考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷2（共264題）

考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷2（共9套）（共264題）考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、以下結(jié)論，錯誤的是()A、若0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，則A，B相互獨立B、若A，B滿足P(B|A)=1，則P(A—B)=0C、設(shè)A，B，C是三個事件，則(A—B)∪B=A∪BD、若當事件A，B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則P(C)＜P(A)+P(B)一1標準答案：D知識點解析：2、設(shè)隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，記p1=P{X≤μ一4}，p2=p{Y≥μ+5}，則()A、對任意實數(shù)μ，都有p1=p2B、對任意實數(shù)μ，都有p1＜p2C、只對μ的個別值，才有p1=p2D、對任意實數(shù)μ，都有p1＞p2標準答案：A知識點解析：用Ф代表標準正態(tài)分布N(0，1)的分布函數(shù)，有由于Ф(-1)=1-Ф(-1)，所以p1=p2。3、設(shè)隨機變量X取非負整數(shù)值，P{X=n)=an(n≥1)，且EX=1，則a的值為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：4、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…Xn是取自總體的簡單隨機樣本，樣本均值為，樣本方差為S2，則服從χ2(n)的隨機變量為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：5、設(shè)總體X～N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互獨立，分別從X和Y中各抽取容量為9和10的簡單隨機樣本，記它們的方差為SX2和SY2，并記，則這四個統(tǒng)計量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小者是()A、SX2B、SY2C、S122D、SXY2標準答案：D知識點解析：所以，方差最小者為SXY2．因此本題選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為________．標準答案：知識點解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i≈1，2．則有7、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，其概率密度為f(x)=ke-x2+2x-1(一∞＜x＜+∞)，則常數(shù)k=________．標準答案：知識點解析：8、設(shè)隨機變量X的概率密度為為________．標準答案：知識點解析：9、設(shè)相互獨立的兩個隨機變量X，Y具有同一分布律，且X的分布律為：則隨機變量Z=max{X，Y)的分布律為________．標準答案：知識點解析：10、設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變量序列，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，則標準答案：Ф(x)知識點解析：由列維一林德伯格中心極限定理即得．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、對三臺儀器進行檢驗，各臺儀器產(chǎn)生故障的概率分別為p1，p2，p3，求產(chǎn)生故障儀器的臺數(shù)X的數(shù)學期望和方差．標準答案：X的分布為由此計算EX和DX相當麻煩，我們利用期望的性質(zhì)進行計算．知識點解析：暫無解析12、袋中有n張卡片，分別記有號碼1，2，…，n，從中有放回地抽取k張，以X表示所得號碼之和，求EX，DX．標準答案：設(shè)Xi為第i張的號碼，i=1，2，…，k，則Xi的分布為知識點解析：暫無解析13、設(shè)X與Y為具有二階矩的隨機變量，且設(shè)Q(a，b)=E[Y一(a+bX)]2，求a，b使Q(a，b)達到最小值Qmin，并證明：Qmin=DY(1一ρXY2)．標準答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)X，Y，Z是三個兩兩不相關(guān)的隨機變量，數(shù)學期望全為零，方差都是1，求X—Y和Y—Z的相關(guān)系數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析將數(shù)字1，2，…，n隨機地排列成新次序，以X表示經(jīng)重排后還在原位置上的數(shù)字的個數(shù)．15、求X的分布律；標準答案：記Ai={數(shù)字i在原位置上)，i=1，2，…，n，則表示至少有一個數(shù)字在原位置上。則知識點解析：暫無解析16、計算EX和DX．標準答案：令知識點解析：暫無解析設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率密度為求：17、方差D(XY)；標準答案：D(XD=E(X2Y2)一[E(XY)]2，知識點解析：暫無解析18、協(xié)方差Cov(3X+Y，X一2Y)．標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)隨機變量U在[一2，2]上服從均勻分布，記隨機變量求：19、Cov(X，Y)，并判定X與Y的獨立性；標準答案：X，Y的全部可能取值都為一1，1，且知識點解析：暫無解析20、D[X(1+Y)]．標準答案：知識點解析：暫無解析21、若DX=0．004，利用切比雪夫不等式估計概率P{|X—EX|＜0．2}．標準答案：由切比雪夫不等式知識點解析：暫無解析22、用切比雪夫不等式確定，擲一均質(zhì)硬幣時，需擲多少次，才能保證‘正面’出現(xiàn)的頻率在0．4至0．6之間的概率不小于0．9．標準答案：所以n≥250．知識點解析：暫無解析23、若隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…滿足條件證明：{Xn}服從大數(shù)定律．標準答案：由切比雪夫不等式，對任意的ε＞0有故{Xn}服從大數(shù)定律．知識點解析：暫無解析24、某計算機系統(tǒng)有100個終端，每個終端有20％的時間在使用，若各個終端使用與否相互獨立，試求有10個或更多個終端在使用的概率．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，E(X)=μ，D(X)=σ2＜∞，求和E(S2)．標準答案：知識點解析：暫無解析26、假設(shè)你是參加某衛(wèi)視“相親節(jié)目”的男嘉賓，現(xiàn)有n位女嘉賓在你面前自左到右排在一條直線上，每兩位相鄰的女嘉賓的距離為a(米)．假設(shè)每位女嘉賓舉手時你必須和她去握手，每位女嘉賓舉手的概率均為，且相：互獨立，若z表示你和一位女嘉賓握手后到另一位舉手的女嘉賓處所走的路程，求EZ．標準答案：設(shè)按從左到右的順序?qū)⑴钨e編號為1，2，…，n．X為已經(jīng)握手的女嘉賓的編號，y表示將要去握手的女嘉賓的編號，則知識點解析：暫無解析27、對于任意二事件A1，A2，考慮二隨機變量試證明：隨機變量X1和X2獨立的充分必要條件是事件A1和A2相互獨立．標準答案：記pi=P(Ai)(i=1，2)，p12=P(A1A2)，而ρ是X1和X2的相關(guān)系數(shù)．易見，隨機變量X1和X2都服從0～1分布，并且P{Xi=1}=P(Ai)，P{Xi=0)=P(Ai)，P{X1=1，X2=1}=P(A1A2)．(1)必要性．設(shè)隨機變量X1和X2獨立，則P(A1A2)=P{X1=1，X2=1)=P{X1=1)P{X2=1)=P(A1)P(A2)．從而，事件A1和A2相互獨立．(2)充分性．設(shè)事件A1和A2相互獨立，則也都獨立，故從而，隨機變量X1和X2相互獨立．知識點解析：暫無解析28、假設(shè)有四張同樣卡片，其中三張上分別只印有a1，a2，a3，而另一張上同時印有a1，a2，a3，現(xiàn)在隨意抽取一張卡片，令Ak={卡片上印有ak)。證明：事件A1，A2，A3兩兩獨立但不相互獨立．標準答案：由于對任意k，j=1，2，3且k≠j，有可見事件A1，A2，A3兩兩獨立．但是，由于可見事件A1，A2，A3不相互獨立．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)事件A，B滿足AB=，則下列結(jié)論中一定正確的是()A、互不相容B、相容C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A—B)=P(A)標準答案：D知識點解析：但是，P(A—B)=P(A)一P(AB)=P(A)，故選擇(D)．2、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為(λ＞0)，則概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值()A、與a無關(guān)，隨λ增大而增大B、與a無關(guān)，隨λ增大而減小C、與λ無關(guān)，隨a增大而增大D、與λ無關(guān)，隨a增大而減小標準答案：C知識點解析：由密度函數(shù)的性質(zhì)與λ無關(guān)，隨a增大而增大．