第01講導數(shù)的概念及運算（講練）-2023年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）（含答案解析）

第01講導數(shù)的概念及運算(講+練)-2023年高考

數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)

第01講導數(shù)的概念及運算(精講+精練)

第一部分：知識點精準記憶

1.平均變化率

(1)變化率

事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”.如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體

積增量的比值.

(2)平均變化率

一般地，函數(shù)/*)在區(qū)間區(qū),4］上的平均變化率為：空‘.

(3)如何求函數(shù)的平均變化率

求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：

①作差：求出△了=/(占)-/(為)和入￥=￡-%

②作商：對所求得的差作商，即.

/XXX2-X}

2.導數(shù)的概念

(1)定義：函數(shù)/(X)在X=/處瞬時變化率是lim坦■lim,我

AxAx

們稱它為函數(shù)7=/(工)在x=Zo處的導數(shù)，記作r&)或川一即

r&Alim電■limM+㈤-/&).

二AxATAx

(2)定義法求導數(shù)步驟：

①求函數(shù)的增量：△、=/(%+&-)-/(.%)；

②求平均變化率：黑=+然76)；

③求極限，得導數(shù)：/'(%)=lim竺=lim”演.洋)一了(%).

—?-Ax

3.導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點x=/處的導數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點P(x°,%)處的切線

的斜率%,即2=/'(%).

4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

基本初等函數(shù)導數(shù)

"x)=c(c為常數(shù))r(x)=o

/(X)=工"￡R)ra)=e

f(x)=sinxf\x)=cosx

f(x)=cosX/Xx)=-sinx

fM=exf\x)=ex

fM=〃'(a>0)fr(x)=axIna

f(x)=\nxf'M=-

X

f(x)=log：>0,〃工1)尸(x)=4

xlna

f[x)=4x

f{x}=-

X/v)=-廠4

5、導數(shù)的運算法則

若/lx),g'(x)存在，則有

(1)"(x)±g(x)『=r(x)±g，(x)

(2)"(X)?g(x)Y=f\x)-g(x)+f(x)-g'(x)

(3)[f(x)y廣(x>g(x)-F(x).g，(x)

g(x)8(x)

6.復合函數(shù)求導

復合函數(shù)y=/(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為乂=y'uu'x,即y

對x的導數(shù)等于y對"的導數(shù)與"對x的導數(shù)的乘積.

7.曲線的切線問題

(1)在型求切線方程

已知：函數(shù)/(X)的解析式.計算：函數(shù)/(X)在X=%或者(x°J(x。))處的切線方程.

試卷第2頁，共23頁

步驟：第一步：計算切點的縱坐標/（X。）（方法：把x=x0代入原函數(shù)/（幻中），切點

（與J（x。））.

第二步：計算切線斜率左=/'（x）.

第三步：計算切線方程.切線過切點（%,/（%））,切線斜率

根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-f（x0）=f\x0Xx-x0）.

（2）過型求切線方程

已知：函數(shù)Ax）的解析式.計算：過點4（x“X）（無論該點是否在y=/（x）上）的切線

方程.

步驟：第一步：設切點兄（%,％）

第二步：計算切線斜率Z=/'（%）；計算切線斜率及二21二迎；

為一不）

第三步：令：幺=/'（/）=21二』解出％,代入左=尸（與）求斜率

X\~XQ

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-y.=fWx-Xo）.

第二部分：課前自我評估測試

一、判斷題

1.（2021.全國.高二課前預習）函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)值就是曲線y=f（x）

在x=x0處的切線的斜率（）

【答案】正確

函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)值就是曲線y=f（x）在x=x0處的切線的斜率.

2.（2021.全國.高二課前預習）函數(shù)在x=x0處的導數(shù)f（xO）是一個常數(shù)（）

【答案】正確

函數(shù)在x=x0處的導數(shù)f（x0）是一個常數(shù).

