廣東省2024高考數(shù)學學業(yè)水平合格考試總復習第3章函數(shù)的應用教師用書教案

PAGE1-第3章函數(shù)的應用考綱展示考情匯總備考指導函數(shù)與方程結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，推斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).2024年1月T5本章的重點是求函數(shù)的零點，推斷函數(shù)零點的個數(shù)及其所在的區(qū)間，難點是依據(jù)函數(shù)的零點的狀況求參數(shù)的取值范圍，學習本章時要留意應用數(shù)形結(jié)合的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法解決問題.求函數(shù)的零點、推斷零點的個數(shù)[基礎(chǔ)學問填充]1．函數(shù)的零點對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2．函數(shù)的零點與方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)有零點?方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點．3．零點存在性定理假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．[最新模擬快練]1．(2024·惠州學考模擬)函數(shù)y＝lnx的零點是()A．(0,0) B．x＝0C．x＝1 D．不存在C[令lnx＝0，解得x＝1.]2．(2024·江門學考模擬)函數(shù)f(x)＝2x－1的零點為()A．1 B．0C．(1,0) D．(0,0)B[函數(shù)的零點即相應方程的根．由2x－1＝0得x＝0，∴函數(shù)f(x)＝2x－1的零點為0.]3．(2024·揭陽學考模擬題)函數(shù)f(x)＝x－eq\r(x)－2的零點個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3B[由f(x)＝0得x－2＝eq\r(x)，在同一坐標系內(nèi)做出函數(shù)y＝x－2，y＝eq\r(x)的圖象，如圖所示，二者有1個交點，即f(x)有1個零點．]4．(2024·東莞高一月考)方程2－x＝－x2＋3的實數(shù)解的個數(shù)為()A．2B．3C．1 D．4A[令f(x)＝2－x，g(x)＝－x2＋3，繪制這兩個函數(shù)的函數(shù)圖象，可得故有2個交點，故選A．]5．(2024·東莞市高一期中)下列函數(shù)沒有零點的是()A．f(x)＝0 B．f(x)＝2C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)B[函數(shù)f(x)＝2，不能滿意方程f(x)＝0，因此沒有零點．]6．(2024·梅州高一期末)函數(shù)f(x)＝(lgx)2－lgx的零點為．x＝1或x＝10[由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.]7．(2024·佛山市高一期中考試)設(shè)函數(shù)f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，則函數(shù)f(x)的零點與g(x)的零點之和為．－2[令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零點為－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函數(shù)f(x)的零點與g(x)的零點之和為－2.]利用函數(shù)的圖象探討方程根的個數(shù)當方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來探討方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點的橫坐標.推斷函數(shù)零點所在的區(qū)間[最新模擬快練]1．(2024·佛山高一期末)對于函數(shù)f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，則()A．方程f(x)＝0肯定有實數(shù)解B．方程f(x)＝0肯定無實數(shù)解C．方程f(x)＝0肯定有兩實數(shù)解D．方程f(x)＝0可能無實數(shù)解D[∵函數(shù)f(x)的圖象在(－1,3)上未必連續(xù)，故盡管f(－1)·f(3)＜0，但未必函數(shù)y＝f(x)在(－1,3)上有零點，即方程f(x)＝0可能無實數(shù)解．]2．(2024·深圳學考模擬)函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5的零點所在的大致區(qū)間是()A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)C[∵函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5是單調(diào)遞減函數(shù)，又∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1>0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9<0，∴函數(shù)f(x)的零點必在區(qū)間(1,2)上，故必存在零點的區(qū)間是(1,2)，故選C．]3．(2024·深圳市高一期中)若x0是函數(shù)f(x)＝lnx與g(x)＝eq\f(2,x)的圖象交點的橫坐標，則x0屬于區(qū)間()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)C[設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－eq\f(2,x)，h(1)＝－2<0，h(2)＝ln2－1<0，h(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，故x0∈(2,3)．]4．(2024·江門學考模擬)依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個根所在的區(qū)間是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)C[令f(x)＝ex－(x＋2)，則f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一個根在(1,2)內(nèi)．]5.(2024·肇慶學考模擬)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)B[因為函數(shù)f(x)＝2x＋3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么依據(jù)f(－1)＝eq\f(1,2)－3＝－eq\f(5,2)<0，f(0)＝1＋0＝1>0，那么由函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為(－1,0)，選B．]6．(2024·佛山市學考模擬題)已知函數(shù)f(x)＝2x＋log3x的零點在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k－\f(1,2)))上，則整數(shù)k的值為．1[∵函數(shù)f(x)＝2x＋log3x在(0，＋∞)單調(diào)遞增．∴函數(shù)f(x)＝2x＋log3x最多有一個零點．當k＝1時，區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k－\f(1,2)))為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，當x→0時，f(x)→－∞，當x＝eq\f(1,2)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)－log32>0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上存在零點，因此必定k＝1.]確定函數(shù)零點所在的區(qū)間有兩種方法：一是利用零點存在性定理，二是把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法.函數(shù)零點的應用[學考真題對練](2024·廣東學業(yè)水平真題)設(shè)實數(shù)a為常數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x2－x＋a(x∈R)存在零點的充分必要條件是()A．a(chǎn)≤1B．a(chǎn)>1C．a(chǎn)≤eq\f(1,4) D．a(chǎn)>eq\f(1,4)C[由已知可得，Δ＝1－4a≥0?a≤eq\f(1,4)，故選C．]已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值常用的方法(1)干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數(shù)范圍；(2)分別參數(shù)法：將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．[最新模擬快練]1．(2024·肇慶市學考模擬題)若函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則aA．a(chǎn)>eq\f(1,5) B．a(chǎn)>eq\f(1,5)或a<－1C．－1<a<eq\f(1,5) D．a(chǎn)<－1B[由題意，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則有f(－1)f(1)<0，即(a＋1)(－5a＋1)<0，所以(a＋1)(5a－1)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0,5a－1>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0,5a－1<0))，解得a>eq\f(1,5)或a<－1.]2．(2024·清遠市高一月考)若函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|1－x|)＋m有零點，則m的取值范圍是()A．m≤－1 B．－1≤m<0C．m≥1 D．0<m≤1B[∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|1－x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1x≥1,2x－1x<1))，畫圖象可知－1≤m<0，故選B．]3．(2024·汕頭學考模擬)若函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點，則實數(shù)m的取值范圍是．m>1[f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]4．(2024·佛山學考模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一個零點為1，則它的另一個零點為．－3[設(shè)函數(shù)f(x)的兩個零點為x1，x2，依據(jù)函數(shù)解析式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－eq\f(2a,a)＝－2.又因為x1＝1，所以x2＝－3.]5．(2024·廣州高一期中)設(shè)函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－eq\f(a,2).(1)求證：函數(shù)g(x)有兩個零點；(2)探討函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的零點個數(shù)．[解](1)證明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－eq\f(a,2)，∴3a＋2b＋2∴c＝－eq\f(3,2)a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－eq\f(3,2)a－b，∴Δ＝b2－4aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a－b))＝(2a＋b)2＋2a2.∵a>0，∴Δ>0恒成立，故函數(shù)g(x)有