3.3正態(tài)分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性2

3.3正態(tài)分布第3章概率湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課標(biāo)要求1.通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.2.通過具體實(shí)例,借助頻率直方圖的幾何直觀,了解正態(tài)分布的特征.3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)正態(tài)分布1.正態(tài)曲線的定義:一般地,函數(shù)p(x)=

(-∞<x<+∞)的圖象表示的曲線稱為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線(特點(diǎn):中間高,兩邊低,左右大致對(duì)稱),其中μ和σ為參數(shù),p(x)稱為概率密度函數(shù),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布,簡記為X~

.

描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律

其值為E(X)特別地,數(shù)學(xué)期望μ=0,方差σ2=1時(shí)的正態(tài)分布稱為

,其密度函數(shù)記為φ(x)=

(-∞<x<+∞).

N(μ,σ2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

2.正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn):(1)曲線位于x軸

,與x軸

;

(2)曲線是單峰的,它關(guān)于

對(duì)稱;

(3)p(x)在

處達(dá)到最大值;

(4)當(dāng)σ一定時(shí),曲線隨著μ的變化而沿

平移;

(5)σ越大,正態(tài)曲線越

,σ越小,正態(tài)曲線越

;

(6)曲線與x軸之間所夾區(qū)域的面積為

.

上方

不相交直線x=μx=μx軸

扁平

尖陡

13.3σ原則:(1)正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值:若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則隨機(jī)變量X取值落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ]內(nèi)的概率約為

,落在區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ]內(nèi)的概率約為

,落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率約為

.

(2)在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]之間的值,并簡稱為3σ原則.68.27%95.45%99.73%過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)概率密度函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差.(

)(2)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量.(

)2.如果X~N(μ,σ2),那么P(x≤μ)與P(x≥μ)之間存在怎樣的等量關(guān)系?×√重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的圖象研究解析式中的參數(shù)【例1】

已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示,則總體的均值μ=

,方差σ2=

.

202規(guī)律方法

利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式,應(yīng)根據(jù)圖象的兩個(gè)特點(diǎn)確定參數(shù):一是對(duì)稱軸為直線x=μ,二是最大值為

.變式訓(xùn)練1已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=

(x∈R),則其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是(

)A.0和8 B.0和4C.0和2 D.0和1C變式訓(xùn)練2如圖所示是當(dāng)σ分別取值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線N(0,σ2)的圖象,那么σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3D由正態(tài)曲線的性質(zhì),當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越小,曲線越“尖陡”;σ越大,曲線越“扁平”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.故選D.探究點(diǎn)二利用正態(tài)分布求概率【例2】

設(shè)隨機(jī)變量X~N(1,22),試求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3<X≤5).解

由隨機(jī)變量X~N(1,22)可知均值μ=1,標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.變式探究1本例條件不變,若P(X>c+1)=P(X<c-1),求c的值.解

由X~N(1,22)可知,概率密度曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱,又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有1-(c-1)=(c+1)-1,解得c=1.變式探究2本例條件不變,求P(X≥5).解

∵P(X≥5)=P(X≤-3),變式探究3本例條件不變,若P(X≤4)=0.94,求P(X<-2).解

因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(1,22),則μ=1,所以P(X<-2)=P(X>4)=1-P(X≤4)=0.06.變式探究4本例條件不變,若P(0<X<1)=0.2,求P(X≥2).解

由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱,因此由P(0<X<1)=0.2,可知P(1<X<2)=0.2,P(X≥2)=P(X>1)-P(1<X<2)=0.5-0.2=0.3.規(guī)律方法

利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對(duì)稱法:由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的,且概率的和為1,故關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的區(qū)間概率相等.如:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).(2)“3σ”法:利用X落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率分別約為0.682

7,0.954

5,0.997

3求解.探究點(diǎn)三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】

某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑尺寸X~N(4,0.25).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件,測得它的外徑為5.7cm.試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格?解

