高考數學一輪總復習 4.3 三角函數的圖象與性質題組訓練 理 蘇教版

第3講三角函數的圖象與性質基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．函數y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域為________．解析要使函數有意義必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx－\f(1,2)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx≥\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜x＜π＋2kπk∈Z，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπk∈Z，))∴2kπ＜x≤eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∴函數的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，\f(π,3)＋2kπ))(k∈Z)2．函數y＝eq\f(sinx＋1,sinx)(0＜x＜π)的最小值為________．解析令sinx＝t∈(0,1]，則函數y＝1＋eq\f(1,t)，t∈(0,1]．又y＝1＋eq\f(1,t)在t∈(0,1]上是減函數，所以當t＝1時，y取得最小值2.答案23．函數f(x)＝2sinxcosx的最小正周期是________，奇偶性為________．解析f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，即函數為最小正周期為π的奇函數．答案π奇函數4．(·徐州聯考)已知函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))－1(ω＞0)的最小正周期為eq\f(2π,3)，則f(x)的圖象的一條對稱軸方程是________．①x＝eq\f(π,9)；②x＝eq\f(π,6)；③x＝eq\f(π,3)；④x＝eq\f(π,2)解析依題意得，eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,3)，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，解得x＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,9)，當k＝0時，x＝eq\f(π,9).因此函數f(x)的圖象的一條對稱軸方程是x＝eq\f(π,9).答案①5．已知函數f(x)＝sin(x＋θ)＋eq\r(3)cos(x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是偶函數，則θ的值為________．解析據已知可得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ＋\f(π,3)))，若函數為偶函數，則必有θ＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又由于θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故有θ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，解得θ＝eq\f(π,6)，經代入檢驗符合題意．答案eq\f(π,6)6．(·濟南調研)已知f(x)＝sin2x＋sinxcosx，則f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間分別為________、________.解析由f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin2x－\f(\r(2),2)cos2x))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).∴T＝eq\f(2π,2)＝π.又∵2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，∴kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)為函數的單調遞增區(qū)間．答案π[kπ－eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(3π,8)](k∈Z)7．(·三明模擬)已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于________．解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))知，函數圖象關于x＝eq\f(π,6)對稱，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))是函數f(x)的最大值或最小值．答案－2或28．已知函數f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則f(x)的取值范圍是______．解析由兩三角函數圖象的對稱中心完全相同，可知兩函數的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，那么當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，所以－eq\f(1,2)≤sin(2x－eq\f(π,6))≤1，故f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))二、解答題9．(·潮州二模)已知函數f(x)＝eq\r(3)(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)設x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，求f(x)的單調遞增區(qū)間．解(1)∵f(x)＝－eq\r(3)(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－eq\r(3)cos2x－sin2x＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴f(x)的最小正周期為π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，∴－eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，當y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))單調遞減時，f(x)單調遞增．∴eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，即eq\f(π,12)≤x≤eq\f(π,3).故f(x)的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,3))).10．(1)求函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＜x＜\f(π,6)))的值域；(2)求函數y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域．解(1)∵－eq\f(π,6)＜x＜eq\f(π,6)，∴0＜2x＋eq\f(π,3)＜eq\f(2π,3)，∴0＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的值域為(0,2]．(2)y＝sinxcosx＋sinx＋cosx＝eq\f(sinx＋cosx2－1,2)＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－eq\f(1,2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(\r(2),2)))2－1，所以當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝1時，y取最大值1＋eq\r(2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\r(2).當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)時，y取最小值－1，∴該函數值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2))).能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1．(·安徽師大附中模擬)設ω＞0，m＞0，若函數f(x)＝msineq\f(ωx,2)coseq\f(ωx,2)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上單調遞增，則ω的取值范圍是________．解析f(x)＝msineq\f(ωx,2)coseq\f(ωx,2)＝eq\f(1,2)msinωx，若函數在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上單調遞增，則eq\f(T,2)＝eq\f(π,ω)≥eq\f(π,3)＋eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)，即ω∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))2．已知函數f(x)＝2sinωx(ω＞0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值是－2，則ω的最小值等于________．解析∵f(x)＝2sinωx(ω＞0)的最小值是－2，此時ωx＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)，k∈Z，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)≤0，k∈Z，∴ω≥－6k＋eq\f(3,2)且k≤0，k∈Z，∴ωmin＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)3．已知定義在R上的函數f(x)滿足：當sinx≤cosx時，f(x)＝cosx，當sinx＞cosx時，f(x)＝sinx.給出以下結論：①f(x)是周期函數；②f(x)的最小值為－1；③當且僅當x＝2kπ(k∈Z)時，f(x)取得最小值；④當且僅當2kπ－eq\f(π,2)＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)時，f(x)＞0；⑤f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.其中正確的結論序號是________．解析易知函數f(x)是周期為2π的周期函數．函數f(x)在一個周期內的圖象如圖所示．由圖象可得，f(x)的最小值為－eq\f(\r(2),2)，當且僅當x＝2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)時，f(x)取得最小值；當且僅當2kπ－eq\f(π,2)＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)時，f(x)＞0；f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.所以正確的結論的序號是①④⑤.答案①④⑤二、解答題4．(·荊門調研)已知函數f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,2)＋sinx))＋b.(1)若a＝－1，求函數f(x)的單調增區(qū)間；(2)若x∈[0，π]時，函數f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解f(x)＝a(1＋cosx＋sinx)＋b＝eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋a＋b.(1)當a＝－1時，f(x)＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋b－1，由2kπ＋eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)，∴f(x)的單調增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴eq\f(π,4)≤x