考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷3（共205題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷3（共9套）（共205題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(x)=min{sinx，cosx}，則f(x)在區(qū)間[0，2π]內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)共有_________。A、0個(gè)．B、1個(gè)．C、2個(gè)．D、3個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：在[0，2π]上，畫出y=sinx與y=cosx的圖形，立即可得y=f(x)的圖形．由圖形直接看出，兩個(gè)交點(diǎn)為y=f(x)圖形的尖點(diǎn)，因而是不可導(dǎo)點(diǎn)，其他均為可導(dǎo)點(diǎn)．應(yīng)選C．2、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，又F(x)=f(｜sint｜)dt，則_________。A、F(x+，π)＞F(x)(x∈(—∞，+∞))．B、F(x+，π)＜F(x)(x∈(—∞，+∞))．C、F(x+，π)=F(x)(x∈(—∞，+∞))．D、x＞0時(shí)F(x+，π)＞F(x)，x＜0時(shí)F(x+π)＜F(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因此選C．3、設(shè)δ＞0，ff(x)在(—δ，δ)有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，f’(0)=f"(0)=0且，則下列結(jié)論正確的是_________。A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)．D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：→(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)．故應(yīng)選C．4、下列命題中正確的是_________。A、設(shè)f(x)在(—∞，+∞)為偶函數(shù)且在[0，+∞)可導(dǎo)，則f(x)在(—∞，+∞)可導(dǎo)．B、設(shè)f(x)在(—∞，+∞)為奇函數(shù)且在[0，+∞)可導(dǎo)，則f(x)在(—∞，+∞)可導(dǎo)．C、設(shè)．D、設(shè)x0∈(a，b)，f(x)在[a，b]除x0外連續(xù)，x0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]仍存在原函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：關(guān)于(A)、(B)，可從幾何上考察圖形，易知(A)錯(cuò)，(B)對(duì)．因此f(x)在(一∞，+∞)可導(dǎo)．故應(yīng)選B．5、=_________。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用恒等式故應(yīng)選A．6、設(shè)A為n階矩陣，對(duì)于齊次線性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，則必有________。A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若α是(Ⅰ)的解，即Anα=0，顯然An+1α=A(Anα)=A0=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．若η是(Ⅱ)的解，即An+1η=0．假若η不是(Ⅰ)的解，即Anη≠0，那么對(duì)于向量組η，Aη，A2η，…，Anη，一方面這是n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)；另一方面，若kη+k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An左乘上式，并把An+1η=0，An+2η=0，…，代入，得kAnη=0．由于Anη≠0，必有k=0．對(duì)k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An—1左乘上式可推知k1=0．類似可知ki=0(i=2，3，…，，1)．于是向量組η，Aη，A2η，…，Anη線性無關(guān)，兩者矛盾．所以必有Anη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故應(yīng)選A．7、設(shè)矩陣A是秩為2的4階矩陣，又α1，α2，α3是線性方程組Ax=b的解，且α1+α2—α3=(2，0，—5，4)T，α2+2α3=(3，12，3，3)T，α3—2α1=(2，4，1，一2)T，則方程組Ax=b的通解x=___A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于n—r(A)=4—2=2，故方程組Ax=b的通解形式應(yīng)為α+k1η1+k2η2．這樣可排除(C)，(D)．因?yàn)锳(α2+2α3)=b，a(α3—2α1)=一b，所以A中(1，4，1，1)T和B中(一2，一4，一1，2)T都是方程組Ax=b的解．(A)和B中均有(2，2，一2，1)T，因此它必是Ax=0的解．只要檢驗(yàn)(1，一4，一6，3)T和(1，8，2，5)T哪一個(gè)是Ax=0的解就可以了．由于3(α1+α2—α3)一(α2+2α3)=3(α1—α3)+2(α2—α3)是Ax=0的解，所以(3，一12，一18，9)T是Ax=0的解．那么(1，一4，一6，3)T是Ax=0的解．故應(yīng)選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)n為正整數(shù)，則∫0π｜sinnx｜dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)f’(x)=arcsin(1一x)，且f(0)=0，則∫01f(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知f’(x)=arcsin(x一1)，求I=∫01f(x)dx，我們不必先求出f(x)，而是把求I轉(zhuǎn)化為求與f’(x)有關(guān)的定積分，就要用分部積分法，或把f(x)f(0)+∫0xf’(y)dy再積分．利用分部積分法可得10、設(shè)y=y(x)滿足方程作自變量替換x=，則y作為t的函數(shù)滿足的微分方程微分方程是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2sint知識(shí)點(diǎn)解析：先求11、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，且f(x，y)=，其中D：u2+v2≤a2(a＞0)，則f(x，y)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：注意f(u，v)dudv為常數(shù)，記為A，由于xy2對(duì)u、v為常數(shù)，因此對(duì)u，v積分時(shí)可提出積分號(hào)外→f(x，y)=+Axy2．求f(x，y)歸結(jié)為求常數(shù)A．等式兩邊在D積分得12、設(shè)，則其中常數(shù)p的取值范圍是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)間(3，+∞)．(或集合{p｜p＞3}．)知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=y＞0時(shí)由于=0’由夾逼定理即得此時(shí)=0，這表明=0的充分必要條件是其中常數(shù)p＞3，即符合要求的常數(shù)p的取值范圍是區(qū)間(3，+∞)．(也可表示為集合的形式{p｜p＞3}．)13、已知矩陣A=只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么矩陣A的特征向量是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(一1，1，1)T，k≠0為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：“特征值不同特征向量線性無關(guān)”，已知矩陣A只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故特征值λ0必是3重根，且秩r(λ0E—A)=2．由∑λi=∑aii知3λ0=4+(一2)+1，得特征值λ=1(3重)．又因?yàn)橹萺(E一A)=2，因此有a=一2．此時(shí)(E—A)x=0的基礎(chǔ)解系是(一1，1，1)T．故A的特征向量為k(一1，1，1)T，k≠0為任意常數(shù)．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=2．若f(x)的反函數(shù)g(x)滿足∫2f(lnx+1)g(t)dt=xlnx，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：在題設(shè)等式中令x=1，由于f(1)=2，則等式自然成立．現(xiàn)將題設(shè)等式兩端對(duì)x求導(dǎo)，利用變上限定積分求導(dǎo)公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式及反函數(shù)的概念可得所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足的關(guān)系式，再由定解條件即可求出f(x)．將題設(shè)等式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得g[f(lnx+1)]f’(lnx+1).=lnx+1．(將上式對(duì)x從1到x積分即得題設(shè)等式，因此上式與原等式等價(jià)．)因f(x)與g(x)互為反函數(shù)，所以g[f(u)]≡u(píng)，代入上式，得(lnx+1)f’(lnx+1)=lnx+1，即f’(lnx+1)=x．令lnx+1=u，則有x=eu—1，且f’(u)=eu—1，積分得f(u)=eu—1+C．利用已知函數(shù)值f(1)=2可確定常數(shù)C=1，故f(x)=ex—1+1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)方程y3+sin(xy)一e2x=0確定曲線y=y(x)．(Ⅰ)求此曲線Y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的曲率與曲率半徑．Ⅱ求此曲線y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的曲率圓方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)首先用隱函數(shù)求導(dǎo)法計(jì)算y=y(x)在x=0處的一、二階導(dǎo)數(shù)y’(0)與y"(0)．