考研數(shù)學(xué)三（矩陣的特征值與特征向量、二次型）模擬試卷1（共119題）

考研數(shù)學(xué)三（矩陣的特征值與特征向量、二次型）模擬試卷1（共4套）（共119題）考研數(shù)學(xué)三（矩陣的特征值與特征向量、二次型）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)矩陣A=．則A與BA、合同且相似．B、合同但不相似．C、不合同但相似．D、既不合同也不相似．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若存在n階可逆矩陣P，使得P-1AP=B，稱n階矩陣A與B相似．若存在n階可逆矩陣C，使得CTAC=BE，稱n階矩陣A與B合同．A和B有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，即pA=pB，q1=qB．而正、負(fù)慣性指數(shù)可由特征值的正、負(fù)來(lái)決定．由｜λE-A｜=λ(λ-3)2，｜λE-A｜=λ(λ-1)2，知A與B不相似(特征值不同)，但A與B合同(均有p=2，q=0)．2、下列矩陣中，正定矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：正定的必要條件αii＞0，可排除(A)、(D)．(B)中△2=0與順序主子式全大于0相矛盾，排除(B)．故應(yīng)選(C)．3、與矩陣A=合同的矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣A的特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-1)(λ-3)(λ+2)，知矩陣A的特征值為1，3，-2．即二次型正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=1．故應(yīng)選(B)．4、設(shè)A=，則A與BA、合同且相似．B、合同但不相似．C、不舍同但相似．D、不合同也不相似．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE-A｜=λ3-3λ2，知矩陣A的特征值為3，0，0．又因A是實(shí)對(duì)稱矩陣，A必能相似對(duì)角化，所以A～B．因?yàn)锳，B有相同的特征值，從而二次型xTAx與xTBx有相同的標(biāo)準(zhǔn)形，進(jìn)而有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，所以A≈B．故應(yīng)選(A)．5、設(shè)A，B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A與B合同的充要條件是A、A，B有相同的特征值．B、A，B有相同的秩．C、A，B有相同的行列式．D、A，B有相同的正負(fù)慣性指數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)是充分條件．特征值一樣有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)合同．但不是必要條件．例如A=，特征值不同，但A≈B．(B)是必要條件．由CTAC=B，C可逆r(A)=r(B)，但不是充分條件．例如A=，雖r(A)=r(B)，但正負(fù)慣性指數(shù)不同．故A與B不合同．(C)既不必要也不充分．例如A=，雖行列式相同但不合同．故應(yīng)選(D)．6、二次型xTAx正定的充要條件是A、負(fù)慣性指數(shù)為零．B、存在可逆矩陣P，使P-1AP=E．C、A的特征值全大于零．D、存在n階矩陣C，使A=CTC．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(A)是正定的必要條件．若f(x1，x2，x3)=，雖q=0，但f不正定．(B)是充分條件．正定并不要求特征值全為1．雖A=不和單位矩陣層相似，但二次型xTAx正定．(D)中沒(méi)有矩陣C可逆的條件，也就推導(dǎo)不出A與E合同，例如C=，則xTAx不正定．故應(yīng)選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩陣是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、二次型f(x2，x2，x3)=x22+2x1x3的負(fù)慣性指數(shù)q=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：．故(Ⅰ)是坐標(biāo)變換，那么經(jīng)此坐標(biāo)變換二次型化為所以負(fù)慣性指數(shù)q=1．9、若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩為2，則t=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：r(f)=2．即r(A)=2．因｜A｜中有2階子式10、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形y12+2y32，則a=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別是A=在正交變換下二次型矩陣A和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣A不僅合同，而且相似．于是由11、設(shè)三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是正定二次型，則t∈_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：二次型矩陣A=，順序主子式△1=1，△2==1-t2＞0，△3=｜A｜=-5t2-4t＞0，所以t∈12、已知A=，矩陣B=A+kE正定，則k的取值為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k＞0知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣A的特征值為3，0，0，知矩陣B的特征值為k+3，k，k．又B正定三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)13、設(shè)A，B均是n階正定矩陣，判斷A+B的正定性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(用定義)因?yàn)锳，B均是正定矩陣，故A，B都是對(duì)稱矩陣，那么(A+B)T=AT+BT=A+B．即A+B是對(duì)稱矩陣．又因≠0，有xT(A+B)x=xTAx+xTBx．由于A，B均正定，有xTAx＞0，xTBx＞0．于是xT(A+B)x＞0，所以A+B是正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、已知二次型xTAx是正定二次型，x=Cy是坐標(biāo)變換，證明二次型yTBy是正定二次型，其中B=CTAC．標(biāo)準(zhǔn)答案：≠0，設(shè)x0=Cy0，由矩陣C可逆知x0≠0，那么由xTAx是正定二次型而知y0TBy0=y0TCTACy0=x0TAx0＞0．按定義，yTBy是正定二次型．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、證明二次型xTAx正定的充分必要條件是A的特征值全大于0．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)二次型xTAx，存在正交變換x=Qy化其為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+ynλn2，其中λ1，λ2，…，λn是矩陣A的特征值．xTAx正定λ1y12+λ2y22+…+λnyn2正定λ1，λ2，…，λn全大于0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、已知A是n階可逆矩陣，證明ATA是對(duì)稱、正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(與E合同)因?yàn)?ATA)T=AT(AT)T=ATA，所以ATA是對(duì)稱矩陣．由于ATA=ATEA，且A是可逆矩陣，所以ATA與E是合同矩陣，從而ATA是正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知A，A-E都是n階實(shí)對(duì)稱正定矩陣，證明E-A-1是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(特征值法)由(E-A-1)T=ET-(A-1)T=E-(AT)-1=E-A-1知，E-A-1是對(duì)稱矩陣．設(shè)λ1，λ2，…，λn是A的特征值，則A-E與E-A-1的特征值分別是λ1-1，λ2-1，…，λn-1與．由于A-E正定，其特征值λi-1全大于0，那么，從而E-A-1的特征值全大于0，即E-A-1是正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A是m×n矩陣，B=λE+ATA，證明當(dāng)λ＞0時(shí)，B是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(定義法)因?yàn)锽T=(AE+ATA)T=AE+ATA=B，故B是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，維實(shí)向量x≠0，有xTBx=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)=λ｜x｜｜2+｜｜Ax｜｜2．由于x≠0，λ＞0，恒有λ｜｜x｜｜2＞0，而｜｜Ax｜｜2≥0，因此xTBx＞0(≠0)，即B正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)D=為正定矩陣，其中A，B分別為m階，n階對(duì)稱矩陣，C為m×n矩陣．