由于圓柱形零件的外徑尺寸X~N(4,0.25),則X在區(qū)間[4-3×0.5,4+3×0.5]即[2.5,5.5]之外取值的概率約為0.002

7.而5.7?[2.5,5.5],這說明在一次試驗(yàn)中,出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的事件,所以認(rèn)為該廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品是不合格的.規(guī)律方法

利用正態(tài)分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法利用正態(tài)分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法就是檢驗(yàn)一次試驗(yàn)中的取值a是否落入?yún)^(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi).如果a∈[μ-3σ,μ+3σ],則接受統(tǒng)計(jì)假設(shè);如果a?[μ-3σ,μ+3σ],則拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).變式訓(xùn)練3假設(shè)某個(gè)地區(qū)高二年級(jí)的學(xué)生的身高服從正態(tài)分布,且均值為170(單位:cm),標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生,求這名學(xué)生的身高:(1)不高于170的概率;(2)在區(qū)間[160,180]內(nèi)的概率;(3)不高于180的概率.解

設(shè)該學(xué)生的身高為X,由題意可知X~N(170,100).(1)易知P(X≤170)=50%.(2)因?yàn)榫禐?70,標(biāo)準(zhǔn)差為10,而160=170-10,180=170+10,所以P(160≤X≤180)=P(|X-170|≤10)≈68.27%.(3)P(X≤180)=P(X<170)+P(170≤X≤180).又由(2)以及正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知因此P(X≤180)=P(X<170)+P(170≤X≤180)≈84.135%.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)正態(tài)分布密度曲線與概率密度函數(shù);(2)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn);(3)3σ原則.2.方法歸納:利用概率密度函數(shù)研究隨機(jī)變量的均值與方差;利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)的概率;利用3σ原則進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).3.特別提示:概率密度函數(shù)解析式的特征,X~N(μ,σ2)時(shí)σ2是標(biāo)準(zhǔn)差的平方也就是方差;求隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)的概率要注意利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性以及區(qū)間端點(diǎn)值與σ,μ的關(guān)系;利用正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)要注意產(chǎn)品數(shù)據(jù)與3σ原則對(duì)應(yīng)區(qū)間的關(guān)系.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1234567891011121314151.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(ξ<a-1)=P(ξ>a+3),則a等于(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象特征,又因?yàn)镻(ξ<a-1)=P(ξ>a+3),所以有

=2,解得a=1,故選A.1234567891011121314152.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),且P(X≥5)=0.2,則P(1<X<3)=(

)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4C解析

P(1<X<3)=P(3<X<5)=0.5-P(X≥5)=0.5-0.2=0.3.故選C.1234567891011121314153.已知隨機(jī)變量X~N(2,σ2)(σ>0),若P(X<4)=0.7,則P(X≤0)=(

)A.0.2 B.0.3

C.0.5 D.0.7B解析

∵隨機(jī)變量X~N(2,σ2)(σ>0),P(X<4)=0.7,∴P(2<X<4)=0.7-0.5=0.2.根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得P(0<X<2)=0.2,∴P(X≤0)=0.5-0.2=0.3,故選B.1234567891011121314154.某生態(tài)果園盛產(chǎn)獼猴桃,現(xiàn)摘取了1600個(gè)獼猴桃進(jìn)行個(gè)頭大小的取樣調(diào)查,已知樣本獼猴桃的果徑X(單位:cm)服從正態(tài)分布即X~N(7,σ2),若果徑滿足6<X<8的獼猴桃占樣本總數(shù)的,則樣本中果徑不小于8cm的獼猴桃個(gè)數(shù)約為(

)A.40 B.120 C.200

D.240C1234567891011121314155.(多選題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(|x-μ|≤σ)≈0.6827),則(

)A.X的方差為3B.P(X≤2)=0.5C.P(3≤X<4)<P(4≤X<5)D.P(X≤-1)≈0.15865BD解析

由已知可得μ=2,σ=3,則X的方差為9,A錯(cuò)誤;P(X≤2)=P(X≤μ)=0.5,B正確;因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線中間高,兩邊低,且μ=2,故P(3≤X<4)>P(4≤X<5),C錯(cuò)誤;P(X≤-1)=P(X≤μ-σ)=≈0.158

65,D正確.故選BD.1234567891011121314156.已知隨機(jī)變量X的取值落在區(qū)間[0.2,+∞)內(nèi)的概率為0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x=

時(shí)達(dá)到最高點(diǎn).

