新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第02講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 精講（教師版）

第02講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：基本事實(shí)的應(yīng)用題型二：空間兩條直線的位置關(guān)系題型三：立體幾何中的截線(截面)問題角度1：立體幾何中的截線角度2：立體幾何中的截面題型四：異面直線所成角第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論1、與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)（1）基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

數(shù)學(xué)語言：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三點(diǎn)不共線SKIPIF1<0有且只有一個(gè)平面SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

數(shù)學(xué)語言：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

數(shù)學(xué)語言：SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,且SKIPIF1<02、基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線與這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;

推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;

推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

知識(shí)點(diǎn)二：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0相交關(guān)系圖形語言圖形語言SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0獨(dú)有關(guān)系圖形語言圖形語言SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)三：平行公理和等角定理1、基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行數(shù)學(xué)符號(hào)語言；若直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0,則SKIPIF1<02、等角定理①文字語言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)②圖形語言：③符號(hào)語言：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0④作用：判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)四：異面直線所成角（1）異面直線的概念不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫法畫異面直線時(shí),為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)，常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交（4）異面直線所成角取值范圍：SKIPIF1<0第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)（該點(diǎn)不在底面圓周上），過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交

B．平行

C．異面

D．相交或平行【答案】B由母線的定義可知：該垂線與母線是平行的故選：B2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，與SKIPIF1<0是異面直線的是()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】C根據(jù)異面直線的定義可知：在三棱錐SKIPIF1<0中，與SKIPIF1<0是異面直線的是SKIPIF1<0故選：C3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】B由題可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0根據(jù)空間等角定理可知：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故選：B4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，空間四邊形SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)，G，H分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則四邊形SKIPIF1<0是()A．梯形

B．平行四邊形

C．菱形

D．矩形【答案】B根據(jù)中位線定理可知：SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可知四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形故選：B5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若直線l在平面SKIPIF1<0外，則l與平面SKIPIF1<0的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0

B．0或1

C．1

D．2【答案】B直線l在平面SKIPIF1<0外，則直線l與平面SKIPIF1<0相交或者平行，當(dāng)直線l與平面SKIPIF1<0相交時(shí)，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè)，當(dāng)直線l與平面SKIPIF1<0平行時(shí)，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0個(gè)，故選：B第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：基本事實(shí)的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·北京市第十二中學(xué)高一期末）下列說法正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．兩個(gè)平面可以只有一個(gè)公共點(diǎn)C．三條平行直線一定共面 D．三條直線兩兩相交，可以確定1個(gè)或3個(gè)平面【答案】D對(duì)于A，因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就有一條經(jīng)過該點(diǎn)的公共直線，即交線，該交線上有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三條平行直線可能共面，也可能有一條在另外兩條確定的平面外，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)三條直線兩兩相交，三個(gè)交點(diǎn)不重合時(shí)，三條直線共面，當(dāng)三條直線兩兩相交于一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這三條直線可能在同一個(gè)平面內(nèi)，也可能不共面，此時(shí)其中任意兩條直線都可確定一個(gè)平面，即可確定3個(gè)平面，故D正確，故選：D例題2．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）下列判斷中：①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面；③兩條直線確定一個(gè)平面；④三角形和梯形一定是平面圖形；⑤四邊形一定是平面圖形；⑥六邊形一定是平面圖形；⑦兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面.其中正確的是___________.【答案】④解①根據(jù)公理2知，必須是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①不對(duì)；②根據(jù)一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面知，故②不對(duì)；③由異面直線的定義知，兩條直線不一定確定一個(gè)平面，故③不對(duì)；④因梯形的一組對(duì)邊平行，所以由“兩條平行確定一個(gè)平面”知，梯形是一個(gè)平面圖形，又因三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，故④對(duì)；⑤比如空間四邊形則不是平面圖形，故⑤不對(duì)；⑥比如空間六邊形則不是平面圖形，故⑥不對(duì)；⑦兩兩相交于同一點(diǎn)的三條直線，如三棱錐的三個(gè)側(cè)面，它們確定了三個(gè)平面，故⑦不對(duì)．故答案為：④．題型歸類練1．（2022·北京·101中學(xué)高一期末）空間四點(diǎn)SKIPIF1<0共面而不共線，那么這四點(diǎn)中（

