考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷5（共210題）

考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷5（共9套）（共210題）考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、曲線y=有()漸近線．A、0條B、1條C、2條D、3條標準答案：D知識點解析：因=∞，故X=0是一條鉛直漸近線．又因=0，故y=0為一條水平漸近線．下求斜漸近線．因故y=x+1是其一條斜漸近線．僅(D)入選．2、設函數(shù)f(x)三階可導，且滿足f″(x)+[f′(x)]2=x，又f′(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)既不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：將x=0代入所給方程，得到f″(0)=0．在所給方程兩端對x求導，得到(0)=1—0=1＞0．由，得到=1＞0．由極限的保號性知f″(x)在x=0的左右兩側異號，故點(0，f(0))為f(x)的拐點．僅(C)入選．3、設f(x)=又設f(x)展開的正弦級數(shù)為S(x)=則S(3)=()．A、(e+1)／2B、(e一1)／2C、一(e+1)／2D、一(e一1)／2標準答案：C知識點解析：因S(x)是以4為周期的奇函數(shù)，故S(3)=S(4－1)=S(－1)=－S(1)．因x=1為f(x)的不連續(xù)的分段點，故S(1)=[f(1+0)+f(1一0)]=(1+e)，所以S(3)=－S(1)=－(1+e)．僅(C)入選．4、已知α1，α2，α3是Ax=0的基礎解系，則Ax=0的基礎解系還可以表示為()．A、P[α1，α2，α3]的三個列向量，其中P3×3是可逆陣B、[α1，α2，α3]Q3×3的三個列向量，其中Q3×3是可逆陣C、α1，α2，α3的一個等價向量組D、α1，α2，α3的一個等秩向量組標準答案：B知識點解析：方法一對于[α1，α2，α3]Q，因α1，α2，α3線性無關，且Q可逆，故r([α1，α2，α3]Q)=3，[α1，α2，α3]Q的三個列向量仍然線性無關．又因Aαi=0(i=1，2，3)，故A[α1，α2，α3]=O，兩邊右乘Q得A[α1，α2，α3]Q=O.Q=O，故[α1，α2，α3]Q的三個列向量仍是AX=0的解向量，且線性無關的解向量個數(shù)為3個，故它們仍為基礎解系．僅(B)入選．方法二對于(A)，因P3×3αi不一定是AX=0的解(AP3×3αi≠0)．對于(C)，與α1，α2，α3等價的向量組，其向量個數(shù)可以超過3個(其秩等于3)，且可以線性相關，還可以是用α1，α2，α3相互線性表出的向量組．對于(D)，因與α1，α2，α3等秩的向量組可能不是AX=0的解向量，且個數(shù)也可以超過3個，故(A)、(C)、(D)均不滿足基礎解系的條件，都不能入選．僅(B)入選．5、A是三階可逆矩陣，且各列元素之和均為2，則()．A、A必有特征值1／2B、A－1必有特征值1／2C、A必有特征值－2D、A－1必有特征值－2標準答案：B知識點解析：設A=，則AT=由題設有A的各列元素之和為2，即由特征值定義可知，2為AT的一個特征值．又AT與A有相同的特征值，故λ=2也是A的一個特征值，所以1／λ=1／2為A－1的一個特征值．僅(B)入選．6、設A，B，C是三個隨機事件，P(ABC)=0，且0＜P(C)＜1，則必有()．A、P(ABC)=P(A)P(B)P?B、P((A+B)｜C)=P(A｜C)+P(B｜C)C、P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P?D、P((A+B))標準答案：B知識點解析：P((A+B)｜C)=P((A+B)C)／P(C)=P(AC+BC)／P(C)=[P(AC)+P(BC)一P(AC.BC)]／P(C)=[P(AC)+P(BC)一P(ABC)]／P(C)=[P(AC)+P(BC)]／P(C)=P(AC)／P(C)+P(BC)／P(C)=P(A｜C)+P(B｜C)．僅(B)入選．7、已知隨機變量X的概率分布P(X=K)=ae－λ，其中λ＞0，k=1，2，…，則E(X)為()．A、λB、λeλC、λ／(eλ一1)D、λeλ／(eλ一1)標準答案：D知識點解析：因所給的分布與泊松分布僅差k=0這一項，添加這一項得到1=ae－λ一ae－λ=a.1一ae－λ=a(1一e－λ)，故a=，于是僅(D)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設f(x)=若f(x)在點x=0處可導，則a=__________，b=__________．標準答案：01知識點解析：f(x)在點x=0處連續(xù)，故f(0—0)=f(0+0)，即(bx+a)=a．由(ex一1一ax)=1—1=0，得到a=0．又f′－(0)=(ex一1一ax)′=ex一a=1一a，f′+(0)=(bx+a)′=b，由f′－(0)=f′+(0)得到1一a=b，故b=1．9、設冪級數(shù)anxn的收斂半徑為3，則冪級數(shù)nan(x一1)n+1的收斂區(qū)間為___________．標準答案：一2＜x＜4知識點解析：已知冪級數(shù)anxn的收斂半徑為3，凡冪級數(shù)含其系數(shù)an為因子系數(shù)，其他因子可為n的冪函數(shù)，且與該冪級數(shù)的收斂中心及n的起始值無關，符合上述條件的新的冪級數(shù)的收斂半徑相同．例如級數(shù)nan(x一1)n－k等收斂半徑都是相同的，但不能確定這些冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點處的斂散性．利用上述結論即得新級數(shù)的收斂半徑，因而可直接得出其收斂區(qū)間．由上述分析易知，冪級數(shù)nan(x－1)n+1的收斂半徑也為3，因而得到｜x－1｜＜3，即一2＜x＜4為所求的收斂區(qū)間，但不能判定其在X=－2及x=4處的斂散性．10、設z=f(u，v)dv]du，其中f(u，v)是連續(xù)函數(shù)，則dz=__________．標準答案：[f(xy2，v)dv](y2dx+2xydy)知識點解析：方法一利用一階全微分形式不變性求之：方法二先求偏導數(shù)：f(xy2，v)dv].y2，f(xy2，v)dv].(2xy)，故dz=f(xy2，v)dv](y2dx+2xydy)．11、=___________，其中L為x2+2y2=1的正向．標準答案：知識點解析：12、A是n階矩陣，AX=b有唯一解，則二次型f(x1，x2，…，xn)=XT(ATA)X的正慣指數(shù)p=___________．標準答案：n知識點解析：因Ax=b有唯一解，故Ax=0只有零解，則任意X≠0，必不是AX=0的解，即Ax≠0，從而對任意X≠0有f=XT(ATA)X=(AX)TAX＞0，即二次型f為正定二次型，故f的正慣性指數(shù)為n．13、設隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)．如果二階行列式Y=的方差D(Y)=，則σ2=___________．標準答案：1／(2)知識點解析：利用方差的性質及方差的計算公式D(X)=E(X2)一[E(X)]2求之．由于Xi相互獨立，X1X4與X2X3也相互獨立，且Xi～N(0，σ2)．依題意知1／4=D(Y)=D(X1X4一X2X3)=D(X1X4)+D(X2X3)，其中D(XiXj)=E(XiXj)2一[E(XiXj)]2=E()一[E(Xi)E(Xj)]2(因E(Xi)=E(Xj)=0)=E()=[D(Xi)+E(Xi)2][D(Xj)+E(Xj)2]=D(Xi)D(Xj)=(σ2).(σ2)(i≠j)=σ4，則1／4=D(Y)=D(X1X4)+D(X2X3)=σ4+σ4=2σ4，故σ4=1／8，σ2=1／．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、求標準答案：知識點解析：用換底法和等價無窮小代換求之，也可用重要極限和洛必達法則求之．15、設f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且f′(x)≤0．證明函數(shù)F(x)=f(t)dt在(a，b)內也有F′(x)≤0．標準答案：由f(t)在[a，b]上連續(xù)，故f(t)dt在區(qū)間[a，b]內可導，于是F′(x)=f(t)dt]．由定積分中值定理得f(t)dt=f(ξ)(x一a)，其中ξ在[a，x]上，于是由于f′(x)≤0，故f(x)單調下降，所以f(x)≤f(ξ)．又a＜x，故F′(x)≤0．知識點解析：為證F′(x)≤0，必須利用f′(x)≤0的條件，為此必須要去掉積分號．對F(x)求導后，如還剩有積分號，這時常用積分中值定理去掉．16、(I)試證明：當0＜x＜π時，－sinx(Ⅱ)求級數(shù)的和．