0.2解析

由正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱且在x=μ處達(dá)到峰值,又隨機(jī)變量X的取值落在區(qū)間[0.2,+∞)內(nèi)的概率為0.5,所以μ=0.2.1234567891011121314157.[2023北京臨川學(xué)校高二期中]上次月考剛好有900名學(xué)生參加考試,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?chǔ)蝵N(105,102),且P(95≤ξ≤105)≈0.34,則上次月考中數(shù)學(xué)成績?cè)?15分以上的人數(shù)大約為

.

144解析

∵學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?chǔ)蝵N(105,102),且P(95≤ξ≤105)≈0.34,∴P(105≤ξ≤115)≈0.34,∴P(ξ>115)≈0.5-0.34=0.16,則上次月考中數(shù)學(xué)成績?cè)?15分以上的人數(shù)大約為900×0.16=144(人).1234567891011121314158.假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線,正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500,52)(單位:g),該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽,稱得其質(zhì)量均大于515g.(1)求正常情況下,任意抽取一包食鹽,質(zhì)量大于515g的概率為多少;(2)檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果,判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,要求立即停產(chǎn)檢修,檢測員的判斷是否合理?請(qǐng)說明理由.123456789101112131415解

設(shè)正常情況下,該生產(chǎn)線上包裝出來的食鹽質(zhì)量為X

g,由題意可知X~N(500,52).(1)由于515=500+3×5,所以根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性與“3σ原則”可知(2)檢測員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常,由(1)可知,隨機(jī)抽取兩包檢查,質(zhì)量都大于515

g的概率約為0.135%×0.135%≈1.8×10-6,幾乎為零,但這樣的事件竟然發(fā)生了,所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常,檢測員的判斷是合理的.123456789101112131415B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中正確的是(

)A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.該物理量在一次測量中不小于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等ABC123456789101112131415解析

因?yàn)槟澄锢砹康臏y量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),方差σ2越小,則分布越集中,σ越小,概率越集中在x=10左右,則該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,故選項(xiàng)A正確;不管σ取何值,測量結(jié)果不小于10的概率均為0.5,故選項(xiàng)B正確;由于概率曲線關(guān)于直線x=10對(duì)稱,所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率,故選項(xiàng)C正確;由于概率分布集中在直線x=10附近,(9.9,10.2)分布的區(qū)域大于(10,10.3)分布的區(qū)域,故測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率大于落在(10,10.3)內(nèi)的概率,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.12345678910111213141510.(多選題)正態(tài)分布N(1,σ2)的正態(tài)曲線如圖所示,則可以表示圖中陰影部分面積的是(

)ABC12345678910111213141512345678910111213141511.某校高三有1000人參加考試,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(105,σ2),且成績優(yōu)良(不低于120分)的人數(shù)約為360,則此次考試數(shù)學(xué)成績高于90分的人數(shù)約為(

)A.360 B.640

C.720

D.780B12345678910111213141512.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,4),若P(m<X≤104)≈0.1359,則m等于(

)(附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.100 B.101

C.102

D.103C解析

由題意知P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5,即P(μ+σ<X≤μ+2σ)≈0.135

9.所以要使得P(m<X≤104)≈0.135

9,則m=102,故選C.12345678910111213141513.通過對(duì)某次考試數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布N(96,52).據(jù)此估計(jì):在本次參加考試的考生中抽取6名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,恰有2名同學(xué)的成績不低于96分的概率為

(用分?jǐn)?shù)表示).

12345678910111213141514.某項(xiàng)目組對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤,隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品,檢測結(jié)果均為合格,且質(zhì)量指標(biāo)分值如下:38,70,50,43,