為此將隱函數(shù)方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得3y2+(y+xy’)cos(xy)一2e2x=0．(*)將x=0與y(0)=1代入(*)即得3y’(0)+1—2=0→y’(0)=．將(*)式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)又得6y(y’)2+3y2y"+(2y’+xy”)cos(xy)一(y+xy’)2sin(xy)一4e2x=0，(**)將x=0，y(0)=1與)y’(0)=代入(**)即得Ⅱ設(shè)曲線y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的曲率圓中心是(ξ，η)．先求(ξ，η)．曲線y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的法線方程是y=1—3x(y’(0)=)，曲率中心(ξ，η)位于法線上，所以有η=1—3ξ又(ξ，η)與(0，1)的距離即曲率半徑ρ，即因?yàn)閥=y(x)在(0，1)附近是凹的(y"(0)＞0，y"(x)連續(xù))，(ξ，η)在法線上凹的一側(cè)，如右圖，η＞1即ξ<0，。于是曲線y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的曲率圓方程是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、(Ⅰ)求積分f(t)=(—∞＜t＜+∞)．(Ⅱ)證明f(t)在(—∞，+∞)連續(xù)，在t=0不可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)u=，其中f(s，t)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．(Ⅰ)求du．(Ⅱ)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、一容器在開始時(shí)盛有鹽水100升，其中含凈鹽10公斤．現(xiàn)以每分鐘3升的速度注入清水，同時(shí)以每分鐘2升的速度將沖淡的溶液放出，容器中裝有攪拌器使容器中的溶液保持均勻，求過程開始后1小時(shí)溶液的含鹽量。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻容器中溶液的含鹽量為x=x(t)，依題意t時(shí)刻容器中的溶液量為100+(3—2)t=t時(shí)刻容器中溶液的濃度為.因此在[t，t+△t]時(shí)間間隔內(nèi)，容器中溶液的含鹽量改變量=流入溶液的含鹽量一流出溶液的含鹽量，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(t)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}，求證：f(x—y)dxdy=∫—22f(t)(2一｜t｜)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：先將二重積分I=(x一y)dxdy化為累次積分I=∫—11dx∫—1f(x—y)dy．令x—y=t，則I=一∫—11dx∫x+1x—1f(t)dt=∫—11dx∫x—1x+1f(t)dt．進(jìn)一步化為定積分．對(duì)I=∫—11[∫x—1x+1f(t)dt]dx作分部積分，有I=[x∫x—1x+1f(t)dt]｜—11—∫—11x[f[x+1)一f(x一1)]dx=∫02f(t)dt+∫—20f(t)dt—∫02(t—1)f(t)dt+∫—20(t+1)f(t)dt=∫—22f(t)dt+∫—22(1～｜t｜)f(t)dt=∫—22(2一｜t｜)f(t)dt．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、(Ⅰ)設(shè)f(x)在(a，+∞)可導(dǎo)且f’(x)=A，求證：若A＞0，則f(x)=+∞；若A＜0，則f(x)=一∞．(Ⅱ)設(shè)g(x)在[a，+∞)連續(xù)，且∫a+∞g(x)dx收斂，又g(x)=l，求證l=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)聯(lián)系f(x)與f’(x)的是拉格朗日中值定理，取x0∈(a，+∞)，x＞x0。有f(x)=f(x0)+f’(ξ)(x一x0)(x0＜ξ＜x)．(*)下面估計(jì)f’(ξ)：由=A，設(shè)A＞0，由極限的不等式性質(zhì)→X＞a，當(dāng)x＞X時(shí)f’(x)＞．現(xiàn)取定x0＞X，當(dāng)x＞x0時(shí)，由于ξ＞x0＞X，有f’(ξ)＞，于是由(*)式得(Ⅱ)記f(x)=∫axg(t)dt，則f(x)在[a，+∞)內(nèi)可導(dǎo)且f’(x)=g(x)，．若x≠0，則l＞0或＜0，由題(Ⅰ)→=∫a+∞g(t)dt=+∞(或一∞)，與∫a+∞g(t)dt收斂矛盾．因此l=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知A是3階矩陣，ai(i=1，2，3)是3維非零列向量，若Aai=iai(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3。(Ⅰ)證明：α，Aα，A2α線性無關(guān)；(Ⅱ)設(shè)P=(α，Aα，A2α)，求P—1AP．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，且α1，α2，α3非零可知，α1，α2，α3是A的不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3線性無關(guān)．又Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，若k1α+k2Aα+k3A2α=0，即k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0，則(k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0．由α1，α2，α3線性無關(guān)，得齊次線性方程組因?yàn)橄禂?shù)行列式為范德蒙行列式且其值不為0，所以必有k1=k2=k3=0，即α，Aα，Aα線性無關(guān)．Ⅱ因?yàn)锳3α=α+8α+27α=6α一11Aα+6A2α，所以AP=A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，6α一11Aα+6A2α)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)二次型xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩陣A滿足AB=0，其中B=(Ⅰ)用正交變換化二次型xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用正交變換；(Ⅱ)求(A一3E)6．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由AB==0知，矩陣B的列向量是齊次方程組Ax=0的解向量．記，則Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2．由此可知λ=0是矩陣A的特征值(至少是二重)，α1，α2是λ=0的線性無關(guān)的特征向量．根據(jù)∑λi=∑aii，有0+0+λ3=1+4+1，故知矩陣A有特征值λ=6．因此，矩陣A的特征值是0，0，6．設(shè)λ=6的特征向量為α3=(x1，x2，x3)T，那么由實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)=則x=0是f(x)的A、可去間斷點(diǎn)．B、跳躍間斷點(diǎn)．C、第二類間斷點(diǎn)．D、連續(xù)點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因此按間斷點(diǎn)分類的規(guī)定，x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．應(yīng)選B．2、設(shè)f(x)=在區(qū)間(0，4)內(nèi)某點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)f’(a)不存在，則必有A、a=．B、a=1．C、a=2．D、a=3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f’—(2)=(2x)’｜x=2=2，f’+(2)=(x2)’｜x=2=4，f’—(2)≠f’+(2)故f’(2)不存在，即a=2．選C．3、曲線y=與y=ex在其交點(diǎn)處的切線的夾角θ=________．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由=ex解得x=0，即兩條曲線的交點(diǎn)為點(diǎn)(0，1)．由于因此兩條切線在交點(diǎn)處的斜率分別為0和1，故其夾角θ=．應(yīng)選B．4、反常積分∫—∞+∞sinx.e｜x｜dxA、收斂，且取值為零．B、收斂，且取正值．C、發(fā)散．D、收斂，且取負(fù)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫—∞+∞f(x)dx收斂的定義是：∫0+∞f(x)dx與∫—∞0f(x)dx均收斂，且∫—∞+∞f(x)dx=∫—∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx．用分部積分法計(jì)算可得：當(dāng)b＞0時(shí)．有5、設(shè)f(x，y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且f(x，y)(ydx+xdy)為某一函數(shù)u(x，y)的全微分，則下列等式成立的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由已知du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy故應(yīng)選B．6、以y=excos2x，y=exsin2x與y=e—x為線性無關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是A、y’’’+y"+3y’+5y=0．B、y’’’—y"+3y’+5y=0．C、y’’’+y"—3y’+5y=0．D、y’’’—y"—3y’+5y=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：線性無關(guān)特解y1=excos2x，y2=exsin2x與y3=e—x對(duì)應(yīng)于特征根λ1=1+2i，λ2==1—2i與λ3=—1，由此可得特征方程是(λ一1—2i)(λ一1+2i)(λ+1)=0λ3一λ2+3λ+5=0．由此即知以y1=excos2x，y2=exsin2x與y=e—x為線性無關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是y’’’一y"+3y’+5y=0．應(yīng)選B．7、設(shè)A，B，C是n階矩陣，并滿足ABAC=E，則下列結(jié)論中不正確的是A、ATBTATCT=E．B、BAC=CAB．C、BA2C=E．D、ACAB=CABA．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這一類題目要注意的是矩陣乘法沒有交換律、有零因子、沒有消去律等法則．