標準答案：(I)令f(x)=sinx，將其在(0，π)展成余弦級數(shù)．因bn=0，(Ⅱ)在式①中令x=0，得到知識點解析：注意到待證等式左邊為余弦級數(shù)，右邊為正弦函數(shù)，這表明應將函數(shù)f(x)=sinx在(0，π)上展成余弦級數(shù)．于是待證的問題就轉化為大家熟悉的傅里葉級數(shù)展開的問題．這里要注意不要習慣地總是從等式左邊證到右邊，如果本題這樣去證，困難就很大了．17、設f(x)和g(x)在[a，b]上連續(xù)，試證至少有一點c∈(a，b)，使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx．標準答案：由上述證題思路易知，應設輔助函數(shù)F(x)=g(t)dt．由f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，可知F′(x)存在，且F′(x)=f(x)4f(t)dt，x∈[a，b]，①又F(a)=F(b)=0，由羅爾定理知，至少存在一點c∈(a，b)，使F′(c)=0．由式①即得f(c)f(x)dx．知識點解析：將定積分中值等式中的中值c改為變量x，得到f(x)f(t)dt，并將f(x)視為f(x)=(f(t)dt)′，將g(x)視為g(x)=－(g(t)dt)′，將待證等式化為18、設函數(shù)f(r)(r＞0)有二階連續(xù)導數(shù)，并設u=f()滿足div(gradu)=．求u的一般表達式．標準答案：gradu=，則為方便計，令r=，則即r2f″(r)+2rf′(r)=r3，亦即[r2f′(r)]′=r3．解之得r2f′(r)=+c2．故u=f(r)=+c2．知識點解析：先求出div(gradu)建立關于u的微分方程，然后求解．19、設A=(1)將A表示成若干個初等矩陣的乘積；(2)將A表示成一個主對角元為1的下三角矩陣R和一個上三角矩陣S的乘積．標準答案：(1)用初等矩陣表示上述變換關系，得到E12(－2)E2(－)E21(一3)A=E，則A=[E21(一3)]－1[E2(－)]－1[E12(－2)]－1E=E21(3)E2(－5)E12(2)E=(2)其中R=為主對角元為1的下三角矩陣，S=為上三角矩陣．知識點解析：先將A用初等行變換化成單位矩陣，然后將其行變換用初等矩陣表示，于是若干個初等矩陣左乘A等于單位矩陣．再求出這些初等矩陣的逆矩陣(它們仍然是初等矩陣)，即可得到用初等矩陣的乘積表示的矩陣A．20、已知四元齊次線性方程組(i)的解全是四元方程(ii)x1+x2+x3=0的解．(1)求a的值；(2)求齊次方程組(i)的通解；(3)求齊次方程(ii)的通解．標準答案：(1)因方程組(i)的解全是方程(ii)的解，故方程組(i)與方程組(iii)同解，且其系數(shù)矩陣有相同的秩，因而a≠0．這是因為：如a=0，則r(A)=1，r(B)=2．當a≠0時，易求得r(A)=3．這是因為A中有子行列式對B進行初等行變換，得到故當2a－1=即a=1／2時，r(B)=3．此時方程組(i)與方程組(iii)同解．(2)由A→及基礎解系的簡便求法，即得方程組(i)的基礎解系為α=[一1／2，一1／2，1，1]T，其通解為kα，k為任意實數(shù)．(3)注意到方程(ii)為四元方程，即x1+x2+x3+0x4=0．由即可寫出其基礎解系為β1=[一1，1，0，0]T，β2=[一1，0，1，0]T，β3=[0，0，0，1]T，其通解為k1β1+k2β2+k3β3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．知識點解析：由題設可作出與方程組(i)同解的方程組，即將方程組(i)與方程(ii)聯(lián)立得方程組(iii)．再利用同解的必要條件：方程組(i)與方程組(iii)的系數(shù)矩陣的秩必相等．由此確定a，再用基礎解系的簡便求法，即可分別求得方程組(i)與方程(ii)的基礎解系，寫出其通解．21、設某種器件使用壽命(單位：小時)服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其平均使用壽命為20小時．在使用中當一個器件損壞后立即更換另一個新的器件，如此連續(xù)下去．已知每個器件進價為a元，試求在年計劃中應為此器件做多少預算，才可以有95％的把握保證一年夠用(假定一年按2000個工作小時計算)．標準答案：設年計劃購進n個此種器件，則預算應為na元．每個器件使用壽命為Xi(1≤i≤n)，則Xi相互獨立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．依題意知λ=1／20，E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2，且n應使P(Xi≥2000)≥0．95，即P(0≤Xi＜2000)≤0．05．由于n相當大，且根據(jù)獨立分布的中心極限定理，得到解得n≥118，故年計劃預算最少為118a元．知識點解析：求解與隨機變量之和的概率有關的問題時，常利用其分布律進行，但隨機變量個數(shù)較多時，可利用中心極限定理近似計算．22、設X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是來自X的一個樣本，試求參數(shù)p的極大似然估計．標準答案：設x1，x2，…，xn是相應于樣本X1，X2，…，Xn的一個樣本值，X的分布律為P(X=x)=px(1－p)1－x(x=0，1)，故似然函數(shù)為L(p)=(1－p)1－xi(可以看成在對應樣本觀測值處的聯(lián)合分布律)，故解得p的極大似然估計量為知識點解析：求極大似然估計的關鍵是要正確寫出似然函數(shù)．對離散型隨機變量，其似然函數(shù)可以說就是在對應樣本觀測值處的聯(lián)合分布律．考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設f(x)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，F(xiàn)(x)＝∫0xf(t)dt，則下列命題中錯誤的是()。A、若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)B、若f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)C、若f(x)以T為周期且是偶函數(shù)，則F(x)以T為周期且是奇函數(shù)D、若f(x)以T為周期且是奇函數(shù)，則F(x)以T為周期且是偶函數(shù)標準答案：C知識點解析：[解題思路]利用∫0xf(t)dt的性質判定。解利用∫0xf(t)dt的性質知，(A)、(B)均正確，而(C)錯誤。例如，f(x)≡1是以T為周期的偶函數(shù)，但F(x)＝∫0x1dt＝x不是周期函數(shù)，但(D)是正確的。我們知道，若f(x)是以T為周期，則其原函數(shù)F(x)＝∫0xf(t)dt也是以T為周期的充要條件是∫0Tf(x)dx＝0。當f(x)以T為周期且是奇函數(shù)時，有，因而F(x)＝∫0xf(t)dt以T為周期且是偶函數(shù)，僅(C)入選。2、設，則()。A、F(x)≡0B、F(x)＝π／2C、F(x)＝arctanxD、F(x)＝2arctanx標準答案：B知識點解析：[解題思路]雖然可直接積分，但不易化成所選的結果，通過變量代換t＝1／u將后一個積分化成反常積分求之。3、微分方程y"－y’＝ex＋1的一個特解具有的形式為()。A、Aex＋BB、Axex＋BC、Aex＋BxD、Axex＋Bx標準答案：D知識點解析：[解題思路]視ex＋1為兩個非齊次項f1(x)＝ex，f2(x)＝1＝e0x，于是需考察0與1是否為特征方程的根，據(jù)此分別寫出y1*與y2*的形式。解原方程對應的齊次方程為y"－y’＝0，它的特征方程為r2－r＝0，解得r1＝1，r2＝0。對于非齊次項ex，因λ＝1是特征方程的根，故原方程的特解應為y1*＝Axex。對于非齊次項1＝e0x，λ＝0也是特征方程的根，原方程特解應為y2*＝Bx，故僅(D)成立。4、若α1，α2，α3，β1，β2都是四維列向量，且四階行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜β2，α1，α2，α3｜＝n，則四階行列式｜α3，α2，α1，β1＋β2｜等于()。A、m＋nB、－(m＋n)C、n－mD、m－n標準答案：C知識點解析：[解題思路]利用行列式性質將所給行列式分解為已知其值的行列式的代數(shù)和。解｜α3，α2，α1，β1＋β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1＋β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜－｜α1，α2，α3，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜β2，α2，α3，α1｜＝－m－｜β2，α1，α3，α2｜＝－m＋｜β2，α1，α2，α3｜＝－m＋n＝n－m。