2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第三章第1講含答案

2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第三章第1講含答案第1講函數(shù)的概念及其表示[課程標準]1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.3.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.4.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用．1．函數(shù)的定義前提設(shè)A，B是兩個eq\x(\s\up1(01))非空的實數(shù)集對應關(guān)系對于集合A中的eq\x(\s\up1(02))任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有eq\x(\s\up1(03))唯一確定的數(shù)y和它對應名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法y＝f(x)，x∈A2.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的eq\x(\s\up1(04))定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的eq\x(\s\up1(05))值域．3．函數(shù)的三要素：eq\x(\s\up1(06))定義域、eq\x(\s\up1(07))對應關(guān)系和eq\x(\s\up1(08))值域．4．同一個函數(shù)：如果兩個函數(shù)的eq\x(\s\up1(09))定義域相同，且eq\x(\s\up1(10))對應關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．5．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：eq\x(\s\up1(11))解析法、eq\x(\s\up1(12))列表法、eq\x(\s\up1(13))圖象法．6．分段函數(shù)(1)定義：若函數(shù)在定義域的不同子集上，因eq\x(\s\up1(14))對應關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)定義域和值域：分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集．(3)注意點：分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．雙勾函數(shù)定義圖象y＝ax＋eq\f(b,x)(ab>0)1．下列關(guān)于x，y的關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x－4)＋eq\r(3－x)B．y2＝4xC．y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,1－2x，x≤1))答案D解析對于A，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,3－x≥0，))解得x∈?，所以y不是x的函數(shù)；對于B，當x>0時，有兩個y與x對應，所以y不是x的函數(shù)；對于C，當x＝1時，有兩個y與x對應，所以y不是x的函數(shù)；對于D，滿足y是x的函數(shù)．故選D.2．(多選)(人教A必修第一冊習題3.1T2改編)下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()A．y＝x－1與y＝eq\r(（x－1）2)B．y＝eq\r(x－1)與y＝eq\f(x－1,\r(x－1))C．f(x)＝x2－2x－1與g(s)＝s2－2s－1D．y＝(eq\r(3,x))3與y＝x答案CD解析對于A，y＝x－1與y＝eq\r(（x－1）2)＝|x－1|的對應關(guān)系不同，兩函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于B，y＝eq\r(x－1)的定義域為[1，＋∞)，y＝eq\f(x－1,\r(x－1))的定義域為(1，＋∞)，定義域不同，兩函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于C，兩個函數(shù)的定義域、對應關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)；對于D，y＝(eq\r(3,x))3＝x的定義域為R，y＝x的定義域為R，定義域、對應關(guān)系都相同，兩函數(shù)是同一個函數(shù)．故選CD.3．(2024·重慶一中月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))則f(f(3))的值為________．答案－7解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))則f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7.4．(人教A必修第一冊習題3.1T11改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是________，值域是________，其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是________．(注：圖中f(x)的圖象與直線x＝3無限靠近但無公共點)答案[－3，0]∪(1，3)(0，＋∞)(0，1)∪(4，＋∞)解析求f(x)的定義域可看f(x)的圖象上所有點的橫坐標的取值構(gòu)成的集合，易知為[－3，0]∪(1，3)；求f(x)的值域可看f(x)的圖象上所有點的縱坐標的取值構(gòu)成的集合，易知為(0，＋∞)；作直線y＝m，可知當m∈(0，1)∪(4，＋∞)時，直線y＝m與f(x)的圖象有唯一公共點，所以只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是(0，1)∪(4，＋∞)．5．(2023·合肥模擬)若f(eq\r(x)＋1)＝x－1，則f(x)＝________．答案x2－2x，x≥1解析令eq\r(x)＋1＝t，則x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1.多角度探究突破考向一函數(shù)的定義域角度求具體函數(shù)的定義域例1(1)(2023·常州一模)函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(|x－2|－1),log2（x－3）)的定義域為________．答案(3，4)∪(4，＋∞)解析函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(|x－2|－1),log2（x－3）)有意義，需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－2|－1≥0，,x－3>0，,x－3≠1，))解得x>3且x≠4，故函數(shù)f(x)的定義域為(3，4)∪(4，＋∞)．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,ax2＋ax－3)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－12，0]解析因為函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,ax2＋ax－3)的定義域是R，所以ax2＋ax－3≠0對任意實數(shù)x都成立．當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(－12，0]．1．求具體函數(shù)的定義域的策略根據(jù)函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)，求解不等式(組)即可；對實際問題，既要使函數(shù)解析式有意義，又要使實際問題有意義．2．使函數(shù)解析式有意義的常見限制條件(1)分式型eq\f(1,f（x）)要滿足f(x)≠0.(2)根式型eq\r(2n,f（x）)(n∈N*)要滿足f(x)≥0.(3)冪函數(shù)型[f(x)]0要滿足f(x)≠0.(4)對數(shù)型logaf(x)(a>0，且a≠1)要滿足f(x)>0.(2024·江門棠下中學月考)函數(shù)f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,\r(9－x2))的定義域為()A．(－3，0]∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)C．