2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題七（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題七知識點(diǎn)一根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項(xiàng),數(shù)列求和的其他方法,數(shù)列新定義典例1、對于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，設(shè)為中的最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列.例如數(shù)列3，5，4，7的控制數(shù)列是3，5，5，7.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是2，3，4，6，6，寫出所有的；（2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，）.證明：.（3）考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列.是否存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由.隨堂練習(xí)：給定整數(shù)()，設(shè)集合，記集合．（1）若，求集合；（2）若構(gòu)成以為首項(xiàng)，()為公差的等差數(shù)列，求證：集合中的元素個(gè)數(shù)為；（3）若構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求集合中元素的個(gè)數(shù)及所有元素之和．典例2、設(shè)，為正整數(shù)，一個(gè)正整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，對，定義集合，數(shù)列，，…，中的（）是集合中元素的個(gè)數(shù).（1）若數(shù)列，，…，為5,3,3,2,1,1，寫出數(shù)列，，…，；（2）若，，，，…，為公比為的等比數(shù)列，求；（3）對，定義集合，令是集合中元素的個(gè)數(shù).求證：對，均有.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記的元素個(gè)數(shù)為.（1）①若數(shù)列：，，，，求集合，并寫出的值；②若數(shù)列：，，，，且，，求數(shù)列和集合；（2）若是遞增數(shù)列，求證：“”的充要條件是“為等差數(shù)列”；（3）請你判斷是否存在最大值，并說明理由.典例3、對于項(xiàng)數(shù)為m（且）的有窮正整數(shù)數(shù)列，記，即為中的最小值，設(shè)由組成的數(shù)列稱為的“新型數(shù)列”.（1）若數(shù)列為2019，2020，2019，2018，2017，請寫出的“新型數(shù)列”的所有項(xiàng)；（2）若數(shù)列滿足，且其對應(yīng)的“新型數(shù)列”項(xiàng)數(shù)，求的所有項(xiàng)的和；（3）若數(shù)列的各項(xiàng)互不相等且所有項(xiàng)的和等于所有項(xiàng)的積，求符合條件的及其對應(yīng)的“新型數(shù)列”.

隨堂練習(xí)：設(shè)數(shù)列（）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且.若對任意，存在正整數(shù)使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列與數(shù)列是否具有性質(zhì)；（只需寫出結(jié)論）（2）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，，，求的最小值；（3）若集合，且（任意，）.求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復(fù)選?。┙M成一個(gè)具有性質(zhì)的數(shù)列.知識點(diǎn)二利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消法求和,利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)典例4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足(且)，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.典例5、已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值.典例6、在“①，，；②，；③”三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且__________．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和為，求證：．

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.問題：已知，___________，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題七答案典例1、答案：（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）。解：（1）由題意，，，，，所以數(shù)列有六種可能：；；；；；．（2）因?yàn)?，，所以，所以控制?shù)列是不減的數(shù)列，是的控制數(shù)列，滿足，是常數(shù)，所以，即數(shù)列也是不減的數(shù)列，，那么若時(shí)都有，則，若，則，若，則，又，由數(shù)學(xué)歸納法思想可得對，都有；（3）設(shè)的控制數(shù)列是，由（2）知是不減的數(shù)列，必有一項(xiàng)等于，當(dāng)是數(shù)列中間某項(xiàng)時(shí)，不可能是等差數(shù)列，所以或，若，則（），是等差數(shù)列，此時(shí)只要，是的任意排列均可．共個(gè)，，而時(shí)，數(shù)列中必有，否則不可能是等差數(shù)列，由此有，即就是，只有一種排列，綜上，的個(gè)數(shù)是．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）見解析（3）解:（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，∴．(2)因?yàn)闃?gòu)成以為首項(xiàng)，()為公差的等差數(shù)列，所以有()，以及()．此時(shí)，集合中的元素有以下大小關(guān)系：．因此，集合中含有個(gè)元素．(3)由題設(shè)，．設(shè)集合，．①先證中的元素個(gè)數(shù)為，即從集合中任取兩個(gè)元素，它們的和互不相同．不妨設(shè)，于是．顯然．假設(shè)，可得，即．因?yàn)椋?，所以，又，于是，等式不成立．因此，．同理可證．②再證．不妨設(shè)，于是．顯然，．假設(shè)，可得，即，因?yàn)?，所以，又，于是，等式不成立．因此，．由①②，得，且．此時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為．集合中所有元素的和為．典例2、答案：（1）數(shù)列，，…，是6,4,3,1,1.（2）（3）解:（1）解：數(shù)列，，…，是6,4,3,1,1.（2）由題知，由于數(shù)列，，…，是項(xiàng)的等比數(shù)列，因此數(shù)列，，…，為，，…，2下面證明假設(shè)數(shù)列中有個(gè)，個(gè)，…，個(gè)2，個(gè)1，顯然所以.