(Ⅰ)計(jì)算PTDP，其中P=(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)果判斷矩陣B-CTA-1C是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)镻T=(Ⅱ)由(Ⅰ)知矩陣D與矩陣M=合同，又因D是正定矩陣，所以矩陣M為正定矩陣，從而可知M是對(duì)稱矩陣，那么B-CTA-1C是對(duì)稱矩陣．對(duì)m維向量X=(0，0，…，0)T和任意n維非0向量Y=(y1，y2，…，yn)T≠0，有按定義，yT(B-CTA-1C)Y為正定二次型，所以矩陣B-CTA-1C為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A是n階正定矩陣，α1，α2，…，αn是n維非零列向量，且αiTAαj=0(i≠j)，證明α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如k1α1+k2α2+…+kmα2=0，兩邊左乘α1TA，有k1α1TAα1+k2α1TAα2+…+kmα1TAαm=0．由于A正定，α1TAα1＞0及α1TAαj=0(j≠1)，得k1=0．類似可證k2=k3=…=km=0，即α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，AB+BTA是正定矩陣，證明A可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：≠0，由于AB+BTA正定，故總有xT(AB+BTA)x=(Ax)T(Bx)+(Bx)T(Ax)＞0．因此，≠0，恒有Ax≠0．即齊次方程組Ax=0只有零解，從而A可逆．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知A=，證明A與B合同．標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造二次型xTAx=a1x12+a2x22+a3x32和yTBy=a3y12+a1y22+a2y32，經(jīng)坐標(biāo)變換所以矩陣A和B合同．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)矩陣A=有一個(gè)特征值是3，求γ，并求可逆矩陣P，使(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?是A的特征值，故｜3E-A｜=8(3-y-1)=0，解出y=2．那么由于AT=A，要(Ap)T(AP)=PTA2P=A，而A2=，故可構(gòu)造二次型xTA2x，再化其為標(biāo)準(zhǔn)形．由配方法，有xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=y12+y22+5y32+其中y1=x1，y2=x2，y3=x3+y4=x4，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求正交變換化二次型x12+x22+x32-4x1x2-4x2x3-4x1x3為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣A=，由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ+3)(λ-3)2，得特征值為λ1=λ2=3，λ3=-3．由(3E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T，即λ=3的特征向量是α1，α2．由(-3E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(1，1，1)T．對(duì)α1，α2經(jīng)Schmidt正交化，有那么，令x=Qy，其中Q=(γ1，γ2，γ3)，則有f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩為2，求c及此二次型的規(guī)范形，并寫(xiě)出相應(yīng)的坐標(biāo)變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣A=，由二次型的秩為2，即矩陣A的秩r(A)=2，則有｜A｜=24(c-3)=0c=3．由特征多項(xiàng)式可知矩陣A的特征值是0，4，9．由(0E-A)x=0得A=0的特征向量α1=(-1，1，2)T．由(4E-A)x=0得A=4的特征向量α2=(1，1，0)T．由(9E-A)x=0得A=9的特征向量α3=(1，-1，1)T．令P1=(α1，α2，α3)，經(jīng)x=P1y有xTAx=yTAy=．而所用坐標(biāo)變換是x=Cz，其中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意的乃維列向量α恒有αTAα=0，證明A=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：維向量口恒有αTAα=0，那么令α1=(1，0，0，…，0)T，有類似地，令αi=(0，0，…，0，1，0，…，0)T(第i個(gè)分量為1)，由=aii=0(i=1，2，…，n)．令α12=(1，1，0，…，0)T，則有故a12=0．類似可知aij=0(i，j=1，2，…，n)．所以A=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、若A是n階正定矩陣，證明A-1，A*也是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A正定，所以AT=A．那么(A-1)T=(AT)-1=A-1，即A-1是對(duì)稱矩陣．設(shè)A的特征值是λ1，λ2，…，λn，那么A-1的特征值是，由A正定知λi＞0(i=1，2，…，n)．因此A-1的特征值＞0(i=1，2，…，n)．從而A-1正定．由(A*)T=(AT)*=A*，知A*是對(duì)稱矩陣．因?yàn)锳TA*A=｜A｜A，由矩陣A可逆，知A*與｜A｜A合同．又由A正定，知A與E合同，即CTAC=E．由A正定，知行列式｜A｜＞0，那么令D=，則D可逆，且DT(｜A｜A)D=E．即｜A｜A與層合同．從而A*與E合同故A*正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=n，證明ATA是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(ATA)T=AT(AT)T=ATA，知ATA是對(duì)稱矩陣．又r(A)=n，≠0，恒有Aα≠0．從而αT(ATA)α=(Aα)T(Aα)=｜｜Aα｜｜2＞0．故xT(ATA)x是正定二次型，從而ATA正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)A是n階正定矩陣，證明｜A+2E｜＞2n．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)矩陣A的特征值是λ1，λ2，…，λn．因?yàn)锳正定，故特征值λi＞0(i=1，2，…，n)．又A+2E的特征值是λ1+2，λ2+2，…，λn+2，所以｜A+2E｜=(λ1+2)(λ2+2)…(λn+2)＞2n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、已知A=標(biāo)準(zhǔn)答案：令C1=，C=C1C2，則C是可逆矩陣，且則A≈B．由于A正定，故B正定，從而曰的順序主子式△＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（矩陣的特征值與特征向量、二次型）模擬試卷第2套一、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值是0，1，2．如果λ=0與λ=1的特征向量分別是α1=(1，2，1)T與α2=(1，-1，1)T，則λ=2的特征向量是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：t(-1，0，1)T，t≠0．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)λ=2的特征向量是α=(x1，x2，x3)，則因?qū)崒?duì)稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1)T，t≠0．2、已知A=相似，則x=_____，y=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0，1知識(shí)點(diǎn)解析：由A～B，知，且-1是A的特征值，即3、已知矩陣A=有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：由A的特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ+1)3，知矩陣A的特征值是λ=-1(三重根)，因?yàn)锳只有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故從而a=-1．4、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為p=______，q=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，0知識(shí)點(diǎn)解析：由于二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是．所以p=2．q=0．5、二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩陣A=_______，規(guī)范形是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，6，-4；x12+x22-x32知識(shí)點(diǎn)解析：按定義，二次型矩陣A=．