僅(C)入選。5、設向量組α1，α2，α3線性無關，則下列向量組中線性無關向量組是()。A、α1＋α2，α2＋α3，α3－α1B、α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3C、α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1D、α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3標準答案：C知識點解析：[解題思路]用線性無關向量組線性表示的向量組的線性相關性的判定常用下述矩陣表示法：設向量組(Ⅱ)：β1，…，βr能由線性無關向量組(Ⅰ)：α1，…，αs線性表示為或[β1，…，βr]＝[α1，…，αs][gij]s×r＝[α1，…，αs]G，則向量組(Ⅱ)線性無關的充要條件是秩(K)＝r(或秩(G)＝r)。當r＝s時，歸結為計算行列式｜K｜或｜G｜。如它們不等于0，則向量組(Ⅱ)線性無關；如等于零，向量組(Ⅱ)線性相關。(參閱《考研數(shù)學一?？碱}型解題方法技巧歸納(第二版)》P310)解一對于(A)，令β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，β3＝α3－β1，則[α1＋α2，α2＋α3，β3＝α3－β1]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G1，而故向量組α1＋α2，α2＋α3，α3－α1線性相關。對于(B)，令β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，β3＝α1＋2α2＋α3，則[α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G2，而故向量組α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3線性相關。對于(C)，令β1＝α1＋2α2，β2＝2α2＋3α3，β3＝3α3＋α1，則[α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G3，而故向量組α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1線性相關。對于(D)，令β1＝α1＋α2＋α3，β2＝2α1－3α2＋22α3，β3＝3α1＋5α2－5α3，則[α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G4，而｜G4｜＝＝0，故(D)中向量組線性相關，僅(C)入選。解二也可用定義判別，對于選項(C)，令k1(α1＋2α2)＋k2(2α2＋3α3)＋k3(3α3＋α1)＝0，即(k1＋k3)α1＋(2k1＋2k2)α2＋(3k2＋3k3)α3＝0。因α1，α2，α3線性無關，故因該方程組的系數(shù)矩陣行列式不等于0，故該方程組只有零解，即k1＝k2＝k3＝0，所以該向量組線性無關，僅(C)入選。6、設X為隨機變量，若矩陣的特征值全為實數(shù)的概率為0．5，則()。A、X服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布B、X服從二項分布B(2，0．5)C、X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布D、X服從正態(tài)分布標準答案：A知識點解析：[解題思路]先計算A的特征多項式，再由特征值全為實數(shù)應滿足的概率條件進而確定X的分布。解因｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ2＋2λ＋X)，故A的特征值全為實數(shù)的條件為b2－4ac＝4－4X≥0，由題設有P(4－4X≥0)＝0．5，即P(X≤1)＝P(0≤X≤1)＝(1－0)／(2－0)＝0．5，因而X服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布，僅(A)入選。7、設隨機變量X，Y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若概率P(aX－bY＜μ)＝1／2，則()。A、a＝1／2，b＝1／2B、a＝1／2，b＝－1／2C、a＝－1／2，b＝1／2D、a＝－1／2，b＝－1／2標準答案：B知識點解析：[解題思路]先求出aX－bY服從的正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質：其隨機變量在其數(shù)學期望的左右兩側取值的概率均為1／2，找出a與b的關系并由此關系判定選項。解因X，Y相互獨立，且都服從N(μ，σ2)，故aX－bY服從正態(tài)分布，且aX－bY～N(aμ－bμ，(a2＋b2)σ2)，所以P(X≤aμ－bμ)＝1／2。于是aμ－bμ＝μ，即a－b＝1，因而僅(B)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、向量ν＝xi＋yj＋zk穿過封閉圓錐曲面z2＝x2＋y2，0≤z≤h的流量等于＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：πh3知識點解析：解所求流量為9、設L為橢圓，其周長為π，則(2xy＋3x2＋5y2)ds＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：15π知識點解析：解由L的橢圓方程得到3x2＋5y2＝15，代入被積函數(shù)得到又因L關于x軸與y軸對稱，而2xy關于y為奇函數(shù)，故因L的周長為π，所以10、曲線Γ：處的切線方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：解一易寫出切曲線Γ的參數(shù)方程：x＝cost，y＝sint，z＝2－cost＋sint。點P在曲線上對應于t＝π／4，則Γ在P點的切線向量為于是Γ在點P處的切線方程為解二空間曲線Γ的方程為面交式方程在點P處的切線方向向量為τ＝n1×n2＝grad(x2＋y2－1)×grad(x－y＋z－2)｜P其中n1＝(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z)｜P，n2＝(G’x，G’y，G’z)｜P分別為兩相交曲面的法向量，于是Γ在P點的切線方程為解三為求交面式方程表示切線，先求x2＋y2－1＝0在P點的切平面方程，為此求出x2＋y2－1＝0在點P處的法向量為n＝(2x，2y，0)｜P＝于是設該面在P點的切平面方程為即x＋y＝，則Γ在P點的切線方程為11、設S為圓錐面被曲面x2＋y2＝2ax(a>0)所截下部分，則曲面積分＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：設曲面S在平面xOy上的投影區(qū)域為Dxy，則Dxy＝{(x，y)｜x2＋y2≤2ax}，或D＝{(r，θ)｜－π／2≤θ≤π／2，0≤r≤2acosθ}。12、已知，A*是A的伴隨矩陣，則(A*A2)－1＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：13、設X1，X2，…，Xn是取自標準正態(tài)總體的簡單隨機樣本，已知統(tǒng)計量服從t分布，則常數(shù)α＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：解因Xi～N(0，1)(i＝1，2，…，n)且X2，X3，…，Xn相互獨立，故X22＋X32＋…＋Xn2～χ2(n－1)。又X1～N(0，1)且與X22＋X32＋…＋Xn2相互獨立，故由t分布的典型模式得到三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設x2＞x1＞0，證明＝sinξ－ξcosξ(x1＜ξ＜x2)。標準答案：證令φ(x)＝sinx／x，g(x)＝1／x，對φ(x)，g(x)在[x1，x2]上使用柯西中值定理，得到知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)f(x，y)＝4x－4y－x2－y2在區(qū)域D：x2＋y2≤18上的最大值和最小值。標準答案：解先求出f(x，y)在開區(qū)域x2＋y2＜18內的可能極值點，解方程組得其駐點(2，－2)∈D。再求f(x，y)在邊界x2＋y2＝18上的可能極值點，下用拉格朗日乘數(shù)法求之。為此，設F(x，y，λ)＝4x－4y－x2－y2＋λ(x2＋y2－18)，則由前兩個方程易得，于是xy－2y＝xy＋2x，即y＝－x，將其代入第三個方程得到x＝±3，y＝3，求得邊界區(qū)域D上的駐點(3，－3)，(－3，3)，因f(2，－2)＝8，f(3，－3)＝6，f(－3，3)＝－42，故f(x，y)在D上的最大值為8，最小值為－42。