2016年概率?？碱}型解析

PAGEPAGE1概率知識點及考點分析開封高中王國平(高中數(shù)學

開封市高中數(shù)學二坊

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本章主要研究隨機事件、互斥事件及概率的意義，并會計算互斥事件的概率；掌握古典概型、幾何概型的概率計算.一．知識點解讀1．隨機事件和確定事件(1)在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件．(2)在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件．(3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件．(4)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件．(5)確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示．2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．3．互斥事件與對立事件(1)互斥事件：若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生．(2)對立事件：若A∩B為不可能事件，而A∪B為必然事件，那么事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．4．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)對立事件的概率：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．5．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．6．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個．(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．7．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))8．幾何概型事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗稱為幾何概型．9．幾何概型中，事件A的概率計算公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).10．要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．二．?？碱}型分析考點1.事件的關(guān)系與運算對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件，這些也可類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系．例1．(2016·湖北十市聯(lián)考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”解析：選DA中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關(guān)系．跟蹤訓練1。(易錯題)（2016年《三維設計》）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是()A．A∪B與C是互斥事件，也是對立事件B．B∪C與D是互斥事件，也是對立事件C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對立事件D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件解析：選D由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一個必然事件，故其事件的關(guān)系可由如圖所示的韋恩圖表示，由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件．考點2。隨機事件的頻率與概率頻率是個不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小，但從大量重復試驗中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率．例2．.(2016年高考新課標全國Ⅱ，18)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0a1112隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費的估計值.解(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0a1112頻率0.3050.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a跟蹤訓練2.(2016·合肥一模)某城市有連接8個小區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H和市中心O的整齊方格形道路網(wǎng)，每個小方格均為正方形，如圖所示．某人從道路網(wǎng)中隨機地選擇一條最短路徑，由小區(qū)A前往小區(qū)H，則他經(jīng)過市中心O的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)解析：選B由題意知，此人從小區(qū)A前往小區(qū)H的所有最短路徑為：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6條．記“此人經(jīng)過市中心O”為事件M，則M包含的基本事件為：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4個，所以P(M)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，即他經(jīng)過市中心O的概率為eq\f(2,3).考點3.互斥事件、對立事件的概率(1)判斷兩個事件是否為互斥事件，就是判斷它們能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則是互斥事件，不然就不是互斥事件．若兩個事件互斥，且必有一個發(fā)生，則其為對立事件．兩個事件互斥未必對立，但對立一定互斥．(2)互斥事件的概率加法公式必須在各個事件彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B對立，P(A)＝1－P(B)．例3．(2016·洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率4求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？解：記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.跟蹤訓練3。（2015·湖北黃石二模)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，由對立事件概率公式得P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).考點4。簡單古典概型的求法求古典概型的概率時，應注意試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性．(1)反復閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意；(2)判斷試驗是否為古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列舉法求出總的基本事件的個數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個數(shù)m；例4.(2016·新課標全國Ⅰ，3)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析將4種顏色的花種任選兩種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇，有((紅黃)、(白紫))，((白紫)、(紅黃))，((紅白)、(黃紫))，((黃紫)、(紅白))，((紅紫)、(黃白))，((黃白)、(紅紫))共6種種法，其中紅色和紫色不在一個花壇的種數(shù)有((紅黃)、(白紫))，((白紫)、(紅黃))，((紅白)、(黃紫))，((黃紫)，(紅白))，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，選C.答案C跟蹤訓練4.2.(2016·新課標全國Ⅲ，5)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)解析第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，所以總的基本事件的個數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為eq\f(1,15)，故選C.答案C考點五。古典概型的交匯命題古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計等知識交匯命題，命題的角度新穎，考查知識全面，能力要求較高．歸納起來常見的交匯探究角度有以下幾種：探究一古典概型與平面向量相結(jié)合例5.(2016·威海一模)從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．因為m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)共2個，故所求的概率為eq\f(1,6).答案：A跟蹤訓練5.(2015·陜西質(zhì)檢)連擲兩次骰子得到的點數(shù)依次為m和n，若記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－2)的夾角為θ，則θ為銳角的概率是________．解析：依題意，θ為銳角，則a·b＞0，則m－2n＞0，m＞2n連續(xù)擲兩次骰子的所有可能結(jié)果為36種，其中滿足m＞2n的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6種，所以所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)探究二古典概型與直線、圓相結(jié)合例6.(2015·洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)跟蹤訓練6.（2016年《創(chuàng)新方案》）設集合P＝{－2，－1,0,1,2}，x∈P且y∈P，則點(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部的概率為________．解析：以(x，y)為基本事件，可知滿足x∈P且y∈P的基本事件有25個．若點(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部，則x，y∈{－1,1,0}，用列表法或坐標法可知滿足x∈{－1,1,0}且y∈{－1,1,0}的基本事件有9個．所以點(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部的概率為eq\f(9,25).答案：eq\f(9,25)探究三古典概型與函數(shù)相結(jié)合例7.(2016·煙臺模擬)在區(qū)間[0,1]上任取兩個數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)解析：選C要使該函數(shù)無零點，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，,a－2b＜0))的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點的概率P＝eq\f(1－\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(3,4).跟蹤訓練7.(2016·寧波一模)已知實數(shù)a滿足－3<a<4，函數(shù)f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域為R的概率為P1，定義域為R的概率為P2，則()A．P1>P2 B．P1＝P2C．P1<P2 D．P1與P2的大小不確定解析：選C若f(x)的值域為R，則Δ＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2，故P1＝eq\f(－2－－3,4－－3)＋eq\f(4－2,4－－3)＝eq\f(3,7).若f(x)的定義域為R，則Δ＝a2－4<0，得－2<a<2，故P2＝eq\f(2－－2,4－－3)＝eq\f(4,7)，所以P1<P2.探究四古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合例8.(2016·貴州七校聯(lián)考)從某校高三年級學生中抽取40名學生，將他們高中學業(yè)水平考試的數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖的頻率分布直方圖．(1)若該校高三年級有640人，試估計這次學業(yè)水平考試的數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)及相應的平均分(平均分保留到百分位)；(2)若從[40,50)與[90,100]這兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生成績之差的絕對值不大于10的概率．解。(1)由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于高三年級共有學生640人，可估計該校高三年級數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)為640×0.85＝544.可估計不低于60分的學生數(shù)學成績的平均分為eq\f(640×0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.1×95,544)≈77.94.(2)成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05＝2，成績在[90,100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1＝4，若從這6名學生中隨機抽取2人，則總的取法有15種，如果2名學生的數(shù)學成績都在[40,50)分數(shù)段內(nèi)或都在[90,100]分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)，另一個成績在[90,100]分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10.則所取2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的取法為7種，所以所求概率P＝eq\f(7,15).跟蹤訓練8.(2016·廣東七校聯(lián)考)甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓，在培訓期間，他們參加的5次預賽成績記錄如下：甲8282799587乙9575809085(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；(2)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙高的概率；(3)①求甲、乙兩人的成績的平均數(shù)與方差；②若現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，根據(jù)你的計算結(jié)果，你認為選派哪位學生參加合適？解：(1)作出莖葉圖如下：