3.（2021?全國?高二課前預習）函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)值與Ax的正、負無關.（）

【答案】正確

4.（2021?全國?高二課前預習）設x=xO+Ax,則Ax=x-x0,則Ax趨近于0時，x趨

/（玉）+加0-/（f）-lim/（、）-/（工0）

近于x0,因此，f（xO）=Um)

Ax

【答案】正確

二、單選題

1.(2022?河北邢臺?高二階段練習)函數(shù)/(x)=d—7x從1到2的平均變化率為()

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】A

函數(shù)/(x"％2-7*從1到2的平均變化率為：

"1二(-4.

故選：A.

2.(2022?四川?攀枝花七中高二階段練習(理))已知函數(shù)〃x)=2e)則

局出』皿()

——2Ar

ee

A.一B.一一C.eD.-e

22

【答案】D

r(x)=2e，則r⑴=2e

「/(1+Ar)-/(1)1/(1+Ax)-/(1)1…

hm----------------=——rhm----------------=——/(1)=-e

--2Ar2-Ax2

故選：D

3.(2022?江西九江?二模)曲線在“1處的切線傾斜角是()

A.￡B.工C.邁D.”

6363

【答案】B

設曲線〃》)=等/_1在x=]處的切線傾斜角為a,

因為.")=6x2,則尸⑴=g,因為0414萬，因此，?=

故選：B.

4.(2022?安徽滁州?高二階段練習)曲線,f(x)=xlnx在x=l處的切線的方程為()

A.y=2x-2B.y=x-\

C.y=-*+lD.y=3x-[

【答案】B

解:由f(x)=xlnx,得r(x)=lnx+l,所以/⑴=0,/(I)=0+1=1,

所以曲線/(x)在x=l處的切線的方程為y-O=lxQ-l),即y=x-l.

故選：B.

第三部分：典型例題剖析

試卷第4頁，共23頁

高頻考點一：導數(shù)的概念

1.(2022.河北邢臺.高二階段練習)已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，f(x)是函數(shù)Ax)

B.B(4)〈尸(2)<f(4)[f(2)

c.r(2)<r(4)</(4)~/(2)D./(4)-/(2)<r(4)<r(2)

【答案】A

如圖所示，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得/'(2)表示曲線在A點處的切線的斜率，即直線4

的斜率與，廣(4)表示曲線在B點處的切線的斜率，即直線的斜率與，

又由平均變化率的定義，可得,⑷?、票硎具^A,B兩點的割線的斜率勺,

結合圖象，可得號，(號<4，所以八2)<小)了(2)</4).

2.(2022?安徽?蕪湖一中高二階段練習)已知函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)為了'(%),則

iim/(x()+3^)-/(x?)=()

心―Ax

A.B.-3/(^0)C.3/(x0)D.#(%)

【答案】C

根據(jù)題意，lim/(%+3.)-1與)=3Hm/(x0+3.)-[％)二,

7

ATTOAx3Ar'

故選：c

3.（2022?陜西?西安市閻良區(qū)關山中學高二階段練習（理））已知/'（為）=2,則

iim/（A-0-Ar）-/（A-0）^

A—02Ax

【答案】-1

lim/■一以）二八*=_1lim」,（）一

v7

AD2Ar2--Ar2

故答案為：-1.

高頻考點二：導數(shù)的運算

1.（多選）（2022.河北,武安市第三中學高二階段練習）下列運算正確的是（）

B.口3+打=高

D.

【答案】BD

(cos￡|=0,［ln(3x+l)J=高

,故AD錯誤，BC正確.

故選：BC.

2.（2022.重慶市青木關中學校高二階段練習）已知函數(shù)/（x）=lnx+V,則尸⑴=

【答案】4

r(x)」+3M,則八1)=4.故答案為：4

X

3.(2022.四川.攀枝花七中高二階段練習(理))求下列函數(shù)的導數(shù):

八、cosx-x

⑴y=-p—；

(2)j=eA(1+cosx)-2*X；

(3)y=log3(5x-l).

［答案］(Dy=M—in,-2cosx；

X

(2)y=ev(l+cosx-sinx)-2Aln2；

5

⑶y-(5x-l)-ln3'

試卷第6頁，共23頁

(1)

cosx-x(-sinx-l)x2-2x(cosx-x)x(l-sinJC)-2COSX

因為y=故丫=

(2)

因為y=e'(1+cosx)-2",故y'=ev(14-cosx-sinx)-2'In2.