3、現(xiàn)有10張獎券，其中8張為2元的，2張為5元的，今從中任取3張，則獎金的數(shù)學期望為()A、6B、7．8C、9D、11．2標準答案：B知識點解析：記獎金為X，則X全部可能取的值為6，9，12，并且4、設(shè)X1，X2，…，Xn是總體N(μ，σ2)的樣本，，則服從自由度為n一1的t分布的隨機變量是A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：故選(B)．5、設(shè)X1，X2，…X8和Y1，Y2，…Y10分別是來自正態(tài)總體N(-1，4)和N(2，5)的簡單隨機樣本，且相互獨立，S12，S22分別為這兩個樣本的方差，則服從F(7，9)分布的統(tǒng)計量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、在區(qū)間(0，1)中隨機地取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于6／5”的概率為________．標準答案：知識點解析：設(shè)A=“兩數(shù)之和小于6／5”，兩數(shù)分別為x，y，由幾何概率如圖3—2．7、設(shè)隨機變量X服從泊松分布，且P{X≤1}=4P{X=2)，則P{X=3}=________．標準答案：知識點解析：P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}=e-λ+λe-λ，P{X=2}=由P{X≤1}=4P{X=2)知e-λ+λe-λ=2λ2e-λ，即2λ2一A一1=0，解得λ=1，故P{X=3)=8、一臺設(shè)備由三個部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為0．10，0．20，0．30，設(shè)備部件狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，則X的方差DX為________．標準答案：0.46知識點解析：X的全部可能取值為0，1，2，3，且P{X=0}=(1—0．10)×(1—0．20)×(1—0．30)=0．504，P{X=1}=(1—0．10)×(1—0．20)×0．30+(1—0．10)×(1—0．30)×0．20+(1—0．20)×(1—0．30)×0．10=0．398，P{X=2}=(1—0．10)×0．20×0．30+(1—0．20)×0．10×0．30+(1—0．30)×0．10×0．20=0．092，P{X=3}=0．10×0．20×0．30=0．006．所以EX=0×0．504+1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，E(X2)=02×0．504+10×0．398+22×0．092+32×0．006=0．82．DX=E(X2)-(EX)2=0．82=(0．6)2=0．46．9、若X1，X2，X3兩兩不相關(guān)，且DXi=1(i=1，2，3)，則D(X1+X2+X3)=________．標準答案：3知識點解析：因為X1，X2，X3兩兩不相關(guān)，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)=D(X1)+D(X2)+D(X3)+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)=D(X1)+D(X2)+D(X3)=3．10、設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估計得P{|X一75|≥k)≤0．05，則k=________．標準答案：10知識點解析：P{|X一75|≥k)=P{|X—EX|≥k)≤=0．05，即k=10．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)11、設(shè)(X，Y)的概率密度為問X，Y是否獨立?標準答案：邊緣密度為因為f(x，y)=fX(x).fY(y)，所以X，Y獨立．知識點解析：暫無解析12、設(shè)隨機變量(X，Y)的概率密度為求Z=Z2+Y2的概率密度fz(y)．標準答案：設(shè)Z的分布函數(shù)為fZ(z)，則知識點解析：暫無解析13、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xi相互獨立，且Xi服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，其密度為求P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}．標準答案：P{X1=min{X1，X2，…，X}}=P{X1≤min{X2，X3，…，Xn}}，記Y=min{X2，X3，…，Xn}，則有(X1，Y)的概率密度為f(x，y)=f1(x)fY(y)．=∫0+∞λ1e-λ1xdx∫x+∞(λ2+λ3+…+λn)e-(λ2+λ3+…+λn)ydy知識點解析：暫無解析14、設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為求標準答案：(X，Y)的概率密度為知識點解析：暫無解析15、設(shè)(X，Y)服從G={(x，y)|x2+y2≤1}上的均勻分布，試求給定Y=y的條件下X的條件概率密度函數(shù)fX|Y(x|y)．標準答案：因為(X，Y)服從G={(x，y)|x2+y2≤1)上的均勻分布，所以知識點解析：暫無解析16、設(shè)隨機變量(X，Y)的概率密度為求Z=X+2Y的分布函數(shù)Fz(z)．標準答案：見圖3—14，知識點解析：暫無解析17、設(shè)試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復試驗直到成功兩次為止，試求試驗次數(shù)的數(shù)學期望．標準答案：設(shè)X表示所需試驗次數(shù)，則X的可能取值為2，3，…，于是知識點解析：暫無解析18、有20位旅客乘民航的送客車自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求EX(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車是相互獨立的)．標準答案：引入隨機變量i=1，2，…，10．則X=X1+X2+…+X10，由知識點解析：暫無解析19、市場上有兩種股票，股票A的價格為60元／股，每股年收益為R，元，其均值為7，方差為50，股票B的價格為40元／股，每股年收益為R2元，其均值為3．2，方差為25，設(shè)R1和R2互相獨立，某投資者有10000元，擬購買s1股股票A，s2股股票B，剩下的s3元存銀行，設(shè)銀行1年期定期存款利率為5％，投資者希望該投資策略的年平均收益不少于800元，并使投資收益的方差最小，求這個投資策略(s1，s2，s3)，并計算該策略的收益的標準差．標準答案：設(shè)投資策略為(s1，s2，s3)，則該投資策略的收益為平均收益及方差為：ES=s1×7+s2×3．2+(10000—60s1一40s2)×5％，DS=50s12+25s22，問題為求DS=50s12+25s22的最小值．約束條件為：ES=s1×7+s2×3．2+(10000—60s1—40s2)×5％≥800．用拉格朗日乘數(shù)法求解該問題，令L=50s12+25s22+δ(800一s1×7一s2×3．2一(10000—60s1—40s2)×5％)，其中δ是待定系數(shù)，最優(yōu)解應(yīng)滿足的一階條件為：解此方程組得：s1=63．56元，s2=38．14元，s3=4660．8元．該投資策略的方差和標準差分別為：DS=50×63．562+25×38．142≈238360，σ==488．22．知識點解析：暫無解析20、設(shè)隨機變量服從幾何分布，其分布律為P{X=k)=(1-p)k-1p，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX與DX．標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)隨機變量X的概率密度為21、a，b，c的值；標準答案：1=∫-∞+∞f(x)dx=∫02axdx+∫24(cx+b)dx知識點解析：暫無解析22、隨機變量Y=ex的數(shù)學期望和方差．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)(X，Y)的概率密度為標準答案：知識點解析：暫無解析24、在長為L的線段上任取兩點，求兩點距離的期望和方差．標準答案：以線段的左端點為原點建立坐標系，任取兩點的坐標分別為X，Y，則它們均在[0，L]上服從均勻分布，且X，Y相互獨立．知識點解析：暫無解析25、設(shè)X，y是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布的隨機變量，求E|X—Y|與D|X—Y|．標準答案：設(shè)Z=X-Y，則Z～N(0，1)．故知識點解析：暫無解析設(shè)隨機變量X與Y獨立同分布，均服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，求：26、max{X，Y)的數(shù)學期望；標準答案：設(shè)則U和V獨立同服從正態(tài)分布N(0，1)，知識點解析：暫無解析27、min{X，Y)的數(shù)學期望．標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)連續(xù)型隨機變量X的所有可能值在區(qū)間[a，b]之內(nèi)，證明：28、a≤EX≤b；標準答案：因為a≤X≤b，所以Ea≤EX≤Eb，即a≤EX≤b．