遷移建聯(lián)讓知識結(jié)構(gòu)化生長

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的重要路徑。在新時代背景下，教師應(yīng)從整體性和一致性的視角深入理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，探尋知識間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維不斷進(jìn)階，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。面對運算教學(xué)，要在現(xiàn)行教材的實施中思考，在有效指引下進(jìn)行教學(xué)實踐?！叭粩?shù)乘兩位數(shù)的筆算”是蘇教版教材四年級下冊的內(nèi)容。學(xué)生已學(xué)習(xí)了三年級上冊的“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”和三年級下冊的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”，“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是整數(shù)乘法在整個小學(xué)階段的最后一次呈現(xiàn)，但就整個整數(shù)乘法的運算而言，并未結(jié)束。因此，本課不僅是小學(xué)階段整數(shù)乘法的“收尾”與“總結(jié)”，承載著整理的任務(wù)，也是一個節(jié)點，承載著整數(shù)乘法運算生長、連接的任務(wù)。如何在已有整數(shù)乘法筆算的基礎(chǔ)上定位與教學(xué)本節(jié)課內(nèi)容？如何讓本節(jié)課為后續(xù)其他復(fù)雜整數(shù)乘法運算做支撐？在充分思考的基礎(chǔ)上，筆者在教學(xué)中多次嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究掌握整數(shù)乘法間的內(nèi)在聯(lián)系，通過方法遷移構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)。片段一：舊知遷移，關(guān)注知識結(jié)構(gòu)師：同學(xué)們，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算。請你從這些題目（如圖1）中選擇兩道題來進(jìn)行復(fù)習(xí)，你覺得選擇哪兩道題能幫助我們更好地學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)呢？圖1生1：我選的是②和⑥。生2：我選①和④，因為①和④都是三位數(shù)乘一位數(shù)，而今天學(xué)的是三位數(shù)乘兩位數(shù)，我們可以先通過乘一位數(shù)來復(fù)習(xí)。生3：我選②和⑤，因為今天學(xué)的是三位數(shù)乘兩位數(shù)，②是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，⑤是三位數(shù)乘一位數(shù)。師：同學(xué)們既關(guān)注到了三位數(shù)又關(guān)注到了兩位數(shù)，考慮問題非常全面。我們就按同學(xué)們的意思，從三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)中各選一道題作為復(fù)習(xí)題。完成學(xué)習(xí)單中“復(fù)習(xí)”這一板塊。（學(xué)生完成復(fù)習(xí)，并交流計算的過程）【思考】學(xué)生從算式的類型上考慮，尋找知識之間的聯(lián)系，從這一點上說，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會主動建聯(lián)。復(fù)習(xí)階段，學(xué)生聚焦計算過程，始終圍繞“乘了幾次？每次都是幾位數(shù)乘幾位數(shù)？”的問題展開交流。同時，學(xué)生呈現(xiàn)計算過程直觀圖，用箭頭直觀地反映運算路徑（如圖2），展現(xiàn)他們的計算思維。圖2計算過程直觀圖讓學(xué)生明確：“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”與“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的運算是一致的，都是先按照數(shù)位分開來乘，再把積相加，可以簡單概括為先分后合。通過計算過程直觀圖的呈現(xiàn)，學(xué)生能夠感受到“三位數(shù)乘一位數(shù)”分三次乘，每次都是一位數(shù)乘一位數(shù)；“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”分兩次乘，每次同樣是一位數(shù)乘兩位數(shù)。