【專(zhuān)項(xiàng)精練】第13 課 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專(zhuān)項(xiàng)精練（解析版）

第13課導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（分層專(zhuān)項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023春·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將不等式等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，再借助函數(shù)單調(diào)性、最值求解作答.【詳解】依題意，，令，，則對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，，，而，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)證明在單調(diào)遞增，再根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以，所以由可得，解得，故選:D.3．（2023春·河南開(kāi)封·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用在上恒成立，分離參數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，且開(kāi)口向上所以的最小值為1，所以.故選：B.4．（2023春·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0，得到偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而對(duì)不等式變形后得到，解出解集.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，故變形為：，所以，顯然不滿(mǎn)足不等式，解得：，故.故選：B二、多選題5．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．是函數(shù)的極值點(diǎn)C．存在兩個(gè)零點(diǎn) D．在(1，+∞)上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正確；，故A正確；，得，中，，所以恒成立，即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即，故C錯(cuò)誤.故選：AD6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為D．是奇函數(shù)【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及奇偶性的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：，定義域?yàn)椋瑒t，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故A正確；對(duì)B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；對(duì)D：定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題7．（2023春·河北石家莊·高二河北新樂(lè)市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是.【答案】【分析】由定義可判斷函數(shù)的奇偶性，求導(dǎo)可得其單調(diào)性，從而可求解不等式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，且，則函數(shù)為增函數(shù)，則不等式等價(jià)于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：8．（2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則不等式的解集是．【答案】【分析】令，判斷的奇偶性與單調(diào)性，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即，即可得到自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，則函數(shù)為偶函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，由可得，即，即，所以，解得，即不等式的解集是.故答案為：9．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【分析】先根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)構(gòu)造，得到其奇偶性和單調(diào)性，再對(duì)不等式變形得到，根據(jù)單調(diào)性得到，解不等式求出答案.【詳解】令，定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，變形為，即，其，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在R上單調(diào)遞增，所以，解得：，所以解集為.故答案為：四、解答題10．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)求解即可.（2）首先求導(dǎo)得到，再分類(lèi)討論，，，情況的單調(diào)性即可.【詳解】（1）由已知，則，當(dāng)時(shí)，，，則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即（2）由（1）知，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，（?。┊?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【二層練綜合】一、單選題1．（2023·江蘇無(wú)錫·?？寄M預(yù)測(cè)）已知且且且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得的大小.【詳解】因?yàn)?，故，同理，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因?yàn)?，故，即，而，故，同理，，，因?yàn)椋?，所?故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，此類(lèi)問(wèn)題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．二、多選題2．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則B．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則【答案】ABC【分析】對(duì)于A，由可求出的值，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最小值，對(duì)于C，由題意可得，可求出的范圍，對(duì)于D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】對(duì)于A，由，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，得，經(jīng)檢驗(yàn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以A正確，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可知，則，由，得或，由，得，所以在和遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，得在上恒成立，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以C正確，對(duì)于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題3．（2023春·貴州黔西·高二?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線(xiàn)方程，進(jìn)而由切點(diǎn)的位置得出，從而得出切線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，.則切線(xiàn)方程為，因?yàn)樵谇芯€(xiàn)上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求切線(xiàn)方程為，即.故答案為：四、解答題4．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后對(duì)其導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分再對(duì)其分子因式分解，分類(lèi)討論與時(shí)的單調(diào)性即可.（2）求出，將所證轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明恒成立，構(gòu)造函數(shù)求其最大值即可證明.【詳解】（1）∵，定義域?yàn)?，則，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，綜上，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，.要證，只需證，即證恒成立.令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴的最大值為，即：.∴恒成立，【三層練能力】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則下列關(guān)系式恒成立的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，分類(lèi)討論得到正確選項(xiàng).【詳解】構(gòu)造，，則，當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?dāng)，時(shí)，則,所以所以單調(diào)遞減，所以;當(dāng)，時(shí),所以所以,單調(diào)遞增，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，構(gòu)造函數(shù)，本題中構(gòu)造進(jìn)行求解，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，.2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足為的導(dǎo)函數(shù)，