由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩陣A的特征值是：2，6，-4．故正交變換下二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是2y21+6y22-4y23．所以規(guī)范形是x21+x22-x23．或，由配方法，有f=2[x22+2x2(x1+2x3)+(x1+2x3)2]+2x32-4x1x3-2(x1+2x3)2=2(x2+x1+2x3)2-2x12-12x1x3-6x32=2(x2+x1+2x3)2-2(x12+6x1x3+9x32)+12x32=2(x2+x1+2x3)2-2(x1+3x3)2+12x32，亦知規(guī)范形是x12+x22-x32．6、假設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=(x+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定，則a的取值為_(kāi)____．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：(x1，x2，x3)恒有平方和f(x1，x2，x3)≥0，其中等號(hào)成立的充分必要條件是按正定定義，f正定=(x1，x2，3)T≠0，恒有f(x1，x2，x3)＞0．因此，本題中二次型f正定方程組(*)只有零解所以a的取值為a≠1．二、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)7、已知A=，求A的特征值、特征向量，并判斷A能否對(duì)角化，說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-2)(λ+1)2，得到矩陣A的特征值λ1=2，λ2=λ3=-1．由(2E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(5，-2，9)T，即λ-2的特征向量是k1α1(k1≠0)．由(-E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1，-1，0)T，即λ=-1的特征向量是k2α2(k2≠0)．因?yàn)榫仃嘇只有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A不能相似對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、已知A=，A*是A的伴隨矩陣，求A*的特征值與特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳==B-E，而r(B)=1，則有｜λE-B｜=λ3-6λ2．所以矩陣B的特征值是6，0，0．故矩陣A的特征值是5，-1，-1．又行列式｜A｜=5，因此A*的特征值是1，-5，-5．矩陣B屬于λ=6的特征向量是α1=(1，1，1)T，屬于λ=0的特征向量是α2=(-1，1，0)T和α3=(-1，0，1)T．因此A*屬于λ=1的特征向量是k1α1(k1≠0)，屬于λ=-5的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3不全為0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、已知A=可對(duì)角化，求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣A，使P-1AP=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-1)2(λ+2)，知矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-2．因?yàn)榫仃嘇可以相似對(duì)角化，故r(E-A)=1．而所以x=6．當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(-2，1，0)T，α2=(0，0，1)T．當(dāng)λ=-2時(shí)，由(-2E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(-5，1，3)T．那么，令P=(α1，α2，α3)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、已知A暑3階不可可矩陣，-1和2是A的特征值．B=A2-A-2E，求B的特征值，并問(wèn)B能否相似對(duì)角化，并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榫仃嘇不可逆，有｜A｜=0，從而λ=0是A的特征值．由于矩陣A有3個(gè)不同的特征值，則A～A=于是P-1AP=A．那么P-1A2P=A2．因此P-1BP=P-1A2P-P-1AP-2E=所以矩陣B的特征值是λ1=λ2=0，λ3=-2，且B可以相似對(duì)角化.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)3階矩陣A的特征值λ=1，λ=2，λ=3對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)將向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3線性表出：(Ⅱ)求Anβ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，即故β=2α1-2α2+α3．(Ⅱ)Aβ=2Aα1-2Aα2+Aα3，則Anβ=2Anα1-2Anα2+Anα3=2α1-2.2nα2+3nα3=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)矩陣A=是矩陣A*的特征向量，其中A*是A的伴隨矩陣，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A*α=λα，由AA*=｜A｜E，有｜A｜α=λAα，即③-①：λ(A-2)=0．由矩陣A可逆，知A*可逆．那么特征值λ≠0，所以a=2．①×b-②：λ(b2+b-2)=0知b=1或b=-2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A屬于λ=6的特征向量，求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由r(A)=2知｜A｜=0，所以A=0是A的另一特征值．因?yàn)棣?=λ2=6是實(shí)對(duì)稱矩陣的二重特征值，故A屬于λ=6的線性無(wú)關(guān)的特征向量有2個(gè)，因此α1，α2，α3必線性相關(guān)，顯然α1，α2線性無(wú)關(guān)．設(shè)矩陣A屬于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故有解出此方程組的基礎(chǔ)解系α=(-1，1，1)T．那么A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)，從而A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，α)-1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、已知A～B，A2=A，證明B2=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳～B，有P-1AP=B，那么B2=P-1A2P=P-1AP=B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知A2=0，A≠0，證明A不能相似對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Aα=λα，α≠0，那么A2α=λ2α=0．從而λ=0．又因A≠0，r(A)≥1，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系有n-r(A)個(gè)向量，即λ=0有n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．又n-r(A)＜n，所以A不能相似對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相應(yīng)的特征向量且線性無(wú)關(guān)，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，則λ1=λ2=λ3．標(biāo)準(zhǔn)答案：若α1+α2+α3是矩陣A屬于特征值A(chǔ)的特征向量，即A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)．又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是(λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2+(λ-λ3)α3=0．因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，故λ-λ1=0，λ-λ2=0，λ-λ3=0．即λ1=λ2=λ3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A=．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛锌赡婢仃嚮蛘撸啥涡蛒TAx=x12+2x22與xTBx=3x12+4x22有相同的正慣性指數(shù)p=2及相同的負(fù)慣性指數(shù)q=0而知AB．