[0，3) D．(0，3)答案C解析∵f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,\r(9－x2))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,9－x2>0，))解得0≤x<3，故函數(shù)f(x)的定義域為[0，3)．故選C.角度求抽象函數(shù)的定義域例2(1)(2023·河南頂級名校模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2eq\f(1－x,x)，f(x＋1)的定義域為M，f(2x)的定義域為N，則()A．M＝N B．M∩N＝?C．M?N D．N?M答案B解析由eq\f(1－x,x)＞0，解得0＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的定義域是(0，1)．由0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，所以f(x＋1)的定義域M＝{x|－1＜x＜0}，由0＜2x＜1得0＜x＜eq\f(1,2)，所以f(2x)的定義域N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))))，所以M∩N＝?.故選B.(2)已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為________．答案[－1，2]解析因為y＝f(x2－1)的定義域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]，所以x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－1，2]．(2023·衡水模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，4]，則函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定義域是()A．[1，5] B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3] D．[1，2)∪(2，3]答案C解析由題意，函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，4]，即x∈[0，4]，則函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤4，,x－1＞0，,x－2≠0，))解得1＜x≤3且x≠2，所以函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定義域是(1，2)∪(2，3]．故選C.考向二求函數(shù)的解析式例3(1)(2023·哈爾濱模擬)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，則f(x)的解析式為________________．答案f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)解析(換元法)令eq\f(2,x)＋1＝t(t>1)，則x＝eq\f(2,t－1)，所以f(t)＝lgeq\f(2,t－1)(t>1)，所以f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)．(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)＝________．答案2x＋eq\f(8,3)或－2x－8解析(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8，))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________．答案eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)解析(解方程組法)在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f（x）·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).求函數(shù)解析式的四種方法1.若f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝x2－x＋3解析設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－x＋3.2．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，則f(x)＝________．答案－x＋eq\f(1,4)解析由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，,f（－x）＋3f（x）＝－2x＋1，))得f(x)＝－x＋eq\f(1,4).3．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(x)＝________．答案x2－2(x≥2或x≤－2)解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．多角度探究突破考向三分段函數(shù)角度分段函數(shù)求值問題例4(2023·衡水中學調(diào)研)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,2－x，x<0.))(1)求f(g(2))與g(f(2))；(2)求f(g(x))與g(f(x))的解析式．解(1)由已知條件可得g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)當x>0時，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；當x<0時，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.所以f(g(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x>0，,x2－4x＋3，x<0.))當x>1或x<－1時，f(x)>0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；當－1<x<1時，f(x)<0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.所以g(f(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x>1或x<－1，,3－x2，－1<x<1.))分段函數(shù)求值的策略(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定所求值的自變量屬于哪一個區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值．(2)當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．(3)當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數(shù)不同段的端點．(2024·河南省“頂尖計劃”第一次考試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x，x≤0，,log3x，x>0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))＝________．答案3解析因為eq\f(1,3)>0，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝log3eq\f(1,3)＝－1，又－1<0，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))＝f(－1)＝31＝3.角度分段函數(shù)與方程、不等式問題例5(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f(f(a))＝2，則a＝()A．0或1 B．－1或1C．0或－2 D．－2或－1答案D解析令f(a)＝t，則f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，當t＝0時，即f(a)＝0，顯然a≤0，因此a＋2＝0?a＝－2；當t＝1時，即f(a)＝1，顯然a≤0，因此a＋2＝1?a＝－1.綜上所述，a＝－2或a＝－1.(2)(2024·蘇州常熟中學階段考試)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1，0) D．