考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷3（共167題）

考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷3（共5套）（共167題）考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)當(dāng)x→0時，(x-sinx)ln(1+x)是比高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時，2、當(dāng)x→1時，f(x)=的極限為()．A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：顯然不存在但不是∞，選(D)．3、設(shè)f(x)=，則f(x)()．A、無間斷點(diǎn)B、有間斷點(diǎn)x=1C、有間斷點(diǎn)x=-1D、有間斷點(diǎn)x=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)｜x｜＜1時，f(x)=1+x；當(dāng)｜x｜＞1時，f(x)=0；當(dāng)x=-1時，f(x)=0；當(dāng)x=1時，f(x)=1．于是f(x)=顯然x=1為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，選(B)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、當(dāng)x→0時，，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、=______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：方法一注意到，由洛必達(dá)法則得6、設(shè)=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由ln(1+x)=9、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時，10、設(shè)f(x)可導(dǎo)且在x=0處連續(xù)，則a=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：由因為g(x)在x=0處連續(xù)，所以a=3．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)0＜a＜b＜c，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由cn≤an+bn+cn≤3cn得知識點(diǎn)解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：因為知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：x→0時由1-cosax～知識點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：因為x→0+時，知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx，由微分中值定理得知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求常數(shù)m，n，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：由得m+2=6，解得m=4，n=-5．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[0，1]時，由≤sinnx≤xn，知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求f(x)=的間斷點(diǎn)并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=-1、x=0、x=1、x=2為f(x)的間斷點(diǎn)，由得x=-1為第二類間斷點(diǎn)，由得x=0為可去間斷點(diǎn)，由得x=1為第二類間斷點(diǎn)，由f(2+0)==+∞得x=2為第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)則()A、f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，在點(diǎn)x=一1處間斷。B、f(x)在點(diǎn)x=1處間斷，在點(diǎn)x=一1處連續(xù)。C、f(x)在點(diǎn)x=1，x=一1處均連續(xù)。D、f(x)在點(diǎn)x=1，x=一1處均間斷。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由函數(shù)連續(xù)定義可知，所以f(x)在x=1處間斷。所以f(x)在x=一1處連續(xù)，故選B。2、函數(shù)，在[一π，π]上的第一類間斷點(diǎn)是x=()A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：可以先找出函數(shù)的無定義點(diǎn)，再根據(jù)左、右極限判斷間斷點(diǎn)的類型。顯然函數(shù)在x=0，均無意義，而故x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選A。3、設(shè)函數(shù)則f(x)有()A、1個可去間斷點(diǎn)，1個跳躍間斷點(diǎn)。B、1個可去間斷點(diǎn)，1個無窮間斷點(diǎn)。C、2個跳躍間斷點(diǎn)。D、2個無窮間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：x=0，x=1時,f(x)均無定義，所以x=0，x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)。并且根據(jù)可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)的定義可知，x=0是可去間斷點(diǎn)，x=1是跳躍間斷點(diǎn)。因此選A。4、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn)。B、x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)。C、x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn)。D、g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因為又g(0)=0，所以當(dāng)a=0時，有也就是說，此時g(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)；當(dāng)a≠0時，，即此時x=0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)。因此，g(x)在x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選D。5、函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)的個數(shù)是()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因此x=0為第一類(跳躍)間斷點(diǎn)。因此x=1為可去間斷點(diǎn)。，所以x=一1是無窮間斷點(diǎn)。