(3)

因為y=log3(5x—l),故尸序入二,二序-；)."，

4.(2022?四川?棠湖中學高二階段練習(理))求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)f(x)=x3e—x；

(2)g(x)=cos2x+ln(2x).

3工2一比3

【答案】(1)f{x}=

e

(2)r(x)=-2sin2x+—

x

(1)

(2)

21

g'(x)=-2sin2x+—=-2sin2x+—

5.(2022.甘肅.甘南藏族自治州合作第一中學高二期末(文))求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)/(x)=x2sinx+2cosx；

【答案】(1)=x2cosx4-2xsinx-2sinx

(1)

fr(x)=(x2sinx+2cosx\=(x2sinx)r+2(cosx\

=2xsinx+x2(sinx)f-2sinx=x2cosx+2xsinx-2sinx

(2)

ev4-1e+D'e-D-c+De-i)'

八X)=(-)'=

(e*-l)2

e'(e'-l)-e*e+l)2e*

(ev-1)2(ev-l)2

高頻考點三：導數(shù)的幾何意義

①求切線方程(在型)

1.(2022?內蒙古?赤峰二中高二期末(文))曲線/(x)=(x+a)e'在點(0,〃0))處的切線

過點(2,T),則實數(shù)4=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

解：因為〃0)=a,f'(x)=(x+4+l)e\尸(0)=。+1,

所以，切線方程為y-a=(a+l)x,

因為切線過點(2,-1),所以一1一。=2(4+1),解得a=—1.

故選：A

2.(2022?江西?臨川一中高二期末(文))已知函數(shù)/(x)=-2x+lnx,則函數(shù)〃x)在點

(1,/⑴)處的切線方程為()

A.x+y-l=0B.x-y-3=0

C.x+y+l=0D.x+y=0

【答案】C

則k=尸(1)==丁=-l,X/(l)=-2+lnl=-2

則函數(shù)在點(1,/(D)處的切線方程為y+2=-(x-1),即x+y+1=0

故選：C

3.(2022.天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高二階段練習)曲線/(x)=e*在x=0處的切線

/與坐標軸圍成的三角形的面積為()

A.1B.gC.-rD.^―

2e22

【答案】B

因為〃x)=e",則為(x)=e*,所以，/(0)=/(0)=1,

所以，直線/的方程為y=x+l,直線/交x軸于點(-1,0),交y軸于點(0,1),

因此，直線/與坐標軸圍成的三角形的面積為：xF=!.

22

故選：B.

4.(2022?湖南?一模)若曲線y=ei+lnx在點(1,1)處的切線與直線ax+y=0平行，則

試卷第8頁，共23頁

a=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

由y=e*T+Inx=>y=ex''+—,顯然(1,1)在曲線y=e'''+Inx上，

x

所以曲線〉="-'+111》在點(1,1)處的切線的斜率為-7+；=2,

因此切線方程為：y-1=2(x-l)ny=2x-l,

直線〃x+y=O的斜率為-a,

因為曲線丫=爐-'+1!^在點(1,1)處的切線與直線以+y=0平行，

所以-a=2na=—2,

故選：C

5.(2022?河南?模擬預測(文))函數(shù)〃x)=xlnx-2x在x=l處的切線方程為()

A.y=-x-\B.y=x-\C.y=2x-2D.y=2x+\

【答案】A

依題意，/'(x)=Inx—1,則廣⑴=—1,而/(I)=-2,于是有y+2=-(犬一1),即y=-x-1,

所以所求切線方程為：y=-x-i.

故選：A

6.(2022?河南?沈丘縣第一高級中學高二期末(文))已知函數(shù)/(x)=xlnx-3x,則曲

線y=/(x)在點(ej(e))處的切線方程為()

A.x+y+e=0B.y-x+e=0C.x-y+e=0D.x+y-e=0

【答案】A

函數(shù)〃力=①11%—34，求導得：_f(x)=(lnx+l)-3=lnx—2，則f'(e)=T，而f(e)=-2e,

于是得：y+2e=-lx(x-e),即x+y+e=0,

所以曲線y=f(x)在點(e，/(e))處的切線方程為x+y+e=0.