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A=(aij)是秩為n的n階實(shí)對(duì)稱矩陣，Aij是｜A｜中元素aij的代數(shù)余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=(Ⅰ)記X=(x1，x2，…，xn)T，試寫(xiě)出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩陣形式；(Ⅱ)判斷二次型g(X)=XTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同，并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)閞(A)=n，故A是可逆的實(shí)對(duì)稱矩陣，于是(A-1)T=(AT)-1=A-1，即A-1是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么是對(duì)稱的，因而A*是實(shí)對(duì)稱矩陣，可見(jiàn)Aij=Aji(i，j=1，2，…，n)，于是因此，二次型f的矩陣表示為XTA-1X，其二次型矩陣為A-1．(Ⅱ)因?yàn)锳，A-1均是可逆的實(shí)對(duì)稱矩陣，且(A-1)TAA-1=(A-1)TE=(AT)-1=A-1．所以A與A-1合同．于是g(X)與f(X)有相同的規(guī)范形．知識(shí)點(diǎn)解析：按定義，若f(X)=XTBX，其中B是實(shí)對(duì)稱矩陣，則XTBX就是二次型f的矩陣表示，而兩個(gè)二次型的規(guī)范形是否一樣關(guān)鍵是看正負(fù)慣性指數(shù)是否一致．19、求正交變換化二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣是A=由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ+1)(λ2-3λ)，得到A的特征值是3，-1，0．對(duì)λ=3，由(3E-A)x=0，即，解得α1=(1，-1，2)T．類似地，對(duì)λ=-1，α2=(1，1，0)T；λ=0時(shí)，α3=(-1，1，1)T．特征值無(wú)重根，僅需單位化：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩陣A的特征向量，求正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣A=．設(shè)α=(1，-2，2)T是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則可知矩陣A的特征值為0，0，9．對(duì)λ=0，由(0E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(2，1，0)T，α2=(-2，0，1)T．因?yàn)棣?，α2不正交，故需Sehmidt正交化，即把β1，β2，α單位化，得那么經(jīng)正交變換因此，二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形xTAx=yTAy=9y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)二次犁x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3經(jīng)正交變換化為3y12+3y22+6y32，求a，b的值及所用正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別是A=由于是用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，故A與B不僅合同而且相似．那么對(duì)λ=3，由(3E-A)x=0得特征向量α1=(1，-1，0)T，α2=(1，0，-1)T；對(duì)λ=-3，由(-3E-A)x=0得特征向量α3=(1，1，1)T．因?yàn)棣?3是二重根，對(duì)α1，α2正交化有β1=α1=(1，-1，0)T，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2.(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交變換x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成標(biāo)準(zhǔn)形；(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)二次型矩陣A=．二次型的秩為2，即二次型矩陣A的秩為2，從而｜A｜==-8a=0，解得a=0．(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí)，A=，由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-2)[(λ-1)2-1]=λ(λ-2)2，得矩陣A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．當(dāng)λ=2時(shí)，由(2E-A)x=0，得特征向量α1=(1．1．0)T．α2=(0，0，1)T．當(dāng)λ=0時(shí)，由(0E-A)x=0，，得特征向量α3=(1，-1，0)T．容易看出，α1，α2，α3已兩兩正交，故只需將它們單位化：(Ⅲ)由f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解為：k(1，-1，0)T，其中k為任意常數(shù).知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3，(Ⅰ)求二次型f的矩陣的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的規(guī)范形為y12+y22，求a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)二次型f的矩陣為A=，其特征多項(xiàng)式為｜λE-A｜==(λ-a)[λ-(a+1)][λ-(a-2)]，所以二次型f矩陣A的特征值為λ1=a，λ2=a+1，λ3=a-2．(Ⅱ)因?yàn)槎涡蚮的規(guī)范形是y12+y22，所以二次型矩陣A的特征值為：2個(gè)正數(shù)，1個(gè)0．由于a-2＜a＜a+1，所以a-2=0，即a=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、負(fù)慣性指數(shù)都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的規(guī)范形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)二次型矩陣是A=由于r(A)=p+q=2，所以｜A｜=-(a-1)2(a+2)=0．若a=1，則r(A)=1不合題意，舍去．若a=-2，由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==λ(λ-3)(λ+3)，得出A的特征值為±3與0．p=q=1合于所求．故a=-2．當(dāng)λ=3時(shí)，由(3E-A)x=0，得特征向量α1=(1，0，1)T；當(dāng)λ=-3時(shí)，由(-3E-A)x=0，得特征向量α2=(1，-2，-1)T；當(dāng)λ=0時(shí)，由(0E-A)x=0，得特征向量α3=(-1，-1，1)T．由于特征值不同特征向量已正交，單位化得那么令Q=(γ1，γ2，γ3)，則經(jīng)正交變換x=Qy，有f=xTAx=yTAy=3y12-3y22．(Ⅱ)如Aα=λα，則Anα=λnα，那么Bα=(A3-5A+E)α=(λ3-5λ+1)α．因?yàn)锳的特征值是3，-3，0，所以B的特征值是13，-11，1．從而xTBx的規(guī)范形是y12+y22-y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、已知三元二次型xTAx的秩為2，且求此二次型的表達(dá)式，并求正交變換x=Qy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型xTAx的秩為2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值．又所以3是A的特征值，(1，2，1)T是3的特征向量；-1也是A的特征值，(1，-1，1)T是-1的特征向量．因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，設(shè)λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、用配方法把二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用坐標(biāo)變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、用配方法化二次型x1x2+2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用滿秩線性變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識(shí)點(diǎn)解析：二次型中不含平方項(xiàng)，故應(yīng)先作一次坐標(biāo)變換構(gòu)造出平方項(xiàng)，再按前例實(shí)施配方．28、判斷3元二次型f=x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3的正定性．標(biāo)準(zhǔn)答案：用配方法化f為標(biāo)準(zhǔn)形f=(x1+2x2)2+(x2-2x3)2-3x32．由于正慣性指數(shù)p=2＜3，所以f不是正定二次型．