2016年概率?？碱}型解析

PAGEPAGE1概率知識(shí)點(diǎn)及考點(diǎn)分析開封高中王國(guó)平(高中數(shù)學(xué)

開封市高中數(shù)學(xué)二坊

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本章主要研究隨機(jī)事件、互斥事件及概率的意義，并會(huì)計(jì)算互斥事件的概率；掌握古典概型、幾何概型的概率計(jì)算.一．知識(shí)點(diǎn)解讀1．隨機(jī)事件和確定事件(1)在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件．(2)在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件．(3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件．(4)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件．(5)確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示．2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率．3．互斥事件與對(duì)立事件(1)互斥事件：若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．(2)對(duì)立事件：若A∩B為不可能事件，而A∪B為必然事件，那么事件A與事件B互為對(duì)立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)對(duì)立事件的概率：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．5．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．6．古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)．(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．7．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))8．幾何概型事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型．9．幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).10．要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．二．?？碱}型分析考點(diǎn)1.事件的關(guān)系與運(yùn)算對(duì)互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立事件除不能同時(shí)發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時(shí)，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系．例1．(2016·湖北十市聯(lián)考)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”解析：選DA中的兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個(gè)事件是對(duì)立事件；C中的兩個(gè)事件都包含“一個(gè)黑球一個(gè)紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1。(易錯(cuò)題)（2016年《三維設(shè)計(jì)》）在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是()A．A∪B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件B．B∪C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對(duì)立事件D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對(duì)立事件解析：選D由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一個(gè)必然事件，故其事件的關(guān)系可由如圖所示的韋恩圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件．考點(diǎn)2。隨機(jī)事件的頻率與概率頻率是個(gè)不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小，但從大量重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會(huì)穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率．例2．.(2016年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，18)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0a1112隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)的估計(jì)值.解(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0a1112頻率0.3050.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a跟蹤訓(xùn)練2.(2016·合肥一模)某城市有連接8個(gè)小區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H和市中心O的整齊方格形道路網(wǎng)，每個(gè)小方格均為正方形，如圖所示．某人從道路網(wǎng)中隨機(jī)地選擇一條最短路徑，由小區(qū)A前往小區(qū)H，則他經(jīng)過市中心O的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)解析：選B由題意知，此人從小區(qū)A前往小區(qū)H的所有最短路徑為：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6條．記“此人經(jīng)過市中心O”為事件M，則M包含的基本事件為：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4個(gè)，所以P(M)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，即他經(jīng)過市中心O的概率為eq\f(2,3).考點(diǎn)3.互斥事件、對(duì)立事件的概率(1)判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，就是判斷它們能否同時(shí)發(fā)生，若不能同時(shí)發(fā)生，則是互斥事件，不然就不是互斥事件．若兩個(gè)事件互斥，且必有一個(gè)發(fā)生，則其為對(duì)立事件．兩個(gè)事件互斥未必對(duì)立，但對(duì)立一定互斥．(2)互斥事件的概率加法公式必須在各個(gè)事件彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B對(duì)立，P(A)＝1－P(B)．例3．(2016·洛陽(yáng)模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率4求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？解：記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.跟蹤訓(xùn)練3。（2015·湖北黃石二模)某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，由對(duì)立事件概率公式得P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).考點(diǎn)4。簡(jiǎn)單古典概型的求法求古典概型的概率時(shí)，應(yīng)注意試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性．(1)反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意；(2)判斷試驗(yàn)是否為古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列舉法求出總的基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；例4.(2016·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，3)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析將4種顏色的花種任選兩種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇，有((紅黃)、(白紫))，((白紫)、(紅黃))，((紅白)、(黃紫))，((黃紫)、(紅白))，((紅紫)、(黃白))，((黃白)、(紅紫))共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種數(shù)有((紅黃)、(白紫))，((白紫)、(紅黃))，((紅白)、(黃紫))，((黃紫)，(紅白))，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，選C.答案C跟蹤訓(xùn)練4.2.(2016·新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ，5)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)解析第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，所以總的基本事件的個(gè)數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為eq\f(1,15)，故選C.答案C考點(diǎn)五。古典概型的交匯命題古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯命題，命題的角度新穎，考查知識(shí)全面，能力要求較高．歸納起來常見的交匯探究角度有以下幾種：探究一古典概型與平面向量相結(jié)合例5.(2016·威海一模)從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．因?yàn)閙⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)共2個(gè)，故所求的概率為eq\f(1,6).答案：A跟蹤訓(xùn)練5.(2015·陜西質(zhì)檢)連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)依次為m和n，若記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－2)的夾角為θ，則θ為銳角的概率是________．解析：依題意，θ為銳角，則a·b＞0，則m－2n＞0，m＞2n連續(xù)擲兩次骰子的所有可能結(jié)果為36種，其中滿足m＞2n的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6種，所以所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)探究二古典概型與直線、圓相結(jié)合例6.(2015·洛陽(yáng)統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________．解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)跟蹤訓(xùn)練6.（2016年《創(chuàng)新方案》）設(shè)集合P＝{－2，－1,0,1,2}，x∈P且y∈P，則點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部的概率為________．解析：以(x，y)為基本事件，可知滿足x∈P且y∈P的基本事件有25個(gè)．若點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部，則x，y∈{－1,1,0}，用列表法或坐標(biāo)法可知滿足x∈{－1,1,0}且y∈{－1,1,0}的基本事件有9個(gè)．所以點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部的概率為eq\f(9,25).答案：eq\f(9,25)探究三古典概型與函數(shù)相結(jié)合例7.(2016·煙臺(tái)模擬)在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)解析：選C要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，,a－2b＜0))的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點(diǎn)的概率P＝eq\f(1－\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(3,4).跟蹤訓(xùn)練7.(2016·寧波一模)已知實(shí)數(shù)a滿足－3<a<4，函數(shù)f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域?yàn)镽的概率為P1，定義域?yàn)镽的概率為P2，則()A．P1>P2 B．P1＝P2C．P1<P2 D．P1與P2的大小不確定解析：選C若f(x)的值域?yàn)镽，則Δ＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2，故P1＝eq\f(－2－－3,4－－3)＋eq\f(4－2,4－－3)＝eq\f(3,7).若f(x)的定義域?yàn)镽，則Δ＝a2－4<0，得－2<a<2，故P2＝eq\f(2－－2,4－－3)＝eq\f(4,7)，所以P1<P2.探究四古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合例8.(2016·貴州七校聯(lián)考)從某校高三年級(jí)學(xué)生中抽取40名學(xué)生，將他們高中學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖的頻率分布直方圖．(1)若該校高三年級(jí)有640人，試估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)及相應(yīng)的平均分(平均分保留到百分位)；(2)若從[40,50)與[90,100]這兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率．解。(1)由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于高三年級(jí)共有學(xué)生640人，可估計(jì)該校高三年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)為640×0.85＝544.可估計(jì)不低于60分的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為eq\f(640×0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.1×95,544)≈77.94.(2)成績(jī)?cè)赱40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05＝2，成績(jī)?cè)赱90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1＝4，若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則總的取法有15種，如果2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定不大于10.如果一個(gè)成績(jī)?cè)赱40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績(jī)?cè)赱90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定大于10.則所取2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的取法為7種，所以所求概率P＝eq\f(7,15).跟蹤訓(xùn)練8.(2016·廣東七校聯(lián)考)甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間，他們參加的5次預(yù)賽成績(jī)記錄如下：甲8282799587乙9575809085(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；(2)從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)，求甲的成績(jī)比乙高的概率；(3)①求甲、乙兩人的成績(jī)的平均數(shù)與方差；②若現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，根據(jù)你的計(jì)算結(jié)果，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？解：(1)作出莖葉圖如下：

