拔高點(diǎn)突破02 柯西不等式、反柯西不等式與權(quán)方和不等式（十一大題型）（原卷版）

拔高點(diǎn)突破02柯西不等式、反柯西不等式與權(quán)方和不等式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：柯西不等式之直接套公式型 2題型二：柯西不等式之根式下有正負(fù)型 3題型三：柯西不等式之高次定求低次型 3題型四：柯西不等式之低次定求高次型 4題型五：柯西不等式之整式與分式型 4題型六：柯西不等式之多變量型 5題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型 5題型八：Aczel不等式 5題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型 6題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型 6題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型 703過關(guān)測試 7

1、柯西不等式（Cauchy不等式）（1）二元柯西不等式：對于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．2、Aczel不等式（反柯西不等式）設(shè)；均為實(shí)數(shù)，或，則有．當(dāng)且僅當(dāng)，成比例時取等．3、權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對于任意的，都有．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當(dāng)時等號成立．題型一：柯西不等式之直接套公式型【例1】已知且則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【變式1-1】若，則的最小值為（

）A．25 B．8 C． D．【變式1-2】已知a，b，，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6題型二：柯西不等式之根式下有正負(fù)型【例2】（2024·高三·山東青島·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法國數(shù)學(xué)家柯西與德國數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)給出一個二維柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．12 D．20【變式2-1】柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.現(xiàn)已知,,,則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型三：柯西不等式之高次定求低次型【例3】設(shè)a，b，c為正數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的.而后來有兩位數(shù)學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實(shí)數(shù)和，有等號成立當(dāng)且僅當(dāng)已知，請你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【變式3-2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型四：柯西不等式之低次定求高次型【例4】若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對【變式4-1】已知空間向量，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【變式4-2】已知，，為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．題型五：柯西不等式之整式與分式型【例5】（2024·高三·浙江臺州·期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．【變式5-1】已知、、，且滿足，則的最小值為.【變式5-2】已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型六：柯西不等式之多變量型【例6】已知且，a，b，c為常數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【變式6-1】已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足則e的取值范圍是（

）A． B． C． D．以上答案都不對【變式6-2】已知，且，則的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不對題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型【例7】函數(shù)的最大值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【變式7-1】（2024·浙江·一模）若，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【變式7-2】函數(shù)的最大值為（

）A． B．5 C．4 D．題型八：Aczel不等式【例8】的最小值為．【變式8-1】為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)校在高一年級開設(shè)了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運(yùn)用平面向量的數(shù)量積知識證明了著名的柯西不等式（二維）；當(dāng)向量時，有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；學(xué)生乙從這個結(jié)論出發(fā)．作一個代數(shù)變換，得到了一個新不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，并取名為“類柯西不等式”．根據(jù)前面的結(jié)論可知：當(dāng)時，的最小值是．題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型【例9】已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【變式9-1】權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．49【變式9-2】已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為.題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型【例10】已知正實(shí)數(shù)、且滿足，求的最小值.【變式10-1】已知為銳角，則的最小值為.【變式10-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時，的值為（

）A． B． C． D．題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型【例11】已知，則的最小值是．【變式11-1】已知，求的最小值為【變式11-2】求的最大值為1．（2024·吉林白山·一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)，，，，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．則函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．492．已知a，b，c均大于1，，則的最小值為（

）A．243 B．27 C．81 D．93．（2024·福建·模擬預(yù)測）設(shè)、，，則的最小值是（

）A． B． C． D．4．由柯西不等式，當(dāng)時，求的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．5．已知，則的取最小值時，為（

）A． B． C．3 D．6．已知：，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．48．已知a，，，則的最大值為（

）A．18 B．9 C． D．9．若實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．14 B． C．29 D．10．函數(shù)的最小值是A． B． C． D．11．若，則的最大值（

）A．3 B．6 C．9 D．2712．函數(shù)的最大值是()A． B． C．3 D．513．已知，，則的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．414．函數(shù)，則的最大值是（）A． B． C． D．15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，則的最大值為（）A．3 B． C．18 D．916．已知x，y均為正數(shù)，且，則的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．1117．（2024·廣西南寧·二模）設(shè)實(shí)數(shù)滿足關(guān)系：，，則實(shí)數(shù)的最大值為A． B． C． D．18．（2024·山西·二模）柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.現(xiàn)已知，，，則的最大值為.19．若不等式對任意正實(shí)數(shù)x，y都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為.20．已知x，y，，且，則的最小值為．21．（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）