故選：A

②求切線方程(過型)

1.(2022-江西?南昌大學附屬中學高二期末(理))曲線y=lnx在點M處的切線過原點，

則該切線的斜率為()

A.1B.eC.-1D.—

【答案】D

設切點為（anf）,故在M點的切線的斜率為:，

\nt-01

所以———=-=>r=e,

r-0t

所以切點為（e,l）,切線的斜率為

e

故選：D

2.（2022?全國?高三專題練習）若曲線y=?的一條切線經過點（8,3）,則此切線的斜

率為（）

AJ-BL

42

C-:或"D-3或1

【答案】C

11

由題意，可設切點坐標為（xo,禽），由丫=?=/，得y'而，切線斜率k=蘋,

由點斜式可得切線方程為y—五=訴（x—xO）,又切線過點（8,3）,所以

l1r—r—

3-77=77=（8—x0）,整理得X0—6反+8=0,解得禽=4或2,所以切線斜率k

故選：C.

3.（2022?江蘇?南京航空航天大學蘇州附屬中學高二階段練習）已知函數(shù)/（x）=-V+3x,

則過點（-3,-9）可作曲線y=/（x）的切線的條數(shù)為（〉

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

解：因為“司=—尸+3萬，所以因為）=-3，+3,

設切點為（a，—/+34）,

所以在切點（a,-。，+3。）處的切線方程為y=-3（/-1）（了一“）-〃+3“，

又（-3,-9）在切線上，所以-9=-3（/-1）（一3-a）-/+3a,

即一9=3（a~-1）,（3+a）—/+3a,

試卷第10頁，共23頁

9

整理得2。3+9。2=0,解得％=0或%=一；，

所以過點（-3,-9）可作曲線y=〃x）的切線的條數(shù)為2.

故選：C.

4.（2022.陜西安康.高三期末（文））曲線〉=2如》+3過點（-；,0）的切線方程是（）

A.2x+y+l=0B.2x-y+\=0

C.2x+4y+l=0D.2x-4y+l=0

【答案】B

由題意可得點不在曲線y=2xlnx+3上，

設切點為（為,%），因為y'=21nx+2,

k=1\nx+2=―—=2%

所以所求切線的斜率。上1一2七+1，

xo+2

所以%=2玉/11%+2%+111工0+1.

因為點（%,%）是切點，所以％=2.r0lnx0+3,

所以2x（）Inx（）+2x（）+Inx（）+1=2x0Inx（）+3,即2x（）+Inx0-2=0.

設/（x）=2x+lnx—2,明顯f（x）在（0,+8）上單調遞增，且"1）=0,

所以2%+In/-2=0有唯一解與=1,則所求切線的斜率k=2,

故所求切線方程為y=21+g）=2A-+1.

故選：B.

5.（2022?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學一模（理））已知/（x）=xlnx,若過一點（zn,n）可

以作出該函數(shù)的兩條切線，則下列選項一定成立的是（）

2

A.n<mlnmB.n>/winmC.—e</t<0D.m<\

e

【答案】A

設切點為（”lnr）,對函數(shù)/（x）求導得/'（x）=lnx+l,則切線斜率為尸⑺=hv+l,

所以，切線方程為yTlnf=0n，+l）（x-r）,g|Jy=（lnr+l）x-r,

所以，n=z77（ln/+1）—Z,可得,一“Inf十〃z=O,

令&。）=，-61型+〃一相，其中00,由題意可知，方程g?）=0有兩個不等的實根.

m

g,((O\=ls7丁t-m.

①當機40時，對任意的f>0,g'(f)>0,此時函數(shù)g。)在(0,+8)上單調遞增,

則方程g(r)=O至多只有一個根，不合乎題意;

②當加>0時,當Ovrvm時,g'(r)<0,此時函數(shù)g(f)單調遞減,

當/>機時，g'(f)>0,此時函數(shù)g。)單調遞增.

由題意可得g(，)111bl=g(m)=m-m\nm+n-m=n-m\nm<0,可得

故選：A.