知識點解析：暫無解析16、(1)證明曲線積分在曲線L不經(jīng)過x軸的情況下，積分與路徑無關；(2)如果曲線L的兩端點為A(π，1)及B(π，2)，計算積分的值。標準答案：在曲線不經(jīng)過x軸時，連續(xù)，由此可知該積分與路徑無關。知識點解析：暫無解析17、計算曲面積分其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2的上半部分與平面z＝0所圍成的閉曲面外側。標準答案：解因P＝xz2，Q＝x2y，R＝y(tǒng)2z，故由高斯公式得(xz2dydz＋x2ydzdx＋y2zdxdy)＝(x2＋y2＋z2)dxdydz。因積分區(qū)域由球面所圍成，且被積函數(shù)中含有x2＋y2＋z2因子，用球坐標系計算較簡，故xz2dydz＋x2ydzdx＋y2zdxdy＝∫02πdθ∫0π/2dφ∫0aρ2·ρ2sinφdρ＝。知識點解析：暫無解析18、設二階常系數(shù)線性微分方程y"＋αy’＋βy＝γe2x的一個特解為y＝e2x＋(1＋x)ex，求此方程的通解。標準答案：解由所給方程的非齊次項為γe2x及特解中含有e2x項知，y*＝e2x是原方程的一個特解，于是y＝(1＋x)ex應是對應齊次方程的特解，因而1為特征方程的二重特征根，于是特征方程為r2－2r＋1＝0，則齊次方程應是y"－2y’＋y＝0。故α＝－2，β＝1。又y*為非齊次方程的特解，代入其中得4e2x－2·2e2x＋e2x＝γe2x，故γ＝1。因y1＝ex，y2＝xex都是y"－2y’＋y＝0的解，且故其線性無關，所以Y＝(c1＋c2x)ex為y"－2y’＋y＝0的通解，又y*＝e2x是非齊次方程的一個特解，故y＝(c1＋c2x)ex＋e2x是非齊次方程的通解。知識點解析：暫無解析19、求作一個齊次線性方程使得它的解空間由下面四個向量所生成α1＝[－1，－1，1，2，0]T，α2＝[－1／2，－1／2，1／2，6，4]T，α3＝[1／4，0，0，5／4，1]T，α4＝[－1，－2，2，9，4]T。標準答案：解因故α1，α2線性無關，α3，α4可由α1，α2線性表出。令，求BX＝0的基礎解系，由于故BX＝0的一個基礎解系為β1＝[0，1，1，0，0]T，β2＝[－5，7，0，1，0]T，β3＝[－4，4，0，0，1]T，于是，所求的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為知識點解析：暫無解析20、A，B，C均是n階矩陣，且AB＝O，AC＋C＝O。如秩(B)＋秩(C)＝n，證明A∽Λ，并求對角陣Λ。標準答案：證設B，C的n個列向量分別為B＝[β1，β2，…，βn]，C＝[η1，η2，…，ηn]，則由AB＝O得A[β1，β2，…，βn]＝O，即Aβi＝0＝0βi(i＝1，2，…，n)，又設秩(B)＝k，則0為A的特征值，且屬于特征值0的線性無關的特征向量有k個，又由AC＋C＝O得到AC＝－C，即A[η1，η2，…，ηn]＝－[η1，η2，…，ηn]，則Aηi＝－ηi＝(－1)ηi，故－1為A的特征值，因秩(C)＝n－秩(B)＝n－k，故屬于特征值－1的線性無關的特征向量共有n－k個，因而A有n個線性無關的特征向量，故A∽Λ，且知識點解析：暫無解析21、設隨機變量k在區(qū)間(－5，5)內服從均勻分布，求方程x2＋kx＋1＝0有實根的概率。標準答案：解隨機變量k的概率密度為要使二次方程x2＋kx＋1＝0有實根，其判別式必不小于0，即k2－4≥0，亦即｜k｜≥2，故k≥2或k≤－2時方程有實根，其概率為P({k≤－2}∪{k≥2})＝P(k≤－2)＋P(k≥2)＝P(－5≤k≤－2)＋P(2≤k≤5)或P(k≤－2)＋P(k≥2)＝∫－∞－2f(x)dx＋∫2＋∞f(x)dx知識點解析：暫無解析22、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度函數(shù)為求常數(shù)c及條件概率密度fY｜X(y｜z)。標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設A與B均為n,階矩陣，且A與B合同，則()．A、A與B有相同的特征值B、detA=detC、A與B相似D、r(A)=r(B)標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設(x)=丨x(1-x)丨，則A、x=0是f(x)的極值點，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點．B、x=0不是f(x)的極值點，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點．C、x=0是f(x)的極值點，且(0，0)是曲線y=f(x)的拐點．D、x=0不是f(x)的極值點，(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點．標準答案：C知識點解析：暫無解析3、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：5、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：6、函數(shù)f(x)＝ccosx(c≈2.71828)不是_________.A、偶函數(shù).B、有界函數(shù).C、周期函數(shù).D、單調函數(shù).標準答案：D知識點解析：暫無解析7、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由于P{X=1}=P{X≤1}-P{X<1}=F(1)-F(1-0)=1-e-1-1/2=1/2-e-1，故C是正確的．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、標準答案：知識點解析：9、標準答案：0知識點解析：10、標準答案：知識點解析：11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、微分方程y’’+4y=cos2x的通解為y=__________．標準答案：知識點解析：y’’+4y=cos2x對應的齊次方程的特征方程是r2+4=0．它的兩個特征根為r1.2=±2i．因此對應的齊次方程的通解為y=C1cos2x+C2sin2x．λ±wi=±2i是特征方程的根，所以，設非齊次方程的特解為y*=x(Acos2x+Bsin2x)，則(y*)’=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)’’=一X(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．將上兩式代入方程y’’+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．比較上式系數(shù)得A=0，．故原方程的通解為13、標準答案：2知識點解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)14、設D={(x，y)丨x2+y2≤x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)，計算二重積分xy[1+x2+y2]dxdy．標準答案：知識點解析：暫無解析15、已知向量組(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量組的秩分別為r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．證明向量組α1，α2，α3，α5-α4的秩為4．標準答案：因為r(I)=r(II)=3，所以α1，α2，α3線性無關，而α1，α2，α3，α4線性相關，因此α4可由α1，α2，α3線性表出，設為α4=lα1+lα2+lα3．若k知識點解析：暫無解析16、已知三階矩陣B為非零向量，且B的每一個列向量都是方程組的解，(I)求λ的值；(Ⅱ)證明｜B｜＝0．標準答案：(I)因｜B｜≠0，故曰中至少有一個非零列向量，依題意，所給齊次方程組非零解，故必有系數(shù)行列式由此可得λ＝1．(Ⅱ)因B的每一列向量都是原方程的解，故AB＝0．因A≠0則必有｜B｜＝0．事實上，倘若不然，設｜B｜≠0，則曰可逆，故由AB＝0兩邊右乘B－1，得A＝0，這與已知條件矛盾，可見必有｜B｜＝0．知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：特征方程為｜λE—A｜＝λ3一λ2－λ＋1＝(λ－1)2(λ＋1)＝0，即特征值λ1＝1(二重)，λ2＝－1．知識點解析：暫無解析(2005年試題，22)設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為求：20、(X，Y)的邊緣概率密度fX(x)fY(y)；標準答案：根據(jù)題意，作圖如圖3—3—2所示．(I)當0當x≤0或x≥1時，fx(x)=0．