第02講 不等式（7類核心考點(diǎn)精講精練）原卷版

第02講不等式（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考3題2024年春考6,13題一元二次不等式及其應(yīng)用基本不等式及其應(yīng)用，不等式的性質(zhì)2023秋考1題2023春考3題絕對(duì)值不等式2022秋考14題2022春考3，19題基本不等式及其應(yīng)用分式不等式，基本不等式及其應(yīng)用2021年春考4題分式不等式2020年秋考13題基本不等式及其應(yīng)用2.備考策略1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)2.能夠利用不等式的性質(zhì)比較不等式的大小關(guān)系3.能夠利用不等式的關(guān)系表示不等式的范圍知識(shí)講解一、等式與不等式的性質(zhì)1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))2.等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：若a＝b，則b＝a.(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.3.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其應(yīng)用1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)均值不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(s2,4)(簡(jiǎn)記：和定積最大).三、從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}?{x|b<x<a}4.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.考點(diǎn)一．等式與不等式的性質(zhì)1．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知，且，則A． B． C． D．2．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若，，，，則下列不等式成立的是A． B． C． D．3．（2024?崇明區(qū)二模）若，，則下列不等式成立的是A． B． C． D．4．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期末）已知，以下不等關(guān)系不一定成立的是A． B． C． D．考點(diǎn)二．不等關(guān)系與不等式5．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知、，，則下列不等式中不一定成立的是A． B． C． D．6．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知，那么下列不等式成立的是A． B． C． D．7．（2024?楊浦區(qū)二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是A． B． C． D．8．（2024春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如果，，，，則下列選項(xiàng)正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則考點(diǎn)三．不等式比較大小9．（2023秋?松江區(qū)期末）已知、，設(shè)，，則與的值的大小關(guān)系是A． B． C． D．10．（2023秋?青浦區(qū)期末）已知，，若，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．不能確定考點(diǎn)四．基本不等式及其應(yīng)用11．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）若，，且，則下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．12．（2024?青浦區(qū)二模）函數(shù)的最小值是A．4 B．5 C． D．13．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）若，，且，則的最大值是．14．（2024?閔行區(qū)三模）已知兩個(gè)正數(shù)，的幾何平均值為1，則的最小值為．15．（2024?浦東新區(qū)三模）設(shè)正數(shù)，滿足，則的最小值為．16．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值是．17．（2024?靜安區(qū)二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)、的四個(gè)不等式中，恒成立的是．（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）①；②；③；④．18．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為．考點(diǎn)五．其他不等式的解法19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知集合，，0，，則．20．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）不等式的解集是．21．（2024?虹口區(qū)模擬）已知集合，，則A． B． C． D．22．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，全集，則．考點(diǎn)六．指、對(duì)數(shù)不等式的解法23．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）不等式的解集為．24．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)集合，則．25．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）不等式的解集是．26．（2024?浦東新區(qū)二模）已知集合，1，，集合，則．考點(diǎn)七．一元二次不等式及其應(yīng)用27．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知集合，1，，，則．28．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知集合，1，2，3，，，則中的元素個(gè)數(shù)為．29．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知全集，集合，則．30．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．31．（2024?崇明區(qū)二模）不等式的解為．一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，，，則的最小值為A． B．12 C． D．162．（2023秋?黃浦區(qū)期中）若實(shí)數(shù)，滿足，則必有A． B． C． D．3．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是A．若 B．的最小值為2 C．設(shè)，， D．周長(zhǎng)為10的所有矩形中，面積最大的為254．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）若、，且，則下列關(guān)系式中不可能成立的是A． B． C． D．5．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法，其中一定正確的是A． B． C． D．的最小值為26．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中），，，，，為非零實(shí)數(shù)，則“”是“關(guān)于的不等式和的解集相同”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二．填空題（共9小題）7．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是．8．（2019?天津）設(shè)，，，則的最小值為．9．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，若任意的正數(shù)，均滿足（a），則的最小值為．10．（2023秋?崇明區(qū)期末）已知正實(shí)數(shù)，，，滿足，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，．11．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知，若實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．12．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)．滿足，則的最大值為．13．（2023秋?青浦區(qū)期末）已知三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)、、滿足，，則的取值范圍為．14．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知，關(guān)于的不等式的解集為，設(shè)，當(dāng)變化時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)的集合為．15．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為．三．解答題（共3小題）16．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知全集為實(shí)數(shù)集，集合，，求：（1）；（2）若對(duì)任意的，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若不等式的解集是．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)?shù)慕饧癁闀r(shí)，求的取值范圍．18．（2023秋?奉賢區(qū)期中）（1）已知一元二次不等式的解集為，求不等式的解集．（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，，，若關(guān)于的不等式的解集為，，則A．不存在有序數(shù)組，，，使得 B．存在唯一有序數(shù)組，，，使得 C．有且只有兩組有序數(shù)組，，，使得 D．存在無(wú)窮多組有序數(shù)組，，，使得2．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）定義區(qū)間、，、，、，的長(zhǎng)度均為，已知實(shí)數(shù)，則滿足的構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度之和為A． B． C．4 D．2二．填空題（共2小題）3．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于的不等式恰有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是．三．解答題（共5小題）5．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品多少件？6．（2023?上海開學(xué)）已知關(guān)于的一元二次函數(shù)．（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)、的值．（2）若實(shí)數(shù)、滿足，求關(guān)于的不等式的解集．7．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，（1）若在，上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）求在，上的最大值．8．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）閱讀：已知、，，求的最小值．解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取到等號(hào)，則的最小值為．應(yīng)用上述解法，求解下列問(wèn)題：（1）已知，，，，求的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；（3）已知正數(shù)、、，，，，求證：．

一．選擇題（共5小題）1．（2022?上海）若，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．2．（2024?上海），，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．3．（2020?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．4．（2022?上海）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．5．（2021?上海）已知兩兩不相等的，，，，，，同時(shí)滿足①，，；②；③，以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立A． B． C． D．二．填空題（共8小題）6．（2024?上海）已知，的最小值為．7．（2022?上海）不等式的解集為．8．（2021?上海）不等式的解集為．9．（2024?上海）已知，則不等式的解集為．10．（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為．11．（2021?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則．12．（2020?上海）不等式