知識點解析：暫無解析29、DX≤標準答案：因為對于任意的常數(shù)C有DX≤E(X—C)2，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A1={擲第一次出現(xiàn)正面}，A2={擲第二次出現(xiàn)正面}，A3={正、反面各出現(xiàn)一次}，A4={正面出現(xiàn)兩次}，則事件A、A1，A2，A3相互獨立B、A2，A3，A4相互獨立C、A1，A2，A3兩兩獨立D、A2，A3，A1兩兩獨立標準答案：C知識點解析：(本題的硬幣應(yīng)當設(shè)是“均勻”的)。由題意易見：可見A1，A2，A3兩兩獨立，故選(C)。二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)2、設(shè)X1，X2，X3，X4是來自正態(tài)總體N(0，22)的簡單隨機樣本，X=a(X1一2X2)2+b(3X3一4X4)2。則當a=________，b=________時，統(tǒng)計量X服從χ2分布，其自由度為________。標準答案：知識點解析：∵E(X1一2X2)=EX1—2EX2=0D(X1一2X2)=DX1+4DX2=4+4×4=20E(3X3—4X4)=3EX3—4EX4=3×0—4×0=0D(3X3—4X4)=9DX3+16DX4=9X4+16×4=100與題目的X比較即得結(jié)果。3、設(shè)總體X的概率密度為(一∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn為總體X的簡單隨機樣本，其樣本方差為S2，則ES2=________。標準答案：2知識點解析：而E(S2)=DX，故ES2=2。4、設(shè)X1，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，其中參數(shù)μ，σ2未知。記則假設(shè)H0：μ=0的t檢驗使用的統(tǒng)計量t________。標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)5、設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率密度為求常數(shù)A及條件概率密度fY|X(y|x)。標準答案：關(guān)于X的邊緣概率密度為：知識點解析：本題主要考查概率密度的性質(zhì)和條件概率密度。解中積分類似)，這里積分變量為y，積分時視x為“常數(shù)”，還要求學生對一維正態(tài)分布的概率密度的形式上去湊)及積分很熟悉，如果想用牛頓一萊布尼茲公式即找原函數(shù)的經(jīng)典方法(或用二重無窮積分、極坐標的方法即“概率積分”的方法)去處理這些積分，當然，求A時用6、已知隨機變量(X，Y)的聯(lián)合密度為試求：(1)P{X＜Y}；(2)E(XY)；標準答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)作一次實驗的費用為1000元，如果實驗失敗，則要另外再花300元對設(shè)備調(diào)整才能進行下一次的實驗。設(shè)各次實驗相互獨立，成功的概率均為0．2，并假定實驗一定要進行到出現(xiàn)成功為止。求整個實驗程序的平均費用。標準答案：設(shè)需進行X次試驗，則所需費用為Y=1000+300(X一1)，而P(X=k)=0．8k-1．2，k=1，2，知識點解析：暫無解析8、設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞2)為來自總體N(0，σ2)的簡單隨機樣本，其樣本均值為。記Yi=Xi一，i=1，2，…，n。求：(Ⅰ)求Yi的方差DYi，i=1，2，…，n；(Ⅱ)求Y1與Yn的協(xié)方差cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)若c(Y1+Yn)2是σ2的無偏估計量，求常數(shù)c。標準答案：知識點解析：本題其實主要考查的是概率論中方差、協(xié)方差、數(shù)學期望的計算，只是用了數(shù)理統(tǒng)計中總體、樣本、樣本均值以及無偏估計等概念。請注意Y1與Yn等均沒有“獨立”或“不相關(guān)”的結(jié)論，切勿有，似不如正文中的解法簡潔。而(Ⅲ)中用了(Ⅰ)、(Ⅱ)的結(jié)論，否則可這樣求：E(Y1)2=E(X1一所做。由于EY1=EYn=0，(Ⅲ)中做法也可：σ2=E[c(Y1+Yn)2]=cE(Y1+Yn)2=cD(Y1+Yn)=c[DY1+DYn+2cov(Y1，Yn)]=9、設(shè)總體X的概率密度為其中θ是未知參數(shù)(0＜θ＜1)，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，記N為樣本值x1，x2，…，xn中小于1的個數(shù)。求(Ⅰ)θ的矩估計；(Ⅱ)θ的最大似然估計。標準答案：而由題意，x1，x2，…，xn中有N個的值在區(qū)間(0，1)內(nèi)，故知知識點解析：暫無解析10、設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，是樣本均值。(Ⅰ)求參數(shù)θ的矩估計量；(Ⅱ)判斷是否為θ2的無偏估計量，并說明理由。標準答案：知識點解析：暫無解析11、設(shè)X1，X2，…，Xn是總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，記(Ⅰ)證明T是μ2的無偏估計量；(Ⅱ)當μ=0，σ=1時，求DT。標準答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)總體X的概率密度為其中θ為未知參數(shù)且大于零。X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本。(Ⅰ)求θ的矩估計量；(Ⅱ)求θ的最大似然估計量。標準答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)總體X的概率密度為其中θ為未知參數(shù)。X1，X2，…，Xn為來自該總體的簡單隨機樣本。(Ⅰ)求θ的矩估計量；(Ⅱ)求θ的最大似然估計量。標準答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)總體X～B(m，p)，其中m已知，p未知，從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn，試求p的矩估計和最大似然估計。標準答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)總體的密度為：從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn。試求未知參數(shù)θ的矩估計和最大似然估計。標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)總體的密度為：其中θ＞0，而θ和μ為未知參數(shù)。從X中抽得簡單樣本X1，X2，…，Xn。試求θ和μ的矩估計和最大似然估計。標準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)總體X在區(qū)間(μ一p，μ+ρ)上服從均勻分布，從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn，求μ和ρ(均為未知參數(shù))的矩估計，并問它們是否有一致性。標準答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)總體X在區(qū)間[0，θ]上服從均勻分布，其中θ＞0為未知參數(shù)，而X1，…，Xn為從X中抽得的簡單樣本，試求θ的矩估計和最大似然估計，并問它們是否是θ的無偏估計?標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)Y=lnX～N(μ，θ2)，而X1，…，Xn為取自總體X的簡單樣本，試求EX的最大似然估計。標準答案：知識點解析：暫無解析20、從均值為μ方差為σ2＞0的總體中分別抽取容量為n1和n2的兩個獨立樣本，樣本均值分別記為，試證對任意滿足a+b=1的常數(shù)a、b，都是μ的無偏估計。并確定a、b，使D(T)達到最小。標準答案：知識點解析：暫無解析21、總體X～N(2，σ2)，從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn試推導σ2的置信度為1一α的置信區(qū)間。若樣本值為1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度為0．95的置信區(qū)間(χ0．9752(6)=14．449，χ0．9752(6)=1．237，下分位數(shù)。)標準答案：知識點解析：暫無解析22、為了研究施肥和不施肥對某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響，獨立地選了十三個小區(qū)在其他條件相同的情況下進行對比試驗，得收獲量如下表：設(shè)小區(qū)的農(nóng)作物產(chǎn)量均服從正態(tài)分布且方差相等，求施肥與未施肥平均產(chǎn)量之差的置信度為0．95的置信區(qū)間(t0．0975(11)=2．201，下側(cè)分位數(shù))。標準答案：設(shè)施肥與不施肥的農(nóng)作物產(chǎn)量分別為總體X與Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，本題中n=6，=33，Sx2=知識點解析：暫無解析23、某種清漆的9個樣品的干燥時間(小時)為：6．