即有由此可計算得知識點解析：暫無解析21、Z=2X—Y的概率密度fZ(Z)．標準答案：當z≤0時，F(xiàn)z(z)=0；當z≥2時，F(xiàn)z(z)=1；當0Z的概率密度為解析二(I)同解析一(Ⅱ)因為P{0≤2X—Y<2}=1，所以當z≤0或z>12時fz(z)=0；當01952故隨機變量z的概率密度為解析三(I)同解析一(Ⅱ)因為(X，Y)的聯(lián)合概率密度在直角三角形區(qū)域D={(x，y)101上取值的概率與該子區(qū)域面積成正比，即求導得概率密度為知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x，y，z)是連續(xù)函數(shù)，f(0，0，0)=0，I(R)=f(x，y，z)dxdydz則R→0時，下面說法正確的是()．A、I(R)是R的一階無窮小B、I(R)是R的二階無窮小C、I(R)是R的三階無窮小D、I(R)至少是R的三階無窮小標準答案：D知識點解析：因f(x，y，z)為連續(xù)函數(shù)，由積分中值定理得到I(R)=f(ξ，η，ζ).dxdydz=f(ξ，η，ζ).πR3，其中ξ2+η2+ζ2≤R2．當R→0時，(ξ，η，ζ)→(0，0，0)，于是當f(0，0，0)≠0時，I(R)是R的三階無窮小，當f(0，0，0)=0時，I(R)是比R3高階的無窮小，因而I(R)至少是R的三階無窮?。畠H(D)入選．2、設vn均收斂，則下列命題中正確的是()．A、un收斂B、unvn絕對收斂C、(－1)n條件收斂D、(un+vn)2發(fā)散標準答案：B知識點解析：因｜unvn｜≤收斂，從而unvn絕對收斂，僅(B)入選．3、設函數(shù)f(x，y，z)=2xy—z2，則f(x，y，z)在點(2，－1，1)處的方向導數(shù)的最大值為()．A、2B、4C、2D、24標準答案：A知識點解析：=－2i+4j－2k，故f(x，y，z)在點(2，一1，1)處的方向導數(shù)的最大值為僅(A)入選．4、設L是圓域x2+y2≤一2x的正向邊界曲線，則(x3一y)dx+(x—y3)dy等于()．A、一2πB、0C、3π／2D、2π標準答案：D知識點解析：利用格林公式求之．5、設A為m×s矩陣，B為s×n矩陣，使ABX=0與BX=0為同解方程組的充分條件是()．A、r(A)=mB、r(A)=sC、r(B)=sD、r(B)=n標準答案：B知識點解析：顯然，方程組BX=0的解是ABX=0的解．要使方程組ABX=0的解也是BX=0的解，即由ABX=0推導出BX=0，只需方程組AX=0只有零解，即r(A)=s，僅(B入選．6、已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[一2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是四階方陣A的三個不同特征值的特征向量，則a的取值為()．A、a≠5B、a≠一4C、a≠一3D、a≠一3且a≠一4標準答案：A知識點解析：將α1，α2，α3作為A的列向量組，將其化為階梯形即可確定a的取值．α1，α2，α3是三個不同特征值的特征向量，必線性無關．可知a≠5．僅(A)入選．7、假設事件A，B，C兩兩獨立，則事件A，B，C相互獨立的充分必要條件是()．A、A和BC獨立B、A+B和B+C獨立C、AB和BC獨立D、AB和A+C獨立標準答案：A知識點解析：直選法．因事件A，B，C兩兩獨立，所以為說明選項(A)正確，只需證明：如果A和BC獨立，則P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．事實上，有P(ABC)=P(A∩BC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)．可見，A和BC獨立是事件A，B，C相互獨立的充分必要條件，故僅(A)入選．8、設X，Y都服從標準正態(tài)分布，且D(X+Y)=D(X)+D(Y)，則必有()．A、X與Y獨立B、X與Y不獨立C、D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)D、D(X－Y)=D(X)+D(Y)標準答案：D知識點解析：因D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)，而已知D(X+Y)=D(X)+D(Y)，故2cov(X，Y)=0，即cov(X，Y)=0．因而D(X—Y)=D(X)+D(Y)一2cov(X，Y)=D(X)+D(Y)．僅(D)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、計算(a＞0，b＞0)=___________．標準答案：知識點解析：先用提公因式的方法將分子、分母化成乘積形式，再用等價無窮小代換ax一1～xlna(x→0)求之．當然，也可用洛必達法則求之，但較煩．10、設x≥－1，則(1－｜t｜)dt=___________．標準答案：知識點解析：為去掉被積函數(shù)中的絕對值符號，須將x的取值范圍分段求出積分．當一1≤x＜0時，｜t｜=－t，則(1+x)2；當x≥0時，原式=(1一x)2；故11、將函數(shù)f(x)=展為麥克勞林級數(shù)是___________．標準答案：一1＜x＜1知識點解析：注意到，可先將展為麥克勞林級數(shù)，再逐項求導即得的麥克勞林展開式．也可直接利用公式nxn－1(｜x｜＜1)求之．因xn，逐項求導得到=1+2x+3x2+…+nxn－1+…，①其收斂區(qū)間為一1＜x＜1．12、設S為橢球+z2=1的上半部分，已知S的面積為A，則第一類曲面積分(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=_____________．標準答案：36A知識點解析：(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=36xyzdS．因曲面關于平面zOx對稱，而被積函數(shù)關于y為奇函數(shù)，故xyzdS=0．將上半個橢球方程代入上式第一個積分的被積函數(shù)得+z2)dS=dS=A，故第一類曲面積分(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=36A．13、設三階矩陣A=，則｜(A*)*+4A｜=____________．標準答案：－16知識點解析：利用矩陣(A*)*與A的關系，再由｜A｜求出所求的行列式．因(A*)*=｜A｜n－2A，而｜A｜=－2，故｜(A*)*+4A｜=｜｜A｜3－2A+4A｜=｜－2A+4A｜=｜2A｜=8｜A｜=－16．14、設X～B(3，p)，Y～B(2，p)，已知P(X≥1)=，則P(Y＜1)=____________．標準答案：知識點解析：因X～B(3，p)，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一p0(1一p)3=1一(1一p)3=，故1一P=則P(Y＜1)=P(Y=0)=p0(1一p)2=．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1．證明(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=；(2)存在ξ≠η∈(0，1)，使得=2．標準答案：(1)令F(x)=f(x)一1／2，則F(0)=f(0)一1／2=－1／2＜0，F(xiàn)(1)=f(1)一1／2=1—1／2=1／2＞0．由零點(介值)定理知，存在c∈(0，1)，使F(c)=0，即f(c)=1／2．(2)在[0，c]及[c，1]上對f(x)分別使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得于是=2c+2(1一c)=2．得證．注意上面利用(1)的結論證明了(2)的結論，但(1)的結論也可由(2)的結論推出．事實上，由得到2f2(c)一2cf(c)一f(c)+c=f(c)[2f(c)一1]一c[2f(c)一1]=[f(c)一c][2f(c)一1]=0．因f(x)不一定滿足f(x)=x，故有2f(c)一1=0，即f(c)=1／2．知識點解析：(1)設F(x)=f(x)一1／2，對F(x)在[0，1]上使用零點定理即可．(2)應利用(1)中結論，用C將[0，1]分為[0，c]，[c，1]兩個子區(qū)間，且在這兩個不同的區(qū)間上使用拉格朗日中值定理．16、設f(x)=dx．標準答案：因在[一1，3]內有f(x)的兩個瑕點0與2，故所求的積分是瑕積分．知識點解析：所求積分形式上是定積分但由于f(x)在x=0，2處無界，因而所求積分實質上是無界函數(shù)的反常積分．用其定義計算其積分．17、將f(x)=展為x一1的冪級數(shù)，并指出其收斂域．標準答案：(1)由=1一x+x2一…+(一1)nxn+…，一1＜x＜1，得到(2)由于級數(shù)①的收斂區(qū)間為一1＜＜1，即一1＜x＜3，級數(shù)②的收斂區(qū)間為一1＜＜1，即一3＜x＜5，故級數(shù)③的收斂區(qū)間為一1＜x＜3．