(－∞，0)答案D解析根據(jù)題意作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象知，滿足f(x＋1)<f(2x)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))所以x<0.故選D.解決分段函數(shù)與方程、不等式問題的基本策略(1)分類討論：根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行分類討論，根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(取值范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍．(2)數(shù)形結(jié)合：解決分段函數(shù)問題時，通過畫出函數(shù)的圖象，對代數(shù)問題進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象直觀地分析判斷，可以快速準確地解決問題．1.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＞a，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，－1)解析當a≥0時，f(a)＝eq\f(1,2)a－1，由f(a)＞a，解得a＜－2，矛盾；當a＜0時，f(a)＝eq\f(1,a)，由f(a)＞a，解得a＜－1.所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1)．2．(2023·北京第101中學模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,log2x，x>0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________；方程f(－x)＝eq\f(1,2)的解是________．答案－2－eq\r(2)或1解析由解析式知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝log2eq\f(1,4)＝－2.因為f(－x)＝eq\f(1,2)，所以當－x≤0，即x≥0時，2－x＝eq\f(1,2)，得x＝1，符合題意；當－x>0，即x<0時，log2(－x)＝eq\f(1,2)，得x＝－eq\r(2)，符合題意．所以f(－x)＝eq\f(1,2)的解是－eq\r(2)或1.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·廣州模擬)設(shè)函數(shù)y＝eq\r(16－x2)的定義域為A，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為B，則A∩B＝()A．(1，4) B．(1，4]C．[－4，1) D．(－4，1)答案C解析因為函數(shù)y＝eq\r(16－x2)的定義域為{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為{x|1－x>0}，即B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|－4≤x<1}．故選C.2．中國清朝數(shù)學家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學》中首次將“function”譯作：“函數(shù)”，沿用至今．為什么這么翻譯？書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數(shù)定義．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個對應法則：①y＝log2|x|；②y＝x＋1；③y＝2|x|；④y＝x2.其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析在①中，當x＝±1時，y＝log21＝0?N，故①不能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；在②中，當x＝－1時，y＝－1＋1＝0?N，故②不能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；在③中，任取x∈M，總有y＝2|x|∈N，故③能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；在④中，任取x∈M，總有y＝x2∈N，故④能構(gòu)成從M到N的函數(shù)．故選B.3．(2023·鎮(zhèn)江模擬)若函數(shù)y＝f(2x)的定義域為[－2，4]，則y＝f(x)－f(－x)的定義域為()A．[－2，2] B．[－2，4]C．[－4，4] D．[－8，8]答案C解析因為函數(shù)y＝f(2x)的定義域為[－2，4]，可得－4≤2x≤8，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－4，8]，對于函數(shù)y＝f(x)－f(－x)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤8，,－4≤－x≤8，))解得－4≤x≤4，因此函數(shù)y＝f(x)－f(－x)的定義域為[－4，4]．故選C.4．(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(1－x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，則f(x)＝()A.eq\f(1,（x－1）2)－1(x≠0) B.eq\f(1,（x－1）2)－1(x≠1)C.eq\f(4,（x－1）2)－1(x≠0) D.eq\f(4,（x－1）2)－1(x≠1)答案B解析令t＝1－x，則x＝1－t，且x≠0，則t≠1，可得f(t)＝eq\f(1－（1－t）2,（1－t）2)＝eq\f(1,（t－1）2)－1(t≠1)，所以f(x)＝eq\f(1,（x－1）2)－1(x≠1)．故選B.5．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為()A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x答案B解析二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，可設(shè)二次函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a－b＝5，))解得a＝3，b＝－2，所以二次函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝3x2－2x.故選B.6．(2024·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)＝()A．2 B.eq\r(2)C．1 D．0答案B解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．因為f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2<a≤3，此時f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq\r(a＋2)，所以a＝eq\r(a＋2)，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不滿足a＝eq\r(a＋2)，舍去)，所以f(a)＝eq\r(2).7．若函數(shù)y＝eq\f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋2))的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案D解析要使函數(shù)的定義域為R，則ax2－4ax＋2>0恒成立．①當a＝0時，不等式為2>0，恒成立；②當a≠0時，要使不等式恒成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（－4a）2－4·a·2<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a（2a－1）<0，))解得0<a<eq\f(1,2).由①②得0≤a<eq\f(1,2).故選D.8．