5，5．8，7，6．5，7，6．3，5．6，6．1，5．設(shè)干燥時間X～N(μ，σ2)，求μ的置信度為0．95的置信區(qū)間。在(1)σ=0．6(小時)；(2)σ未知。兩種情況下作(μ0．975=1．96，t0．975(8)=2．3060，下側(cè)分位數(shù))標準答案：知識點解析：暫無解析24、隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標準差S=11．設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮1：3速度的標準差的置信度為0．95的置信區(qū)聞。χ0．02552(8)=2．180，χ0．9752(8)=17．535，下側(cè)分位數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析25、一個罐子里裝有黑球和白球，黑、白球之比為R：1，現(xiàn)有放回地一個接一個地抽球，直到抽到黑球為止，記X為所抽的白球數(shù)。這樣做了n次以后，我們獲得一組樣本：X1，X2，…，Xn?；诖耍驲的最大似然估計。標準答案：知識點解析：暫無解析26、用過去的鑄造方法，零件強度的標準差是1．6kg／mm2。為了降低成本，改變了鑄造方法，測得用新方法鑄出的零件強度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52．設(shè)零件強度服從正態(tài)分布，取顯著性水平α=0．05，問改變方法后零件強度的方差是否發(fā)生了變化?(χ0．9752(8)=17．535，χ0．0252(8)=2．180，下側(cè)分位數(shù))標準答案：設(shè)零件強度為總體X，則X～N(μ，σ2)，檢驗H0：σ2=1．62。拒絕域為χ2=知識點解析：暫無解析27、一批礦砂的4個樣品中鎳含量測定為(％)：3．25，3．26，3．24，3．25．設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，問在α=0．01下能否接受假設(shè)：這批礦砂鎳含量的均值是3．26(t0．995(3)=5．8409，下側(cè)分位數(shù))標準答案：設(shè)這批礦砂的鎳含量為總體X，則X～N(μ，σ2)，檢驗H0：μ=μ0。這兒μ0=3．26，n=4，拒絕域為：知識點解析：暫無解析28、用兩種方案進行某種產(chǎn)品的銷售，得部分銷售量為：A方案：140，138，143，142，144，139；B方案：135，140，142，136，135，140．設(shè)兩種方案下的銷售量均服從正態(tài)分布，試在α=0．05下檢驗兩種方案的平均銷售量有無顯著差異(t0．975(10)=2．228，F(xiàn)0．975(5，5)=7．15，下側(cè)分位數(shù)。提示：先檢驗方差相等)。標準答案：設(shè)A、B方案下的銷售量分別為總體X和Y，則X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)。①先檢驗H0:σ12=σ22，，接受H0，即認為用兩種方案得到的銷售量沒有顯著差異。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、對任意兩個事件A和B，若P(AB)=0，則()．A、AB=B、C、P(A)P(B)=0D、P(A—B)=P(A)標準答案：D知識點解析：選D，因為P(A—B)=P2、在電爐上安裝了4個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機的．在使用過程中，只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度t0，電爐就斷電，以E表示事件“電爐斷電”，而T(1)≤T(2)，≤T(3)≤T(4)為4個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值，則事件E等于()．A、{T(1)≥t0}B、{T(2)≥t0}C、{T(3)≥t0}D、{T(4)≥t0}標準答案：C知識點解析：{T(1)≥t0}表示四個溫控器溫度都不低于臨界溫度t0，而E發(fā)生只要兩個溫控器溫度不低于臨界溫度t0，所以E={T(3)≥t0}，選C．3、設(shè)A，B為任意兩個不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結(jié)論正確的是()．A、B、C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A—B)=P(A)標準答案：D知識點解析：因為A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A—B)=P(A)，選D．4、設(shè)A，B為兩個隨機事件，其中0＜P(A)＜1，P(B)＞0且P(B｜A)=，下列結(jié)論正確的是()．A、P(A｜B)=B、P(A｜B)≠C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)標準答案：C知識點解析：整理得P(AB)=P(A)P(B)，正確答案為C。5、設(shè)0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且P(A｜B)+=1，則下列結(jié)論正確的是()．A、事件A，B互斥B、事件A，B獨立C、事件A，B不獨立D、事件A，B對立標準答案：B知識點解析：由，則事件A，B是獨立的，正確答案為(B)．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)6、設(shè)P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，則P(A+B)=________．標準答案：0.8知識點解析：因為P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A—B)+P(B)=0．8．7、設(shè)P(A)=0．6，P(B)=0．5，P(A—B)=0．4，則P(B—A)=________，P(A+B)=________．標準答案：0.9知識點解析：因為P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(AB)=0．2，于是P(B—A)=P(B)一P(AB)=0．5一0．2=0．3，P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．6+0．5一0．2=0．9．8、設(shè)事件A，B相互獨立，P(A)=0．3，且P(A+)=0．7，則P(B)=__________．標準答案：知識點解析：9、設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A—B)=0．3，則=__________．標準答案：0.6知識點解析：由P(A—B)=P(A)一P(AB)=0．3及P(A)=0．7，得P(AB)=0．4，則=1一P(AB)=0．6．10、設(shè)P(A)=0．4，且P(AB)=，則P(B)=__________．標準答案：0.6知識點解析：因為=1一P(A+B)，所以P(AB)=1一P(A+B)=1一P(A)一P(B)+P(AB)，從而P(B)=1一P(A)=0．6．11、設(shè)A，B為兩個隨機事件，則=__________．標準答案：0知識點解析：12、設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=，則A，B，C都不發(fā)生的概率為________．標準答案：知識點解析：13、設(shè)事件A，B，C兩兩獨立，滿足ABC=，則P(A)=_________．標準答案：知識點解析：由P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)14、有16件產(chǎn)品，12個一等品，4個二等品．從中任取3個，至少有一個是一等品的概率為__________。標準答案：知識點解析：設(shè)A={抽取3個產(chǎn)品，其中至少有一個是一等品}，則．15、設(shè)口袋中有10只紅球和15只白球，每次取一個球，取后不放回，則第二次取得紅球的概率為__________．標準答案：知識點解析：設(shè)A1={第一次取紅球)，A2={第一次取白球)，B={第二次取紅球}，16、從n階行列式的展開式中任取一項，此項不含a11的概率為，則n=__________．標準答案：9知識點解析：n階行列式有n!項，不含a11的項有(n一1)(n—1)!個，則，則n=9．17、設(shè)一次試驗中，出現(xiàn)事件A的概率為P，則n次試驗中A至少發(fā)生一次的概率為__________，A至多發(fā)生一次的概率為________．標準答案：(1一p)n—1[1+(n一1)p]知識點解析：令B={A至少發(fā)生一次)，則P(B)=1一Cn0p0(1一p)n=1一(1一p)n，令C={A至多發(fā)生一次}，則P(C)=Cn0p0(1一p)n+Cn1p(1一p)n—1=(1一p)n—1[1+(n一1)p]．三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、設(shè)A，B，C是相互獨立的隨機事件，且0＜P(C)＜1，則下列給出的四對事件中不相互獨立的是()．標準答案：知識點解析：暫無解析19、袋中有12只球，其中紅球4個，白球8個，從中一次抽取兩個球，求—F3i事件發(fā)生的概率：(1)兩個球中一個是紅球一個是白球；(2)兩個球顏色相同．