由題意可得，，，…，，…，.所以故即（3）對，表示，，…，中大于等于的個(gè)數(shù)由已知得，，…，一共有項(xiàng)，每一項(xiàng)都大于等于1，故，由于故由于，故當(dāng)時(shí)，即.接下來證明對，，則，即1,2，…，，從而故，從而1,2，…，，故，從而，故有設(shè)，即，根據(jù)集合的定義，有.由知，1,2，…，，由的定義可得，而由，故因此，對，隨堂練習(xí)：答案：（1）①；②數(shù)列：，，，，；（2）證明見解析；（3）不存在，證明見解析.【試題解析】分析:解：（1）因?yàn)椋?，，，，，所以集合?因?yàn)椋海?，，且，所以，，均不相等，所以，，都是集合中的元素，因?yàn)?，所以，可得：，，所以?shù)列：，，，，.（2）充分性：是遞增數(shù)列，若為等差數(shù)列，則，設(shè)的公差為，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故充分性成立.必要性：若是遞增數(shù)列，，則為等差數(shù)列，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以，且互不相等，所以，又因?yàn)?，所以且互不相等，所以，，，，所以，所以為等差?shù)列，必要性成立.所以若是遞增數(shù)列，“”的充要條件是“為等差數(shù)列”.（3）假設(shè)存在最大值為，即中有個(gè)元素，分別為，且，不妨設(shè)，其中且與均是正整數(shù)，則，且也是正整數(shù)，所以，所以中有個(gè)元素，與假設(shè)中有個(gè)元素矛盾，所以假設(shè)不成立，所以不存在最大值.典例3、答案：（1）數(shù)列為2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）滿足題意的數(shù)列：.所以對應(yīng)的“新型數(shù)列”分別為：.解：（1）數(shù)列為2019，2019，2019，2018，2017；（2）由已知得：當(dāng)時(shí)，關(guān)于n遞減；當(dāng)時(shí)，關(guān)于n遞減，又時(shí)，關(guān)于n遞減.，.又，.共21項(xiàng)且各項(xiàng)分別與中各項(xiàng)相同，其和為.（3）先不妨設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)無解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由得，，又，，代入原式得.當(dāng)時(shí)，，而，矛盾，所以不存在滿足題意的數(shù)列.綜上，滿足題意的數(shù)列：.所以對應(yīng)的“新型數(shù)列”分別為：.隨堂練習(xí)：答案（1）數(shù)列不具有性質(zhì)；數(shù)列具有性質(zhì)（2）的最小值為（3）證明見解析解:（1）數(shù)列不具有性質(zhì)；數(shù)列具有性質(zhì).（2）由題可知，，，，，所以.若，因?yàn)榍遥?同理，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以.所以數(shù)列前三項(xiàng)為.因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，只可能為之一，而又因?yàn)?，所?同理，有.此時(shí)數(shù)列為.但數(shù)列中不存在使得，所以該數(shù)列不具有性質(zhì).所以.當(dāng)時(shí)，取.（構(gòu)造數(shù)列不唯一）經(jīng)驗(yàn)證，此數(shù)列具有性質(zhì).所以，的最小值為.（3）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即對任意都有：若正整數(shù)，則.否則，存在滿足：存在，使得，此時(shí)，從中取出：當(dāng)時(shí)，是一個(gè)具有性質(zhì)的數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是一個(gè)具有性質(zhì)的數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是一個(gè)具有性質(zhì)的數(shù)列.（i）由題意可知，這個(gè)集合中至少有一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)不少于個(gè)，不妨設(shè)此集合為，從中取出個(gè)數(shù)，記為，且.令集合.由假設(shè)，對任意，，所以.（ii）在中至少有一個(gè)集合包含中的至少個(gè)元素，不妨設(shè)這個(gè)集合為，從中取出個(gè)數(shù)，記為，且.令集合.由假設(shè).對任意，存在使得.所以對任意，，由假設(shè)，所以，所以，所以.（iii）在中至少有一個(gè)集合包含中的至少個(gè)元素，不妨設(shè)這個(gè)集合為，從中取出個(gè)數(shù)，記為，且.令集合.由假設(shè).對任意，存在使得.所以對任意，，同樣，由假設(shè)可得，所以，所以.（iv）類似地，在中至少有一個(gè)集合包含中的至少個(gè)元素，不妨設(shè)這個(gè)集合為，從中取出個(gè)數(shù)，記為，且，則.（v）同樣，在中至少有一個(gè)集合包含中的至少個(gè)元素，不妨設(shè)這個(gè)集合為，從中取出個(gè)數(shù)，記為，且，同理可得.（vi）由假設(shè)可得.同上可知，，而又因?yàn)?，所以，矛?所以假設(shè)不成立.所以原命題得證.典例4、答案：（1），；（2）.解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴；（2）∵，∴，隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解:（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，且.則由題意，得，解之得或（舍），∴.（2）由得：；；；；以上等式左右相加得，又，∴，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，.∴.典例5、答案：（1）（2）解：（1）由得，從而數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，由得又，所以.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析，；（2）的最大值為.解:（1）.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由，可得，上述兩式相減得，即，等式的兩邊同時(shí)乘以，得，即，所以，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，即，；（2）由（1）可，所以，，由可得，即，.因此，正整數(shù)的最大值為.典例6、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）若選擇①，因?yàn)椋?，，，解得，，設(shè)公差為d，則有，，解得，，所以．若選擇②，設(shè)公差為d，，即，結(jié)合，解得，，所以．若選擇③，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)亦滿足上式，所以．（2）證明：由（1）得，所以，因?yàn)?，（），所以，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）答案見解析解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得：，，又，因此有，即，解得，(