(2024·寶雞實驗高級中學質(zhì)檢)取整函數(shù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列關(guān)于“取整函數(shù)”的命題中，為真命題的是()A．?x∈R，[2x]＝2[x]B．?x，y∈R，[x]＝[y]，則x－y≥1C．?x∈R，[2x]＝2[x]D．?x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]答案C解析當x＝1.5時，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A為假命題；設(shè)[x]＝[y]＝k∈Z，則k≤x<k＋1，k≤y<k＋1，∴x－y<1，故B為假命題；當x＝2時，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，故C為真命題；當x＝0.5，y＝0.6時，有[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1>[x]＋[y]，故D為假命題．二、多項選擇題9．(2024·濟寧調(diào)研)下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)是同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝lnx2，g(x)＝2lnxB．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2C．f(x)＝x0，g(x)＝eq\f(1,x0)D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)答案CD解析對于A，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為{x|x>0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一個函數(shù)；對于B，f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≥0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一個函數(shù)；對于C，f(x)＝x0＝1的定義域為{x|x≠0}，g(x)＝eq\f(1,x0)＝1的定義域為{x|x≠0}，兩函數(shù)的定義域和對應關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)；對于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)．故選CD.10．下列函數(shù)中，滿足f(18x)＝18f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x答案ABD解析若f(x)＝|x|，則f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，則f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，則f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不滿足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，則f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．故選ABD.11．(2024·廣元中學月考)具有性質(zhì)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)．下列函數(shù)滿足“倒負”變換的是()A．y＝x－eq\f(1,x) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（0<x<1），,0（x＝1），,－\f(1,x)（x>1）)) D．y＝－x3＋eq\f(1,x3)答案ACD解析對于A，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，滿足“倒負”變換；對于B，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)＋x≠－f(x)，不滿足“倒負”變換；對于C，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（0<x<1），,0（x＝1），,\f(1,x)（x>1），))滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，滿足“倒負”變換；對于D，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－eq\f(1,x3)＋x3，滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，滿足“倒負”變換．故選ACD.三、填空題12．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：x123f(x)231x123g(x)321則f(g(1))的值為________；滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．答案12解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.當x＝1時，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(2)＝2，不滿足f(g(x))>g(f(x))；當x＝2時，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，滿足f(g(x))>g(f(x))；當x＝3時，f(g(3))＝f(1)＝2，g(f(3))＝g(1)＝3，不滿足f(g(x))>g(f(x))，∴當x＝2時，f(g(x))>g(f(x))成立．13．(2024·重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>1，,x2－1，x≤1，))則不等式f(x)<f(x＋1)的解集為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析當x≤0時，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等價于x2－1<(x＋1)2－1，解得－eq\f(1,2)<x≤0；當0<x≤1時，x＋1>1，此時f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴當0<x≤1時，恒有f(x)<f(x＋1)；當x>1時，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等價于log2x<log2(x＋1)，此時也恒成立．綜上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).14．已知函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＝3x，則f(－2)＝________．答案－eq\f(3,4)解析由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＝3x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＝－3x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＝－3x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＝3x，))令2＋eq\f(1,x)＝－2，可得x＝－eq\f(1,4)，則f(－2)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq\f(3,4).四、解答題15.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離y(單位：m)與汽車的車速x(單位：km/h)滿足下列關(guān)系：y＝eq\f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常數(shù))．如圖是根據(jù)多次實驗數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y與汽車的車速x的關(guān)系圖．(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)如果要求剎車距離不超過25.2m，求行駛的最大速度．解(1)由題意及函數(shù)圖象，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,100)，,n＝0，))所以y＝eq\f(x2,200)＋eq\f(x,100)(x≥0)．(2)令eq\f(x2,200)＋eq\f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.因為x≥0，所以0≤x≤70.故行駛的最大速度是70km/h.16．