第01講 函數(shù)的概念（講義）（原卷版）

第01講函數(shù)的概念目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解函數(shù)的含義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．（2）在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)．（3）了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2022年浙江卷第14題，5分2021年浙江卷第12題，5分高考對(duì)集合的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質(zhì)．1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．2、函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．3、函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【解題方法總結(jié)】1、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域．2、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．題型一：函數(shù)的概念例1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（

）A． B． C． D．例2．（2023·重慶·二模）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．至少1個(gè) B．至多1個(gè) C．僅有1個(gè) D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)【解題方法總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷題型二：同一函數(shù)的判斷例4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）．A．，B．，C．，D．，例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，【解題方法總結(jié)】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域例7．（2023·北京·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則_________.例9．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域?yàn)開__________.變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】對(duì)求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．題型四：抽象函數(shù)定義域例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開____例11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開______.變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____變式5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【解題方法總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，那么a的取值范圍為_________．例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【解題方法總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．題型六：函數(shù)解析式的求法例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；(4)已知滿足，求的解析式.例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為__________．(2)已知滿足，求的解析式．(3)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的解析式.變式8．（2023·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）寫出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為______.變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為_______．【解題方法總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．題型七：函數(shù)值域的求解例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)開_．例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____變式10．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____.【解題方法總結(jié)】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對(duì)于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域．題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用例22．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6例23．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且，則（

）A．-16 B．16 C．26 D．27例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式12．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（

）A． B． C． D．變式13．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值可能為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一