由ABAC=E知矩陣A，B，C均可逆，那么由ABAC=E→ABA=C—1→CABA=E．從而(CABA)T=ET，即ATBTATCT=E，故(A)正確．由ABAC=E知A—1=BAC，由CABA=E知A—1=CAB，從而BAC=CAB，故(B)正確．由ABAC=E→CABA=EA→CAB=E，故(D)正確．由排除法可知，(C)不正確，故選C．8、n維向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs和向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs等價(jià)的充分必要條件是A、秩r(Ⅰ)=rⅡ且s=t．B、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n．C、向量組(Ⅰ)的極大無關(guān)組與向量組(Ⅱ)的極大無關(guān)組等價(jià)．D、向量組(Ⅰ)線性無關(guān)，向量組(Ⅱ)線性無關(guān)且s=t．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：向量組等價(jià)的必要條件是秩相等，等價(jià)與向量的個(gè)數(shù)無關(guān)．例如：向量組(1，0，0)，(2，0，0)與向量組(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它們不等價(jià)；向量組(1，0，0)，(2，0，0)與向量組(3，0，0)等價(jià)，但向量個(gè)數(shù)不同，故(A)不正確．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n是向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)等價(jià)的充分條件，不必要．例如，向量組(1，0，0)，(0，1，0)與向量組(2，0，0)，(0，2，0)等價(jià)，但秩不為n．故(B)不正確．向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅰ)的極大無關(guān)組等價(jià)，向量組(Ⅱ)與向量組(Ⅱ)的極大無關(guān)組等價(jià)．如果向量組(Ⅰ)的極大無關(guān)組與向量組(Ⅱ)的極大無關(guān)組等價(jià)，由等價(jià)的傳遞性自然有向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)等價(jià)，反之亦對(duì)．故(C)正確．應(yīng)選C．注意，等價(jià)與向量組的相關(guān)、無關(guān)沒有必然的聯(lián)系，故(D)不正確．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)x→a時(shí)φ(x)是x一a的n階無窮小，u→0時(shí)f(u)是u的m階無窮小，則x→a時(shí)f[φ(x)]是x—a的________階無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：mn．知識(shí)點(diǎn)解析：由于因此應(yīng)填mn．10、設(shè)f(x)=則f(C)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)f(x，y)=，則df(x，y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、已知函數(shù)y(x)可微(x＞0)且滿足方程y(x)—1=(x＞0)，則y(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=．知識(shí)點(diǎn)解析：這是含變限積分的方程．先將原方程兩邊求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為常微分方程得在原方程中令x=1得y(1)=1．于是原方程與初值問題13、設(shè)有擺線x=a(t—sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，則L繞戈軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積S=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由旋轉(zhuǎn)面面積公式得14、已知三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩為2，則其規(guī)范形為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y12一y32．知識(shí)點(diǎn)解析：二次型矩陣A=因?yàn)椋麬｜=(a+2)(a—1)2，由秩r(A)=2，易見a=一2．由可知矩陣A的特征值為3，—3，0．從而正交變換下二次型標(biāo)準(zhǔn)形為3y12一3y32，故其規(guī)范形為y12一y12．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)a≥5為常數(shù)，m為何值時(shí)極限I=[(xα+8x+2)m一x]存在并求此極限值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)m≤0時(shí)I=一∞，極限不存在，m＞0時(shí)，為∞—∞型極限，改寫成知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)y=y(x)(0≤x≤2π)由參數(shù)方程(0≤t≤2π)確定，它在[0，2π]連續(xù)，(0，2π)可導(dǎo)．(Ⅰ)求y=y(x)的單調(diào)性區(qū)間與凹凸性區(qū)間．(Ⅱ)設(shè)該參數(shù)方程確定的曲線L的形心為。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由參數(shù)式求導(dǎo)法有(t∈(0，2π)，即x∈(0，2π))，所以y=y(x)在[0，2π]是凸函數(shù)．(Ⅱ)按求曲線的形心公式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)的切線在Y軸上的截距與法線在x軸上的截距之比為3，求y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求截距并列方程．曲線y=y(x)在點(diǎn)(x，y(x))處的切線方程是y—y(x)=y’(x)(X一x)令X=0，得y軸上截距y=y(x)一xy’(x)相應(yīng)的法線方程是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)F(u，v)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，a，b，c為常數(shù)，F(xiàn)’u，f’v不同時(shí)為零，方程確定隱函數(shù)z=z(x，y)，求與dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)，注意z=z(x，y)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、(Ⅰ)設(shè)有一塊平板豎放在比重為p的液體中，選擇位于液體表面的某點(diǎn)為原點(diǎn)D，沿鉛直線向下方向?yàn)镺x軸正方向，深度為x的地方平板寬度為f(x)，平板浸入液體的最小深度和最大深度分別為a和b，試用微元法導(dǎo)出整塊平板所受的液體的側(cè)壓力的積分表達(dá)式．(Ⅱ)有一橢圓形薄板，長半軸為a，短半軸為b，薄板垂直立于液體中，而其短軸與液面相齊，液體的比重為p，求薄板所受的側(cè)壓力。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)平板如圖所示，考察從深度x到深度x+△x的小橫條，可近似把小橫條各點(diǎn)的液面深度看作x，于是它所受液體壓強(qiáng)為px，小橫條面積為f(x)△x，這小橫條所受的液體側(cè)壓力△p≈ρxf(x)△x于是側(cè)壓力微元dp=ρxf(x)dx因此整塊平板所受的側(cè)壓力p=∫abρxf(x)dx．(Ⅱ)取坐標(biāo)系如圖所示，橢圓方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求二重積分：(Ⅰ)J=x2ydxdy，D={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤x，x2+y2≥2x}(Ⅱ)J=xy2dxdy，D={(x，y)｜x2+y2≤ax}，a＞0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)D是圓周x2+y2=2x((x一1)2+y2=1)的外部與梯形{(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤x}的公共部分如圖所示．在Oxy直角坐標(biāo)系中選擇先y后x的積分順序，D表為作極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，并由D關(guān)于x軸對(duì)稱，x軸上方部分為D1：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(Ⅰ)設(shè)f(x)在(0，+∞)可導(dǎo)，f’(x)＞0(x∈(0，+∞))，求證f(x)在(0，+∞)單調(diào)上升．(Ⅱ)求證：f(x)=在(0，+∞)單調(diào)上升，其中n為正數(shù)．(Ⅲ)設(shè)數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)對(duì)0＜x1＜x1＜+∞，在[x1，x1]上可用拉格朗13中值定理得，ξ∈(x1，x2)(0，+∞)使得f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1)＞0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知α1=(1，3，5，—1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，—1，7)T，(Ⅰ)若α1，α2，α3線性相關(guān)，求a的值；(Ⅱ)當(dāng)a=3時(shí)，求與α1，α2，α3都正交的非零向量α4；(Ⅲ)當(dāng)a=3時(shí)，證明α1，α2，α3，α4可表示任一個(gè)4維列向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)α1，α2，α3線性相關(guān)秩r(α1，α2，α3)＜3．由于所以a=一3．Ⅱ設(shè)α4=(x1，x2，x3，x4)T，則有(α1，α4)=0，(α2，α4)=0，(α3，α4)=0，即所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一4維列向量必可由α1，α2，α3，α4線性表出．或者由(Ⅰ)知a=3時(shí)，α1，α2，α3必線性無關(guān)，那么：若k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用α4T左乘上式兩端并利用α4Tα1=α4Tα2=α4Tα3=0，有k4α4Tα4=0，又α4α1≠0，故必有k4=0．