所以正確選項為B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、若在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因為f(x)在(一∞，0)及(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以需要確定參數(shù)a，使f(x)在x=0處連續(xù)。當(dāng)時f(x)在x=0處連續(xù)，所以a=0時f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)。7、設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則a=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：已知f(x)在x=0處連續(xù)，則8、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則A=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令函數(shù)其中g(shù)(x)，h(x)分別在[a，x0]，(x0，b]上是初等函數(shù)，因此連續(xù)，且f(x)在x0連續(xù)。所以g(x0)=h(x0)。對任意常數(shù)A，顯然x≠1時f(x)連續(xù)。當(dāng)且僅當(dāng)時,f(x)在x=1連續(xù)。因此，當(dāng)ln2時,f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)。9、設(shè)函數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則C=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：由題設(shè)知，c≥|x|≥0，所以又f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則f(x)必在x=c處連續(xù)，所以有即得c=1。10、已知函數(shù)f(x)連續(xù)，且則f(0)=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因此f(0)=2。11、設(shè)則f(x)的間斷點(diǎn)為x=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：首先對于不同的x，用求極限的方法得出f(x)的表達(dá)式，再討論f(x)的間斷點(diǎn)。當(dāng)x=0時f(x)=0；當(dāng)x≠0時，所以f(x)的表達(dá)式為由于所以x=0為f(x)的間斷點(diǎn)。三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)12、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因為且arcsinx一x。故知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開式和洛必達(dá)法則可知，知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開式及常見的等價無窮小代換，得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開式可知知識點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)17、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：即a=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析18、若x→0時,f(x)一a與xk是同階無窮小，求常數(shù)k的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時，又因為當(dāng)x→0時，是等價無窮小，故由題設(shè)，x→0時f(x)一a與xk是同階無窮小，所以k=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求極限100標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開式可得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由洛必達(dá)法則可知知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因為且所以由夾逼準(zhǔn)則可知(Ⅱ)因為(Ⅲ)因為(Ⅳ)利用定積分的定義可得(V)利用定積分的定義可得(Ⅵ)利用定積分的定義可得知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。29、證明存在，并求該極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π。由數(shù)學(xué)歸納法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即數(shù)列{xn}有界。于是(因當(dāng)x＞0時，sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在。設(shè)在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即知識點(diǎn)解析：暫無解析30、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：因由(I)知該極限為1∞型。令t=xn，則n→∞，t→0，而知識點(diǎn)解析：暫無解析31、證明方程xn+xn-1+…+x=1(n為大于1的整數(shù))在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實(shí)根；標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，令f(x)=xn+xn-1+…+x一1，則f(1)＞0，又結(jié)合零點(diǎn)定理可得,f(x)=xn+xn-1+…+x一1在內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)，即方程xn+xn+1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)至少有一個實(shí)根。又因為f(x)=xn+xn-1+…+x一1在上是單調(diào)的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x一1在內(nèi)最多只有一個零點(diǎn)。綜上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實(shí)根。知識點(diǎn)解析：暫無解析32、記方程xn+xn-1+…+x=1(n為大于1的整數(shù))中的實(shí)根為xn，證明存在，并求此極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)f(xn)=0，可知xnn+xnn-1+…+xn一1=0，進(jìn)而有xn+1n+1+xn+1n+…+xn+1一1=0，所以xn+1n+xn+1n-1+…+xn+1—1＜0，比較上面兩個式子可知xn+1＜xn故{xn}單調(diào)遞減。又由(I)知，也即{xn}是有界的。則由單調(diào)有界收斂定理可知{xn}收斂，假設(shè)可知a＜x2＜x1=1。