標準答案：(1)令A={抽取的兩個球中一個是紅球一個是白球}，則P(A)=．(2)令B={抽取的兩個球顏色相同)，則P(B)=．知識點解析：暫無解析20、一個盒子中5個紅球，5個白球，現(xiàn)按照如下方式，求取到2個紅球和2個白球的概率．(1)一次性抽取4個球；(2)逐個抽取，取后無放回；(3)逐個抽取，取后放回．標準答案：(1)設(shè)A1={一次性抽取4個球，其中2個紅球2個白球}，則P(A2)=．(2)設(shè)A2={逐個抽取4個球，取后不放回，其中2個紅球2個白球}，則(3)設(shè)A3={逐個抽取4個球，取后放回，其中2個紅球2個白球}，則知識點解析：暫無解析21、10件產(chǎn)品中4件為次品，6件為正品，現(xiàn)抽取2件產(chǎn)品．(1)求第一件為正品，第二件為次品的概率；(2)在第一件為正品的情況下，求第二件為次品的概率；(3)逐個抽取，求第二件為正品的概率．標準答案：(1)令Ai={第i次取到正品)(i=1，2)，則知識點解析：暫無解析22、10件產(chǎn)品有3件次品，7件正品，每次從中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：(1)第三次取得次品；(2)第三次才取得次品；(3)已知前兩次沒有取到次品，第三次取得次品；(4)不超過三次取到次品．標準答案：設(shè)Ai={第i次取到次品)(i=1，2，3)．知識點解析：暫無解析23、一批產(chǎn)品有10個正品2個次品，任意抽取兩次，每次取一個，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率．標準答案：令A1={第一次抽取正品}，A2={第一次抽取次品}，B={第二次抽取次品}，知識點解析：暫無解析24、甲、乙、丙廠生產(chǎn)產(chǎn)品所占的比重分別為60％，25％，15％，次品率分別為3％，5％，8％，求任取一件產(chǎn)品是次品的概率．標準答案：令A1={抽取到甲廠產(chǎn)品}，A2={抽取到乙廠產(chǎn)品}，A3={抽取到丙廠產(chǎn)品}，B={抽取到次品}，P(A1)=0．6，P(A2)=0．25，P(A3)=0．15，P(B｜A1)=0．03，P(B｜A2)=0．05，P(B｜A3=0．08，由全概率公式得P(B)=P(A知識點解析：暫無解析25、現(xiàn)有三個箱子，第一個箱子有4個紅球，3個白球；第二個箱子有3個紅球，3個白球；第三個箱子有3個紅球，5個白球；先取一只箱子，再從中取一只球．(1)求取到白球的概率；(2)若取到紅球，求紅球是從第二個箱子中取出的概率．標準答案：設(shè)Ai={取到的是第i只箱子}(i=1，2，3)，B={取到白球}．(1)P(B)=P(A1)P(B｜A1)+P(A2)P(B｜A2)+P(A3)P(B｜A3)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)X和Y為相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的密度函數(shù)分別為f1(x)，f2(x)，它們的分布函數(shù)分別為F1(x)，F(xiàn)2(x)，則()．A、f1(x)+f2(x)為某一隨機變量的密度函數(shù)B、f1(x)f2(x)為某一隨機變量的密度函數(shù)C、F1(x)+F2(x)為某一隨機變量的分布函數(shù)D、F1(x)F2(x)為某一隨機變量的分布函數(shù)標準答案：D知識點解析：可積函數(shù)f(x)為隨機變量的密度函數(shù)，則f(x)≥0且∫一∞+∞f(x)dx=1，顯然(A)不對，取兩個服從均勻分布的連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)驗證，(B)顯然不對，又函數(shù)F(x)為分布函數(shù)必須滿足：(1)0≤F(x)≤1；(2)F(x)單調(diào)不減；(3)F(x)右連續(xù)；(4)F(一∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1，顯然選擇(D)．2、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)．如果隨機變量X與一X分布函數(shù)相同，則()．A、F(x)=F(一x)B、F(x)=一F(一x)C、f(x)=f(一x)D、f(x)=一f(一x)標準答案：C知識點解析：FX(x)=P(X≤x)=∫一∞+∞f(t)dt，F(xiàn)一X(x)=P(一X≤x)=P(X≥一x)=1一P(X≤一x)=1一∫一∞一xf(t)dt，因為X與一X有相同的分布函數(shù)，所以∫一∞xf(t)dt=一1一∫一∞一xf(t)dt，兩邊求導數(shù)，得f(x)=f(一x)，正確答案為(C)．3、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=(a＞0，A為常數(shù))，則P{a＜X＜a+b)的值()．A、與b無關(guān)，且隨a的增加而增加B、與b無關(guān)，且隨a的增加而減少C、與a無關(guān)，且隨b的增加而增加D、與a無關(guān)，且隨b的增加而減少標準答案：C知識點解析：因為∫一∞+∞f(x)dx=1，所以∫a+∞Ae一xdx=1，解得A=ea．由P(a＜X＜a+b)=∫aa+bf(x)dx=∫aa+beae一xdx=一eaex|∫aa+b=1一eb，得P(a＜X＜a+b)與a無關(guān)，且隨b的增加而增加，正確答案為(C)．4、設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(|X一μ|＜2σ)()．A、與μ及σ2都無關(guān)B、與μ有關(guān)，與σ2無關(guān)C、與μ無關(guān)，與σ2有關(guān)D、與μ及σ2都有關(guān)．標準答案：A知識點解析：因為P(|X一μ|＜2σ)=P(一2σ＜X一μ＜2σ)==Ф(2)一Ф(一2)為常數(shù)，所以應(yīng)該選(A)．5、設(shè)X～N(μ，42)，y～N(μ，52)，令p一P(X≤μ一4)，q一P(Y≥μ+5)，則()．A、p＞qB、p＜qC、p=qD、p，q的大小由μ的取值確定標準答案：C知識點解析：由p=P(X≤μ一4)=P(X一μ≤一4)==Ф(一1)=1一Ф(1)，q=P(Y≥μ+5)=P(Y一μ≥5)==1一Ф(1)，得p=q，選(C)．6、設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，則對任意常數(shù)a，有()．A、F(a+μ)+F(a一μ)=1B、F(μ+a)+F(μ一a)=1C、F(a)+F(一a)=1D、F(a—μ)+F(μ一a)=1標準答案：B知識點解析：因為X～N(μ，σ2)，所以F(a+μ)+F(μ一a)==1，選(B)．7、設(shè)隨機變量X～U[1，7]，則方程x2+2Xx+9=0有實根的概率為()．A、B、C、D、0標準答案：C知識點解析：X～f(x)=方程x2+2Xx+9=0有實根的充要條件為△=4X2一36≥0X2≥9．P(X2≥9)=1一P(X2＜9)=1一P(1＜X＜3)=二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)8、設(shè)隨機變量X的分布律為X～，則c=________．標準答案：知識點解析：由c一c2+c+=1得c=．9、設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，且方程x2+4x+X=0無實根的概率為，則μ=________．標準答案：4知識點解析：因為方程x2+4x+X=0無實根，所以16一4X＜0，即X＞4．由x～N(μ，σ2)且P(x＞4)=，得μ=4．10、設(shè)X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，則P(Y≥1)=________．標準答案：知識點解析：由P(X≥1)==1一P(X=0)=1一(1一p)2得p=P(Y≥1)=1一(1一p)3=1一11、設(shè)X～N(2，σ2)，且P(2≤X≤4)=0．4，則P(X＜0)=________．標準答案：0．1．知識點解析：12、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=0)=P(X一1)，則P(X≥1)=________．標準答案：1一e一2．知識點解析：X的分布律為P(X=k)=(k=0，1，2，…)，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e一2．13、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且E[(X一1)(X+2)]=8，則λ=________．標準答案：知識點解析：由隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，得E(X)=于是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=而E[(X一1)(X+2)]=E(X2)+E(X)一2=一2=8，解得λ=．14、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=，若P{X＞1}=，則a=________．標準答案：2知識點解析：P{X＞1}=∫1af(x)dx=，則a=2．15、一工人同時獨立制造三個零件，第k個零件不合格的概率為(k=1，2，3)，以隨機變量X表示三個零件中不合格的零件個數(shù)，則P(X=2)=________．