就是單位蒸發(fā)在該緯度區(qū)間變成降水而降落所占的比例）緯度區(qū)間水分蒸發(fā)的原始緯度帶xx1x2x3x4x5x6x790-70°N70-40°N40-10°N10°N-10°S10-40°S40-70°S70-90°S該水分降落的緯度帶yy10.80.0300000y20.150.80.180000y30.050.170.620.15000y4000.20.670.2500y50000.180.550.090.04y600000.20.90.11y7000000.010.85合計(jì)1.001.001.001.001.001.001.00例如根據(jù)這個(gè)函數(shù)值的表D(x2,y3)=0.17，就代表x2處的每單位蒸發(fā)量有0.17（即17%）降落到y(tǒng)3處?；蛘哒f北緯70-40度的緯帶內(nèi)的每蒸發(fā)1噸（或者說立方米）水分，就有0.17噸要變成雨雪而降落到北緯40-10度緯度帶內(nèi)。顯然，北緯70-40度的緯帶內(nèi)的每蒸發(fā)E噸（或者說立方米）水分，就有0.17E噸變成北緯40-10之間的降水。另外，任何緯度帶的單位蒸發(fā)水體要降落（輻散）到各個(gè)緯帶，所以各個(gè)緯帶的降水權(quán)重的合計(jì)值，即這個(gè)表的各個(gè)列的合計(jì)值，應(yīng)當(dāng)?shù)扔?。即應(yīng)當(dāng)有： i=1,2,…,7（8.3）這個(gè)公式無論i的值是什么，都是對(duì)的。即它代表著7個(gè)等式。從這個(gè)表可以清楚地看到每個(gè)緯帶的蒸發(fā)是如何“輻散”到各緯帶的（對(duì)各個(gè)緯帶的降水量的貢獻(xiàn)）。這也正是水分輻散函數(shù)這個(gè)名稱的由來。水分輻合函數(shù)C(x,y)和水分輻散函數(shù)D(x,y)是刻畫了地球上水分循環(huán)的概念工具。下面就討論它們?nèi)绾闻浜细鞯氐慕邓c蒸發(fā)數(shù)據(jù)，通過蒸發(fā)（降水）而計(jì)算出降水（蒸發(fā)）。這種計(jì)算需要用到降水和蒸發(fā)方程?！?降水和蒸發(fā)方程 由于大氣環(huán)流的存在，地球上任何地點(diǎn)的降水量可能來自地球任何地點(diǎn)的蒸發(fā)，而任何地點(diǎn)的蒸發(fā)也可能到地球的任何地點(diǎn)再以降水的形式而降落。為了定量地揭示這個(gè)復(fù)雜過程，前面引入了水分輻合函數(shù)和水分輻散函數(shù)這兩個(gè)概念工具?，F(xiàn)在就利用這兩個(gè)概念、降水量和蒸發(fā)量的實(shí)際數(shù)據(jù)和關(guān)于空中水的總量是平衡（不變化）的這個(gè)強(qiáng)有力約束去尋找制約降水或者蒸發(fā)的關(guān)系。請(qǐng)注意這里討論的都是氣候意義下的變量，即它們都是充分長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)的平均值。在這個(gè)意義下，空中水不能無中生有，也不能自行消失。這種空中水的平衡體現(xiàn)了我們運(yùn)用了物質(zhì)不滅定律。計(jì)算中需要用到實(shí)際的降水量或者蒸發(fā)量。我們認(rèn)為過去積累了大量的各地的降水?dāng)?shù)據(jù)和蒸發(fā)數(shù)據(jù)。盡管這些原始觀測(cè)數(shù)據(jù)可能存在相當(dāng)?shù)恼`差、空白，學(xué)者們還是分析出了世界各地的多年平均的降水量和蒸發(fā)量。