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)由(1)中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)；(3)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2023)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))的值．解(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＝1－eq\f(1,x2＋1)，∴f(2)＝1－eq\f(1,22＋1)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\f(1,\f(1,4)＋1)＝eq\f(1,5).f(3)＝1－eq\f(1,32＋1)＝eq\f(9,10)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1－eq\f(1,\f(1,9)＋1)＝eq\f(1,10).(2)由(1)中求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1.證明如下：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,x2＋1)＝1.(3)由(2)知f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，f(4)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1，…，f(2023)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝1.∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2023)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝2022.第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值[課程標準]借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．1．函數(shù)的單調(diào)性(1)定義單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I.?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上eq\x(\s\up1(01))單調(diào)遞增當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上eq\x(\s\up1(02))單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是eq\x(\s\up1(03))上升的自左向右看圖象是eq\x(\s\up1(04))下降的增(減)函數(shù)當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時，我們就稱它是增(減)函數(shù)(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)eq\x(\s\up1(05))單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的eq\x(\s\up1(06))單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為函數(shù)y＝f(x)的eq\x(\s\up1(07))最大值M為函數(shù)y＝f(x)的eq\x(\s\up1(08))最小值1．函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論設(shè)?x1，x2∈D(x1≠x2)，則eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>(<)0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>(<)0)?f(x)在D上單調(diào)遞增(減)．2．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：(1)當f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)；(2)復合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．簡記為“同增異減”．3．對勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]，且對勾函數(shù)為奇函數(shù)．1．(多選)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝－eq\f(1,x＋1) B．y＝xeq\s\up7(\f(1,3))C．y＝2－x D．y＝logeq\s\do10(\f(1,2))(x＋1)答案AB解析對于A，y＝－eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；對于B，y＝xeq\s\up7(\f(1,3))在R上單調(diào)遞增，符合題意；對于C，y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上單調(diào)遞減，不符合題意；對于D，y＝logeq\s\do10(\f(1,2))(x＋1)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意．2．(人教A必修第一冊習題3.2T1改編)如圖是函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4，3]的圖象，則下列說法正確的是()A．f(x)在[－4，－1]上單調(diào)遞減，在[－1，3]上單調(diào)遞增B．f(x)在區(qū)間(－1，3)上的最大值為3，最小值為－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．當直線y＝t與f(x)的圖象有三個交點時－1<t<2答案C解析由已知得，f(x)在[－4，－1]上單調(diào)遞減，在[－1，1]上單調(diào)遞增，在[1，3]上單調(diào)遞減，A錯誤；f(x)在區(qū)間(－1，3)上的最大值為3，無最小值，B錯誤；C正確；當直線y＝t與f(x)的圖象有三個交點時－1≤t≤2，D錯誤．3．(2024·嘉興一中月考)若函數(shù)f(x)＝(m－1)x＋b在R上是減函數(shù)，則f(m)與f(1)的大小關(guān)系是()A．f(m)<f(1) B．f(m)>f(1)C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1)答案B解析因為函數(shù)f(x)＝(m－1)x＋b在R上是減函數(shù)，所以m－1<0，得m<1，因為f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(m)>f(1)．故選B.4．(人教A必修第一冊3.2.1例5改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,1－x)，x∈[2，6]，則f(x)的最大值為________，最小值為________．答案－eq\f(2,5)－2解析可判斷函數(shù)f(x)＝eq\f(2,1－x)在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max＝f(6)＝－eq\f(2,5).5．(人教A必修第一冊復習參考題3T4改編)函數(shù)y＝－2x2－4ax＋3在區(qū)間[－4，－2]上具有單調(diào)性，則a的取值范圍是________．答案(－∞，2]∪[4，＋∞)解析函數(shù)y＝－2x2－4ax＋3的圖象的對稱軸為直線x＝－a，由題意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4.故a的取值范圍是(－∞，2]∪[4，＋∞)．多角度探究突破考向一判斷函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)角度定義法確定函數(shù)的單調(diào)性例1試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1，1)上的單調(diào)性．解設(shè)－1<x1<x2<1，f(x)＝a·eq\f(x－1＋1,x－1)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，則f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(a（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）).