計算過程直觀圖的箭頭能讓學(xué)生厘清運算的次數(shù)及乘的順序，都是用第二個乘數(shù)各數(shù)位上的數(shù)去乘第一個乘數(shù)。同時，也能在方框的指引下，通過對比發(fā)現(xiàn)：第一個兩位數(shù)在計算中被看成一個整體，一方面有利于提取運算步驟，另一方面，也是將前期兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識直接遷移的具體體現(xiàn)。通過不斷遷移舊知，學(xué)生逐步體會知識間的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注知識結(jié)構(gòu)。片段二：橫豎式建聯(lián)，融通知識結(jié)構(gòu)（呈現(xiàn)例題，學(xué)生列出算式）師：根據(jù)已有的計算經(jīng)驗，你能列豎式來解決學(xué)習(xí)活動一（如圖3）的問題嗎？圖3（學(xué)生完成學(xué)習(xí)活動后交流）師：誰愿意來給大家講一講？生1：每車128箱，10車是10個128，也就是128×10；6車是6個128個，也就是128×6。然后把10車的箱數(shù)和6車的箱數(shù)加起來就等于16車的箱數(shù)。生2：通過這個長方形圖可以發(fā)現(xiàn)128×16=128×10+128×6。師：結(jié)合這個情境和圖示，能不能具體解釋一下，在豎式乘法計算中的每一步計算分別表示什么意思？生3：從豎式來看，先用16個位上的6乘128，得6×128=768，再用16上十位上的1乘128，得10×128=1280，再把這兩個數(shù)加起來就等于倉庫一共購進(jìn)的箱數(shù)——2048箱。師：豎式對應(yīng)到圖上，分別是哪一部分？你能用線連一連嗎？（學(xué)生表達(dá)并連線）師：下面我們把這一個乘法豎式完整地來寫一寫。（關(guān)注每一步計算結(jié)果的末位與誰對齊，表示什么）【思考】本環(huán)節(jié)依托“倉庫購進(jìn)迷你南瓜”的問題情境，探索128×16的筆算方法。這一探索過程需要循“理”入“法”，滿足“理”和“法”的相互融合。根據(jù)學(xué)生的年齡和認(rèn)知特點，借助圖形幫助學(xué)生理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法，與已學(xué)過的筆算乘法銜接，并實現(xiàn)知識的有效遷移。在呈現(xiàn)的順序上與前面學(xué)過的整數(shù)乘法有所不同：先嘗試列豎式解決，再結(jié)合圖示進(jìn)行解釋。學(xué)生已經(jīng)具備一定的筆算乘法的能力，看到算式后，可能更傾向于直接列豎式計算。雖然學(xué)生的筆算方法是由經(jīng)驗直接遷移過來的，但是“算對了”并不一定就是真正“會算了”。因此，采取先列豎式計算的方式，符合學(xué)生的認(rèn)知心理。隨后，用圖形來解釋豎式計算中每一步的含義，讓圖形成為解釋算理的工具，使學(xué)生加深對算法的理解，實現(xiàn)從“講清事理”到“理解算理”，再到“建構(gòu)算法”的過程，實現(xiàn)理法交融。片段三：框架圖搭建，完善知識結(jié)構(gòu)師：回顧一下，我們學(xué)習(xí)過哪些乘法的計算？生1：我們學(xué)習(xí)過三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)，還有一位數(shù)乘一位數(shù)。師（出示寫有不同類型的乘法的牌子）：瞧，我們學(xué)了這么多種乘法，你能不能擺一擺，讓它們更有序、讓人看得更清晰？生2（邊擺邊說）：把“一位數(shù)乘一位數(shù)”放在最上面，再把“兩位數(shù)乘一位數(shù)”放在“一位數(shù)乘一位數(shù)”下面，然后把“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”放在“兩位數(shù)乘一位數(shù)”旁邊，接著把“三位數(shù)乘一位數(shù)”放到“兩位數(shù)乘一位數(shù)”下面，最后把“三位數(shù)乘兩位數(shù)”放在“三位數(shù)乘一位數(shù)”旁邊。乘號的左邊是按照一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)的順序排列的。師：如果按照這個方式繼續(xù)拓展下去，你覺得我們還將會學(xué)習(xí)怎樣的乘法計算呢？生3：三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘一位數(shù)、四位數(shù)乘兩位數(shù)、四位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘四位數(shù)……師：這是大家的想法，其實我們的學(xué)習(xí)并不是這樣的順序。在我們的課本當(dāng)中對于整數(shù)的運算只學(xué)習(xí)到今天這節(jié)課——三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，后面就不再安排相關(guān)知識的學(xué)習(xí)了。