）A．必有三點(diǎn)共線 B．至多有三點(diǎn)共線C．至少有三點(diǎn)共線 D．不可能有三點(diǎn)共線【答案】B如下圖所示，A，C，D均不正確，只有B正確.故選：B.2．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線和該直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．四邊形確定一個(gè)平面D．兩條直線確定一個(gè)平面【答案】B不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；易知B正確；空間四邊形無法確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；兩條相交直線或平行直線確定一個(gè)平面，D錯(cuò)誤.故選：B.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）SKIPIF1<0兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面SKIPIF1<0兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面一定平行SKIPIF1<0過平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面只能相交或平行SKIPIF1<0和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D對(duì)于SKIPIF1<0，兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)于SKIPIF1<0，兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)于SKIPIF1<0，過平面外一點(diǎn)的直線一定在平面外，且直線與這個(gè)平面相交或平行，故SKIPIF1<0正確；對(duì)于SKIPIF1<0，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或相交直線，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤．SKIPIF1<0正確的命題只有一個(gè)．故選：D4．（2022·山西·平遙縣第二中學(xué)校高一期中）在空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與GH能相交于點(diǎn)P，那么（

）A．點(diǎn)P不在直線AC上 B．點(diǎn)P必在直線BD上C．點(diǎn)P必在平面ABC內(nèi) D．點(diǎn)P必在平面ABC外【答案】CCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因EF、GH能相交于點(diǎn)P，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A不正確，C正確，D不正確；又直線AC與BD沒有公共點(diǎn)，即點(diǎn)P不在直線BD上，B不正確.故選：C題型二：空間兩條直線的位置關(guān)系典型例題例題1．（2022·四川成都·高一期末（理））如圖，兩個(gè)正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．不確定【答案】C取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0確定平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴直線FQ與PB是異面直線.故選：C.例題2．（2022·遼寧·營口市第二高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）在空間內(nèi)，如果兩條直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0沒有公共點(diǎn)，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是______．【答案】異面或平行如果兩條直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0沒有公共點(diǎn)，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是異面或平行.故答案為：異面或平行.例題3．（2022·上海虹口·高二期末）在空間，如果兩個(gè)不同平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們的位置關(guān)系為________．【答案】相交在空間，如果兩個(gè)不同平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交.故答案為：相交.題型歸類練1．（2022·山西忻州·高一期末）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0異面 B．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0共面 C．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0異面 D．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0共面【答案】B如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合，故A錯(cuò)誤；∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是共面直線，故B正確；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，故C錯(cuò)誤；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不在一個(gè)平面內(nèi)，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0既不平行也不相交，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是異面直線，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2022·全國·高一）正方體中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其所在棱的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】C對(duì)于A，在正方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其所在棱的中點(diǎn)，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其所在棱的中點(diǎn)，有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，即有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在正方體SKIPIF1<0中，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其所在棱的中點(diǎn)，有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無公共點(diǎn)，又直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交，于是得直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線，C正確；對(duì)于SKIPIF1<0，在正方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，有SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其所在棱的中點(diǎn)，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共面，D錯(cuò)誤.故選：C3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知a和l是異面直線，b和l也是異面直線，則直線a和b的位置關(guān)系是______．【答案】平行或相交或異面長方體中，如上圖示：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線a，b異面；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線a，b平行；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線a，b相交；故答案為：平行或相交或異面題型三：立體幾何中的截線(截面)問題角度1：立體幾何中的截線，截面典型例題例題1．（2022·山東青島·高一期末）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面多邊形的形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B解：如圖，把截面SKIPIF1<0補(bǔ)形為四邊形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，又在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0四點(diǎn)共面.則平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.故選：B.例題2．（2022·廣東·北京師范大學(xué)珠海分校附屬外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面截正方體的截面周長為________．【答案】SKIPIF1<0如圖，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為所在棱的中點(diǎn)，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，故SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為所在棱的中點(diǎn)，故SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，故SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，故SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，故過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面截正方體的截面為平行四邊形SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故截面的周長為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.例題3．（2022·廣西欽州·高一期末）如圖，沿正方體相鄰的三個(gè)側(cè)面的對(duì)角線截得一個(gè)體積為SKIPIF1<0的三棱錐，則該正方體的棱長為________．【答案】2設(shè)該正方體的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案為：2例題4．（2022·廣東韶關(guān)·高一期末）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形的面積為（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C設(shè)平面SKIPIF1<0交棱AD于F，由正方體性質(zhì)及平面與平面平行的性質(zhì)定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得四邊形SKIPIF1<0所有邊長的長度為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．故選：C．題型歸類練1．（2021·安徽·安慶九一六學(xué)校高二階段練習(xí)（理））在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有SKIPIF1<0.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐SKIPIF1<0，如果用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示三個(gè)側(cè)面面積，SKIPIF1<0表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B建立從平面圖形到空間圖形的類比，與可得類比得到SKIPIF1<0，故選B．2．（多選）（2022·浙江溫州·高一期末）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原來的幾何體可能是（