當(dāng)n→∞時，解得知識點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)函數(shù)數(shù)列{xn}滿足，證明存在，并求此極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則x＜1。于是f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以x=1是f(x)唯一的最小值點(diǎn)，且f(x)≥f(1)=1，從而有，再結(jié)合題目中的條件有所以xn＜xn+1，且0＜xn＜e，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞增且有界。由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知，極限存在。令由前面討論出的函數(shù)f(x)的性質(zhì)可知知識點(diǎn)解析：暫無解析34、求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)只有x=0和x=1兩個。因為所以x=0為可去間斷點(diǎn)，x=1為跳躍間斷點(diǎn)。知識點(diǎn)解析：暫無解析35、求函數(shù)所有的間斷點(diǎn)及其類型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)有間斷點(diǎn)x=0，x=1，x=一1，且所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)，x=1為可去間斷點(diǎn)，x=一1為無窮間斷點(diǎn)。知識點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且f(0)=f(1)，證明至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，1]，使得f(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：本題可以轉(zhuǎn)化為證明在區(qū)間[0，1]上存在零點(diǎn)，因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以上連續(xù)。F(x)在上存在零點(diǎn)的情況可轉(zhuǎn)化為函數(shù)F(x)在上存在兩個點(diǎn)的函數(shù)值是異號。于是中或全為0，或者至少有兩個值是異號的，因此由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理，存在ξ屬于，使得F(ξ)=0，即知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)當(dāng)x→x0時，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是無窮小，則當(dāng)x→x0時，下列表達(dá)式中不一定為無窮小的是()A、B、α2(x)+β2(x)．cosC、ln[1+α(x)．β2(x)]D、｜α(x)｜+｜β(x)｜標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：有限個無窮小的和、差、積、絕對值還是無窮小量．2、設(shè)當(dāng)x→0時，etanx一ex與xn是同階無窮小，則n為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：3、當(dāng)x→0時，f(x)=x—sinax與g(x)=x2ln(1一bx)是等價無窮小，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：4、設(shè)當(dāng)x→0時，f(x)=ax3+bx與g(x)=∫0sinx(一1)dx等價，則()A、a=，b=1B、a=3，b=0C、a=，b=0D、a=1，b=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：5、設(shè)當(dāng)x→0時，f(x)=ln(1+x∫)一ln(1+sin∫x)是x的n階無窮小，則正整數(shù)n等于A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因為因此n=4．6、若f(x)==0，則()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：分母不為零，故λ≤0；又f(x)=0，故k＞0．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e6知識點(diǎn)解析：8、極限=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：9、若當(dāng)x→0時，有，則a=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時，故a=一3．10、當(dāng)x→0時，若有l(wèi)n(cos)～Axk，則A=_____________，k=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一；2知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)11、求極限：．標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求極限：，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求極限：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求極限：，a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)是三次多項式，且有．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為=1(a≠0)，所以f(2a)=f(4a)=0，從而得知x一2a，x一4a為f(x)的因式，又因為f(x)為三次多項式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x一c)．于是知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)(cosx一b)=5，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以b=一4．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)=10，試求α，β的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、確定常數(shù)a和b的值，使=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)=(x＞0)，證明：存在常數(shù)A，B，使得當(dāng)x→0+時，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+0(x2)，并求常數(shù)A，B．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、已知D≠0．求常數(shù)A，B，C，D．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、已知數(shù)列{xn}的通項xn=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)a1=2，an+1=存在并求其極限值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)a1=1，當(dāng)n≥1時，an+1=，證明：數(shù)列{an}收斂，并求其極限值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=＞0，f(x)在[0，+∞)上單調(diào)增加．