某一個(gè)緯帶（如北緯40-10度）的降水應(yīng)當(dāng)是各個(gè)緯帶的蒸發(fā)量輻散（降落）到本緯帶的綜合結(jié)果。所以第i個(gè)緯帶的降水量Pi是各個(gè)緯帶的蒸發(fā)量Ej（注意不要混淆了符號(hào)i與j）與該緯帶的水分輻射函數(shù)乘積的合計(jì)值，即 i=1,2,…,7 (8.4)公式（8.4）表示i處的降水量Pi是可以通過各個(gè)緯帶j的蒸發(fā)量以及該緯帶的輻散函數(shù)而計(jì)算出來的。我們把這個(gè)可以通過蒸發(fā)而計(jì)算降水量的公式稱為“降水方程”。它體現(xiàn)了當(dāng)?shù)亟邓c各地蒸發(fā)的聯(lián)系，而這種聯(lián)系的紐帶就是輻散函數(shù)?？梢哉f降水是收集各個(gè)緯帶的蒸發(fā)的結(jié)果。公式（8.4）對(duì)于任何一個(gè)i值都成立，即對(duì)每個(gè)緯帶都成立，所以它實(shí)際代表了7個(gè)公式?，F(xiàn)在我們?cè)俎D(zhuǎn)而從另外一個(gè)思路分析問題，它引出降水與蒸發(fā)的另外一種聯(lián)系。第i個(gè)緯帶（如北緯40-10度）蒸發(fā)的水分最終應(yīng)當(dāng)通過降水而分散、轉(zhuǎn)移、降落到各個(gè)緯帶上去。第i個(gè)緯帶蒸發(fā)的水分降落（分散、轉(zhuǎn)移）到第j個(gè)緯帶的量Ei(j)應(yīng)當(dāng)是j緯帶的總降水量Pj乘以該緯帶的水分輻合函數(shù)，即Ei(j)=PjC(i,j)。而這個(gè)關(guān)系對(duì)于不同的j值都成立。所以第i個(gè)緯帶蒸發(fā)的水分總量Ei是它在7個(gè)緯帶形成的降水量的和，即 i=1,2,…,7 (8.5)公式（8.5）表示i處的蒸發(fā)量Ei是可以通過各個(gè)緯帶的降水量以及該緯帶的輻合函數(shù)而計(jì)算出來的。我們把這個(gè)可以通過降水而計(jì)算蒸發(fā)的公式稱為“蒸發(fā)方程”。它體現(xiàn)了當(dāng)?shù)卣舭l(fā)與各地降水的聯(lián)系，而這種聯(lián)系的紐帶就是輻合函數(shù)?？梢哉f蒸發(fā)的出路是變成了各個(gè)緯帶的降水而體現(xiàn)水分在循環(huán)中沒有丟失（水分平衡）。公式（8.5）對(duì)于任何一個(gè)i值都成立，即對(duì)每個(gè)緯帶都成立，所以它實(shí)際代表了7個(gè)公式。為了分析各地大氣中水分循環(huán)的一般關(guān)系，我們?cè)谝痪S，離散的簡(jiǎn)化條件下引入了兩個(gè)概念，水分輻合函數(shù)和水分輻散函數(shù)。我們利用了長(zhǎng)歷時(shí)背景下水分循環(huán)必需保持水分的平衡，即任何小區(qū)域的蒸發(fā)的水分必然最后在地球各地形成降水，或者任何地點(diǎn)的降水必然來自各地的蒸發(fā)而不能丟失的約束關(guān)系。這些分析固然不復(fù)雜，而且得到的方程也不復(fù)雜，但是理解各個(gè)有關(guān)方程時(shí)需要注意i，j的物理含義，而不能弄錯(cuò)?！?兩個(gè)計(jì)算的例子 公式(8.4)說明在已經(jīng)知道輻散函數(shù)和各地的蒸發(fā)的情況下可以計(jì)算出每個(gè)緯帶的降水；而公式（8.5）說明在已經(jīng)知道輻合函數(shù)和各地的降水的情況下可以計(jì)算出每個(gè)緯帶的蒸發(fā)。文獻(xiàn)[JoseP.Peixoto和AbraharmH.Oort，吳國(guó)雄等譯.