但在x=－1與x=3處，級數(shù)③發(fā)散，故收斂域為(一1，3)．知識點解析：(1)用間接展開法求之．即通過適當?shù)暮愕茸冃螌⑵浞纸鉃榈拇鷶?shù)和，再利用如下展開式求之：(2)求出展開式后要寫出展開式成立的區(qū)間，需判另IJ在收斂區(qū)間的端點處是否收斂．18、證明(a+b).[(b+c)×(c+a)]=2a.(b×c)．標準答案：(a+b).[(b+c)×(c+a)]=(a+b).[b×(c+a)+c×(c+a)]=(a+b).[b×c+b×a+c×c+c×a]=a.(b×c)+b.(b×c)+a.(b×a)+b.(b×a)+a.(c×a)+b.(c×a)=a.(b×c)+0+0+0+0+b.(c×a)=a.(b×c)+a.(b×c)=2a.(b×c)．知識點解析：利用混合積的常用性質證之．19、設ABCDA為一矩形回路，其中A=A(－1，1)，B=B(－1，－1)，C=C(ξ，一1)，D=D(ξ，1)，求∮ABCDA標準答案：當ξ＜0時，P=在矩形回路中連續(xù)可導，易求得由格林公式即得=0．當ξ＞0時，這時矩形回路含有原點，為挖掉這個原點以r＜min(1，ξ)為半徑作圓，則可在以圓外到ABCDA所圍的區(qū)域D內使用格林公式：或由(xdy—ydx)表示x2+y2=r2所圍圓域的面積，即得當ξ＞0時，知識點解析：為考慮ABCDA是否包圍原點，應分ξ＜0及ξ＞0兩種情況計算待求的積分．20、已知n維向量α1，α2，…，αs線性無關，如果n維向量β不能由α1，α2，…，αs線性表出，而γ可由α1，α2，…，αs線性表出，證明α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ線性無關．標準答案：利用拆項重組法及線性無關的定義證之．由題設γ可由α1，α2，…，αs線性表出，可設γ=c1α1+c2α2+…+csαs，又令k1α1+k2(α1+α2)+…+ks(αs+αs－1)+k(β+γ)=0．將其拆項重組得到(k1+k2+kc1)α1+(k2+k3+kc2)α2+…+(ks+kcs)αs+kβ=0．因α1，α2，…，αs線性無關，而β不能由α1，α2，…，αs線性表出，故α1，α2，…，αs，β線性無關．因而k=0，k1+k2+kc1=0，k2+k3+kc2=0，…，ks+kcs=0，即k1+k2=0，k2+k3=0，…，ks－1+ks=0，ks=0，解得k1=k2=…=ks－1=ks=0，即α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ線性無關．知識點解析：利用線性無關的定義證之，也可用矩陣表示法證之．21、設A是n階方陣，A+E可逆，且f(A)=(E—A)(E+A)－1．證明：(1)[E+f(A)](E+A)=2E；(2)f[f(A)]=A．標準答案：(1)[E+f(A)](E+A)=E+A+f(A)(E+A)=E+A+(E—A)(E+A)－1(E+A)=E+A+E—A=2E．(2)f[f(A)]=[E—f(A)][E+f(A)]－1．由(1)可知[E+f(A)]－1=，故f[f(A)]=[E一f(A)](E+A)／2=[E一(E—A)(E+A)－1](E+A)／2=(E+A)／2一(E一A)(E+A)－1(E+A)／2=(E+A)／2一(E一A)／2=A．知識點解析：利用矩陣運算及可逆矩陣的定義證之．22、設隨機變量(ξ，η)的概率密度為試求(1)(ξ，η)的分布函數(shù)；(2)P(η＜)．標準答案：(1)將φ(x，y)定義域中的邊界線段延長為直線，它們將整個平面分成5個子區(qū)域：①D1：x≤0或y≤0時，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=0dxdy=0．②D2：0＜x≤1，0＜y≤2時，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=φ(x，y)dxdy=x2y2．③D3：x＞1，0＜y≤2時，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=P(0≤X＜1，0＜Y≤y)④D4：0＜x≤1，y＞2時，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=P(0≤X≤x，0≤Y≤2)⑤D5：x＞1，y＞2時，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=P(0≤X≤1，0≤Y≤2)因當0≤x≤1時，φξ(x)=知識點解析：連續(xù)型隨機變量(ξ，η)的概率密度為φ(x，y)．則分布函數(shù)F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=φ(x，y)dxdy．若φ(x，y)的取值不分區(qū)域，則求二次積分即可求出F(x，y)．若φ(x，y)分區(qū)域定義時，則先繪出φ(x，y)取非零值的區(qū)域D，再將其邊界線段延長為直線，于是它們將整個平面分成若干個子區(qū)域，然后再根據(jù)P((ξ，η)∈G)=φ(x，y)dxdy，其中G為子區(qū)域與φ(x，y)取非零值的定義域的交集，求出各個小區(qū)域上的分布函數(shù)的表達式，即得F(x，y)．23、食用加碘鹽對人的身體有利，但鹽中含碘量過多，則會對身體有害，國家有關部門規(guī)定：每公斤食用鹽內含碘量不得超過20mg．現(xiàn)對某廠生產的食鹽進行抽查，隨機地抽出16包(每包1kg)，測量每包含碘量的平均值為24mg，樣本標準差S=2．6mg．設每包含碘量服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．問該廠生產的加碘鹽的含碘量是否合格?(a=0．05)，并求μ的置信度為95％的置信區(qū)間．參考數(shù)據(jù)：t0．05(15)=1．7531，t0．05(16)=1．7459，t0．025(15)=2．1315，t0．025(16)=2．1199．標準答案：(1)H0：μ=μ0=20，H1：μ＞μ0=20．檢驗統(tǒng)計量為T=～t(n一1)，H0的拒絕域為R={T＞tα(n—1)}．計算觀測值為t==6．1538，查表得tα(n一1)=t0．05(15)=1．7531．因6．1538＞1．7531，即t＞tα(n一1)落在拒絕域內，拒絕H0，接受H1：μ＞μ2，即含碘量超過標準，不合格．(2)σ2未知，μ的置信度為1一α=0．95即α=0．05的置信區(qū)間為其中=24，tn／2(n一1)=t0．025(15)=2．1315，代入上式即得所求的置信區(qū)間為(24—2．1315×)=(24－1．39，24+1．39)=(22．61，25．39)．知識點解析：先寫出零假設(待檢假設)H0與備擇假設H1，選出已知其分布的恰當?shù)慕y(tǒng)計量，求出其拒絕域，算出觀測值，兩者進行比較．求置信區(qū)間較簡單，只要記住有關的公式即可求得．考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設平面π平行于兩直線及2x=y=z且與曲面z=x2+y2+1相切，則平面π的方程為()．A、4x+2y—z=0B、4x一2y+z+3=0C、16x+8y一16z+11=0D、16ax-8y+8z-1=0標準答案：C知識點解析：平面π的法向量為n={2，一2，1}×{1，2，2}=一3{2，1，一2}．設平面π與曲面z=x2+y2+1相切的切點為(x0，y0，z0)，則曲面在該點處的法向量為{2x0，2y0，一1}，因此π的方程為整理得16x+8y一16z+11=0，選C2、設z=f(x，y)在點(0，0)可偏導，且f’x(0，0)=a，f’y(0，0)=b，下列結論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：取f(x，y)=f(x，y)在(0，0)處可偏導，但(x，y)不存在，且f(x，y)在(0，0)處不連續(xù)，不選(A)，(B)；因為z=f(x，y)可偏導不一定可微，所以不選(C)，應選(D)．3、設D為xOy平面上的有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上連續(xù)，在D內可偏導且滿足若f(x，y)在D內沒有零點，則f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在邊界上取到B、最大值和最小值只能在區(qū)域內部取到C、有最小值無最大值D、有最大值無最小值標準答案：A知識點解析：因為f(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上一定取到最大值與最小值，不妨設f(x，y)在D上的最大值M在D內的點(x0，y0)處取到，即f(x0，y0)=M≠0，此時矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D內取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D內取到，選A4、其中a1，a2，a3，a4兩兩不等，下列命題正確的是()．