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、判斷n元二次型的正定性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(順序主子式)二次型矩陣其順序主子式由于順序主子式全大于0，所以二次型正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（矩陣的特征值與特征向量、二次型）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、矩陣A=的特征值是A、1，1，0．B、1，-1，-2．C、1，-1，2．D、1，1，2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題可以南特征方程｜λE-A｜=0，即直接求出A的特征值，再來(lái)確定選項(xiàng)．但也可以利用(5.3)來(lái)解.由于∑aij，故(B)，(D)應(yīng)排除.那么，只要再計(jì)算｜A｜的值就可知應(yīng)選(A)還是選(C)(如｜A｜=0，選(A)，否則選(C).2、矩陣A=的特征向量是A、(1，2，-1)T．B、(1，-1，2)T．C、(1，-2，3)T．D、(-1，1，-2)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如果(1，-1，2)T是矩陣A的特征向量，則(-1，1，-2)T亦是A的特征向量．所以(B)，(D)均錯(cuò)誤．又，所以(A)不正確，故應(yīng)選(C)．事實(shí)上由，知(1，-2，3)T是矩陣A特征值λ=6的特征向量．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)3、設(shè)A是n階矩陣，λ=2是A的一個(gè)特征值，則2A2-3A+5E必有特征值______.標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識(shí)點(diǎn)解析：如Aα=λα，則A2α=A(λα)=λAα=λ2α．因此(2A2-3A+5E)α=2A2α-3Aα+5α=(2λ2-3λ+5)α．所以2.22-3.2+5=7必是A的特征值．4、已知A，B都是凡階矩陣，且P-1AP=B，若a是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則矩陣B必有特征向量_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：P-1α知識(shí)點(diǎn)解析：因P-1AP=B=P-1(λα)=λ(P-1α)．所以B必有特征向量P-1α.5、已知矩陣A=的特征值之和為3，特征值之積為-24，則b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識(shí)點(diǎn)解析：由公式(5．3)知a+3+(-1)=∑λi=3，則a=1．又=5b-9=-24．所以，b=-3．6、設(shè)α，β均為3維列向量，且滿足αTβ=5，則矩陣βαT的特征值為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：5，0，0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇=βαT的秩為1，由公式(5.2)的特例知，矩陣A的特征值為∑aii，0，0.又因矩陣特征值之和等于矩陣的跡(即矩陣主對(duì)角線元素之和)，由于αTβ=βTα正是矩陣的跡，所以矩陣βαT的特征值為5，0，0．7、設(shè)A是3階矩陣，如果矩陣A的每行元素之和都為2，則矩陣A必有特征向量_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1)T知識(shí)點(diǎn)解析：由于矩陣A的每行元素之和都為2，所以有可見(jiàn)矩陣A必有特征向量(1，1，1)T．8、已知A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，且Aα=α，其中α=(1，1，2)T．如果A的另外兩個(gè)特征值是2和-1，又λ=2的特征向量是(2，0，-1)T，則λ=-1的特征向量是________.標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，-5，2)T，k≠0．知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值不同特征向量相互正交．設(shè)λ=-1的特征向量是(x1，x2，x2)T，則得基礎(chǔ)解系(1，-5，2)T．所以λ=-1的特征向量是k(1，-5，2)T，k≠0．9、已知A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，且Aα=α，其中α=(1，1，2)T．如果A的另外兩個(gè)特征值是3(二重根)，則λ=3的特征向量是_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(-1，1，0)T+k2(-2，0，1)T，k1，k2不全為0．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)λ=3的特征向量是(x1，x2，x3)T，則x1+x2+2x3=0，得基礎(chǔ)解系(-1，1，0)T，(-2，0，1)T．所以λ=3的特征向量是k1(-1，1，0)T+k2(-2，0，1)T，k1，k2不全為0．10、已知λ=12是A=的特征值，則a=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由于λ=12是矩陣A的特征值，故｜12E-A｜=0，即所以a=4．11、已知A=有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則x=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由A的特征方程｜λE-A｜==(λ-1)(λ2-1)=0，得到特征值λ=1(二重)，λ=-1．因?yàn)锳有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故λ=1必須有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(5．9)．那么，必有r(E-A)=3-2=1．于是由三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)12、若λ1，λ2是矩陣A不同的特征值，α1是對(duì)應(yīng)于λ1的特征向量，則α1不是λ2的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(反證法)若α1是λ2所對(duì)應(yīng)的特征向量，則λ1α1=Aα1=λ2α1．于是(λ1-λ2)α1=0．從λ1≠λ2得到α1=0，與特征向量非零相矛盾.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、已知A=，求可逆矩陣P，使P-1AP=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE-A｜==λ(λ-3)2=0，得矩陣A的特征值λ1=λ2=3，λ3=0．當(dāng)λ=3時(shí)，對(duì)(3E-A)x=0，3E-A=得特征向量α1=(1，-2，0)T，α2=(0，0，1)T．當(dāng)λ=0時(shí)，對(duì)(OE-A)x=0，OE-A=得特征向量α3=(-1，-1，1)T．那么，令P=(α1，α2，α3)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求A=的特征值與特征向量.標(biāo)準(zhǔn)答案：｜λE-A｜==(λ-7)(λ2-5λ-14)=(λ-7)2(λ+2)，當(dāng)λ=7時(shí)，7E-A=當(dāng)λ=-2時(shí)，-2E-A=所以A的特征值是λ1=λ2=7，λ3=-2，相應(yīng)的特征向量分別是k1α1+k2α2，k3α3，其中(k1，k2)≠(0，0)，k3≠0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求A=的特征值與特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜λE-A｜==(λ-1)[λ2-(2a+1)A+4a-2]=(λ-1)(λ-2)[λ-(2a-1)]，當(dāng)λ=1時(shí)，E-A=當(dāng)λ=2時(shí)，2E-A=當(dāng)λ=2a-1時(shí)，(2a-1)E-A=若a=1，即λ=1，顯然其特征向量就是α1．所以，A的特征值是1，2，2a-1；相應(yīng)的特征向量依次是k1α1，k2α2，k3α3(k1，k2，k3全不為0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、已知A是n階矩陣，滿足A2-2A-3E=0，求矩陣A的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)λ是矩陣A的任意一個(gè)特征值，α是λ所對(duì)應(yīng)的特征向量，即Aα=λα，α≠0．那么(A2-2A-3E)α=所以矩陣A的特征值是3或-1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A是3階矩陣α1，α2，α3是3維線性無(wú)關(guān)的列向量，且Aα1=α1-α2+3α3，Aα2=4α1-3α2+5α3，Aα3=0.求矩陣A的特征值和特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由Aα3=0=0α3，知λ=0是A的特征值，α3是λ=0的特征向量．由已知條件，有A(α1，α2，α32)=(α1-α2+3α3，4α1-3α2+5α3，0)=(α1，α2，α3)記P=(α1，α2，α3)，由α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，知矩陣P可逆，進(jìn)而P-1AP=B，其中B=因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?