標準答案：知識點解析：令Ak={第k個零件不合格}(k=1，2，3)，16、設(shè)隨機變量X的分布律為X～，則Y=X2+2的分布律為________．標準答案：知識點解析：Y的可能取值為2，3，6，P(Y=6)=P(X=一2)+P(X=2)=則Y的分布律為17、設(shè)隨機變量X～N(0，1)，且Y=9X2，則Y的密度函數(shù)為________．標準答案：知識點解析：FY(y)=P(Y≤y)=P(9X2≤y)．當y≤0時，F(xiàn)Y(y)=0；當y＞0時，F(xiàn)Y(y)=P(Y≤y)=P(9X2≤y)=所以隨機變量y的密度函數(shù)為fY(y)=18、設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)=，則Y=2X的密度函數(shù)為fY(y)=________．標準答案：知識點解析：19、設(shè)離散型隨機變量X的分布函數(shù)為則Y=X2+1的分布函數(shù)為________．標準答案：知識點解析：X的分布律為Y的可能取值為1，2，10，P(Y=1)=P(X=0)=，P(y=2)=P(X=1)=，P(Y=10)=P(X=3)=，于是Y的分布函數(shù)為三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)10件產(chǎn)品有3件次品，7件正品，每次從中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：20、第三次取得次品；標準答案：設(shè)Ai={第i次取到次品)(i=1，2，3)．P(A3)=知識點解析：暫無解析21、第三次才取得次品；標準答案：(試驗還沒有開始，計算前兩次都取不到次品，且第三次取到次品的概率)．知識點解析：暫無解析22、已知前兩次沒有取到次品，第三次取得次品；標準答案：(已知前兩次已發(fā)生的結(jié)果，唯一不確定的就是第三次)．知識點解析：暫無解析23、不超過三次取到次品．標準答案：P(A1+A2+A3)=1一P(A1+A2+A3)=1一知識點解析：暫無解析24、一批產(chǎn)品有10個正品2個次品，任意抽取兩次，每次取一個，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率．標準答案：令A1={第一次抽取正品}，A2={第一次抽取次品}，B={第二次抽取次品}，P(A1)=，P(A2)=P(B|A1)=，P(B|A2)=，由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=知識點解析：暫無解析25、甲、乙、丙廠生產(chǎn)產(chǎn)品所占的比重分別為60％，25％，15％，次品率分別為3％，5％，8％，求任取一件產(chǎn)品是次品的概率．標準答案：令A1={抽取到甲廠產(chǎn)品}，A2={抽取到乙廠產(chǎn)品}，A3={抽取到丙廠產(chǎn)品}，B={抽取到次品}，P(A1)=0．6，P(A2)=0．25，P(A3)=0．15，P(B|A1)=0．03，P(B|A2)=0．05，P(B|A3)=0．08，由全概率公式得P(B)=P(Ai)P知識點解析：暫無解析26、現(xiàn)有三個箱子，第一個箱子有4個紅球，3個白球；第二個箱子有3個紅球，3個白球；第三個箱子有3個紅球，5個白球；先取一只箱子，再從中取一只球．(1)求取到白球的概率；(2)若取到紅球，求紅球是從第二個箱子中取出的概率．標準答案：設(shè)Ai={取到的是第i只箱子)(i=1，2，3)，B={取到白球}．(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)知識點解析：暫無解析27、設(shè)一汽車沿街道行駛，需要經(jīng)過三個有紅綠燈的路口，每個信號燈顯示是相互獨立的，且紅綠燈顯示時間相等，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個數(shù)，求X的分布．標準答案：Xi=(i=1，2，3)，則X的可能取值為0，1，2，3．P(X=0)=P(X1=1)=，P(X=1)=P(X1=0，X2=1)=P(X=2)=P(X1=0，X2=0，X3=1)=P(X=3)=P(X1=0，X2=0，X3=0)=所以X的分布律為X～知識點解析：暫無解析28、設(shè)袋中有5個球，其中3個新球，2個舊球，從中任取3個球，用X表示3個球中的新球個數(shù)，求X的分布律與分布函數(shù)．標準答案：X的可能取值為1，2，3，所以X的分布律為X～，分布函數(shù)為Fx(x)=知識點解析：暫無解析29、設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=為未知參數(shù)，a＞0為已知參數(shù)，求θ的極大似然估計量．標準答案：L(θ)=f(x1)f(x2)…f(xn)=得參數(shù)θ的極大似然估計量為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，記則服從t(n一1)分布的隨機變量是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：2、設(shè)X～t(n)，則下列結(jié)論正確的是()．A、X2～F(1，n)B、～F(1，n)C、X2～χ2(n)D、X2～χ2(n一1)標準答案：A知識點解析：由X～t(n)，得X=其中U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U，V相互獨立，于是X2=～F(1，n)，選(A)．3、從正態(tài)總體X，N(0，σ2)中抽取簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，則可作為參數(shù)σ2的無偏估計量的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：因為為σ2的無偏估計量，選(A)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)4、設(shè)隨機變量X，Y不相關(guān)，X～U(一3，3)，Y的密度為fY(y)=根據(jù)切比雪夫不等式，有P{|X一Y|＜3)≥________．標準答案：知識點解析：E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)=，則E(X一Y)=0，D(X一Y)=D(X)+D(Y)一2Cov(X9Y)=，所以P{|X一Y|＜3}=P{|(X一Y)一E(X一Y)|＜3}≥1一5、將一均勻的骰子連續(xù)扔六次，所出現(xiàn)的點數(shù)之和為X，用切比雪夫不等式估計P(14＜X＜28)=________．標準答案：知識點解析：設(shè)Xi為第i次的點數(shù)(i=1，2，3，4，5，6)，則X=，其中由切比雪夫不等式，有P(14＜X＜28)=P{|X一E(X)|＜7}≥1一6、設(shè)X1，X2，…，X100相互獨立且在區(qū)間[一1，1]上同服從均勻分布，則由中心極限定理≈________．標準答案：0．8413．知識點解析：7、設(shè)總體X，Y相互獨立且服從N(0，9)分布，(X1，…，X9)與(Y1，…，Y9)分別為來自總體X，Y的簡單隨機樣本，則U=～________．標準答案：知識點解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得(X1+X2+…+X9)～N(0，1)．因為Y1，…，Y9相互獨立且服從N(0，9)分布，所以(Y1/3)2+(Y2/3)2+…+(Y9/3)2～χ2(9)，即(Y12+…+Y92)～χ2(9)．因此U=8、設(shè)總體X～N(0，8)，Y～N(0，22)，且X1及(Y1，Y2)分別為來自上述兩個總體的樣本，則標準答案：知識點解析：9、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本，S2=則D(S2)=________．標準答案：知識點解析：10、設(shè)X～N(1，σ2)，Y～N(2，σ2)為兩個相互獨立的總體，X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn分別為來自兩個總體的簡單樣本，S12=服從________分布．標準答案：知識點解析：11、設(shè)X～N(μ，σ2)，其中σ2已知，μ為未知參數(shù)．從總體X中抽取容量為16的簡單隨機樣本，且μ的置信度為0．95的置信區(qū)間中的最小長度為0．588，則σ2=________．標準答案：0．36．知識點解析：在σ2已知的情況下，μ的置信區(qū)間為σ2=0．36．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立且在[0，a]上服從均勻分布，令U=max{X1，X2，…，Xn}，求U的數(shù)學期望與方差．標準答案：FU(u)=P(U≤u)=P{max(X1,X2,…,Xn)≤u}=P{X1≤u，X2≤u，…，Xn≤u}E(U)=∫一∞+∞ufU(u)du=∫0au×E(U2)=∫一∞+∞u2fU(u)du=∫0au2×于是知識點解析：暫無解析13、電信公司將n個人的電話資費單寄給n個人，但信封上各收信人的地址隨機填寫，用隨機變量X表示收到自己電話資費單的人的個數(shù)，求E(X)及D(X)．標準答案：令Ai=(第i個人收到自己的電話資費單}，i=1，2，…，n，Xi=i=1，2，…，n，則X=X1+X2+…+Xn．當i≠j時，P(Xi=1，Xj=1)=P(AiAj)=P(Ai)P(Aj|Ai)=知識點解析：暫無解析14、設(shè)X，Y為隨機變量，且E(x)=1，E(Y)=2，D(x)=4，D(y)=9，ρXY=，用切比雪夫不等式估計P{|X+Y一3|≥10)．