6.(2022?江西?模擬預測(文))已知曲線,f(x)=e“-lnx與過點(0,1)的直線/相切，則/

的斜率為.

【答案】e-l##-l+e

解：設切點為(Xo，e"-lnxo),

f'(x)=e'--,則/'(%)=e"-,，

X/

(1A

則切線方程為y-(e%-lnx0)=e&——(x-x0),

lX。

(1A

將點(o,l)代入得l-(e&-lnx0)=e為--(-x0),

化簡得In%=e*(為-1),解得％=i,

所以切線的斜率為e-l.

故答案為：e—1.

7.(2022.全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x)=x+￡,若曲線y=f(x)存在兩條過

2x

(1,0)點的切線，則a的取值范圍是.

【答案】⑷-2或。>0}

由題得小)=1-梟，設切點坐標為知M哥,

則切線方程為y-x。-*

2%

又切線過點(1,0),可得-%J*(If),

4人0)

試卷第12頁，共23頁

整理得2xJ+2”-a=0,

因為曲線y=/(x)存在兩條切線，故方程有兩個不等實根且x°MO

若x°=0,則。=0,為兩個重根，不成立，

即滿足A=(2a)2—4x2x(—。)>0,解得a>0或〃<一2.

故。的取值范圍是或a>0}

故答案為：或a>0}

③已知切線方程(或斜率)求參數(shù)

1.(2022?北京?北理工附中高二階段練習)如圖，函數(shù)y=/(x)的圖象在點P處的切線

方程是y=-x+8,貝|/(5)+/(5)=()

A.-2B.2C.3D.無法確定

【答案】B

由題圖，/(5)=7,且f(5)=y|-=-5+8=3,

所以f(5)+r(5)=2.

故選：B

2.(2022?湖南?長沙縣實驗中學高二階段練習)己知函數(shù),f(x)=ar+g在點處的

切線與直線x-2y+l=0垂直，則。=()

A.12B.—1C.2D.3

【答案】B

函數(shù)/(*)=以+J的導數(shù)為/'(x)=〃-5，

r(l)=a-l,即函數(shù)在x=l處的切線斜率為a-1,

由切線與直線x-2y+l=O垂直，

可得(a-l)xg=—1,

解得a=-l.

故選：B.

3.(2022?吉林白山?一模(理))函數(shù)”x)=a(x+l)e*-x的圖象在點(0,〃0))處的切線

斜率為1,貝!|。=()

A.1B.-1C.-2D.2

【答案】A

因為r(x)=ae'+a(x+l)e*—l,所以/'(0)=2a—1=1,解得a=l.

故選：A.

4.(2022.江蘇省蘇州實驗中學高二階段練習)已知直線丫=改+6是曲線y=xlnx的切

線，則點■的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,<?]C.[刃，/D.(口目

【答案】C

設直線y=ox+6與曲線y=xlnx的切線點的橫坐標為與(無>。)，

由y=x\nx,可得yC=lnx+l,

[ax+h=xAn

則《n,(,，可得aXo+b=Ma-l),所以b=T0，

[a=In與+1

,aInx0+1

由a=lnx°+l,b=-x0,則"=-p—,

H121n+1

令g(x)=V,x>0,可得/(%)=-J,

令g'(x)=0，即21nx+1=。，解得x=｛，

當xe(0,9)時,g<x)>0,g(x)單調遞增;

當xe(/,+oo)時,g'(x)<0,g(尤)單調遞減,

所以g(x)a=g(力=]，即g(x)

當x->0時，g(x)f-a),

所以言若，即言的取值范圍是‘8,|.

故選：C.

5.(2022?全國?高三專題練習)若點P是曲線y=ex2-21nx上任意一點，則點P到直

線y=x-3的距離的最小值為()

A.迪B.也C.72D.V5

42

試卷第14頁，共23頁

【答案】A

4

設平行于直線），=犬-3且與曲線y=]x2-2inx相切的切線對應切點為P（x,y）,

32

由y=1d_21nx,則y=3x——,

2x

令V=3X-2=I,

x

2

解得x=l或工=-]（舍去），

故點P的坐標為

口-3

故點P到直線y=x-3的最小值為：I27夜.

