2024-2025學年高中數(shù)學 第1章 三角函數(shù) 7 7.1 正切函數(shù)的定義 7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師用書）教案 北師大版必修4

2024-2025學年高中數(shù)學第1章三角函數(shù)77.1正切函數(shù)的定義7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師用書）教案北師大版必修4課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是高中數(shù)學第1章三角函數(shù)的第7節(jié)，內(nèi)容涵蓋7.1正切函數(shù)的定義和7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。學生將學習正切函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖像，這包括正切函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性以及特殊點的坐標等。同時，學生將掌握如何利用單位圓和直角三角形來推導正切函數(shù)的定義，以及如何通過圖像理解正切函數(shù)的性質(zhì)。

教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系：在學習本節(jié)內(nèi)容之前，學生應該已經(jīng)掌握了銳角三角函數(shù)的概念、單位圓的知識以及函數(shù)圖像的基本分析方法。這些知識將為學生理解正切函數(shù)的定義和性質(zhì)打下堅實的基礎。同時，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)學習更復雜的三角函數(shù)和其他類型的函數(shù)圖像提供了必要的準備。二、核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，主要包括邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算四個方面。

首先，通過學習正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，學生將能夠運用邏輯推理能力，從特殊到一般，理解并證明正切函數(shù)的周期性和奇偶性。

其次，學生在學習正切函數(shù)圖像的過程中，將運用數(shù)學建模能力，通過觀察單位圓和直角三角形的幾何關系，建立正切函數(shù)圖像與參數(shù)之間的關系。

同時，本節(jié)課要求學生能夠運用直觀想象能力，通過觀察和分析正切函數(shù)的圖像，理解其單調(diào)性和特殊點的坐標，從而更好地把握函數(shù)的性質(zhì)。

最后，學生在解決與正切函數(shù)相關的問題時，將運用數(shù)學運算能力，熟練掌握三角函數(shù)的基本公式和運算方法。三、學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了相關知識：在開始學習正切函數(shù)之前，學生應該已經(jīng)掌握了初中階段的三角函數(shù)基礎知識，包括正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。此外，學生還應該具備一定的函數(shù)圖像分析能力和單位圓的使用經(jīng)驗。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：對于大多數(shù)學生而言，數(shù)學函數(shù)的學習是一個逐步深入的過程，他們可能對直觀的、具有實際背景的數(shù)學問題更感興趣。學生在學習函數(shù)時，通常具備一定的邏輯推理能力和直觀想象能力，但部分學生可能對函數(shù)圖像的分析和幾何關系的建立感到挑戰(zhàn)。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學習正切函數(shù)的定義時，學生可能對利用單位圓和直角三角形來推導正切函數(shù)的概念感到困惑，特別是在理解正切函數(shù)的周期性和奇偶性時。在分析正切函數(shù)圖像時，學生可能對如何從圖像中提取函數(shù)性質(zhì)、如何利用圖像解決實際問題等方面遇到挑戰(zhàn)。此外，部分學生可能在從具體例子到一般結論的推理過程中，出現(xiàn)邏輯推理不嚴密、結論不完整的情況。四、教學方法與手段1.教學方法

（1）講授法：在講授正切函數(shù)的定義和性質(zhì)時，教師可以通過邏輯推理的方式，引導學生理解正切函數(shù)的概念，并通過講解特殊例子，使學生掌握正切函數(shù)的性質(zhì)。

（2）討論法：在學習正切函數(shù)圖像時，教師可以組織學生進行小組討論，讓學生分享各自對圖像的理解，從而提高學生對正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的認識。

（3）實驗法：在學習正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，教師可以引導學生利用教學軟件或數(shù)學畫圖工具，自己繪制正切函數(shù)的圖像，從中觀察和分析函數(shù)的性質(zhì)。

2.教學手段

（1）多媒體設備：教師可以利用多媒體設備展示正切函數(shù)的圖像，通過動態(tài)演示函數(shù)的變化，幫助學生更好地理解正切函數(shù)的性質(zhì)。

（2）教學軟件：教師可以引導學生使用教學軟件，如幾何畫板、Matlab等，進行正切函數(shù)圖像的繪制和分析，提高學生對函數(shù)圖像的理解。

（3）在線資源：教師可以推薦一些在線數(shù)學學習資源，如KhanAcademy、Zhihu等，讓學生在課后自主學習，鞏固所學知識。

（4）習題訓練：教師可以設計一些具有挑戰(zhàn)性的習題，讓學生通過練習鞏固正切函數(shù)的知識，提高學生的數(shù)學運算能力。

（5）教學反饋：教師可以通過課堂提問、作業(yè)批改等方式，及時了解學生的學習情況，針對學生的困難進行有針對性的輔導。五、教學流程一、導入新課（用時5分鐘）

同學們，今天我們將要學習的是《正切函數(shù)的定義和圖像與性質(zhì)》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個問題：“你們在日常生活中是否遇到過需要用到正切函數(shù)的情況？”（舉例說明）這個問題與我們將要學習的內(nèi)容密切相關。通過這個問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索正切函數(shù)的奧秘。