于是k1α1+k2α2+k3α3=0．由α1，α2，α3線性無關(guān)知必有k1=0，k2=0，k3=0，從而α1，α2，α3，α4必線性無關(guān)，而5個(gè)4維列向量必線性相關(guān)，因此任一個(gè)4維列向量都可由α1，α2，α3，α4線性表出．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知A是3階矩陣，α1，α2，α3是線性無關(guān)的3維列向量，滿足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．(Ⅰ)求矩陣A的特征值；(Ⅱ)求矩陣A的特征向量；(Ⅲ)求矩陣A*一6E的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)據(jù)已知條件，有A(α1，α2，α3)=(一α1—3α2—3α3，4α1+4α2+α3，一2α1+α3)=(α1，α2，α3)記B=及P1=(α1，α2，α3)，那么由α1，α2，α3線性無關(guān)知矩陣P1可逆，且P1—1AP1=B，即A與B相似．由矩陣B的特征多項(xiàng)式得矩陣B的特征值是1，2，3．從而知矩陣A的特征值是1，2，3．(Ⅱ)由(E一B)x=0得基礎(chǔ)解系β1=(1，1，1)T，即矩陣B屬于特征值λ=1的特征向量，由(2E—B)x=0得基礎(chǔ)解系β2=(2，3，3)T，即矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，由(3E—B)x=0得基礎(chǔ)解系β3=(1，3，4)T，即矩陣B屬于特征值λ=3的特征向量，那么令P2=(β1，β2，β3)，則有P2—1BP2=．于是令P=P1P2=(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α1+3α2+3α3，α1+3α2+4α3)，則有p—1AP=(P1P2)—1A(P1P2)=P2—1(P1—1AP1)P2=P2—1BP2=所以矩陣A屬于特征值1，2，3的線性無關(guān)的特征向量依次為k1(α1，α2，α3)，k2(2α1+3α2+3α3)，k3(α1+3α2+4α3)，ki≠0(i=1，2，3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知f(x一1)一x2+ax+π，且，則a=()．A、a=一(π+1)B、a=0C、a=πD、a的取值不唯標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：先作代換x一1=t，然后利用極限的運(yùn)算法則及性質(zhì)求之．解令x一1=t，則f(t)=(t+1)2+a(t+1)+π，即f(x)=(x+1)2+a(x+1)+π．由知，必有則所以f(0)=0，即1+a+π=0，故a=一(π+1)．2、設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，其結(jié)論是()．A、不存在間斷點(diǎn)B、存在間斷點(diǎn)x=1C、存在間斷點(diǎn)x=0D、存在間斷點(diǎn)x=一1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：先求出分段函數(shù)f(x)的表示式，再考察在分段點(diǎn)的左、右極限，確定間斷點(diǎn)．解當(dāng)∣x∣＜1時(shí)，當(dāng)∣x∣＞1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1，當(dāng)x=一1時(shí)，f(x)=0．因此由于故x=一1是f(x)的連續(xù)點(diǎn)．顯然x=0不是間斷點(diǎn)而是連續(xù)點(diǎn)，事實(shí)上，而所以x=1是間斷點(diǎn)．3、若，則f(x)在x=0處()．A、導(dǎo)數(shù)存在，且f′(0)≠0B、導(dǎo)數(shù)不存在C、取得極小值D、取得極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用極限的局部保號(hào)性及極值的定義判別之．解由．又f(x)在x=0處連續(xù)，故知，存在x=0的某空心鄰域，在此鄰域內(nèi)有，即f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在x=0處取極小值．4、設(shè)其中f(x)在x=0處連續(xù)，且f(0)=0．若F(x)在x=0處連續(xù)，則k等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用F(x)在x=0處連續(xù)的定義求之．解根據(jù)連續(xù)的定義，有5、設(shè)無窮長直線L的線密度為1，引力常數(shù)為k，則L對(duì)距直線為a的單位質(zhì)點(diǎn)P沿y軸方向的引力為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：先寫出所求的引力微元dEy，然后再按反常定積分的計(jì)算公式求之．解取L為x軸，y軸過P點(diǎn)，如下圖所示．在L上任取一小段[x，x+dx]，它對(duì)點(diǎn)P的引力沿y軸方向分量為其中，所以于是L對(duì)質(zhì)點(diǎn)P沿y軸方向的引力6、設(shè)矩形域D：0≤x≤π，0≤y≤π，則二重積分為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：用直線y=x將區(qū)域D劃分為兩個(gè)子區(qū)域，去掉max{x，y}再積分．解7、設(shè)n階方陣A，B，C，D滿足關(guān)系式ABCD=E，其中E為n階單位矩陣，則必有()．A、ACBD=EB、BDCA=EC、CDAB=ED、DCAB=E標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用可逆矩陣的定義：如AB=E或ABC=E，或ABCD=E，則分別有AB=BA=E，ABC=BCA=CAB=E，ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E，即滿足上式依次循環(huán)的矩陣乘積等式是成立的．解由ABCD=E知，AB·CD=CD·AB=E．8、已知，則秩(A—E)+秩(A一3E)=()．A、7B、6C、5D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：B為實(shí)對(duì)稱矩陣，可對(duì)角化，又因A～B，故B的特征值0、3(二重根)、一2必是A的特征值，且重?cái)?shù)相同，故秩(A一3E)=4—2=2．解由=λ(λ一3)(λ2一λ一6)=λ(λ一3)2(λ+2)及A～B知，B的特征值為0，3(重根)與一2，且它們也是A的特征值．又因B是實(shí)對(duì)稱，必可對(duì)角化，因此A可對(duì)角化，那么A對(duì)于λ=3必有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即方程組(3E—A)X=0的一個(gè)基礎(chǔ)體系只含2個(gè)解向量．由4一秩(3E—A)=2得到秩(3E—A)=n一2=4—2=2．又因λ=1不是A的特征值，即∣E—A∣≠0，故秩(E—A)=4．于是秩(A—E)+秩(A一3E)=4+2=6．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、(a，b為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：ea+b知識(shí)點(diǎn)解析：所給極限函數(shù)為冪指函數(shù)，其極限可用重要極限或換底法求之．解一而故原式=ea+b．解二而故原式=ea+b．10、設(shè)f(t)=et，且標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識(shí)點(diǎn)解析：先求出u的表達(dá)式，再求其極限．解一由，得到ex一1=xf(ux)=xeux，即又而即解二11、曲線y=lnx在點(diǎn)_______處曲率半徑最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：問題歸結(jié)求的最小值．解則于是令R′x=0得．顯然，當(dāng)時(shí)，R′x＞0；當(dāng)時(shí)，R′x＜0．由一階導(dǎo)數(shù)判別法可知，為R(x)的極小值點(diǎn)．又因駐點(diǎn)唯一，該極小值也是R(x)的最小值，故曲線y=lnx在點(diǎn)處的曲率半徑最?。?2、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D是由y=x，y=0，x=1所圍成的區(qū)域，則f″xy(x，y)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因積分區(qū)域D為固定區(qū)域，故為常數(shù)．注意這一點(diǎn)后，可在等式兩邊在區(qū)域D上進(jìn)行二重積分，確定此常數(shù)，再求偏導(dǎo)f″xy(x，y)．解令則f(x，y)=(1+A)xy，從而有解得即有故13、設(shè)A，B是n階方陣，且AB=BA，其中試求矩陣B=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A為對(duì)角矩陣，另一矩陣B與A可交換，則B也必為對(duì)角矩陣．下用矩陣乘法推出矩陣B．解設(shè)B=[bij]n×n，AB=[cij]n×n，j6lA一[dij]n×n，顯然cij=ibij，dij=jbij．又因AB=BA．故ibij=jbij(i，j=1，2，…，n)，其中，當(dāng)i≠j時(shí)，有(i一j)bij=0，故bij=0(i≠j)．因此三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、計(jì)算，其中D為由直線y=2，y=0，x=一2及半圓所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，D上的二重積分等于D+D1上的二重積分，再減去D1上的二重積分．由有x2+y2=2y，即r2=2rsinθ，r=2sinθ．因而解而故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)xOy平面的第一象限中有曲線Γ：y=y(x)，過點(diǎn)y′(x)>0．又M(x，y)為Γ上任意一點(diǎn)，滿足：弧段的長度與點(diǎn)M處Γ的切線在x軸上的截距之差為(Ⅰ)導(dǎo)出y=y(x)滿足的積分、微分方程和初始條件；(Ⅱ)求曲線Γ的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：不顯含x的二階方程y″=f(y，y′)的解法是作變量代換，代入方程即可降階求解．解(Ⅰ)先求出Γ在點(diǎn)M(x，y)處的切線方程．Y—y(x)=y′(x)(X—x)，其中(X，Y)是切線上點(diǎn)的坐標(biāo)．在切線方程中令Y=0，得x軸上截距又弧段的長度為．由題意得這是積分、微分方程．兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可化為二階微分方程：又由條件及式①，令x=0，得因此初值問題為方程①與②是等價(jià)的．(Ⅱ)下面求解②．這是不顯含x的二階方程，作變換p=y′，并以y為自變量得分離變量得到兩邊積分得于是由時(shí)p=1，得c1=0．