）A．長方體 B．圓臺(tái) C．四棱臺(tái) D．正四面體【答案】ACD解：對(duì)于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故A正確；對(duì)于B：圓臺(tái)的截面均不可能是正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若四棱臺(tái)的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故C正確；對(duì)于D：如圖所示正四面體SKIPIF1<0，將其放到正方體中，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，依次連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由正方體的性質(zhì)可知截面SKIPIF1<0為正方形，故D正確；故選：ACD3．（2022·江蘇鹽城·高二期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在棱BC上運(yùn)動(dòng)，則過點(diǎn)P且與SKIPIF1<0垂直的平面SKIPIF1<0截該三棱柱所得的截面周長的最大值為_________．【答案】SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0,其交線為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)P在棱BC上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)截面最大，進(jìn)而周長最大，此時(shí)周長為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<04．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家構(gòu)造的一個(gè)幾何模型．如圖1，正方體的棱長為2，用一個(gè)底面直徑為2的圓柱去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個(gè)牟合方蓋（如圖2）．已知這個(gè)牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體積之比為SKIPIF1<0，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為__________．【答案】SKIPIF1<0正方體的體積為SKIPIF1<0，正方體的內(nèi)切球體積為SKIPIF1<0.所以牟合方蓋的體積為SKIPIF1<0，正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<05．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示是一個(gè)三棱錐，欲過點(diǎn)P作一個(gè)截面，使得截面與底面平行，該怎樣在側(cè)面上畫出截線？【答案】見解析在面SAB內(nèi)過點(diǎn)P作SKIPIF1<0，交SB于點(diǎn)E，在面SAC內(nèi)過點(diǎn)P作SKIPIF1<0，交SC于點(diǎn)F，連接EF.則面SKIPIF1<0面ABC，面PEF為所作截面.證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面ABC.題型四：異面直線所成角典型例題例題1．（2022·重慶南開中學(xué)高一期末）正四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镈是PA中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為異面直線CD與PB所成角的平面角，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即異面直線CD與PB所成角的余弦值是SKIPIF1<0.故選：B.例題2．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0或其補(bǔ)角，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C.例題3．（2022·天津·耀華中學(xué)高一期末）如圖，已知空間四邊形SKIPIF1<0的四條邊以及對(duì)角線的長均為2，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為___________.【答案】SKIPIF1<0如圖：連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角（或補(bǔ)角），由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理可得：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·四川南充·高二期末（文））將邊長為1的正方形SKIPIF1<0（及其內(nèi)部）繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的同側(cè)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C作出過點(diǎn)SKIPIF1<0的圓柱的母線SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，則有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角，即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0或補(bǔ)角，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0.故選：C3．（2022·湖北恩施·高一期末）在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為棱BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線EF與SKIPIF1<0所成角的余弦值為______．【答案】SKIPIF1<0如圖，在正方體SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)G，連結(jié)FG,GE,可知SKIPIF1<0，則異面直線EF與SKIPIF1<0所成的角為∠EFG或其補(bǔ)角．設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<04．（2022·湖北武漢·高一期末）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，其中SKIPIF1<0，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球體積為___________.【答案】SKIPIF1<0如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0或其補(bǔ)角為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為銳角，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.將該四棱錐補(bǔ)成如圖所示的長方體：則該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為SKIPIF1<0，故外接球的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5．（2022·湖南·高一期末）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為________.【答案】SKIPIF1<0如圖所示，連接SKIPIF1<0，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角或其補(bǔ)角，不妨設(shè)該正方體的棱長為2，由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0第四部分：高考真題感悟第四部分：高考真題感悟1．（2021·全國·高考真題（理））在正方體SKIPIF1<0中，P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D如圖，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或其補(bǔ)角為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)正方體棱長為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D2．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)（文））在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P為空間中的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，E為PD的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D解：如圖，作SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則有點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長度與點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長度相同，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心SKIPIF1<0長為半徑的圓，且SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長度為SKIPIF1<0．故選：D．3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中SKIPIF1<0，E，G分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0，CE所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C如圖所示：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，易知SKIPIF1<0，則∠ECF（或其補(bǔ)角）為直線SKIPIF1<0與CE所成角．不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與CE所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故選：C．4．(多選）（2022·全國·高考真題）已知正方體SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 D．直線SKIPIF1<0與平面ABCD所成的角為SKIPIF1<0【答案】ABD如圖，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0