二、新課講授（用時10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解正切函數(shù)的基本概念。正切函數(shù)是……（詳細解釋概念）。它是……（解釋其重要性或應用）。

2.案例分析：接下來，我們來看一個具體的案例。這個案例展示了正切函數(shù)在實際中的應用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點難點解析：在講授過程中，我會特別強調(diào)正切函數(shù)的周期性和奇偶性這兩個重點。對于難點部分，我會通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實踐活動（用時10分鐘）

1.分組討論：學生們將分成若干小組，每組討論一個與正切函數(shù)相關的實際問題。

2.實驗操作：為了加深理解，我們將進行一個簡單的實驗操作。這個操作將演示正切函數(shù)的基本原理。

3.成果展示：每個小組將向全班展示他們的討論成果和實驗操作的結果。

四、學生小組討論（用時10分鐘）

1.討論主題：學生將圍繞“正切函數(shù)在實際生活中的應用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵提出自己的觀點和想法，并與其他小組成員進行交流。

2.引導與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個引導者，幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結回顧（用時5分鐘）

今天的學習，我們了解了正切函數(shù)的基本概念、重要性和應用。同時，我們也通過實踐活動和小組討論加深了對正切函數(shù)的理解。我希望大家能夠掌握這些知識點，并在日常生活中靈活運用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請隨時向我提問。六、知識點梳理本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是高中數(shù)學第1章三角函數(shù)的第7節(jié)，內(nèi)容涵蓋7.1正切函數(shù)的定義和7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。以下是本節(jié)課需要掌握的知識點：

1.正切函數(shù)的定義：通過單位圓和直角三角形推導出正切函數(shù)的定義，理解正切函數(shù)的周期性、奇偶性以及特殊點的坐標。

2.正切函數(shù)的圖像：分析正切函數(shù)的圖像，掌握其單調(diào)性、奇偶性以及特殊點的坐標。

3.正切函數(shù)的性質(zhì)：通過圖像和定義推導出正切函數(shù)的性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性等。

4.正切函數(shù)的應用：解決實際問題，如計算三角形的邊長、角度等。

5.正切函數(shù)的周期性：理解正切函數(shù)的周期性，掌握周期公式，能夠求解正切函數(shù)的周期。

6.正切函數(shù)的奇偶性：判斷正切函數(shù)的奇偶性，掌握正切函數(shù)的奇偶性質(zhì)。

7.正切函數(shù)的單調(diào)性：分析正切函數(shù)的單調(diào)性，掌握其增減規(guī)律。

8.正切函數(shù)的特殊點：掌握正切函數(shù)的特殊點，如原點、無窮遠點等，并了解其坐標。

9.正切函數(shù)的圖像分析：通過觀察正切函數(shù)的圖像，能夠分析出函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)區(qū)間、奇偶性等。

10.正切函數(shù)的性質(zhì)應用：利用正切函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題，如計算三角形的邊長、角度等。七、板書設計1.正切函數(shù)的定義：

-利用單位圓和直角三角形推導出正切函數(shù)的定義

-強調(diào)正切函數(shù)的周期性、奇偶性以及特殊點的坐標

2.正切函數(shù)的圖像：

-分析正切函數(shù)的圖像，突出其單調(diào)性、奇偶性以及特殊點的坐標

-通過圖像展示正切函數(shù)的性質(zhì)，如增減規(guī)律、奇偶性等

3.正切函數(shù)的性質(zhì)：

-列出正切函數(shù)的性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性等

-通過舉例和比較來解釋難點部分，如周期性和奇偶性的區(qū)別

4.正切函數(shù)的應用：

-給出實際問題，讓學生通過計算解決，如計算三角形的邊長、角度等

-強調(diào)正切函數(shù)在實際中的應用價值

5.正切函數(shù)的周期性：

-介紹正切函數(shù)的周期性，強調(diào)周期公式及其應用

-通過示例來解釋周期性，如正切函數(shù)的周期性與角度的關系

6.正切函數(shù)的奇偶性：

-判斷正切函數(shù)的奇偶性，強調(diào)奇偶性質(zhì)的應用

-通過示例來解釋奇偶性，如正切函數(shù)的奇偶性與角度的關系

7.正切函數(shù)的單調(diào)性：

-分析正切函數(shù)的單調(diào)性，突出其增減規(guī)律

-通過示例來解釋單調(diào)性，如正切函數(shù)的單調(diào)性與角度的關系

8.正切函數(shù)的特殊點：

-列出正切函數(shù)的特殊點，如原點、無窮遠點等

-強調(diào)特殊點的坐標及其重要性

9.正切函數(shù)的圖像分析：

-通過觀察正切函數(shù)的圖像，分析出函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)區(qū)間、奇偶性等