由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增．定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)；(2)探究f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．解(1)f(0)＝a－eq\f(2,20＋1)＝a－1.(2)f(x)在R上單調(diào)遞增．證明如下：因為f(x)的定義域為R，所以任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(2,2x1＋1)－a＋eq\f(2,2x2＋1)＝eq\f(2（2x1－2x2）,（2x1＋1）（2x2＋1）).由y＝2x在R上單調(diào)遞增知，2x1<2x2，所以2x1－2x2<0，又2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．角度圖象法、性質(zhì)法確定函數(shù)的單調(diào)性例2(1)(2023·?？谀M)函數(shù)f(x)＝x2－4|x|＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2)C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞)答案B解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2－4|x|＋3＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≥0，,x2＋4x＋3，x＜0，))畫出函數(shù)圖象如圖所示．由圖象可知，函數(shù)f(x)＝x2－4|x|＋3的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)和(0，2)．故選B.(2)函數(shù)y＝eq\r(x2＋x－6)的單調(diào)遞增區(qū)間為________，單調(diào)遞減區(qū)間為________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u＝x2＋x－6，則y＝eq\r(x2＋x－6)可以看作是由y＝eq\r(u)與u＝x2＋x－6復合而成的函數(shù)．令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)，而y＝eq\r(u)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴y＝eq\r(x2＋x－6)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－3]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2，＋∞)．1．圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性．2．判斷函數(shù)單調(diào)性常用的性質(zhì)(1)對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)±g(x)的增減性進行判斷．(2)對于復合函數(shù)，先將函數(shù)y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再討論(判斷)這兩個函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷．1.(多選)下列函數(shù)中在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝2x＋xC．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝logeq\s\do7(\f(1,3))x－3x答案AB解析對于A，當x＞0時，f(x)＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，A符合題意；對于B，因為y＝2x與y＝x在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，所以f(x)＝2x＋x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，B符合題意；對于C，f(x)＝x2－2x在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，C不符合題意；對于D，因為y＝logeq\s\do7(\f(1,3))x與y＝－3x在(0，＋∞)上均單調(diào)遞減，所以f(x)＝logeq\s\do7(\f(1,3))x－3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，D不符合題意．故選AB.2．求函數(shù)f(x)＝|4－x|·(x－1)的單調(diào)區(qū)間．解f(x)＝|4－x|·(x－1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（4－x）（x－1），x≤4，,（x－4）（x－1），x＞4，))根據(jù)圖象可知其單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))，(4，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).多角度探究突破考向二函數(shù)單調(diào)性的應用角度利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>a>c答案D解析由題意知y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且當x>1時，y＝f(x)是減函數(shù)，∵a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，∴f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>f(3)，即b>a>c.故選D.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的思路已知下面的三個條件中任意兩個都能推出第三個．①函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的單調(diào)性；②在這個區(qū)間上的任意兩個自變量x1，x2的大小；③在這個區(qū)間上的任意兩個函數(shù)值f(x1)，f(x2)的大小．提醒：若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較．已知函數(shù)f(x)＝lgx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，f(m)＝1，且0<p<m<n，則()A．f(n)<1且f(p)>1 B．f(n)>1且f(p)>1C．f(n)>1且f(p)<1 D．f(n)<1且f(p)<1答案C解析易知函數(shù)y＝lgx與y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)都是(0，＋∞)上的增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝lgx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，∵0<p<m<n，且f(m)＝1，∴f(p)<f(m)＝1<f(n)．角度利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式例4已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,ln（x＋1），x>0，))若f(2－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是________．答案(－2，1)解析因為當x＝0時，兩個表達式對應的函數(shù)值都為0，所以函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線．因為當x≤0時，函數(shù)f(x)＝x3為增函數(shù)，當x>0時，f(x)＝ln(x＋1)也是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)．因此不等式f(2－x2)>f(x)等價于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的具體步驟(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)>f(x2)的形式；(2)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉對應關(guān)系“f”，轉(zhuǎn)化為形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式，從而得解．