，而矩陣B的特征多項(xiàng)式｜λE-B｜==λ(λ+1)2，所以矩陣A的特征值是：-1，-1，0．對(duì)于矩陣B，所以矩陣B關(guān)于特征值λ=-1的特征向量是β=(-2，1，1)T．若Bβ=λβ，即(P-1AP)β=λβ，亦即λ(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩陣A關(guān)于特征值λ-1的特征向量是Pβ=(α1，α2，α3)=-2α1+α2+α3．因此k1(-2α1+α2+α3)，k2α3分別是矩陣A關(guān)于特征值λ=-1和λ=0的特征向量，(k1k2≠0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A是n階矩陣，A=E+xyT，x與y都是n×1矩陣，且xTy=2，求A的特征值、特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：令B=xyT=(y1，y2，…，yn)，則B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可見(jiàn)B的特征值只能是0或2．因?yàn)閞(B)=1，故齊次方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系由n-1個(gè)向量組成，則基礎(chǔ)解系是：α1=(-y2，y1，0，…，0)T，α2=(-y3，0，y1，…，0)T，…，αn-1=(-yn，0，0，…，y1)T.這正是B的關(guān)于λ=0，也就是A關(guān)于λ=1的，n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．由于B2=2B，對(duì)B按列分塊，記B=(β1，β2，…，βn)，則B(β1，β2，…，βn)=2(β1，β2，…，βn)，即Bβi=2βi．可見(jiàn)αn=(x1，x2，…，xn)T是B關(guān)于λ=2，也就是A關(guān)于λ=3的特征向量．那么，A的特征值是1(n-1重)和3，特征向量分別是k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，knαn，其中k1，k2，…，kn-1不全為0，kn≠0．知識(shí)點(diǎn)解析：令B=xyT，則A=E+B，如λ是B的特征值，α是對(duì)應(yīng)的特征向量，那么Aa=(B+E)α=λα+α=(λ+1)α．可見(jiàn)λ+1就是A的特征值，α是A關(guān)于λ+1的特征向量．反之，若Aα=λα，則有Bα=(λ-1)α．所以，為求A的特征值、特征向量就可轉(zhuǎn)化為求B的特征值、特征向量．19、已知A，B均是3階非零矩陣，且A2=A，B2=B，AB=BA=0，證明0和1必是A與B的特征值，并且若α是A關(guān)于λ=1的特征向量，則α必是B關(guān)于λ=0的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A2=A，則A的特征值只能是0或1，又因(A-E)A=0，A≠0，知齊次方程組(A-E)x=0有非零解，故｜A-E｜=0，即λ=1必是A的特征值．據(jù)AB=0，B≠0，得Ax=0有非零解，那么｜0E-A｜=｜A｜=0，故0必是A的特征值．由于已知條件的對(duì)稱性，0與1必是B的特征值．對(duì)于Aα=α，同時(shí)左乘矩陣B，得Bα=B(Aα)=(BA)α=0α=0=0α，所以α是矩陣B關(guān)于λ=0的特征向量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知A=有特征值±1，問(wèn)A能否對(duì)角化?說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于±1是A的特征值，將其代入特征方程，有據(jù)(5．3)，+(-1)+λ3=2+(-3)+(-1)得λ3=-2．那么，A有3個(gè)不同的特征值，故A可以對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知λ=0是A=的特征值，判斷A能否對(duì)角化，并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣?0是特征值，故由由特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==λ2(λ-1)，知λ=0是A的二重特征值．由于r(0E-A)=r(A)==2，那么n=r(0E-A)=1，說(shuō)明齊次方程組(0E-A)x=0只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，亦即λ1=λ2=0只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而A不能相似對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)矩陣A=的特征值有一個(gè)二重根，求a的值，并討論矩陣A是否可相似對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式為｜λE-A｜==(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)，(Ⅰ)如果λ=2是單根，則λ2-8λ+18+3a是完全平方，那么有18+3a=16，即a=由于矩陣A的特征值是2，4，4，而秩r(4E-A)==2，故λ=4只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而A不能相似對(duì)角化．(Ⅱ)如果λ=2是二重特征值，則λ2-8λ+18+3a=(λ-2)(λ-6)，那么有18+3a=12，即a=-2．由于矩陣A的特征值是2，2，6，而秩r(2E-A)==1，故A=2有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．從而A可以相似對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A是n階矩陣，A2=A，r(A)=r，證明A能對(duì)角化，并求A的相似標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)A按列分塊，記A=(α1，α2，…，αn)．由r(A)=r，知A中有r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，不妨設(shè)為α1，α2，…，αn，因?yàn)锳2=A，即A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)，所以Aα1=α1=1.α`，…，Aαr=α2r=1.αr．那么λ=1是A的特征值，α1，α2，…，αr是其線性無(wú)關(guān)的特征向量．對(duì)于齊次線性方程組Ax=0，其基礎(chǔ)解系由n-r(A)=n-r個(gè)向量組成．因此，0是A的特征值，基礎(chǔ)解系是λ=0的特征向量．從而A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，A可以對(duì)角化(λ=1是r重根，λ=0是，n-r重根)，且有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、已知A=，求可逆矩陣P，化A為相似標(biāo)準(zhǔn)形A，并寫(xiě)出對(duì)角矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求A的特征值、特征向量．由特征多項(xiàng)式，有｜λE-A｜==(λ+1)(λ2+λ)，于是A的特征值是-1(二重)，0．對(duì)λ=-1，解齊次方程組(-E-A)x=0，得到特征向量α1=(-2，1，0)T，α2=(1，0，1)T．對(duì)λ=0，解方程組Ax=0，，得特征向量α3=(2，0，1)t．令P=(α1，α2，α3)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、已知A=是n階矩陣，求A的特征值、特征向量并求可逆矩陣P使P-1AP=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A的特征多項(xiàng)式，得=(λ-2n+1)(λ-+1)N-1，所以A的特征值為λ1=2n-1，A2=N-1(n-1重根)．對(duì)于λ1=2n-1，解齊次方程組(λ1E-A)x=0，得到基礎(chǔ)解系α1=(1，1，…，1)T．對(duì)于λ2=n-1，齊次方程組(λ2E-A)x=0等價(jià)于x1+x2+…+xn=0，得到基礎(chǔ)解系α2=(-1，1，0，…，0)T，α3=(-1，0，1，…，0)T，…，αn=(-1，0，0，…，1)T，所以A的特征向量是：k1α1及k2α2+k3α3+…+knαn．令P=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)矩陣A與B相似，且A=．求可逆矩陣P，使P-1AP=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A～B，據(jù)(5．5)及(5．7)有由A～B，知A與B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6．當(dāng)λ=2時(shí)，解齊次線性方程組(2E-A)x=0得到基礎(chǔ)解系為α1=(1，-1，0)T，α2=(1，0，1)T，即λ=2的線性無(wú)關(guān)的特征向量．當(dāng)λ=6時(shí)，解齊次線性方程組(6E-A)x=0得到基礎(chǔ)解系是(1，-2，3)T，即λ=6的特征向量．那么，令P=(α1，α2，α3)=，則有P-1AP=B．知識(shí)點(diǎn)解析：A與對(duì)角矩陣B相似，為求矩陣P應(yīng)當(dāng)用相似的性質(zhì)先求出a，b，然后再求A的特征值與特征向量．可逆矩陣P即為特征值2和b對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣．27、設(shè)A為3階矩陣，α1，α2，α3是線性無(wú)關(guān)的3維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩陣A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩陣P使P-1AP=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由已知條件有A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)記P1=(α1，α2，α3)，B=，則有AP1=P1B．因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，矩陣P可逆，所以P1-1AP1=B，即矩陣A與B相似．由｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-4)，知矩陣B的特征值是1，1，4，故矩陣A的特征值是1，1，4．(Ⅱ)對(duì)矩陣B，由(E-B)x=0，得λ=1的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)x=0，得λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T．那么令P2=(β1，β2，β3)=故當(dāng)P=P1P2=(α1，α2，α3)=(-α1+α12，-2α1+α3，α2+α3)時(shí)，P-1AP=A=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、已知矩陣A與B相似，其中A=．求a，b的值及矩陣P，使P-1AP=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A～B，知a=7，b=-2．從矩陣A的特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==λ2-4λ-5，得到A的特征值是λ1=5，λ2=-1．它亦是B的特征值．解齊次線性方程組(5E-A)x=0，(-E-A)x=0可得到矩陣A的屬于λ1=5，λ2=-1的特征向量α1=(1，1)T與α2=(-2，1)T．解齊次線性方程組(5E-B)x=0，(-E-B)x=0得到B的特征向量分別是β1=(-7，1)T，β2=(-1，1)T．那么，令P1=即P2P1-1AP1P2-1=B．可見(jiàn)，取P=P1P2-1=，就有P-1AP=B．知識(shí)點(diǎn)解析：由｜A｜=λ1λ2=-5＜0，知A～A，因而可求可逆矩陣P1和P2，使P1-1AP1=P2-1BP2=A，那么P=P1P2-1．29、已知ξ=的特征向量，求a，b的值，并證明A的任一特征向量均能由ξ線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：按特征向量的定義，設(shè)ξ是A所對(duì)應(yīng)的特征向量，則Aξ=λξ，即由｜λE-A｜=λ3-[2+(-3)+(-2)]λ+(-1+6-2)λ2-(-1)=(λ+1)3，知λ=-1是A的三重特征值．又因r(-E-A)==2，從而λ=-1對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)．所以A的特征向量均可由ξ線性表出．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、已知A=，且A～B，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A～B，它們有相同的特征值，相同的跡，又因B是上三角矩陣，故0，-1，-1是B的特征值，于是由知識(shí)點(diǎn)解析：由于相似矩陣有相同的特征值(5．4)，B是上三角矩陣，故0，-1，-1就是B的特征值，因而也就是A的特征值，故｜A｜=0，｜-E-A｜=0，再利用(5．3)就可得到以a，b，c為未知數(shù)的方程組．考研數(shù)學(xué)三（矩陣的特征值與特征向量、二次型）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A為n階可逆矩陣，λ是A的一個(gè)特征值，則伴隨矩陣A*的一個(gè)特征值是A、λ-1｜A｜n-1．B、λ-1｜A｜．C、λ｜A｜．D、λ｜A｜n-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：如Aα=λa，則A-1α=，故選(B).2、設(shè)λ=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則的一個(gè)特征值是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如Aα=λα，則．選(C)．3、設(shè)A是3階不可逆矩陣，α1，α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，α3是屬于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是A、α1+3α2．B、α1-α2．C、α1+α3．D、2α3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如Aα1=λα1，Aα2=λα2，則A(k1α1+k2α2)=k1Aα1+k2Aα2=k1λα1+k2λα2=λ(k1α1+k2α2)．因此k1α1+k2α2是A的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正確．設(shè)Aβ1=λβ1，Aβ2=μβ2，λ≠μ，若A(β1+β2)=k(β1+β2)，則λβ1+μβ2=kβ1+kβ2．即有(λ-k)β1+(μ-k)β2=0．因?yàn)棣?k，μ-k不全為0，與β1，β2是不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)相矛盾．從而α1+α3不是A的特征向量．故應(yīng)選(C)．4、設(shè)α0是A屬于特征值λ0的特征向量，則α0不一定是其特征向量的矩陣是A、(A+E)2．B、-2A．C、AT．D、A*．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE-AT｜=｜(λE-A)T｜=｜λE-A｜，知A與AT有相同的特征值，但方程組(λE-A)x=0與(λE-AT)x=0不一定同解，故A與AT特征向量不一定相同．故應(yīng)選(C)．5、下列矩陣中不能相似對(duì)角化的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)是實(shí)對(duì)稱矩陣，(C)有3個(gè)不同的特征值，均可對(duì)角化．(B)和(D)特征值都是0，0，3．在(B)中，n-r(0E-A)=2，說(shuō)明λ=0有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．故可以相似對(duì)角化．在(D)中，n-r(0E-A)=1，說(shuō)明λ=0只有1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．因此不能相似對(duì)角化．故應(yīng)選(D)．6、設(shè)A是n階非零矩陣，Am=0，下列命題中不一定正確的是A、A的特征值只有零．B、A必不能對(duì)角化．C、E+A+A2+…+Am-1必可逆．D、A只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Aα=λα，α≠0，則Amα=λmα皇0．故λ=0．(A)正確．因?yàn)锳≠0，r(A)≥1，那么Ax=0的基礎(chǔ)解系有n-r(a)個(gè)解，即λ=0有n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．故(B)正確，而(D)不一定正確．由(E-A)(E+A+A2+…+Am-1)=E-Am=E，知(C)正確．故應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設(shè)A是n階矩陣，r(A)＜n，則A必有特征值______，且其重?cái)?shù)至少是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ηj(j=1，2，…，n-r(A))；0知識(shí)點(diǎn)解析：r(A)＜nλ=0必是A的特征值．由r(A)＜nAx=0有非0解．設(shè)η1，η2，…，ηn-r(A)是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Aηj=0=0ηj，即λ=0是矩陣A的特征值，ηj(j=1，2，…，n-r(A))是λ=0的特征向量．因此λ=0有n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．從而λ=0至少是矩陣A的n-r(A)重特征值．注意：k重特征值至多有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．8、一設(shè)A是n階可逆矩陣，A是A的特征值，則(A*)2+E必有特征值______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征值為的特征值為9、已知-2是A=的特征值，則x=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?2是矩陣A的特征值，所以由10、設(shè)A是秩為2的3階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+5A=0，則A的特征值是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-5，-5，0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，故A-A．