-強調(diào)圖像分析方法和對函數(shù)性質(zhì)的理解

10.正切函數(shù)的性質(zhì)應用：

-利用正切函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題，如計算三角形的邊長、角度等

-強調(diào)性質(zhì)在實際問題中的應用方法和技巧八、反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.引入生活實例：在講授正切函數(shù)的定義和性質(zhì)時，引入生活實例，如建筑施工中的角度測量，讓學生感受到正切函數(shù)在實際生活中的應用，激發(fā)學生的學習興趣。

2.利用多媒體技術：通過多媒體技術，如動畫、視頻等，展示正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，使抽象的概念更直觀、形象，便于學生理解和記憶。

3.組織小組討論：在學習正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)時，組織小組討論，鼓勵學生分享自己的觀點和想法，提高學生的參與度和思考能力。

（二）存在主要問題

1.教學管理：在組織小組討論時，發(fā)現(xiàn)部分學生參與度不高，需要加強對學生的引導和管理，提高學生的參與度。

2.教學方法：在講授正切函數(shù)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)部分學生對概念的理解不夠深入，需要改進教學方法，如增加實例分析、問題引導等，幫助學生更好地理解和掌握概念。

3.教學評價：在評價學生的學習效果時，發(fā)現(xiàn)評價方式較為單一，需要增加多種評價方式，如口頭報告、小組作業(yè)等，全面評價學生的學習成果。

（三）改進措施

1.加強對學生的引導和管理：在組織小組討論時，加強對學生的引導和管理，鼓勵學生積極參與，提高學生的參與度和思考能力。

2.改進教學方法：在講授正切函數(shù)的性質(zhì)時，增加實例分析、問題引導等教學方法，幫助學生更好地理解和掌握概念。

3.增加多種評價方式：在評價學生的學習效果時，增加多種評價方式，如口頭報告、小組作業(yè)等，全面評價學生的學習成果。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

今天，我們學習了正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及如何通過圖像來分析和理解這些性質(zhì)。正切函數(shù)是三角函數(shù)中的一種，它在實際應用中非常重要，例如在建筑、工程、物理等領域。我們通過單位圓和直角三角形推導出了正切函數(shù)的定義，并分析了它的周期性、奇偶性以及單調(diào)性。我們還通過圖像來直觀地理解了這些性質(zhì)，并解決了一些實際問題。

當堂檢測：

1.請解釋正切函數(shù)的定義，并給出一個具體的例子。

2.請描述正切函數(shù)的周期性，并說明如何計算正切函數(shù)的周期。

3.請判斷正切函數(shù)的奇偶性，并給出判斷的依據(jù)。

4.請分析正切函數(shù)的單調(diào)性，并說明正切函數(shù)在不同區(qū)間上的增減情況。

5.請通過圖像分析，解釋正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。

6.請給出一個實際問題，并利用正切函數(shù)的性質(zhì)來解決它。

7.請解釋正切函數(shù)在實際應用中的重要性，并給出一個具體的例子。

8.請描述正切函數(shù)的圖像特征，并解釋它們?nèi)绾畏从痴泻瘮?shù)的性質(zhì)。

9.請通過圖像分析，解釋正切函數(shù)的圖像特征，并判斷正切函數(shù)的性質(zhì)。

10.請解釋正切函數(shù)的性質(zhì)如何幫助我們理解和解決實際問題。課后作業(yè)1.請解釋正切函數(shù)的定義，并給出一個具體的例子。

2.請描述正切函數(shù)的周期性，并說明如何計算正切函數(shù)的周期。

3.請判斷正切函數(shù)的奇偶性，并給出判斷的依據(jù)。

4.請分析正切函數(shù)的單調(diào)性，并說明正切函數(shù)在不同區(qū)間上的增減情況。

5.請通過圖像分析，解釋正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。

例如題型：

1.定義題型：請解釋正切函數(shù)的定義，并給出一個具體的例子。答案：正切函數(shù)定義為直角三角形中，對邊與鄰邊的比值。例如，在直角三角形中，如果對邊為5，鄰邊為3，則正切值為5/3。

2.周期性題型：請描述正切函數(shù)的周期性，并說明如何計算正切函數(shù)的周期。答案：正切函數(shù)的周期為π，因為正切函