氣候物理學(xué)[M].北京：氣象出版社，1995：139]給出了各個(gè)緯度帶的降水量和蒸發(fā)量。表8.3和表8.4又給出了一種輻合函數(shù)和輻散函數(shù)。于是我們就可以利用公式（8.4）和（8.5）分別計(jì)算出各個(gè)緯帶的降水和蒸發(fā)。如果利用蒸發(fā)數(shù)據(jù)和輻散函數(shù)計(jì)算的降水?dāng)?shù)據(jù)與文獻(xiàn)[JoseP.Peixoto和AbraharmH.Oort,吳國(guó)雄等譯.氣候物理學(xué)[M].北京：氣象出版社，1995：139]給出的數(shù)據(jù)差不多，以及利用降水?dāng)?shù)據(jù)和輻合函數(shù)計(jì)算的蒸發(fā)數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)JoseP.Peixoto和AbraharmH.Oort，吳國(guó)雄等譯.氣候物理學(xué)[M].北京：氣象出版社，1995：139JoseP.Peixoto和AbraharmH.Oort,吳國(guó)雄等譯.氣候物理學(xué)[M].北京：氣象出版社，1995：139JoseP.Peixoto和AbraharmH.Oort,吳國(guó)雄等譯.氣候物理學(xué)[M].北京：氣象出版社，1995：139表（8.5）實(shí)際降水量、蒸發(fā)量與用公式（8.4）、（8.5）配合表（8.4）、（8.3）的計(jì)算值的對(duì)比（單位：10912345緯帶區(qū)間文獻(xiàn)[4]給的實(shí)際降水總量依據(jù)公式(8.4)，用表（8.4）和實(shí)際蒸發(fā)量計(jì)算的總降水量依據(jù)公式(8.5)，用表（8.3）和實(shí)際降水量計(jì)算的總蒸發(fā)量文獻(xiàn)[4]給的實(shí)際總蒸發(fā)量90-70°N26142631.3881873.1241845.870-40°N56612.457352.1740497.2638491.640-10°N112761.6113958.3143049.1146011.210°N-10°S149013.9146360.5112348111969.910-40°S116825.8116902.8170199.5168553.640-70°S73296.873996.8843723.6244698.670-90°S1068.2890.686502.054522全球合計(jì)512192.7512192.7512092.7512092.7對(duì)比表（8.5）中第3列計(jì)算的降水量與第2列的實(shí)際降水量，可以看到它們的差別是比較小的。對(duì)比表（8.5）中第4列計(jì)算的降水量與第5列的實(shí)際蒸發(fā)量，可以看到它們的差別也是比較小的。這說明我們的理論和設(shè)定的輻合函數(shù)、輻散函數(shù)的值是比較符合實(shí)際的?！?兩維的降水與蒸發(fā)方程前面為了突出水分循環(huán)與平衡問題的物理意義，我們?cè)谟懻撨@個(gè)問題時(shí)是由零維到準(zhǔn)零維再到一維的離散變量的順序而展開研究的。大家已經(jīng)看到，在一維情況下，這里的水分循環(huán)模型已經(jīng)可以回答不同緯帶之間的水分循環(huán)問題，即不同緯帶所蒸發(fā)的水分最后在那里以降水形式回到地面，或者不同緯帶的降水來自那里的蒸發(fā)各有多少。但是地球表面是個(gè)球面，用一維變量研究水分循環(huán)是不能充分展開問題的。