A、方程組AX=0只有零解B、方程組ATX=0有非零解C、方程組ATAX=0只有零解D、方程組AATX=0只有零解標準答案：D知識點解析：由=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0，得r(A)=3．由r(A)=3＜4，得方程組AX=0有非零解，不選(A)；由r(AT)=r(A)=3，得方程組ATX=0只有零解，不選(B)；由r(A)=r(ATA)=3＜4，得方程組ATAX=0有非零解，不選(C)；由r(A)=r(AAT)=3，得方程組AATX=0只有零解，應選(D)．5、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)嚴格遞增，Y～U(0，1)，則Z=F-1(Y)的分布函數(shù)()．A、可導B、連續(xù)但不一定可導且與X分布相同C、只有一個間斷點D、有兩個以上的間斷點標準答案：B知識點解析：因為Y～U(0，1)，所以Y的分布函數(shù)為FY(y)=則Z=F-1(Y)的分布函數(shù)為Fz(z)=P{Z≤z)=P{F-1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)]，因為0≤F(z)≤1，所以Fz(z)=F(z)，即Z與X分布相同，選B6、設X1，X2，X3，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機變量，是樣本均值，記S12=則服從自由度為n-1的t分布的隨機變量為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設y=y(x)為方程y"+(x一1)y’+x2y=ex的滿足初始條件的解，則=________標準答案：1知識點解析：8、設z=z(x，y)由φ(x2一z2，ex+2y)=0確定，其中φ連續(xù)可偏導，則=________標準答案：知識點解析：φ(x2一z2，ez+2y)=0兩邊對x求偏導，得解得9、標準答案：知識點解析：10、微分方程yy"=y2y’+y’2滿足y(0)=1，y’(0)=2的特解為______．標準答案：知識點解析：11、設A，B為三階矩陣，A～B，λ1=一1，λ2=1為矩陣A的兩個特征值，又，則=_________標準答案：知識點解析：因為|B-1|=所以|B|=3，又因為A～B，所以A，B有相同的特征值，設A的另一個特征值為λ3，由|A|=|B|=λ1λ2λ3，得λ3=一3，因為A一3E的特征值為一4，一2，一6，所以|A一3E|=-48．12、設總體X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4為來自總體的簡單隨機樣本，則服從的分布為_______．標準答案：t(1)知識點解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且證明：(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)=0；(Ⅱ)存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)；(Ⅲ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．標準答案：(Ⅰ)由得f(0)=0，f+’(0)=1，f(1)=0，f-’(1)=2．由f+’(0)＞0，存在x1∈(0，1)，使得f(x1)＞f(0)=0；由f1’(1)＞0，存在x2∈(0，1)，使得f(x2)＜f(1)=0．因為f(x1)f(x2)＜0，所以由零點定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=0．(Ⅱ)令h(x)=exf(x)，因為f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0，由羅爾定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]且ex≠0，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0．令φ(z)=e-x[f(x)+f’(x)]，因為φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，所以存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，于是f"(ξ)=f(ξ)．(Ⅲ)令h(x=)exf(x)，因為f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0．由羅爾定理，存在η1∈(0，c)，η2∈(c，1)，使得h’(η1)=h’(η2)=0，而h’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)一f(x)]，因為φ(η1)=φ(η2)=0，所以存在η∈(η1，η2)(0，1)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，于是f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．知識點解析：暫無解析14、計算I=(x2+y2)zdxdy—ydzdx，其中∑為z=x2+y2被z=0與z=1所截部分的下側．標準答案：令∑1：x2+y2≤1，取上側，由高斯公式得知識點解析：暫無解析15、求直線繞z軸一周所形成的曲面介于z=2與z=4之間的體積．標準答案：設直線繞z軸一周所形成的曲面為∑，任取M(x，y，z)∈∑，點M所在的圓與直線的交點為M0(x0，y0，z)，圓心為T(0，0，z)，由|MT|=|M0T|，得x2+y2=x02+y02，因為點M0(x0，y0，z)在直線上，所以于是x0=z一1，y0=2z，故所求的曲面方程為x2+y2=(z一1)2+4z2，即x2+y2=5z2一2z+1，所求的幾何體的體積為V=∫24A(z)dz知識點解析：暫無解析16、將函數(shù)f(x)=展開成x一1的冪級數(shù)，并求標準答案：兩邊對x求導，得知識點解析：暫無解析17、設y=y(x)二階可導，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(Ⅰ)將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)所滿足的微分方程；(Ⅱ)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解．標準答案：(Ⅰ)代入原方程得y”—y=sinx．(Ⅱ)特征方程為r2一1=0，特征根為r1，2=±1，因為i不是特征值，所以設特解為y*=acosx+bsinx．代入方程得a=0，b=故于是方程的通解為由初始條件得C1=1，C2=一1，滿足初始條件的特解為y=ex一e-x一知識點解析：暫無解析18、(Ⅰ)設α1，α2，…，αn為n個n維線性無關的向量，且β與α1，α2，…，αn正交．證明：β=0；(Ⅱ)設α1，α2，…，αn-1為n一1個n維線性無關的向量，α1，α2，…，αn-1與非零向量β1，β2正交，證明：β1，β2線性相關．標準答案：(Ⅰ)令因為α1，α2，…，αn線性無關，所以r(A)=n．又因為α1，α2，…，αn與β正交，所以Aβ=0，從而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β為零向量．(Ⅱ)方法一：令B=(β1，β2)，因為α1，α2，…，αn-1線性無關，所以r(A)=n一1．又因為α1，α2，…，αn-1與β1，β2正交，所以AB=0，從而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n一1，所以r(B)≤1，即β1，β2線性相關．方法二：令因為α1，α2，…，αn-1線性無關，所以r(A)=n一1．因為α1，α2，…，αn-1與β1，β2正交，所以β1，β2為方程組AX=0的兩個解，而方程組AX=0的基礎解系含有一個線性無關的解向量，所以β1，β2線性相關．知識點解析：暫無解析19、設二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通過正交變換化為標準形2y12+2y22+by32．(Ⅰ)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求正交變換矩陣；(Ⅲ)當|X|=1時，求二次型的最大值．標準答案：(Ⅰ)令則f(x1，x2，x3)=XTAX．因為二次型經(jīng)過正交變換化為2y12+2y22+by32，所以矩陣A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=b．