于是將上面兩式相減，得再積分得將坐標(biāo)點(diǎn)代入式③求得則式③即為曲線Γ的表達(dá)式．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、已知f′(x)=arctan(x一1)2，且f(0)=0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：已知被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或被積函數(shù)中含某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是用分部積分法計(jì)算積分的兩種典型的模式．解分部積分兩次得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、已知f(x)在x=0點(diǎn)可導(dǎo)且f(0)=0，f′(0)=1，試求其中D：x2+y2≤t2．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域?yàn)閳A域，被積函數(shù)為f(x2+y2)類型，這是使用極坐標(biāo)計(jì)算的最好條件．為求極限，先將二重積分化為上限為t的變限積分．解因?yàn)楣手R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b](a＜b)上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．求證：在(a，b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：將待證等式改寫為于是應(yīng)作輔助函數(shù)F(x)=xe-x．對(duì)F(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理，即可證明待證等式．證將待證等式改寫為作輔助函數(shù)F(x)=xe-x，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F′(x)=e-x一xe-x．由拉格朗日中值定理知，存在一點(diǎn)ξ，使即亦即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求微分方程2x3y′=y(2x2―y2)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化齊次微分方程求解．解原方程可化為這是齊次方程．令，于是代入上述方程，有分離變量，并兩邊積分得到將代回上式并整理，得原方程的通解，其中c為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算二重積分其中D：x2+y2≤4．標(biāo)準(zhǔn)答案：先用曲線x2+y2一2x=0將區(qū)域D分成兩部分，然后再分別計(jì)算．解為去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào)，先找出使x2+y2一2x=0的點(diǎn)，而x2+y2一2x=0是一個(gè)圓，以其圓周為邊界線，將D分成兩部分：D1：2x≤x2+y2≤4，D1：x2+y2≤2x．故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)α1，α2，α3，α4，β為四維列向量，A=[α1，α2，α3，α4]，已知Ax=β的通解為X=[1，一1，2，1]T+k1[1，2，0，1]T+k2[一1，1，1，0]T，①其中[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T為對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)．令B=[α1，α2，α3]，試求BY=β的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：為求BY=β的特解，只需找出β用B的列向量α1，α2，α3的線性表示式；為求BY=0的基礎(chǔ)解系，只需找出B的列向量之間等于0的線性組合表示式．如何求得向量之間的這些線性表示式?現(xiàn)有的條件[1，一1，2，1]T為Ax=β的一特解，這就告訴我們?chǔ)驴捎肁的一個(gè)列向量組線性表示．又已知Ax=0的兩個(gè)解[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T，這就告訴我們A的列向量之間的兩個(gè)等于0的線性組合．有了這些條件，剛才提出的問題就可以解決．解由式①知，[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T為Ax=0的基礎(chǔ)解系，[1，一1，2，1]T為Ax=β的一特解，故n一秩(A)=4一秩(A)=2，即秩(A)=2，且有β=α1一α2+2α3+α4，α1+2α2+Oα3+α4=0，一α1+α2+α3+0α4=0．于是有α3=α1一α2，α4=一α1一2α2．因秩(A)=秩(α1，α2，α3，α4)=2，故α1，α2線性無關(guān)，從而秩(B)=秩(α1，α2，α3)=2．由β=2α1—5α2+0α3．易知[2，一5，0]T為BY=β的特解．又n=3，n一秩(B)=3—2=1，故BY=β的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量．由α1一α2一α3=0知，[1，一1，一1]T為BY=0的非零解，可作為基礎(chǔ)解系，故BY=β的通解為y=[2，5，0]T+k[1，一1，一1]T，其中k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、給定矩陣其行向量都是齊次線性方程組(Ⅰ)：的解向量．問：B的4個(gè)行向量是否構(gòu)成方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系?若不能，不用解方程組的方法．試求方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：先用觀察法找出方程組(Ⅰ)所包含的獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)．這樣易求出其系數(shù)矩陣A的秩(當(dāng)然，也可用初等行變換求之)．事實(shí)上，有2×①+②=④，3×①一②=③．因而方程組(Ⅰ)中的方程①與②是獨(dú)立方程組，其系數(shù)矩陣A的秩為2．又n=5，故方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系只含5—2=3個(gè)解向量．因而只需找出B中3個(gè)線性無關(guān)的行向量即可．解令B中的第1，2，4個(gè)行向量分別為β1=[1，一2，1，0，0]T，β2=[1，一2，0，1，0]T，β4=[5，一6，0，0，1]T．因，顯然線性無關(guān)，在其相同位置上增加相同個(gè)數(shù)的分量(2個(gè)分量)，即得到β1，β2，β4．它們?nèi)匀痪€性無關(guān)，于是它們可作為方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．而B中第3個(gè)行向量β3=[1，一2，3，一2，0]T=3β1一2β2+Oβ4即為β1，β2，β4的線性組合，故B中4個(gè)行向量不能組成方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系．事實(shí)上，方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系只含3個(gè)解向量．當(dāng)然這3個(gè)解向量不唯一．事實(shí)上，β1，β3，β4也是方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)且f’’(x)>0，則x>0，h1>0，h2>0，有A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是比較三個(gè)數(shù)的大小問題．已知f’’(x)>0→f’(x)單調(diào)上升，于是設(shè)法轉(zhuǎn)化為比較導(dǎo)數(shù)值．這是可以辦到的，只要對(duì)上述兩個(gè)改變量之比用拉格朗日中值定理：由f’(x)在(一∞，+∞)單調(diào)上升→f’(ξ)’(x)’(η)．因此選B．4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：6、曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的圖形的面積可表示為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸的三個(gè)交點(diǎn)為x=0，x=1，x=2，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y＞0，所以圍成的面積可表示為(C)的形式，故選(C)．7、函數(shù)f(x)=ln｜(x-1)x-2)(x-3)｜的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、(2007年試題，一)設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()．A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1+α2，α2+α3，α3+α1C、α1一2α2，α2—2α3,α3一2α1D、α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1,標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：很顯然A選項(xiàng)的向量組(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0，即線性相關(guān)，故應(yīng)選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：2/π知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：14、曲線Y=e-x2的上凸區(qū)間是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)y=e-x2求一階、二階導(dǎo)數(shù)得y’=-2xe-x2，y’’=-2e-x2(1-2x2)當(dāng)y’’＜0，即x∈時(shí)，曲線向上凸．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)x與y均大于0且x≠y，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨認(rèn)為y>x>0．因若x＞y＞0，則變換所給式子左邊的x與y，由行列式性質(zhì)知，左式不變．由柯西中值公式，存在一點(diǎn)ξ∈(x，y)，使得上式記f(u)=en一uen，有f(0)=1，f’(u)一uen＜0(當(dāng)u＞0時(shí))，所以當(dāng)u>0時(shí)，f(u)<1．從而知eξ一ξeξ＜1，于是證得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知在x>0處有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足．