球面的簡(jiǎn)單又完備的描述應(yīng)當(dāng)是地理學(xué)通常用的經(jīng)度和緯度的二元自變量?，F(xiàn)在我們就描述二維變量情況下的水分循環(huán)方程。而我們對(duì)此的表述也是來自文獻(xiàn)[張學(xué)文.大氣水分循環(huán)方程.高原氣象[J]張學(xué)文.大氣水分循環(huán)方程.高原氣象[J]，2006，25（2）：190-1946.1水分輻合函數(shù)二維情況下的大氣水分輻合函數(shù)C用表示，即它是4個(gè)自變量的函數(shù)，其含義是在經(jīng)緯度為（λ0,φ0）處的單位降水量中，來自λ→λ+1，φ→φ+1（即單位經(jīng)度、緯度增量，對(duì)應(yīng)于單位面積）地域的蒸發(fā)占的權(quán)重。這里λ,φ分別指地球上的經(jīng)度和緯度（注意這4個(gè)變量的含義與順序，否則后面做重積分時(shí)就不易理解）。水分輻合函數(shù)描述了在（λ0,,φ0）處出現(xiàn)的每單位降水量中，世界各地（λ,φ）的單位經(jīng)度、單位緯度區(qū)間內(nèi)的蒸發(fā)對(duì)它的貢獻(xiàn)。由于每單位的降水量必然來自地球各地，所以各地的貢獻(xiàn)的合計(jì)應(yīng)當(dāng)?shù)扔?。即有 （8.6）無論（λ0,φ0）在地球的任何地方，以上關(guān)系都成立。 如果知道了某地（λ0,φ0）的多年平均降水量為P(λ0,φ0)，用P(λ0,φ0)乘水分輻合函數(shù)C，就得到新函數(shù)PC，它描述了當(dāng)?shù)亟邓恐衼碜圆煌恢茫ú⑶沂菃挝唤?jīng)緯度區(qū)間）的水分各有多少。有了這個(gè)函數(shù)也就知道了世界各地的蒸發(fā)對(duì)（λ0,φ0）處的降水量的貢獻(xiàn)了。把這個(gè)函數(shù)對(duì)某指定區(qū)域（函數(shù)中的后面兩個(gè)變量）做積分，可以得到該區(qū)域的蒸發(fā)對(duì)（λ0,φ0）處的單位經(jīng)緯度間隔內(nèi)的降水量的貢獻(xiàn)。6.2水分輻散函數(shù)二維情況下的大氣水分輻合函數(shù)D用表示，即它是4個(gè)自變量的函數(shù)，地點(diǎn)（λ0,φ0）處的單位蒸發(fā)量在運(yùn)動(dòng)到λ→λ+1，φ→φ+1地域（即單位經(jīng)度、緯度增量，對(duì)應(yīng)于單位面積）再降落為雨雪的量（也是權(quán)重）。水分輻散函數(shù)描述了地點(diǎn)（λ0,φ0）處發(fā)生的每單位蒸發(fā)量在世界各地的單位經(jīng)度、單位緯度內(nèi)形成的降水量中的比例（權(quán)重）。由于每單位的蒸發(fā)量必然降落到地球各地，所以它在各地的合計(jì)應(yīng)當(dāng)?shù)扔?，即有 （8.7）無論（λ0,φ0）在地球的任何地方，以上關(guān)系都成立。如果知道了某地（λ0,φ0）的年蒸發(fā)量為E(λ0,φ0)，用E(λ0,φ0)乘水分輻散函數(shù)D，就得到新函數(shù)ED，它描述了當(dāng)?shù)卣舭l(fā)量擴(kuò)散到不同位置（并且是單位經(jīng)緯度區(qū)間）的水分各有多少。這樣我們就知道了當(dāng)?shù)乜傉舭l(fā)對(duì)世界各地的降水量的貢獻(xiàn)了。上面給出了二維的連續(xù)的自變量情況下的輻合函數(shù)和輻散函數(shù)的表述式，它們比一維意義上的表示式復(fù)雜一些，但是本質(zhì)意義是相同的。