為什么不學(xué)了呢？想一想，把你的想法跟同學(xué)說一說。（學(xué)生交流并匯報）生4：我覺得只要掌握了計算規(guī)律，后面的數(shù)無論多大都可以算出來。生5：我感覺它們之間是有聯(lián)系的，三位數(shù)乘兩位數(shù)乘了兩次，每一次都是三位數(shù)乘一位數(shù)，我想，如果是三位數(shù)乘三位數(shù)，應(yīng)該是乘三次，每次還是三位數(shù)乘一位數(shù)。照這樣，就可以計算其他的大數(shù)的乘法了。生6：我發(fā)現(xiàn)，不管是幾位數(shù)乘幾位數(shù)，都可以轉(zhuǎn)化成幾位數(shù)乘一位數(shù)，而乘一位數(shù)實際上就是在算一位數(shù)乘一位數(shù)，都回歸到了一位數(shù)乘一位數(shù)的表內(nèi)乘法。（教師板書如圖4所示）圖4【思考】在回顧與建聯(lián)的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計算總是經(jīng)歷“橫向溯源”和“縱向溯源”兩個過程。橫向看，不論是幾位數(shù)乘幾位數(shù)，都可以回歸到“幾位數(shù)乘一位數(shù)”，只是乘的次數(shù)不同，如“四位數(shù)乘三位數(shù)”需要計算三次“四位數(shù)乘一位數(shù)”；縱向看，不論是幾位數(shù)乘一位數(shù)，都可以回歸到“一位數(shù)乘一位數(shù)”，同樣是乘的次數(shù)不同，如“四位數(shù)乘一位數(shù)”需要計算四次“一位數(shù)乘一位數(shù)”。這樣的發(fā)現(xiàn)使學(xué)生的思維連成一個整體，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新知識與舊知識的循環(huán)轉(zhuǎn)化，以及整數(shù)乘法運算本質(zhì)上的一致性?；仡?、整理、拓展、建聯(lián)的過程不僅使方法得以向后延續(xù)，也實現(xiàn)了向前回歸。通過梳理與轉(zhuǎn)化，將所有整數(shù)乘法建立密切聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)歷知識點構(gòu)建成知識網(wǎng)的過程，通過推理算法，形成整體性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識與思考。［總結(jié)］本節(jié)課是一節(jié)典型的計算課，需要讓學(xué)生經(jīng)歷算理、算法的探究提升過程，進(jìn)而形成運算技能，同時，作為“節(jié)點課”，它承載著梳理知識、建立聯(lián)系及把握乘法計算本質(zhì)等任務(wù)。這一課的教學(xué)，本身也是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的一部分，通過明晰算法，為后續(xù)準(zhǔn)確、熟練運算奠定堅實基礎(chǔ)?！叭粩?shù)乘兩位數(shù)”的筆算從本質(zhì)上看是打通各種類型整數(shù)乘法計算的脈絡(luò)，轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法的計算。從思維方法上看，從“兩位數(shù)乘一位數(shù)”開始，就已經(jīng)涉及乘法分配律的運用。雖然“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的運算在形式上有所區(qū)別，只是運算步驟增加了，但本質(zhì)是相同的，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”同樣如此，學(xué)生有了前期多種運算的經(jīng)驗，更容易在探尋運算本質(zhì)的過程中感受一致性。這有助于他們將所學(xué)知識應(yīng)用于更多整數(shù)乘法的計算中。在對比和分析各種乘法的計算方法時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的共性，領(lǐng)悟“先分后合”的數(shù)學(xué)思想，體會知識間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化思考。教師進(jìn)行整體教學(xué)，注重知識的延伸點，讓學(xué)生“見樹木，也見森林”。從已有知識出發(fā)，從“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，再到其他復(fù)雜多位數(shù)相乘的計算歸納，逐步擴(kuò)出一片“林”，織出一張“網(wǎng)”。通過這種漸進(jìn)式的教學(xué)方式，學(xué)生不僅對整數(shù)乘法有整體把握，也可能跳出整數(shù)乘法系統(tǒng)，將整數(shù)乘法與整數(shù)加法、減法及整數(shù)除