求f(u)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由，有所以原方程化為(1+u2)f’’+2uf’=0，其中中的變量為u，解上述方程，得即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，f(0)=1，且函數(shù)滿足求z的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于依題設(shè)有令，則①式化為這是一階線性非齊次微分方程．下面我們求解這個(gè)方程．方法1兩邊同乘得積分得由f(0)=1→C=0．于是方法2代公式得由f(0)=1可知C=0．因此從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、(2007年試題，二)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)X與Y獨(dú)立，證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2(x12；y12)，事件{x12}與事件{y12}獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明由于X與Y獨(dú)立，故(X，Y)的分布函數(shù)F(x，y)=FX(x)FY(y)，其中FX(x)，F(xiàn)T(y)分別為X，Y的邊緣分布函數(shù)，注意到P{x12，y12}=F(x2，y2)-F(x1，y2)-F知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2列得C，記P=，則A、C=p-1AP．B、C=PAP-1．C、C=PTAP．D、C=PAPT．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、已知f(x)在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0，，則在點(diǎn)x=0處f(x)()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(x)≠0C、取得極大值D、取得極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無窮小的代換求得f(x)．由于x→0時(shí)，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，則f(x)符合原題設(shè)條件，而f(x)在x=0處可導(dǎo)f’(0)=0，取極小值．則(A)、(B)、(C)均不正確，選(D)．3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)矩陣則下列矩陣中與矩陣A等價(jià)、合同但不相似的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由可知矩陣A的特征值是3，一3，0，故秩r(A)=2，二次型xTAx的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1．(A)中矩陣的秩為1，不可能與矩陣A等價(jià)；C中矩陣的特征值為3，一3，0，與矩陣A不僅等價(jià)、合同，而且也是相似的，不符合題意．對(duì)于D，記其矩陣為D，由可知D的特征值為1，一1，0．xTAx與xTDx的正、負(fù)慣性指數(shù)一樣，所以它們合同但不相似(因?yàn)樘卣髦挡煌?，符合題意，故應(yīng)選D．注意，(B)中矩陣的特征值為1，4，0，正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=1，與A既不合同也不相似，但等價(jià)(因?yàn)橹认嗟?．6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、定積分取值A(chǔ)、為正B、為負(fù)C、為零D、的符號(hào)無法直接判定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令x2=t，則又于是故選A．8、若f(x)不變號(hào)，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)A、有極值點(diǎn)，無零點(diǎn)．B、無極值點(diǎn)，有零點(diǎn)．C、有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)．D、無極值點(diǎn)，無零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：a＞0知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：(1-cos1)/3知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、標(biāo)準(zhǔn)答案：-4知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的轉(zhuǎn)置，求解方程2B2A2x＝A4x＋B4x＋γ．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋k(1，2，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(1，2)處存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且f(1．2)=2，fy’(1,2)=3，fy’(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]．求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加．試求證F(x)=在區(qū)間(0，+∞)上也嚴(yán)格單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)第1個(gè)積分作變量變換，令．則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由于是當(dāng)時(shí)，有當(dāng)x＞1時(shí)，由＜1，于是當(dāng)時(shí)，有f(u)＜0．不論哪種情形，總有F’(x)＞0(當(dāng)r＞0且x≠1)．此外易知F’(1)=0．所以當(dāng)0＜x＜+∞時(shí)，F(xiàn)(x)嚴(yán)格單調(diào)增加．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：函數(shù)在全平面上連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算下列積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求下列各微分方程的通解或在給定初始條件下的特解標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A，B，A＋B，A－1＋B－1均為n階可逆矩陣，則(A－1＋B－1)－1等于A、A－1＋B－1．B、A＋B．C、A(A＋B)B－1．D、(A＋B)－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、已知f(x)在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0，，則在點(diǎn)x=0處f(x)()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(x)≠0C、取得極大值D、取得極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無窮小的代換求得f(x)．由于x→0時(shí)，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，則f(x)符合原題設(shè)條件，而f(x)在x=0處可導(dǎo)f’(0)=0，取極小值．則(A)、(B)、(C)均不正確，選(D)．3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：6、“對(duì)任意給定的ε∈(0，1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)，n≥N時(shí)，恒有｜xn－a｜≤2ε”是數(shù)列{xn}收斂于a的A、允分條件但非必要條件．B、必要條件但非充分條件．C、允分必要條件．D、既非充分條件又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[分析]本題考查對(duì)數(shù)列收斂性定義的理解，注意到2ε仍是可任意小的正數(shù)，因此上述條件也是數(shù)列收斂的充要條件．當(dāng)然也可嚴(yán)格推導(dǎo)出它與標(biāo)準(zhǔn)定義是等價(jià)的．[詳解]由數(shù)列{xn}收斂于a“對(duì)任意給定的ε1＞0，總存在正整數(shù)N1，當(dāng)n>N1時(shí)，恒有｜xn－a｜＜ε1”，顯然可推導(dǎo)出：“對(duì)任意給定的ε∈(0，1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，恒有｜x2n－a｜≤2ε”．反過來，若有“對(duì)任意給定的ε∈(0，1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，恒有｜xn－a｜≤2ε”，則對(duì)任意的ε1＞0(不妨設(shè)0＜ε1＜1，當(dāng)ε1≥1時(shí)，取，代替即可)。取，存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，恒有｜xn－a｜≤2ε＝，令N1＝N－1，則滿足“對(duì)任意給定的ε1＞0，總存在正整數(shù)N1，當(dāng)n＞N1時(shí)，恒有｜xn－a｜＜ε1”．可見上述兩種說法是等價(jià)的，故應(yīng)選(C)．[評(píng)注]在復(fù)習(xí)過程中，對(duì)基本概念要理解透徹，而不僅僅在于是否記?。绢}若真正理解了數(shù)列極限的概念，并注意到2ε仍是可任意小的正數(shù)，則可立即得到正確選項(xiàng)．7、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：8、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：8/3知識(shí)點(diǎn)解析：11、函數(shù)f(u，v)由關(guān)系式f[xg(y)，y]=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)≠0，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：南已知關(guān)系式f[xg(y)，y]=x+g(y)兩邊對(duì)x求二次偏導(dǎo)，有fu’*g(y)=1，(1)fuu’’[g(y)]2=0．(2)由已知g(y)≠0，所以fuu’’=0，在(1)式兩邊對(duì)y求一次偏導(dǎo)，有fu’*g’(y)+{fuu’’*[x*g’(y)]+fuv’’*1}g(y)=0?