又r(A)=2，所以r(A)=2．設(shè)Aα=λα(α≠0)，由A2+5A=0得λ2+5λ=0．因此A的特征值為0或-5．從而A-．所以矩陣A的特征值是：-5，-5，0．11、已知α=(1，1，-1)T是矩陣A=的特征向量，則x=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Aα=λα，即12、設(shè)A是3階矩陣，且各行元素之和都是5，則A必有特征向量_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楦餍性刂投际?，即三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)13、設(shè)矩陣A=，行列式｜A｜=-1，又A*有一個(gè)特征值λ0，屬于λ0的一個(gè)特征向量為α=(-1，-1，1)T，求a，b，c及λ0的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：據(jù)已知有AA*=｜A｜E=-E．對(duì)于A*α=λ0α，用A左乘兩端，得λ0Aα=-α，即由此可得①-③得λ0=1．將λ0=1代入②和①得b=-3，a=c．由｜A｜=-1和a=c，有=a-3=-1，即得a=2．故a=c=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，2)T，α2=(2，-2，1)T，α3=(-2，-1，2)T．求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Aαi=iαi知，A有3個(gè)不同的特征值1，2，3.所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知線性方程組有無(wú)窮多解，而A是3階矩陣，且分別是A關(guān)于特征值1，-1，0的三個(gè)特征向量，求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣高斯消元，有由于方程組有無(wú)窮多解，故a=-1或a=0．當(dāng)a=-1時(shí)，三個(gè)特征向量線性相關(guān)，不合題意，舍去；當(dāng)a=0時(shí)，線性無(wú)關(guān)，是A的特征向量，故a=0．令P=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的特征值是6，-6，0，其中λ=6與λ=0的特征向量分別是(1，a，1)T及(a，a+1，1)T，求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，屬于不同特征值的特征向量相互正交(5．12)，所以1×a+a(a+1)+1×1=0a=-1．設(shè)屬于λ=-6的特征向量是(x1，x2，x3)T，它與λ=6，λ=0的特征向量均正交，于是解得(1，2，1)T是λ=-6的特征向量．那么，知識(shí)點(diǎn)解析：現(xiàn)在A的特征值已知，求矩陣4就轉(zhuǎn)為應(yīng)求出A的特征向量，一要確定a，一要求出λ=-6的特征向量．已知條件中實(shí)對(duì)稱矩陣能給什么信息呢?17、已知3階矩陣A的第1行元素全是1，且(1，1，1)T，(1，0，-1)T，(1，-1，0)T是A的3個(gè)特征向量，求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)這些特征向量分別屬于特征值λ1，λ2，λ3，則類似地，λ2=λ3=0．于是知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征向量已知，現(xiàn)應(yīng)求出A的特征值，可用定義來(lái)處理．18、已知A=能對(duì)角化，求An．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳能對(duì)角化，所以A必有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.由于｜λE-A｜==(λ-1)(λ2-λ)，λ=1是二重特征值，必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此r(E-A)=1，得x=-2.求出λ=1的特征向量α1=(1，2，0)T，α2=(0，0，1)T及λ=的特征向量α3=(1，1，-2)T令P=(α1，α2，α3)=得A=PAP-1，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知求x100．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于令A(yù)=則｜λE-A｜=λ2-λ-2．于是有λ1=2，α1=(5，2)T和λ2=-1，α2=(1，1)T．從而P-1AP=A=，那么知識(shí)點(diǎn)解析：將關(guān)系式表示成矩陣形式，用遞推來(lái)推導(dǎo)(xn，yn)T與(x0，y0)T的關(guān)系式．本題是用特征值、特征向量計(jì)算An的一個(gè)典型應(yīng)用．20、某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門(mén)，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊，新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工．設(shè)第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成αn=(Ⅰ)求αn+1與αn的關(guān)系式，并寫(xiě)成矩陣形式：αn+1=Aαn；(Ⅱ)求矩陣A的特征值與特征向量；(Ⅲ)若α0=，求Anα0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按題意有(Ⅲ)由特征多項(xiàng)式對(duì)λ=1，由(E-A)x=0得基礎(chǔ)解系η1=，因此矩陣A屬于λ=1的特征向量是k1η1(k1≠0)．對(duì)的特征向量是k2η2(k2≠0)．(Ⅲ)設(shè)x1η1+x2η2=α0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知矩陣A=有特征值λ=5，求a的值；并當(dāng)a＞0時(shí)．求正交矩陣Q，使Q-1AQ=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：因λ=5是矩陣A的特征值，則由｜5E-A｜==3(4-a2)=0，可得a=±2．當(dāng)a=2時(shí)，則由矩陣A的特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-2)(λ-5)(λ-1)=0，知矩陣A的特征值是1，2，5．由(E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(0，1，-1)T；由(2E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1，0，0)T；由(5E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(0，1，1)T．即矩陣A屬于特征值1，2，5的特征向量分別是α1，α2，α3．由于實(shí)對(duì)稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，故只需單位化，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)矩陣A=的特征值有重根，試求正交矩陣Q，使QTAQ為對(duì)角形．標(biāo)準(zhǔn)答案：A的特征多項(xiàng)式=(λ-2)[λ2+(3-a)λ-(3a+20)]，由于判別式(3-a)2+4(3a+20)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即λ2+(3-a)λ-(3a+20)≠(λ-k)2，所以只能λ=2是重根．于是λ2+(3-a)λ-(3a+20)必有λ-2的因式，因此由22+2(3-a)-(3a+20)=0，得a=-2．從而得到矩陣A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=-7．對(duì)于λ=2，由(2E-A)x=0，即得到線性無(wú)關(guān)的特征向量α1=(-2，1，0)T，α2=(2，0，1)T．用Schmidt正交化方法，先正交化，有再將β1，β2單位化，得對(duì)于λ=-7，由(-7E-A)x=0，即得特征向量α3=(1，2，-2)T，單位化為那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镼是正交矩陣，有QT=Q-1，故QTAQ=A，即Q-1AQ=A．為此，應(yīng)當(dāng)求矩陣A的特征向量．23、設(shè)A=，正交矩陣Q使得QTAQ為對(duì)角矩陣．若Q的第1列為(1，2，1)T，求a，Q．標(biāo)準(zhǔn)答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設(shè)特征值是λ1，那么知矩陣A的特征值是：2，5，-4．對(duì)λ=5，由(5E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系α2=(1，-1，1)T．對(duì)λ=-4，由(-4E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系α1=(-1，0，1)T．因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值不同特征向量相互正交，故只需把α2，α3單位化，有知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镼是正交矩陣QT=Q-1，所以QTAQ=A，即Q-1AQ=A．A的對(duì)角線