由a1=1＞0，可得a2=＞0．故a1＞a2＞0，又由于函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)增加，所以有f(a1)＞f(a2)＞f(0)=0．再根據(jù)遞歸定義式an+1=f(an)，可得a2＞a3＞0．類似地可以繼續(xù)得到：a1＞a2＞a3＞a4＞…＞an＞an+1＞…＞0，于是可知數(shù)列{an}單調(diào)減少且有下界0，所以數(shù)列{an}收斂．設(shè)其極限為A(A≥0)，即=A．在an+1=f(an)兩邊同取n→∞時的極限，根據(jù)函數(shù)f(x)的連續(xù)性，有A=f(A)，即A=．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)a1=0，當(dāng)n≥1時，an+1=2一cosan，證明：數(shù)列{an}收斂，并證明其極限值位于區(qū)間(，3)內(nèi)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=2一cosx，則an+1=f(an)，有f’(x)=sinx，所以f(x)在[0，3]上單增．由于a1=0，a2=2一cosa1=1，即a1＜a2≤3，由于函數(shù)f(x)在[0，3]上單調(diào)增加，所以f(a1)＜f(a2)≤f(3)，即a2＜a3≤3，從而有a1＜a2＜a3＜a4＜…＜an＜an+1＜…≤3．于是可知數(shù)列{an}單調(diào)增加且有上界3，所以數(shù)列{an}收斂．設(shè)其極限為A(A≤3)，即=A．在an+1=f(an)兩邊同取n→∞時的極限，有A=f(A)，即A=2一cosA．記g(x)=x一2+cosx，則上述數(shù)列的極限值A(chǔ)，就是方程g(x)=0的解．由于函數(shù)g(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且有g(shù)’(x)=1一sinx≥0，所以函數(shù)g(x)在[0，3]上單調(diào)增加．由于g(3)=1+cos3＞0，，所以方程g(x)=0在區(qū)間(，3)內(nèi)的解存在且唯一，證畢．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)a1=1，當(dāng)n≥1時，an+1=，證明：數(shù)列{an}收斂，并求其極限值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=＜0，所以f(x)在[0，+∞)上單調(diào)減少．由于a1=1，a2=，可知a1＞a3＞a2，而f(x)在[0，+∞)上單調(diào)減少，所以有f(a1)＜f(a3)＜f(a2)，即a2＜a4＜a3，所以a1＞a3＞a4＞a2，遞推下去就可以得到a1＞a3＞a5＞…＞a2n一1＞…＞a2n＞…＞a6＞a4＞a2．由此可以肯定，給定數(shù)列的奇數(shù)項子數(shù)列{a2n一1}單調(diào)減少且有下界a2=，偶數(shù)項子數(shù)列{a2n}單調(diào)增加且有上界a1=1，所以他們都收斂．設(shè)他們的極限分別為正數(shù)P和Q，即=Q．在an+1=f(an)兩邊同取n→∞時的極限，根據(jù)函數(shù)f(x)的連續(xù)性，有知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)x1=1，xn+1=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析31、如果數(shù)列{xn}收斂，{yn}發(fā)散，那么{xnyn}是否一定發(fā)散?如果{xn}和{yn}都發(fā)散，那么{xnyn}的斂散性又將如何?標(biāo)準(zhǔn)答案：在題設(shè)兩種情況下，{xnyn}的收斂性都不能確定．現(xiàn)在先就{xn}收斂，{yn}發(fā)散的情況來分析．利用yn=(xn≠0)這個恒等式，就可得到下述結(jié)論：若{xn}收斂且不收斂于零，{yn}發(fā)散，則{xnyn}必發(fā)散．這是因為若{xnyn}收斂，且{xn}收斂而極限不等于零，則從上述恒等式及極限相除法則，可知{yn}收斂，這與假設(shè)矛盾．若=0，且{yn}發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如：①xn=，yn=n，則xnyn=1，于是{xnyn}收斂．②xn=，yn=(一1)nn，則xnyn=(一1)n，于是(xnyn}發(fā)散．現(xiàn)在再就{xn}和{yn}都發(fā)散的情況來分析{xnyn}的收斂性．有下面的結(jié)論：若{xn}和{yn}都發(fā)散，且兩者至少有一個是無窮大，則{xnyn}必發(fā)散．這是因為如果{xnyn}收斂，而{xn}為無窮大，從等式y(tǒng)n=便得到{yn}收斂于零，這與假設(shè)矛盾．若{xn}和{yn}都不是無窮大，且都發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如：③xn=yn=(一1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收斂．④xn=(一1)n，yn=(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn}發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、當(dāng)x→0時，x-sinx是x2的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因為所以x-sinx為x2的高階無窮小，應(yīng)選(B)．2、設(shè)y=f(x)由cos(xy)+lny-x=1確定，則=()．A、2B、1C、-1D、-2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：將x=0代人得y=1，cos(xy)+lny-x=1兩邊對x求導(dǎo)得將x=0，y=1代入得=1，即f’(0)=1，于是=2f’(0)=2，應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x)=ax(a＞0，a≠1)，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：f(1)f(2)…f(n)=a1+2+…+n=5、若a＞0，，則a=________標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識點(diǎn)解析：6、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：2ln2-1．知識點(diǎn)解析：8、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)f(x)=，則f(x)的間斷點(diǎn)為x=________標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：當(dāng)x≠0時，f(x)=當(dāng)x=0時，f(0)-0，即f(x)=因為，所以x=0為f(x)的間斷點(diǎn)，且為第二類間斷點(diǎn)．