下面再給出二維連續(xù)情況下的降水方程和蒸發(fā)方程。6.3降水方程一維離散情況下的降水方程是公式（8.4），現(xiàn)在二維的連續(xù)自變量情況下的降水方程顯然應(yīng)當(dāng)是如下的兩重積分，它覆蓋了地球的每個(gè)經(jīng)緯度元面積。 （8.8）這個(gè)公式表明地球各地的蒸發(fā)量對(duì)(λ,φ)處的降水量的貢獻(xiàn)。它對(duì)于地球上的任何經(jīng)緯度(λ,φ)位置都適用。這個(gè)公式聯(lián)系著世界各地的降水與蒸發(fā)的關(guān)系，它們是具體通過水分輻散函數(shù)和對(duì)應(yīng)的兩重積分而聯(lián)系到一起的。6.4蒸發(fā)方程一維離散情況下的蒸發(fā)方程是公式（8.5），二維的連續(xù)自變量情況下的蒸發(fā)方程顯然應(yīng)當(dāng)是如下的兩重積分，它覆蓋了地球的每個(gè)經(jīng)緯度元面積。 （8.9）這個(gè)蒸發(fā)方程對(duì)于地球上的任何經(jīng)緯度(λ,φ)位置都適用。這個(gè)公式是世界各地的降水量與蒸發(fā)量的又一個(gè)需要滿足的關(guān)系。公式（8.6）、（8.7）、（8.8）、（8.9）都是大氣中的水分平衡，即質(zhì)量守恒定律用于大氣水分的體現(xiàn)。我們已經(jīng)有了年降水量在各個(gè)經(jīng)緯度上的分布圖，它等于已經(jīng)知道了函數(shù)P(λ,φ)。我們也已經(jīng)有了年蒸發(fā)量在世界各地的分布圖，即粗略地知道了函數(shù)E(λ,φ)。水分輻合函數(shù)和水分輻散函數(shù)是我們目前不知道的兩個(gè)4元函數(shù)。未知函數(shù)在積分號(hào)內(nèi)的方程是積分方程。我們要利用年降水量和年蒸發(fā)量在地球上的分布等條件和方程（8.8）、（8.9）求得水分輻合函數(shù)和輻散函數(shù)。這是一個(gè)解積分方程的問題。過去我們知道不同地點(diǎn)的降水量和蒸發(fā)量有關(guān)，現(xiàn)在這種關(guān)系已經(jīng)被降水方程和蒸發(fā)方程定量地描述出來了。顯然，如果在一定的約束（已知）條件下，利用這些關(guān)系解出水分輻合函數(shù)和輻散函數(shù)，我們就對(duì)大氣中的水分循環(huán)、對(duì)各地的降水與蒸發(fā)的關(guān)系有了定量的認(rèn)識(shí)?！?大氣水分循環(huán)方程組我們已經(jīng)對(duì)大氣中的水分循環(huán)與平衡條件下不同地點(diǎn)的蒸發(fā)與降水的關(guān)系做了定量分析。但是水分循環(huán)不僅僅存在于大氣中，地面徑流（河水流量，也包含洋流）也是其重要部分?，F(xiàn)在綜合考慮降水量、蒸發(fā)量和徑流量（深）的關(guān)系。在水文學(xué)里，針對(duì)某個(gè)完整的流域a，它的降水量Pa，蒸發(fā)量Ea和徑流深Ra應(yīng)當(dāng)平衡，有多年平均水分循環(huán)公式：Pa=Ea+Ra 我們這里的研究不局限于某一個(gè)流域，理論上它可以細(xì)化到地球表面上的任何一個(gè)點(diǎn)（充分小的面積元）。在這種認(rèn)識(shí)下，水文學(xué)里的水分平衡公式寫為P(λ,φ)=E(λ,φ)+R(λ,φ) （8.10）這個(gè)公式更強(qiáng)調(diào)了平衡關(guān)系可以用到地球的任何一點(diǎn)（λ,φ）,而且它可以是地面或者海面。公式中的R(