(2024·安陽林州一中質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是________．答案(－eq\r(5)，－2)∪(2，eq\r(5))解析因為函數(shù)f(x)＝lnx＋2x在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2，得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－eq\r(5)<x<－2或2<x<eq\r(5).角度利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例5(1)(2023·新課標Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)答案D解析函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范圍是[2，＋∞)．故選D.(2)(2023·南京大學附屬中學模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1))對于R上的任意x1≠x2都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案[4，8)解析∵對于R上的任意x1≠x2都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，∴函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,4－\f(a,2)＞0，,4－\f(a,2)＋2≤a，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a＜8，,a≥4，))∴4≤a＜8.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的策略(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．(3)分段函數(shù)的單調(diào)性需要分段研究，既要保證每一段函數(shù)的單調(diào)性，還要注意每段端點值的大?。O(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4.))若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，若f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，需滿足a＋1≤2或a≥4，即a≤1或a≥4.考向三函數(shù)的最值(值域)問題例6(1)函數(shù)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的值域是________．答案(－1，1]解析解法一：函數(shù)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的定義域是R，因為y＝eq\f(1－x2,1＋x2)＝－1＋eq\f(2,1＋x2)，又因為1＋x2≥1，所以0＜eq\f(2,1＋x2)≤2，所以－1＜－1＋eq\f(2,1＋x2)≤1，所以函數(shù)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的值域為(－1，1]．解法二：由y＝eq\f(1－x2,1＋x2)得(1＋x2)y＝1－x2，所以(1＋y)x2＝1－y，所以x2＝eq\f(1－y,1＋y)，因為x∈R，所以x2＝eq\f(1－y,1＋y)≥0，解得－1＜y≤1，所以函數(shù)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的值域為(－1，1]．(2)函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)的最小值為________．答案1解析解法一：令t＝eq\r(x－1)，且t≥0，則x＝t2＋1，所以原函數(shù)變?yōu)閥＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，又t≥0，所以y≥eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1，故函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)的最小值為1.解法二：因為函數(shù)y＝x和y＝eq\r(x－1)在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，所以ymin＝1.(3)(2024·張家口宣化第一中學月考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的值域為________．答案(－∞，2]解析解法一(圖象法)：作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的圖象(如圖所示)，f(x)max＝f(0)＝2.由函數(shù)圖象可知，f(x)的值域為(－∞，2]．解法二(單調(diào)性法)：當x≥1時，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當x<1時，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2，故函數(shù)f(x)的最大值為2.所以f(x)的值域為(－∞，2]．函數(shù)的最值(或值域)的幾種求解方法(1)分離常數(shù)法：分子上構(gòu)造一個跟分母一樣的因式，把分式拆成常量和變量，進一步確定變量范圍破解．(2)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(3)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值．(4)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(5)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值．(6)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值．1.定義max{a，b，c}為a，b，c中的最大值，設(shè)M＝max{2x，2x－3，6－x}，則M的最小值是()A．2 B．3C．4 D．6答案C解析畫出函數(shù)M＝max{2x，2x－3，6－x}的圖象(如圖所示的實線部分)，由圖可知，函數(shù)M在點A(2，4)處取得最小值4.2．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2，x≤0，,x＋\f(1,x)＋a，x>0，))若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為()A．[－1，2] B．[－1，0]C．[1，2] D．[0，2]答案D解析∵當x≤0時，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.當x>0時，f(x)＝x＋eq\f(1,x)＋a≥2＋a，當且僅當x＝1時取等號．要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.∴a的取值范圍是[0，2]．故選D.3．函數(shù)y＝x＋eq\r(1－x2)的值域為________．答案[－1，eq\r(2)]解析令x＝cosθ(0≤θ≤π)，∴y＝cosθ＋sinθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).∴當θ＝eq\f(π,4)時，y有最大值eq\r(2).當θ＝π時，y有最小值－1.∴所求函數(shù)的值域是[－1，eq\r(2)]．課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·海淀區(qū)模擬)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)的是()A．y＝x B．y＝x2＋xC．y＝x＋eq\r(x) D．y＝|x－1|答案D解析由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x2＋x在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x＋eq\r(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝|x－1|在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．