10、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，則A=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)11、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=0，f’(0)=2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)F(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求f(0)及f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)可導(dǎo)，且，求f’’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，且f(x0)≠0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)=，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=，則f’(x)=(1+2x)e2x．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)=存在，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0-0)=f(0+0)=因為存在，所以f(0-0)=f(0+0)，故a=知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0-0)==-1因為f(0-0)≠f(0+0)，所以不存在．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x)=，求f(x)的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-∞，1)∪(1，+∞)．因為=+∞，所以x=1為f(x)的第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、求函數(shù)y=的間斷點(diǎn)，并進(jìn)行分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0，x=1及x=2為函數(shù)的間斷點(diǎn)．由得x=0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)；由=0得x=1為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)；由=∞得x=2為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)f(x)在(0，1)內(nèi)有定義，且exf(x)與e-f(x)在(0，1)內(nèi)都是單調(diào)增函數(shù)，證明：f(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的c∈(0，1)，當(dāng)x＜c時，由exf(x)≤ecf(c)及e-f(x)≤e-f(c)得f(c)≤f(x)≤ec-xf(c)，令x→c-得f(c-0)=f(c)；當(dāng)x＞c時，由exf(x)≥ecf(c)及e-f(c)≥e-f(c)得f(c)≥f(x)≥ec-xf(x)，令x→c+得f(c+0)=f(c)，因為f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c處連續(xù)，由c的任意性得f(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)f(x)=，若F(x)=f(x)+g(x)在R上連續(xù)，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(-1)=f(-1)+g(-1)=1-1=0，F(xiàn)(-1-0)=f(-1-0)+g(-1-0)=a-1，F(xiàn)(-1+0)=f(-1+0)+g(-1+0)=1-1=0，由F(x)在x=-1處連續(xù)，所以a=1；F(1)=f(1)+g(1)=-1+b，F(xiàn)(1-0)=f(1-0)+g(1-0)=-1+1=0，F(xiàn)(1+0)=f(1+0)+g(1+0)=-1+b，由F(x)在x=1處連續(xù)得b=1，故a=1，b=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)1、設(shè)當(dāng)x→0時，(1一cosx)In(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是tt(ex2一1)高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因當(dāng)x→0時，而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxu高階的無窮小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2一1)高階的無窮小，知n+1＞2，即n＞1．因此正整數(shù)n=2，故選B．2、設(shè)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，且在x0一空心鄰域中有f(x)＞0，則()A、f(x0)＞0．B、f(x0)≥0．C、f(x0)＜0．D、f(x0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由f(x)在x0連續(xù)，有，又因在x0的一空心鄰域中有f(x)＞0，由極限的保號性性質(zhì)有f(x0)≥0，故選B．3、把x→0+時的無窮小量排列起來，使排在后面的是前面一個的高階無窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γ．B、α，γ，β．C、β，α，γ．D、β，γ，α．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因為所以當(dāng)x→0+時，α是x的一階無窮小，β是x的三階無窮小，γ是x的二階無窮小，故選B．4、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型是()A、x=1為第一類間斷點(diǎn)，x=一1為第二類間斷點(diǎn)．B、x=±1均為第一類間斷點(diǎn)．C、x=1為第二類間斷點(diǎn)，x=一1為第一類間斷點(diǎn)．D、x=±1均為第二類間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：分別就｜x｜=1，｜z｜＜1，｜x｜＞1時求極限得出f(x)的分段表達(dá)式：5、設(shè)則()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：用推演法．將題設(shè)條件f(x)中的所有自變量z都用(一x)替換，得故選D．6、設(shè)f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點(diǎn)，則下列陳述中正確的個數(shù)是()①φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)．②[φ(x)]2必有間斷點(diǎn)．③[φ(x)]沒有間斷點(diǎn)．A、0B、1．C、2D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：①錯誤．舉例如下：設(shè)．則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)．②錯誤．舉例如下：設(shè)則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)．