(2)記甲被抽到的成績?yōu)閤，乙被抽到的成績?yōu)閥，用數(shù)對(x，y)表示基本事件：(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)，基本事件總數(shù)n＝25.記“甲的成績比乙高”為事件A，事件A包含基本事件：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，事件A包含的基本事件數(shù)m＝12，所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,25)，所以甲的成績比乙高的概率為eq\f(12,25).(3)①eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝50，②因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適．考點6.與長度、角度有關(guān)的幾何概型當考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考察對象為線時，一般用角度比計算，即當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比．高考對與長度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下四個命題角度：(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型；(2)與時間有關(guān)的幾何概型；(3)與不等式有關(guān)的幾何概型；(4)與距離有關(guān)的幾何概型．例9.(2016·麗江模擬)設A為圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，則弦長超過半徑eq\r(2)倍的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,5)(2)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點，則當點B在上運動時，弦長|AB|>eq\r(2)R，∴＝eq\f(1,2).跟蹤訓練9。(2016年高考新課標全國Ⅱ，8)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B.答案B考點7.與體積有關(guān)的幾何概型對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求．例10.(2016·濟南一模)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A-A1BD解析：設事件M＝“動點在三棱錐A-A1BD內(nèi)”，P(M)＝eq\f(V三棱錐A-