將fuu’’=0代入上式，得fu’*g’(y)+fuv’’*g(y)=0，從而12、設(shè)y=sin4x，則y(B)=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先分解由歸納法，有于是13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：3(cm/s)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、確定常數(shù)a，b，c的值，使。標(biāo)準(zhǔn)答案：因，而原極限＝c≠0，得知b＝0．所以a＝1．原極限即a＝1，b＝0，．知識(shí)點(diǎn)解析：一般情況下，若limf(x)＝0，，則limg(x)＝0．22、(2001年試題，六)設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=0，且其反函數(shù)為g(x)．若求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)f(x)的反函數(shù)是g(x)，所以有y=f(x)，且x=g(y)，即g(f(x))=x成立，由兩邊對(duì)x求導(dǎo)得g(f(x))f’(x)=2xe2+x2ex利用g(f(x))=x，得xf’(x)=2xex+x2ex，即f’(x)=(2+x)ex，從而又由題設(shè)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，知f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，結(jié)合f(0)=0，有從而C=一1，所以f(x)=ex+xex一1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)某商品的需求量Q是價(jià)格P的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000(即P＝0時(shí)，Q=1000)，已知需求量的變化率(邊際需求)為求需求量Q與價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)，且對(duì)任意x1和x2，當(dāng)x1＞x2時(shí)都有f(x1)＞f(x2)，則()．A、對(duì)任意x，f′(x)＞0B、對(duì)任意x，f′(一x)≤0C、函數(shù)f(一x)單調(diào)增加D、函數(shù)一f(一x)單調(diào)增加標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用y=一f(一x)的圖形與y=f(x)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱來判別．由于y=一f(一x)的圖形與y=f(x)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x1＞x2時(shí)，有f(x1)＞f(x2)，則函數(shù)一f(一x)必單調(diào)增加．f(x)單調(diào)增加，但其導(dǎo)數(shù)不一定滿足f′(x)＞0，也可能有f′(x)=0．例如y=x3單調(diào)增加，但y′(0)=3x2∣x=0=0．至于函數(shù)f(一x)與f(x)是兩個(gè)不同函數(shù)，它是否單調(diào)增加及其導(dǎo)數(shù)是否小于0不得而知，故(A)、(B)、(C)不成立，2、曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先求出y′，y″考察在x取何值時(shí)，在其兩側(cè)y″變號(hào)．這些點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，另一方面，y在點(diǎn)x0處連續(xù)，雖然y″不存在，但y″在點(diǎn)x0的左右兩側(cè)變號(hào)，則(x0，y(x0))也是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．先求出y′與y″：因在(一∞，+∞)上連續(xù)，且在的兩側(cè)y″變號(hào)，故的拐點(diǎn)．另外在x=0處y″不存在，但在x=0的兩側(cè)y″變號(hào)，因此(0，0)也是曲線的拐點(diǎn)．此外再無其他拐點(diǎn)．3、設(shè)f(x)=min(1，x2)，則等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)x的取值要分∣x∣≤1，∣x∣＞1即可分∣x∣≤1，x＞1，x＜一1三種情況討論．解當(dāng)∣x∣≤1時(shí)，f(x)=min(1，x2)=x2，則當(dāng)x＞1時(shí)，4、若函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為arctanx，則dx一()．A、arctan(1一x2)+CB、C、xarctan(1一x2)+CD、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用題設(shè)條件得到f(1一x2)=[arctan(1一x2)]′，因而就可求得被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．解由題設(shè)f(x)=(arctanz)′，于是5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：按無窮限的反常積分定義求之．解6、設(shè)方程exy+y2=cosx確定y為x的函數(shù)，則=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：給出一個(gè)方程常作出含此隱函數(shù)的函數(shù)F(x，y)=exy+y2一cosx，然后再按公式求之．求Fx時(shí)，視y為常數(shù)，求Fy時(shí)視x為常數(shù)．解一令F(x，y)=exy+y2一cosx，則Fx=yexy+sinx，F(xiàn)y=xexy+2y，故解二在所給方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，求解時(shí)應(yīng)注意y是x的函數(shù)，得到exy(y+xy′)+2yy′=一sinx，y′(xexy+2y)+yexy=一sinx，故7、若兩向量組的秩相等，那么必有()．A、兩組向量可以互相線性表示B、兩組都是線性相關(guān)組C、兩組都是線性無關(guān)組D、如從某組中任取單個(gè)向量放入到另一組中，所得新向量組都線性相關(guān)，則這兩組向量能互相線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用下述結(jié)論判別：兩個(gè)等秩向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)，若其中一個(gè)向量組可由另一個(gè)向量組線性表示，則此兩向量組等價(jià)即可互相線性表示．解對(duì)于選項(xiàng)(D)．考慮向量組(Ⅰ)α1，α2，…，α3；向量組(Ⅱ)β1，β2，…，βt，若從α1，α2，…，αs中任取一個(gè)放入向量組(Ⅱ)中后線性相關(guān)，則向量組(Ⅰ)可以由向量組(Ⅱ)線性表示．又秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，由上述結(jié)論知，向量組(Ⅰ)和向量組(Ⅱ)等價(jià)．從而向量組(Ⅱ)也可由向量組(Ⅰ)線性表示．8、設(shè)矩陣，則下列矩陣中與矩陣A等價(jià)、合同，但不相似的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：兩矩陣等秩必等價(jià)，正、負(fù)慣性指數(shù)相同才合同．如果正、負(fù)慣性指數(shù)相同，且特征值也相同，則相似．依據(jù)這些，可確定正確選項(xiàng)．解由可知矩陣A的特征值是3，一3，0，故秩(A)=2．二次型XTAX的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1．(A)中矩陣的秩為1，不可能與矩陣A等價(jià)；(C)中矩陣的特征值為3，一3，0，與矩陣A不僅等價(jià)、合同，而且也相似，不符合題意．而(B)中矩陣的特征值為1，4，0，正慣性指數(shù)為p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=0，與A既不合同也不相似，但等價(jià)(因?yàn)橹认嗟?．對(duì)于(D)，記其矩陣為D，由可知D的特征值為1，一1，0．XTAX與XTDX的正、負(fù)慣性指數(shù)一樣，所以它們合同，但不相似(因特征值不同)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：作變量代換或提公因式，再利用等價(jià)無窮小代換x—sinx～x3／6(x→0)簡化求之．解一令t=1／x，x→∞時(shí)，t→0，則解二10、若f(x)＞0，且在[0，1]上連續(xù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先取對(duì)數(shù)，進(jìn)行恒等變形得到再化為積和式用定積分定義求之．解11、已知標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之．解由f′(x)=arctanx2得，故12、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，a]上連續(xù)，且f(x)+f(a―x)≠0，x∈[0，a]，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先作變量代換t=a一x，可得到所給積分的另一種表示方式，兩者相加，其值非常容易求了．解記令t=a一x，則x=a一t，dx=一dt．將式①、式②相加得即13、設(shè)，f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：4x3f′1+2xf′2+x4yf″11一yf″11知識(shí)點(diǎn)解析：利用二元復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的求法求之．要特別注意的是在一次求導(dǎo)后的函數(shù)f′1，f′2仍是復(fù)合函數(shù)，即f′1和f′2與f一樣都是關(guān)于(xy，y／x)的函數(shù)，亦即再次對(duì)x或y求偏導(dǎo)時(shí)，也必須運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則解由題設(shè)條件得14、已知，矩陣B滿足A*B+2A-1=B，其中A*是A的伴隨矩陣，則∣B∣=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣方程中同時(shí)出現(xiàn)未知矩陣A*及A-1時(shí)，常在原方程兩邊同時(shí)左乘或右乘矩陣A，利用A*A=AA*=∣A∣E，AA-1A-1A=E消掉A*與A-1，簡化方程，在此基礎(chǔ)上再提取公因式使所求矩陣成為因子矩陣，最后求行列式算出結(jié)果．解在原方程兩邊左乘A，利用∣A∣=3，得到AA*B+2AA-1=AB，∣A∣B+2E=AB，即AB一3B=2E．