標準答案：令U=X+Y，則E(U)=E(X)+E(Y)=3，D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2××2×3=7，于是P{|X+Y一3|≥10}=P{|U一E(U)|≥10}≤知識點解析：暫無解析15、一電路使用某種電阻一只，另外35只備用，若一只損壞，立即使用另一只更換，直到用完所有備用電阻為止，設(shè)電阻使用壽命服從參數(shù)為λ=0．01的指數(shù)分布，用X表示36只電阻的使用總壽命，用中心極限定理估計P(X＞4200)(Ф(1)=0．8413，Ф(2)=0．9772)．標準答案：設(shè)第i只電阻使用壽命為Xi，則Xj～E(0．01)，E(Xi)=100．D(Xi)=1002(i=1，2，…，36)．P(X＞4200)=1一P(X≤4200)=1一≈1一Ф(1)=0．1587．知識點解析：暫無解析16、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，已知E(Xk)=αk(k=1，2，3，4)．證明：當n充分大時，隨機變量Zn=；近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)．標準答案：因為X1，X2，…，Xn獨立同分布，所以X12，X22，…，Xn2也獨立同分布且E(Xi2)=α2，D(Xi2)=α4一α22，當n充分大時，由中心極限定理得近似服從標準正態(tài)分布，故Zn近似服從正態(tài)分布，兩個參數(shù)為μ=α2，σ2=知識點解析：暫無解析17、電話公司有300臺分機，每臺分機有6％的時間處于與外線通話狀態(tài)，設(shè)每臺分機是否處于通話狀態(tài)相互獨立，用中心極限定理估計至少安裝多少條外線才能保證每臺分機使用外線不必等候的概率不低于0．95?標準答案：令Xi=令X表示需要使用外線的分機數(shù)，則X=E(X)=300×0．06=18，D(X)=300×0．0564=16．92．設(shè)至少需要安裝n條外線，由題意及中心極限定理得解得≥1．645，n≥24．8，所以至少要安裝25條外線才能保證每臺分機需要使用外線時不需要等待的概率不低于0．95．知識點解析：暫無解析18、設(shè)X1，…，X9為來自正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，令證明：Z～f(2)．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)總體X～N(0，1)，(X1，X2，…，Xm，Xm+1，…，Xm+n)為來自總體X的簡單隨機樣本，求統(tǒng)計量所服從的分布．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，S2=所服從的分布．標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞2)是來自總體X～N(0，1)的簡單隨機樣本，記Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求：21、D(Yi)；標準答案：知識點解析：暫無解析22、Cov(Y1，Yn)．標準答案：因為X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨立，知識點解析：暫無解析23、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本，令，求E(X1T)．標準答案：因為X1，X2，…，Xn獨立同分布，所以有E(X1T)=E(X2T)=…=E(XnT)知識點解析：暫無解析24、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，令|Xi一μ|，求Y的數(shù)學期望與方差．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)．從該總體中抽取簡單隨機樣本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令求統(tǒng)計量的數(shù)學期望．標準答案：令Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，…，n)，則Y1，Y2，…，Yn為正態(tài)總體N(2μ，2σ2)的簡單隨機樣本，(n一1)S2，其中S2為樣本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以統(tǒng)計量U=的數(shù)學期望為E(U)=E[(n一1)S2]一2(n一1)σ2．知識點解析：暫無解析26、設(shè)總體X～N(μ，σ12)，y～N(μ，σ22)，且X，Y相互獨立，來自總體X，Y的樣本均值為樣本方差為S12，S22，記的數(shù)學期望．標準答案：由，S12，S22相互獨立，可知a，b與相互獨立，顯然a+b=1．=E(U)=μ[E(a)+E(b)]=μE(a+b)=μE(1)=μ．知識點解析：暫無解析27、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn+1為總體X的簡單隨機樣本，記服從的分布．標準答案：因為Xn+1～N(μ，σ2)，且它們相互獨立，相互獨立，所以由t分布的定義，有知識點解析：暫無解析28、設(shè)總體X的概率分布為是未知參數(shù)．用樣本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估計值和最大似然估計值．標準答案：E(X)=0×θ2+1×2θ(1一θ)+2×θ2+3×(1一2θ)=3一4θ，(3+1+3+0+3+1+2+3)=2，令E(X)=得參數(shù)θ的矩估計值為L(θ)=θ2×[2θ(1一θ)]2×θ2×(1一2θ)4=4θ6(1一θ)2(1=2θ)4，LnL(θ)=1n4+6lnθ+21n(1一θ)+4ln(1一2θ)，令得參數(shù)θ的最大似然估計值為知識點解析：暫無解析29、設(shè)總體X～F(x，θ)=樣本值為1，1，3，2，1，2，3，3，求θ的矩估計和最大似然估計．標準答案：(1)X為離散型隨機變量，其分布律為，E(X)=3一3θ．=2，令3一3θ=2得θ的矩估計值為(2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；θ)=P(X=1)P(X=1)…P(X=3)=θ2×θ2×(1一2θ)3，lnL(θ)=5lnθ+3ln(1一2θ)，令得θ的最大似然估計值為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率統(tǒng)計）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)X為隨機變量，E(X)=μ，D(X)=σ2，則對任意常數(shù)C有()．A、EE(X—C)]2=E(X一μ)]2B、E[(X—C)]2≥[E(X一μ)]2C、EE(X—C)]2=E(X2)一C2D、EE(X—C)2]＜E[(X—μ)2]標準答案：B知識點解析：E[(X—C)2]一E[(X一μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)EE(X)一X]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0，選B．2、設(shè)X，Y為兩個隨機變量，若E(XY)=E(X)E(Y)，則()．A、D(XY)=D(X)D(Y)B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)C、X，Y獨立D、X，Y不獨立標準答案：B知識點解析：因為E(XY)=E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)=0，又D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)，選B．3、設(shè)X，Y為兩個隨機變量，若對任意非零常數(shù)a，b有D(aX+6Y)=D(aX—bY)，下列結(jié)論正確的是()．A、D(XY)=D(X)D(Y)B、X，Y不相關(guān)C、X，Y獨立D、X，Y不獨立標準答案：B知識點解析：D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(y)+2abCov(X，Y)，D(aX一bY)=a2D(X)+b2D(Y)一2abCoy(X，Y)，因為D(aX+by)=D(aX—bY)，所以Cov(X，Y)=0，即X，Y不相關(guān)，選B．4、設(shè)X，Y為隨機變量，若E(XY)=E(X)E(Y)，則()．A、X，Y獨立B、X，Y不獨立C、X，Y相關(guān)D、X，Y不相關(guān)標準答案：D知識點解析：因為Cov(X，Y)=E(XY)—E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，則有Cov(X，Y)=0，于是X，Y不相關(guān)，選D．5、若E(XY)=E(X)E(Y)，則()．A、X和Y相互獨立B、X2與Y2相互獨立C、D(XY)=D(X)D(Y)tD、D(X+Y)=D(X)+D(Y)標準答案：D知識點解析：因為E(XY)=E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0，而D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正確答案為(D)6、設(shè)隨機變量X～U[0，2]，Y=X2，則X，Y()．A、相關(guān)且相互獨立B、不相互獨立但不相關(guān)C、不相關(guān)且相互獨立D、相關(guān)但不相互獨立．