由特征值的性質得解得a=一1，b=一1．(Ⅱ)當λ1=λ2=2時，由(2E—A)X=0，得當λ3=一1時，由(一E—A)X=0，得(Ⅲ)因為Q為正交矩陣，所以|X|=1時，|Y|=1，當|Y|=1時，二次型的最大值為2．知識點解析：暫無解析20、設X的密度為f(x)=其中θ＞0為未知參數(shù)．(Ⅰ)求參數(shù)θ的最大似然估計量θ．(Ⅱ)是否是參數(shù)θ的無偏估計量?標準答案：(Ⅰ)似然函數(shù)為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設xn≤zn≤yn，且(yn-xn)=0，則zn()A、存在且等于零。B、存在但不一定等于零。C、不一定存在。D、一定不存在。標準答案：C知識點解析：由xn≤zn≤yn可得0≤zn-xn≤yn-xn，又因為(yn-xn)=0，所以只可得到(zn-xn)=0，至于zn的存在性則無法判斷。例如：取xn=(-1)n+，此時有xn≤zn≤yn且(yn-xn)=0，但zn不存在。故選C。2、設f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，D={(x，y)|x2+y2≤t2}，則f(x，y)dσ=()A、f(0，0)。B、-f(0，0)。C、f’(0，0)。D、不存在。標準答案：A知識點解析：因為f(x，y)在D上連續(xù)，由積分中值定理可知，在D上至少存在一點(ξ，η)使f(x，y)dσ=πt2f(ξ，η)。因為(ξ，η)在D上，所以當t→0+時，(ξ，η)→(0，0)。則故選A。3、函數(shù)f(x，y)=在(0，0)點()A、不連續(xù)且不可偏導。B、連續(xù)但不可偏導。C、可偏導且可微。D、可偏導但不可微。標準答案：D知識點解析：由于|f(x，y)|=．|y|=|y|，所以f(x，y)在(0，0)點連續(xù)。由定義可知fx(0，0)==0，同理可得fy(0，0)=0，故f(x，y)在(0，0)處可偏導。因f(△x，△y)-f(0，0)-fx(0，0)△x-fy(0，0)△y=f(△x，△y)，但≠0(實際上當△y→0+時，極限為1；當△y→0-時，極限為-1)，故f(x，y)在(0，0)處不可微。故選D。4、設α，β，γ均為大于1的常數(shù)，則級數(shù)()A、當α＞γ時收斂。B、當α＜γ時收斂。C、當γ＞β時收斂。D、當γ＜β時收斂。標準答案：B知識點解析：這里有三種類型的無窮大量：nμ(μ＞0)，qn(q＞1)，lnδn(δ＞0)，其中n→+∞，它們的關系是=0，現(xiàn)考察此正項級數(shù)的一般項：＜1，即α＜γ。因此原級數(shù)收斂α＜γ。故選B。5、已知向量組α1，α2，α3線性無關，α1，α2，α3，α4線性相關，α1，α2，α3，α5線性無關，則r(α1，α2，α3，α4+α5)=()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：D知識點解析：因為α1，α2，α3線性無關，所以可首先排除選項A和B，則r(α1，α2，α3，α4+α5)只可能為3或4。若r(α1，α2，α3，α4+α5)=3，則α4+α5可由α1，α2，α3線性表示，設α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3，因為α1，α2，α3，α4線性相關，所以α4可由α1，α2，α3線性表示，設α4=λ1α1+λ2α3+λ3α3，則α5=(k1-λ1)α1+(k2-λ2)α2+(k3-λ3)α3，這和α1，α2，α3，α4線性無關矛盾，故選D。6、已知P-1AP=，α1是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A屬于特征值λ=6的特征向量，那么矩陣P不能是()A、(α1，-α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2-2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1-α2，α3)。標準答案：D知識點解析：若P-1AP=，P=(α1，α2，α3)，則有AP=P，即A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)亦即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)?？梢姦羒是矩陣A屬于特征值ai的特征向量(i=1，2，3)，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關。若α是屬于特征值λ的特征向量，則-α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α，β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=6的線性無關的特征向量，故α2+α3，α2-2α3，仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3線性無關，故選項B正確。對于選項C，因為α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確。即選項C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1-α2不再是矩陣A的特征向量，故選D。7、假設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正態(tài)分布N(0，σ2)的密度函數(shù)，f2(x)是參數(shù)為λ的指數(shù)分布的密度函數(shù)，已知F(0)=1／8，則()A、a=1，b=0。B、a=3／4，b=1／4。C、a=1／2，b=1／2。D、a=1／4，b=3／4。標準答案：D知識點解析：由∫-∞+∞f(x)dx=a∫-∞+∞f1(x)dx+b∫-∞+∞f2(x)dx=a+b=1，知四個選項均符合這個要求。因此只好通過F(0)=1／8確定正確選項。由于F(0)=∫-∞0f(x)dx=a∫-∞0f1(x)dx+b∫-∞0f2(x)dx=aΦ()=aΦ(0)=a／2=1／8，因此a=1／4，故選D。8、設X1，…，Xn是取自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為，S2，則下列服從自由度為n的χ2分布的隨機變量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于總體X～N(μ，σ2)，因此～χ2(n-1)。又因為)，因此～χ2(1)。，S2是相互獨立的，根據(jù)χ2分布的可加性，可知服從自由度為n的χ2分布。故選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設函數(shù)S(x)=∫0x|cost|dt。則_______。標準答案：2／π知識點解析：對于任意的x∈(nπ，(n+1)π)，有∫0nπ|cost|dt≤∫0xcost|dt≤∫0(n+1)π|cost|dt，而∫0nπ|cost|dt=2∫0π／2costdt，∫0(n+1)πI|cost|dt=2(n+1)，所以當n→∞時，x→+∞，所以由極限的夾逼準則有=2／π。10、過點(1，0)且切線斜率為-的曲線與坐標軸所圍成的圖形的面積為_______。標準答案：ln2-知識點解析：由題意可知，f’(x)=-，且f(1)=0，對微分方程兩邊積分，得函數(shù)f(x)與坐標軸所圍的圖形如下圖所示，f(x)與x軸交于點(1，0)，所以平面圖形的面積為S=∫01f(x)dx=ln2-11、設方程確定y為x的函數(shù)，其中t為參變量，則dy／dx|t=0=_______。標準答案：1／2知識點解析：當t=0時，可得x=0，y=π／2。在兩個方程中對t求導，得：ex=6t+2，siny+(tcosy-1)=0，12、設f(x)=dx=_______。標準答案：1-e-1知識點解析：積分區(qū)域如圖交換積分次序I=∫01|01=1-e-1。13、設A是三階矩陣，且特征值為λ1=1，λ2=-1，λ3=2，A*是A的伴隨矩陣，E是三階單位陣，則||A||=_______。標準答案：211知識點解析：由A的特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=2，可知|A|=λi=-2，|A*|=|A|3-1=4。注意到是六階方陣，所以=-26．(-2)3|A*|=211。14、設隨機變量X與Y相互獨立，若X與Y分別服從X—～b(2，1／2)，Y～b(3，1／2)，則P{X+Y≥1}=_______。標準答案：31／32知識點解析：隨機變量X與Y相互獨立，X與Y分別服從X～b(2，1／2)，Y～b(3，1／2)，令隨機變量函數(shù)Z=X+Y，則Z～b(5，1／2)，由分布律可得P{X+Y≥1}=P{Z≥1}=1-P{Z=0}=1-(1／2)5=