(A一3E)B=2E，∣A一3E∣∣B∣=∣2E∣，故三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=(x+3)7，視x為自變量，所求極限可轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)定義求f(x)在x=3處的導(dǎo)數(shù)．解令f(x)=(3+x)7，則而f′(3)=[(3+x)7]′x=3=7(3+x)6∣x=3=7·66．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)可導(dǎo)，試求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：因en(x-1)=(ex-1)n可視為F(x)g(n)(n→∞)型函數(shù)．這種類型函數(shù)常由∣F(x)∣=e∣x-1∣=1的解x=1作為x取值區(qū)間的分界點(diǎn)，分x＞1，x=1，x＜1三種情況求出極限．求出極限后再根據(jù)連續(xù)和可導(dǎo)的必要條件列出a與b所滿足的方程，聯(lián)立解之即得a與b的值．解易求得由f(x)可導(dǎo)知，f(x)在x=1處連續(xù)，于是有f(1—0)=f(1+0)=f(1)．而，f(1)=(1+a+b)／2，故a+b=1=(1+a+b)／2．又f(x)在x=1處可導(dǎo)，故f′+(1)=f′-(1)，而或故a=2，從而b=1一a=1—2=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、證明：當(dāng)x≥0時(shí)，其中n為自然數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)對(duì)f(x)求其導(dǎo)數(shù)，利用f′(x)的符號(hào)得到f(x)的單調(diào)區(qū)間及極大值，再對(duì)有關(guān)的不等式進(jìn)行放大即可證得結(jié)果．證令則有f′(x)=(x—x2)sin2πx=x(1一x)sin2πx．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加．當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＜0(除去x=kπ(k=1，2，…))，f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減．因此x=1為f(x)的極大值點(diǎn)，且f(1)是x≥0時(shí)f(x)的最大值．這說明，只要證明則必有成立．事實(shí)上，當(dāng)t≥0時(shí)，sint≤t．而所以當(dāng)x≥0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為r=r(θ)，M(r，θ)為L上任一點(diǎn)，M0(2，0)為L上一定點(diǎn)．若極徑OM0、OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0、M兩點(diǎn)間弧長值的一半，求曲線L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用面積值等于弧長值的一半建立方程．因曲線弧由極坐標(biāo)方程r=r(θ)(a≤θ≤β)給出，因而弧長公式應(yīng)為解由已知條件得兩邊對(duì)θ求導(dǎo)得從而因?yàn)樗杂蓷l件r(0)=2知，故所求曲線L的方程為π／6干θ=arcsin(1／r)，sin(x／6干θ)=sinarcsin(1／r)，即故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，g(x)≠0，且證明：存在常數(shù)C，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：為證f(x)=cg(x)，只需證．于是歸結(jié)證明證事實(shí)上，由題設(shè)有f(x)g′(x)―g(x)f′(x)=0，即亦即故存在常數(shù)c，使知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、證明方程3ax2+2bx一(a+b)=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：直接對(duì)方程左邊的函數(shù)使用零點(diǎn)定理是行不通的，這是因?yàn)樵摵瘮?shù)含有參數(shù)a，b，其端點(diǎn)值的符號(hào)不好確定．但可使用中值定理證之．為此將方程左邊的函數(shù)視為f(x)=ax3+bx2一(a+b)x的導(dǎo)數(shù)，對(duì)f(x)使用羅爾定理，本例即可得證．證設(shè)f(x)=ax3+bx2一(a+b)x，于是f′(x)=3ax2+2bx一(a+b)．顯然f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0．根據(jù)羅爾定理知，在(0，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f′(ξ)=0，即方程3ax2+2bx一(a+b)=0在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階導(dǎo)數(shù)，又f(a)=f(b)=0，且f′(a)f′(b)＞0．證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0；又至少存在一點(diǎn)η∈(a，b)，使得f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由導(dǎo)數(shù)定義及其極限的保號(hào)性可找到兩點(diǎn)x1，x2，使f(x1)f(x2)＜0．由零點(diǎn)定理知，存在ξ，使f(ξ)=0．現(xiàn)有三點(diǎn)函數(shù)取值為0，兩次利用羅爾定理，例得證．證由f′(a)f′(b)＞0，不妨設(shè)f′(a)＞0，且f′(b)＞0．由導(dǎo)數(shù)定義知因此存在δ1＞0，使得當(dāng)x∈(a，a+δ1)時(shí)，有因?yàn)閤＞a，故有f(x)＞f(a)，即f(x)＞0，x∈(a，a+δ1)．又由于故存在δ2＞0，使得當(dāng)x∈(b一δ2，b)時(shí)，有因?yàn)閤＜b，所以f(x)＜f(b)，即f(x)＜0，x∈(b一δ2，b)．取δ1，δ2充分小，使a+δ1＜b一δ2．再取兩點(diǎn)x1∈(a，a+δ1)，x2∈(b一δ2，b)，考慮區(qū)間[x1，x2]．顯然f(x)在[x1，x2]上連續(xù)，且f(x1)＞0，f(x2)＜0．因此由連續(xù)函數(shù)介值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(x1，x2)，從而ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0．再由f(a)=f(ξ)=f(b)及羅爾定理知，至少存在η1∈(a，ξ)和η2∈(ξ，b)，使得f′(η1)=f′(η2)=0．又在區(qū)間[η1，η2]上應(yīng)用羅爾定理，便知至少存在，使得f″(η)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、λ取何值時(shí)，方程組無解、有唯一解或無窮多解?并在有無窮多解時(shí)寫出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將增廣矩陣化成能識(shí)別的秩與A的秩的大小的形式，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，利用秩與秩(A)的關(guān)系判別方程組解的情況．解對(duì)原方程組的增廣矩陣施行初等行變換：于是，當(dāng)時(shí)，原方程組無解，因秩當(dāng)λ≠1且時(shí)，原方程組有唯一解，因秩．當(dāng)λ=1時(shí)，原方程組有無窮多解，因秩．用初等行變換將進(jìn)一步化成含有最高階單位矩陣的矩陣：由特解及基礎(chǔ)解系的簡便求法得到其特解為η=[1，一1，0]T，基礎(chǔ)解系為α=[0，1，1]T，因此，其通解為x=kα+η，k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A，B為兩個(gè)n階矩陣，且A的n個(gè)特征值兩兩互異．若A的特征向量恒為B的特征向量，則AB=BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：反復(fù)利用特征值、特征向量的定義，利用對(duì)角矩陣乘積可交換的性質(zhì)證明AB=BA．證設(shè)X1，X2，…，Xn是A的分別屬于其不同特征值λ1，λ2，…，λn的特征向量，則X1，X2，…，Xn線性無關(guān)，且AXi=λiXi，令P=[X1，X2，…，Xn]，則AP=[AX1，AX2，…，AXn]=[λ1X1，λ2X2，…，λnXn]由題設(shè)，可令BXi=μiXi(i=1，2，…，n)，則于是因P可逆，故由BAP=ABP得BAPP-1=ABPP-1。即AB=BA．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)＝sint2dt，g(x)＝x3+x4，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、等價(jià)無窮小B、同階但非等價(jià)無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以正確答案為(B)．2、設(shè)f(x)滿足＝0，xfˊˊ(x)－x2fˊ2(x)＝1－e-2x且f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，則()．A、x＝0為f(x)的極小點(diǎn)B、x＝0為f(x)的極大點(diǎn)C、x＝0不是f(x)的極值點(diǎn)D、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由=0得f(0)=0，fˊ(0)=0．當(dāng)x≠0時(shí)，由xfˊˊ(x)－x2fˊ2(x)=1－e－2x得fˊˊ(x)=xfˊ2(x)＋，再由f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)得fˊˊ(0)==2>0，故x=0為f(x)的極小點(diǎn)，選(A)．3、設(shè)f(x)＝，則f(x)有()．A、兩個(gè)可去間斷點(diǎn)B、兩個(gè)無窮間斷點(diǎn)C、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)D、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)無窮間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然x=0，x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．f(0+0)==0，f(0—0)==0，由f(0+0)=f(0—0)=0，得x=0為f(x)的可去間斷點(diǎn)；f(1－0)==－1，f(1+0)==1，由f(1－0)≠f(1+0)，得x=1為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，選(C)．4、設(shè)