標準答案：D知識點解析：因為E(XY)≠E(X)E(Y)，所以X，Y一定相關(guān)，故X，Y不獨立，選D．二、填空題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)7、隨機變量X的密度函數(shù)為，則D(X)=________．標準答案：知識點解析：8、從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，且遇到紅燈的概率為．設(shè)X表示途中遇到紅燈的次數(shù)，則E(x)=________．標準答案：知識點解析：顯然9、設(shè)隨機變量X～B(n，p)，且E(X)=5，E(X2)=，則n=__________，p=__________．標準答案：15；知識點解析：因為E(X)=np，D(X)=np(1一p)，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1一p)+n2p2，所以np=5，np(1一p)+n2p2=．10、隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=ke—｜x｜(一∞＜x＜+∞)，則E(X2)=__________．標準答案：2知識點解析：11、設(shè)X表示12次獨立重復射擊擊中目標的次數(shù)，每次擊中目標的概率為0．5，則E(X2)=__________。標準答案：39知識點解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．12、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則=__________．標準答案：e—1知識點解析：13、設(shè)隨機變量X在[一1，2]上服從均勻分布，隨機變量，則D(Y)=__________。標準答案：知識點解析：14、設(shè)隨機變量X1，X2，X3相互獨立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，記Y=X1—2X2+3X3，則D(y)=________．標準答案：46知識點解析：由D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3得D(Y)=D(X1—2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46．15、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，令Y=4X一3，則E(Y)=________，D(Y)=__________。標準答案：32知識點解析：因為X～P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(y)=4E(X)一3=5，D(Y)=16D(X)=32．16、若隨機變量X～N(2，σ2)，且P(2＜X＜4)=0．3，則P(X<0)=_________．標準答案：0.2知識點解析：17、設(shè)隨機變量X，Y，Z相互獨立，且X～U[一1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)，且隨機變量U=X+2Y一3Z+2，則D(U)=________．標準答案：知識點解析：18、設(shè)常數(shù)a∈[0，1]，隨機變量X～U[0，1]，Y=｜X—a｜，則E(XY)=__________．標準答案：知識點解析：E(XY)=E[X｜X一a｜]=∫01x｜x一a｜f(x)dx=∫01x｜x一a｜dx=19、設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，則ρUV=__________。標準答案：知識點解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)一4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)由X，Y獨立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以20、設(shè)X，Y為兩個隨機變量，且D(X)=9，Y=2X+3，則X，Y的相關(guān)系數(shù)為_______．標準答案：1知識點解析：D(Y)=4D(X)=36，Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3)因為Cov(X，3)=E(3X)一E(3)E(X)=3E(X)一3E(X)=0，所以Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是21、設(shè)x，y為兩個隨機變量，D(X)=4，D(Y)=9，相關(guān)系數(shù)為，則D(3X一2Y)=__________。標準答案：36知識點解析：Cov(X，y)=D(3X一2y)=9D(X)+4D(y)一12Cov(X，Y)=3622、設(shè)x，y為兩個隨機變量，E(x)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且ρXY=一，則E(X一2Y+3)2=________．標準答案：25知識點解析：E(X一2Y+3)=E(X)一2E(Y)+3=2，D(X一2Y+3)=D(X一2Y)=D(X)+4D(Y)一4Coy(X，Y)，由Cov(X，Y)==一2，得D(X一2Y+3)=D(X)+4D(Y)一4Cov(X，Y)=9+4+8=21，于是E(X一2Y+3)2=D(X一2Y+3)+[E(X一2Y+3)]2=21+4=25．23、設(shè)X，Y相互獨立且都服從標準正態(tài)分布，則E｜X—y｜=__________，D｜X—Y｜=__________．標準答案：知識點解析：24、設(shè)D(X)=1，D(Y)=9，ρXY=一0．3，則Cov(X，Y)=__________．標準答案：—0.9知識點解析：Cov(X，Y)==0：3×1×3=一0．9三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)25、一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率分別為0．1，0．2，0．3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，求E(X)，D(X)．標準答案：令Aii={第i個部件需要調(diào)整}(i=1，2，3)，X的可能取值為0，1，2，3，E(X)=1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，D(X)=E(X2)一[E(x)]2=12×0．398+22×0．092+32×0．006—0．36=0．46知識點解析：暫無解析26、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，對X獨立地重復觀察4次，用Y表示觀察值大于3的次數(shù)，求E(Y2)．標準答案：顯然Y～B(4，p)，其中p=P(X＞3)=1—P(X≤3)，從而P=1一FX(3)=e—1．由E(Y)=4e—1，D(Y)=4e—1(1一e—1)，得E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=4e—1一4e—2+16e—2=4e—1+12e—2知識點解析：暫無解析27、設(shè)隨機變量X，Y同分布，X的密度為標準答案：(1)因為P(A)=P(B)且P(AB)=P(A)P(B)，所以令P(A)=p，知識點解析：暫無解析28、某流水線上產(chǎn)品不合格的概率為p=，各產(chǎn)品合格與否相互獨立，當檢測到不合格產(chǎn)品時即停機檢查．設(shè)從開始生產(chǎn)到停機檢查生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為X，求E(X)及D(X)．標準答案：X的分布律為P(X=k)=(1一p)k—1p(X=1，2，…)．知識點解析：暫無解析29、設(shè)試驗成功的概率為，獨立重復試驗直到成功兩次為止．求試驗次數(shù)的數(shù)學期望．標準答案：設(shè)試驗的次數(shù)為X，則X的分布律為知識點解析：暫無解析30、游客乘電梯從底層到頂層觀光，電梯于每個整點的5分、25分、55分從底層上行，設(shè)一游客早上8點X分到達底層，且X在[0，60]上服從均勻分布，求游客等待時間的數(shù)學期望．標準答案：知識點解析：暫無解析31、標準答案：Y～B(4，p)，其中p=，E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=5．知識點解析：暫無解析32、設(shè)某種零件的長度L～N(18，4)，從一大批這種零件中隨機取出10件，求這10件中長度在16～22之間的零件數(shù)X的概率分布、數(shù)學期望和方差．標準答案：因此E(X)=np=10×0．8185=8．185，D(X)=npq=10×0．8185×(1—0．8185)=1．4856．知識點解析：暫無解析33、一民航班車上有20名旅客，自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車次數(shù)，求E(X)(設(shè)每位旅客下車是等可能的)．標準答案：令Xi=(i=1，2，…，10)，顯然X=X1+X2+""+X10．因為任一旅客在第i個站不下車的概率為0．9，所以20位旅客都不在第i個站下車的概率為0．920，從而第i個站有人下車的概率為1—0．920，即Xi的分布律為知識點解析：暫無解析3