③正確，因為f(x)在R上連續(xù)，而φ(x)的取值必定在R上．因此正確的只有③，選B．7、設(shè)對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且則()A、存在且等于零．B、存在但不一定為零．C、一定不存在．D、不一定存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，顯然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但不存在，故A、B排除．再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同樣有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但可見C不正確，故選D．8、設(shè)f(x)=2x+3x一2，則當(dāng)x→0時()A、f(x)是x等價無窮?。瓸、f(x)與x是同階，但非等價無窮?。瓹、f(x)是比x高階的無窮?。瓺、f(x)是比x低階的無窮小．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則求解．因故選B．9、設(shè)，其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4d．B、b=一4d．C、a=4c．D、a=一4c．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時，由皮亞諾型余項的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均為x的一階無窮??；而1一cosx，1一e-π2均為x的二階無窮小，因此有10、當(dāng)x→0時，ex一(ax2+bx+1)是x2高階的無窮小，則()A、．B、a=1，b=1．C、．D、a=一1，b=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：顯然要使上式為x2高階的無窮小(x→0時)，只要故選A．11、設(shè)函數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且則常數(shù)a，b滿足()A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因f(x)連續(xù)，所以a+ebx≠0，因此只要a≥0即可．再由可知x→一∞時，a+ebx必為無窮大(否則極限必不存在)，此時需b＜0，故選D．12、設(shè)函數(shù)，則()A、x=0，x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)．B、x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)．C、x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)．D、x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：顯然函數(shù)f(x)在x=0，x=1兩個點(diǎn)處無定義，因此這兩個點(diǎn)均為間斷點(diǎn)．因，所以x=0為第二類間斷點(diǎn)；因為，所以x=1為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選D．13、當(dāng)x→0+時，與等價的無窮小量是()A、．B、．C、．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題主要考查的內(nèi)容是等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可．當(dāng)x→0+時，有下列幾個等價無窮小成立：故用排除法可得正確選項為B．本題亦可以利用另外的方法來解答或者直接分解所以應(yīng)選B．14、函數(shù)在[一π，π]上的第一類間斷點(diǎn)是x=()A、0．B、1．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：可以先找出函數(shù)的無定義點(diǎn)，再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型．顯然函數(shù)在x=0，x=1，均無意義，而故x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選A．15、設(shè)函數(shù)則f(x)有()A、1個可去間斷點(diǎn)，1個跳躍間斷點(diǎn)．B、1個可去間斷點(diǎn)，1個無窮間斷點(diǎn)．C、2個跳躍間斷點(diǎn)．D、2個無窮間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：x=0，x=1時f(x)均無定義，所以x=0，x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)．并且根據(jù)可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)的定義可知，x=0是可去間斷點(diǎn)，x=1是跳躍間斷點(diǎn)．因此選A．16、當(dāng)x→0時f(x)=x一sinax與g(x)=x2ln(1一bx)是等價無窮小，則()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題可以利用排除法解答，由于ln(1一bx)與一bx為等價無窮小，則所以本題選A．17、已知當(dāng)x→0時，函數(shù)f(x)=3sinx—sin3x與cxk是等價無窮小，則()A、k=1，c=4．B、k=1，c=一4．C、k=3，c=4．D、k=3，c=一4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：根據(jù)題意且由泰勒公式和洛必達(dá)法則有由此可得k=3，c=4，故選C．18、函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)的個數(shù)是()A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：所以正確選項為B．19、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點(diǎn)，則∫02f(t)dt是()A、連續(xù)的奇函數(shù)．B、連續(xù)的偶函數(shù)．C、在x=0間斷的奇函數(shù)．D、在x=0間斷的偶函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題可采用賦值法進(jìn)行求解，取符合題意條件的特殊函數(shù)計算它是連續(xù)的偶函數(shù)，故選B．20、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是()A、若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂．B、若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂．C、若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂．D、若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因為f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，且結(jié)合選項B，{xn}單調(diào)，所以{f(xn)}單調(diào)且有界．故{f(