故選：A.

6.（2022?四川省綿陽南山中學高二階段練習（理））若曲線）（力:出^一刀+皿》存在垂

直于y軸的切線，則a的取值范圍是（）

A?b4B.（0,￡|C.,詞D.

【答案】C

依題意，f（x）存在垂直與y軸的切線，即存在切線斜率％=0的切線,

yCk=f\x）=2ax+--\,x>0,

1ax-\----1=0有正根，BR—la=f—-，有正根，

XX

即函數(shù)y=-2a與函數(shù)y=-，,x>0的圖象有交點，

\x)x

令，=1>0，則g(t)=t2=Ag(t)>g(y)="7,

xI2J424

:.-2a>--,HPa<-.

48

故選：c.

7.（2022.全國?高三專題練習）點A在直線y=x上，點B在曲線y=lnx上，則w用的

最小值為（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

設平行于直線y=x的直線y=x+b與曲線y=lnx相切,

則兩平行線間的距離即為|的最小值.

設直線y=x+b與曲線y=lnx的切點為（皿ln〃?）,

則由切點還在直線y=x+b上可得=，

由切線斜率等于切點的導數(shù)值可得工=1,

m

聯(lián)立解得m=l,b=-1,

1-1-01-J2

由平行線間的距離公式可得|A8|的最小值為712+(-1)2=~

故選：A.

④導數(shù)與函數(shù)圖象

1.（2022?北京?北理工附中高二階段練習）函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，下列不等關

A.0<,f(2)<.f(3)</(3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-/(2)</(3)

C.0<r(3)</(3)-/(2)<r(2)

D.0</(3)-/(2)</,(2)</,(3)

【答案】C

如圖所示，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得r（2）表示切線《斜率匕＞。,

（（3）表示切線4斜率的＞。，

試卷第16頁，共23頁

又由平均變化率的定義，可得生三@=/(3)-f⑵,表示割線4的斜率網,

3—2

結合圖象，可得即0<r(3)<"3)—〃2)</12).

2.(2022?全國?高二單元測試)已知函數(shù)y=/(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導

函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()

由函數(shù)f(X)的導函數(shù)丫=「6)的圖象自左至右是先減后增，可知函數(shù)y=f(x)

圖象的切線的斜率自左至右先減小后增大，且廣(0)=0,在x=0處的切線的斜率為0,

故BCD錯誤，A正確.

故選：A.

3.（2022?江蘇?高二）如圖，函數(shù)y=/（x）的圖象在點尸處的切線方程是>=-工+8,則

iim/(5+Ax)-/(5)=()()

Ar->0A%

【答案】D

因為函數(shù)y=〃x）的圖象在點尸處的切線方程是y=-x+8,

切點的橫坐標為5,

由導數(shù)的幾何意義可得/'（5）=-1,

所以1由/（5+?。┮?0）=/（5）=-1,

Av->0,

故選：D.

4.（2021?全國?高二單元測試）如圖所示，y=f（x）是可導函數(shù)，直線1：y=kx+3是曲

線y=f（x）在x=l處的切線，令〃（幻=號，"（x）是h（x）的導函數(shù)，則"⑴的值

是（）

A.2B.1C.-1D.-3

【答案】D

根據(jù)圖象可知"1)=2,所以2=&xl+3,A=T,即門1)=7,

/?('=上/(?/(、),外1)=/(1)-〃1)=-1-2=-3.

試卷第18頁，共23頁

故選：D

⑤共切點的公切線問題

（2021?江西?高三階段練習（理））

1.若曲線y=e'T與曲線y=在公共點處有公共切線，則實數(shù)。=（）

A.叵B.立C.-D.-

eeee

（2021?重慶?高二階段練習）

2.已知兩曲線），=X3+如和），=/+云+C都經過點尸（1,2）,且在點尸處有公切線，則

當時，log〃竺二的最小值為（）

22x

A.-1B,-2C,一D.0

2

（2021?云南?曲靖一中模擬預測（理））

3.設曲線〃x）=ae'+b和曲線g（x）=cos三+c在它們的公共點M（0,2）處有相同的切

線，則6+。一。的值為（）

A.0B.乃

C.-2D.3

（2022?全國?高三專題練習（理））

4.已知函數(shù)/（力=/一2機，g（x）=31nx-x,若y=/（x）與y=g（x）在公共點處的切

線相同，則機=（）

A.-3B.1C.2D.5

（2022?全國?高三專題練習）

5.若函數(shù)/（x）=alnxCaeR）與函數(shù)g（x）=?在公共點處有共同的切線，則實數(shù)