(2)記甲被抽到的成績(jī)?yōu)閤，乙被抽到的成績(jī)?yōu)閥，用數(shù)對(duì)(x，y)表示基本事件：(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)，基本事件總數(shù)n＝25.記“甲的成績(jī)比乙高”為事件A，事件A包含基本事件：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，事件A包含的基本事件數(shù)m＝12，所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,25)，所以甲的成績(jī)比乙高的概率為eq\f(12,25).(3)①eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝50，②因?yàn)閑q\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績(jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適．考點(diǎn)6.與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長(zhǎng)度比計(jì)算；當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算，即當(dāng)半徑一定時(shí)，由于弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實(shí)際上是所對(duì)的弧長(zhǎng)(曲線長(zhǎng))之比．高考對(duì)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下四個(gè)命題角度：(1)與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型；(2)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型；(3)與不等式有關(guān)的幾何概型；(4)與距離有關(guān)的幾何概型．例9.(2016·麗江模擬)設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，則弦長(zhǎng)超過半徑eq\r(2)倍的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,5)(2)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|>eq\r(2)R，∴＝eq\f(1,2).跟蹤訓(xùn)練9。(2016年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，8)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B.答案B考點(diǎn)7.與體積有關(guān)的幾何概型對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求．例10.(2016·濟(jì)南一模)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD解析：設(shè)事件M＝“動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)”，P(M)＝eq\f(V三棱錐A-