故選D.2．(2023·中國人民大學附中模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則“存在M∈R，對任意x∈R，均有f(x)≤M”是“f(x)有最大值”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析只有當?M∈R，?x∈R，f(x)≤M且?x∈R，使得f(x)＝M，這時f(x)有最大值．反之，若f(x)有最大值，則存在M∈R，對任意x∈R，均有f(x)≤M成立．所以函數(shù)f(x)的定義域為R，則“存在M∈R，對任意x∈R，均有f(x)≤M”是“f(x)有最大值”的必要不充分條件．故選B.3．(2024·郴州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定義域為{x|x<－2或x>4}．設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù)．要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間(定義域內(nèi))．∵函數(shù)t＝x2－2x－8在區(qū)間(4，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．故選D.4．(2024·鞍山一中月考)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋3)在區(qū)間(－3，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案B解析f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋3)＝eq\f(a（x＋3）＋1－3a,x＋3)＝a＋eq\f(1－3a,x＋3)，因為f(x)在(－3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以1－3a<0，解得a>eq\f(1,3)，即實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).5．(2023·保定二模)若函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x)))＝eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)＋1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－4x的最小值為()A．－1 B．－2C．－3 D．－4答案D解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x)))＝eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)＋1可得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))＝1－eq\f(2,x)＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))eq\s\up12(2)，∴f(x)＝x2(x≠1)．∴g(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，當x＝2時，g(x)取得最小值，為－4.故選D.6．(2024·衡水中學調(diào)考)已知函數(shù)f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0答案B解析因為函數(shù)f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，所以當x1∈(1，2)時，f(x1)<f(2)＝0，當x2∈(2，＋∞)時，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.故選B.7．(2023·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤a，,2x，x>a，))若f(x)的值域是R，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0] B．[0，1]C．[0，＋∞) D．(－∞，1]答案B解析解法一：因為函數(shù)y＝2x是R上的增函數(shù)，且值域為(0，＋∞)，函數(shù)y＝x＋1是R上的增函數(shù)，且值域也是R，所以要使函數(shù)f(x)的值域為R，需滿足2a≤a＋1.在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y＝2x與y＝x＋1的圖象，如圖所示，由圖可知，當0≤x≤1時，2x≤x＋1，所以實數(shù)a的取值范圍為[0，1]．故選B.解法二：若a＝－1，則當x≤a時，x＋1≤0，當x>a時，2x>eq\f(1,2)，可知此時f(x)的值域不是R，即a＝－1不滿足題意，故排除A，D；若a＝2，則當x≤a時，x＋1≤3，當x>a時，2x>4，可知此時f(x)的值域不是R，即a＝2不滿足題意，故排除C.故選B.8．(2024·長沙模擬)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)－a))(a∈R)，記f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上的最大值為M(a)，則M(a)的最小值為()A．0 B.eq\f(9,8)C.eq\f(15,8) D．2答案B解析設(shè)g(x)＝x＋eq\f(1,x)－a，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，則g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，在[1，4]上單調(diào)遞增，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(5,2)－a，g(1)＝2－a，g(4)＝eq\f(17,4)－a，所以M(a)是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－a))，|2－a|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)－a))三者中的較大者，所以M(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)－a，a≤\f(25,8)，,a－2，a>\f(25,8)，))所以當a＝eq\f(25,8)時，M(a)的最小值為eq\f(9,8).故選B.二、多項選擇題9．設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．y＝eq\f(1,|f（x）|)在R上為減函數(shù)B．y＝|f(x)|在R上為增函數(shù)C．y＝－eq\f(1,f（x）)在R上為增函數(shù)D．y＝－f(x)在R上為減函數(shù)答案ABC解析對于A，若f(x)＝x，則y＝eq\f(1,|f（x）|)＝eq\f(1,|x|)，在R上不是減函數(shù)，故A錯誤；對于B，若f(x)＝x，則y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函數(shù)，故B錯誤；對于C，若f(x)＝x，則y＝－eq\f(1,f（x）)＝－eq\f(1,x)，在R上不是增函數(shù)，故C錯誤；對于D，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則對于任意的x1，x2∈R，設(shè)x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，對于y＝－f(x)，則有y1－y2＝[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)>0，則y＝－f(x)在R上為減函數(shù)，故D正確．故選ABC.10．(2024·盤錦高級中學月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－1＜x＜2，))下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是()A．f(x)的定義域是R B．f(x)的值域是(－∞，5)C．若f(x)＝3，則x的值為eq\r(2) D．f(x)的圖象與y＝2有2個交點答案BC解析由函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－1＜x＜2))知，定義域為(－∞，－1]∪(－1，2)，即(－∞，2)，A錯誤；當x≤－1時，f(x)＝x＋2∈(－∞，1