a的值為（）

1e

A.4B.-C.-D.e

22

⑥不同切點的公切線問題

（2022?河北省唐縣第一中學高三階段練習）

6.己知函數(shù)/（x）=alnx,g（x）=*、，若直線y>0）與函數(shù)/（x）,g（x）的圖象

都相切，則〃+1的最小值為（）

b

A.2B.2eC.e2D.>/e

（2022?重慶市育才中學高三階段練習）

7.若直線，：y=H+6（Z>1）為曲線〃x）=e，T與曲線g（x）=elnx的公切線，則/的

縱截距b=（）

A.0B.1C.eD.-e

（2022?湖北?安陸第一高中高二階段練習）

8.若存在過點（0,-2）的直線與曲線>=■?和曲線y=+a都相切，則實數(shù)。的

值是（）

A.2B.1C.0D.-2

（2022?湖南永州?二模）

9.若函數(shù)>=以2與y=lnx存在兩條公切線，則實數(shù)。的取值范圍是（）

（2022?山西呂梁?高二期末）

10.若直線>=履+6是曲線y=e-的切線，也是曲線丫=。川-1的切線，則方=

（2022?全國?高三專題練習）

11.若曲線y=lnx與曲線），=/+2》+〃（》<0）有公切線，則〃的取值范圍是

（2022.四川.棠湖中學高二階段練習（文））

12.已知/（x）=e、（e為自然對數(shù)的成數(shù)），g（x）=lnx+2,直線/是/（x）與g（x）的公

切線，則直線/的方程為.

⑦與切線有關的轉化問題

（2022?全國?高三專題練習）

13.已知111與-玉-乂+2=0,x,+2y2-4-21n2=0,則"（3-々了+（y-的最小

值為（）

（2022.江蘇?泰州中學高二開學考試）

14.若實數(shù)4，b,c,d滿足lna=b,c+l=",則（a-c1+（b-d）2的最小值為,

（2022?四川?成都外國語學校高二階段練習（文））

15.已知x>0,yeR,（x-y）2+（x2-lnx+2-疔的最小值為（）

試卷第20頁，共23頁

A.0B.2C.速D.—

33

（2022?全國?高三專題練習）

16.若三嶼=、2=1,則&一々）2+（%一%）2的最小值是（）

A.；B.—C.41D.2

22

（2022?全國?高三專題練習）

17.已知點P,。分別在函數(shù)/（x）=ln（x+l）與g（x）=x+2的圖象上運動，則|PQ帕勺最

小值為（）

A.1B.72

C.2D.2A/2

第四部分：高考真題感悟

（2021?全國?高考真題）

18.若過點（。力）可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aB.<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

（2020?全國?高考真題（理））

19.若直線/與曲線廣五和x2+y2=g都相切，則/的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+^C.y=^-x+lD.y=yx+y

（2019?全國?高考真題（文））

20.曲線y=2sinx+cosx在點（兀，-1）處的切線方程為

A.x-y-K-1=0B.2x-y-2ju-l=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x+y-兀+1=0

第五部分：第01講導數(shù)的概念及運算（精練）

一、單選題

（2022?重慶市長壽中學校高二階段練習）

21.設“X）是可導函數(shù)，且lim巫二絲匕@=2,則/'⑴=（）

oAr

A.gB.-1C.0D.-2

（2022?河北?武安市第三中學高二階段練習）

22.若直線y=h-e與曲線y=xlnx相切，則％=（）

A.-B.2C.eD.4

e

（2022.福建省連城縣第一中學高二階段練習）

23.已知直線依-切+c=0與曲線y=-gcos2x+g在點處的切線互相垂直,

則多的值為（）

b

A.--B.41C.-1D.1

2

（2022?云南昆明?一模（文））

24.已知直線y=2x與曲線y=e，+a相切，則。的值為（）

A.2B.2（ln2+l）C.In2+1D.2（ln2-l）

（2022?廣西柳州?三模（理））

25.若曲線〃x）=e=%在點（與"仇））處的切線方程為嚴依+匕，則女+人的最大值為

（）

A.e—1B.1C.e+1D.e

（2022.河北邢臺?高二階段練習）

26.若直線/與函數(shù)/（x）=e、，g（x）=lnx的圖象分別相切于點4（%,/（4）），

B（Xj,g（9）），貝!]中2-藥+芻=（）

A.-2B.-1C.1D.2

（2022?河南?新蔡縣第一高級中學高二階段練習（理））

27.函數(shù)4x）=lnx+or存在與直線2x-y=0平行（或重合）的切線，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.（F,2]B.[2,+oo）C.（-00,2）D.（2,+8）

（2022.山東?濰坊一中模擬預測）

28.已知函數(shù)〃x）=lnx--,直線丫=皿+〃是曲線y=/（x）的一條切線，則加+2〃的

取值范圍是（）

A.[-3,+oo）B.卜8,^^

試卷第22頁，共23頁

二、填空題

（2022?北京交通大學附屬中學高二階段練習）

29.設函數(shù)/（x）=xsinx,則/'（?=_；

（2022?四川宜賓?二模（理））

30.已知/（》）=犬+24'（-手,則曲線/*）在點x=-g處的切線方程為,

（2022?河南?溫縣第一高級中學高三階段練習（理））

31.已知函數(shù)〃x）為偶函數(shù)，且當x>0時，〃到=/+一，則尸（一1）=.

（2022?陜西?武功縣普集高級中學高二階段練習（理））

32.已知函數(shù)〃刈=瞪+,/（0）皿*+4）,則/（0）=.

三、解答題

（2022?湖南?高二課時練習）

33.若函數(shù)/(x)=(x-l)(x-2)(x—3)??…(x-2021),求廣(2021)的值.

（2022?江蘇?高二課時練習）

34.求下列函數(shù)的導數(shù):

(XT

⑴/。）=

x+1

(3)=

X

(4)/(x)=x2cosx.

（2022?北京?北理工附中高二階段練習）

1rr

35.已知函數(shù)〃幻=；/一丁+3融，若在點（1J⑴）處切線的傾斜角為二，求。的

34

值；

（2022?遼寧?沈陽市第一二。中學高二階段練習）

36.已知兩曲線丫=丁+必和丫=/+以+<:都經過點P（l,2）,且在點P處有公切線.

（1）求a,b,c的值；

（2）求公切線與坐標軸圍成的三角形的面積；

參考答案:

1.A

【分析】設公共點為P（s,f）,根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得出關于的方程組，即可解得實

數(shù)S的值.

【詳解】設公共點為P（s,f）,y=e?T的導數(shù)為y'=e'T,曲線y=產,在P（s,r）處的切線斜率

k=es-',

y=a^c的導數(shù)為）''=品，曲線丫=在2（型）處的切線斜率后=忐，

因為兩曲線在公共點P處有公共切線，所以?~=赤，且，=e'T,/=〃"，

所以《一2火,即〃=解得$=所以e”=〃4,解得〃=必

e，T=a>Jse

故選：A.

2.D

【分析】先由兩曲線經過點P,求得〃，再由在點P處有公切線構造關于公。的方程，從而

求得b、c,最后代入log」,竺X中利用均值定理求得答案.

2x

2=r+axlp=l

【詳解】由題意，即

2=l2+/?xl+c[b+c=1

2

設/(x)=丁+x,g(x)=x+bx+cf

因為/'(x)=3f+l,g\x)=2x+b,

所以f(D=4,g'(l)=2+6,

又因為兩曲線在點P處有公切線，所以尸6=g'（l）=2+〃=4,所以b=2,c=-l

所以1%"二=1%守=1%住+與21叫1=0