中國(guó)古代數(shù)學(xué)史話

PAGEPAGE3蕭山第五高級(jí)中學(xué)校本課程中國(guó)古代數(shù)學(xué)史話主編：余方明一、課程名稱(chēng)新課程改革重視學(xué)生素質(zhì)全面的發(fā)展，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史話是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要組成部分。它不僅可以拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以讓學(xué)生體會(huì)到一種數(shù)學(xué)的人文精神，促使學(xué)生健全人格的發(fā)展。因此，巧妙利用數(shù)學(xué)史話是引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)王國(guó)，提高教學(xué)實(shí)效的方法之一。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)史話，就是通過(guò)選取一些我國(guó)古代數(shù)學(xué)史料，還原數(shù)學(xué)的一些真象、本源，使學(xué)習(xí)者更全面地認(rèn)知數(shù)學(xué)，體會(huì)古人的智慧，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)情感。二、課程目標(biāo)本課程通過(guò)問(wèn)題解決，發(fā)現(xiàn)、歸納或概括出問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、本源，以實(shí)現(xiàn)課標(biāo)“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”的理念；通過(guò)努力還原數(shù)學(xué)形成體系后丟失成份，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用。因此，設(shè)定的課程具體目標(biāo)是：1．通過(guò)解決問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)能力，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力；通過(guò)交流，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思路；通過(guò)問(wèn)題解決后的歸納、概括，發(fā)現(xiàn)新知、獲取新的數(shù)學(xué)認(rèn)知與數(shù)學(xué)理解。2．通過(guò)解決問(wèn)題，認(rèn)識(shí)社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需要。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。3．通過(guò)選修課程學(xué)習(xí)，反哺必修課，讓學(xué)生明白：要重視重要的數(shù)學(xué)方法，知道概括同質(zhì)問(wèn)題；拓寬對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不僅是解題，而有文化與思想；改善對(duì)數(shù)學(xué)的看法，形成正確的數(shù)學(xué)觀，會(huì)進(jìn)行理性思考。4.通過(guò)選修課的學(xué)習(xí)，了解研究我國(guó)數(shù)學(xué)歷史，研究數(shù)學(xué)的方法，為新的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)與動(dòng)力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情感。三、課程內(nèi)容：根據(jù)課程目標(biāo)，考慮教學(xué)可用時(shí)間，學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，以及教師能把握的水平，安排了共三章、14節(jié)內(nèi)容，每節(jié)用1個(gè)課時(shí)，其中第二章第2節(jié)4課時(shí)，第二章第5節(jié)2課時(shí)，共18課時(shí)完成。具體見(jiàn)目錄。課程的體例安排：立足在問(wèn)題引導(dǎo)下，促成學(xué)生思維的自主活動(dòng)，能通過(guò)古代數(shù)學(xué)史料的學(xué)習(xí)與交流，加之教師的點(diǎn)評(píng)，更全面了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)，激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情。四、教材編寫(xiě)原則1.典型性我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，內(nèi)容十分豐富，考慮到課程目標(biāo)、選修課開(kāi)設(shè)時(shí)間，課程開(kāi)發(fā)時(shí)，定位選擇數(shù)學(xué)歷史中具有典型性的點(diǎn)，能保證實(shí)現(xiàn)：每一個(gè)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，一是能明白一個(gè)結(jié)論，二是在學(xué)生完成選修課后，有進(jìn)一步學(xué)習(xí)的可能，即有條件“由點(diǎn)及面”。2.學(xué)科性堅(jiān)持做數(shù)學(xué)。即本課程的內(nèi)容既要有“數(shù)學(xué)味”，也要有一定的數(shù)學(xué)“思維量”，同時(shí)要求通過(guò)每一講的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在的、本質(zhì)的東西。獲取新的認(rèn)知、理解.3.活動(dòng)性相比必修課學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮能讓學(xué)生有更多的主動(dòng)性，能參與學(xué)習(xí)過(guò)程，發(fā)表自己的理解與發(fā)現(xiàn)，交流各自的所得，并在教師參與下，提升、概括，獲取新知。4.適合性在選取數(shù)學(xué)史料時(shí)，盡力控制在學(xué)生可接受的知識(shí)領(lǐng)域，同時(shí)考慮：對(duì)不喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生，可選擇課程的部分內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)含的文化，數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性，數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)等，改變對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知；對(duì)喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生，能通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，更全面地了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在的思想，數(shù)學(xué)研究的方法等，從而奠定進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。5.易用性考慮選修課程實(shí)施時(shí)，教師的可操作性。即能根據(jù)課程提供的材料組織起學(xué)生的活動(dòng)，促成生生或師生之間的交流，并保障教師對(duì)活動(dòng)成果進(jìn)行有價(jià)值的概括、歸納，提升。同時(shí)。也考慮到本課程可當(dāng)作學(xué)生的課外讀物。即能引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自學(xué)完成課程學(xué)習(xí)。五、課程實(shí)施建議課程不是數(shù)學(xué)史系統(tǒng)介紹，而是選取數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些點(diǎn)，來(lái)創(chuàng)設(shè)學(xué)生活動(dòng)。通過(guò)活動(dòng)獲取對(duì)個(gè)體數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展有作用的成果。課中，需要做題，這是活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)，但不以解決題目為目標(biāo)，而是提供一次感悟的機(jī)會(huì)，提供機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)思想與方法，獲取普適性的結(jié)論，以指導(dǎo)個(gè)體更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程借助互聯(lián)網(wǎng)帶來(lái)的方便，使有興趣的學(xué)生，有進(jìn)一點(diǎn)發(fā)展的可能。也基于學(xué)生原有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)有數(shù)學(xué)味的學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)對(duì)必修課的學(xué)習(xí)。因此，本課程采用“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)方式。即課程實(shí)施時(shí)，教師要先放手，只作為活動(dòng)中的一位成員，參與學(xué)生的活動(dòng)。了解學(xué)生所思、所得，一是將其及時(shí)地展示給其他同學(xué)，二是根據(jù)了解的學(xué)生所得，作好點(diǎn)評(píng)準(zhǔn)備。六、課程評(píng)價(jià)1．指導(dǎo)思想：通過(guò)評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方式的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。通過(guò)評(píng)價(jià)，促成學(xué)生知曉自主研究數(shù)學(xué)的方法，能自主作一些基本的探索與簡(jiǎn)單地研究。2．評(píng)價(jià)方式：本課程設(shè)滿(mǎn)分100分。①學(xué)時(shí)學(xué)分：出勤情況占總分20%。滿(mǎn)勤得20分，但一次未出勤扣15分。②課業(yè)學(xué)分：占總分30%。學(xué)生課上紀(jì)律、活動(dòng)參與情況，團(tuán)結(jié)協(xié)作情況，過(guò)程性評(píng)價(jià)。③成績(jī)學(xué)分：占總分50%。對(duì)學(xué)生每次上交的作業(yè)，按作業(yè)完成時(shí)間，作業(yè)質(zhì)量，評(píng)分，每次總分8分，允許有2次作業(yè)可以選擇不做。④寫(xiě)出研究報(bào)告，每一份報(bào)告根據(jù)質(zhì)量，在5分至10分區(qū)間內(nèi)，另給予加分。這樣做能使雖然有缺勤，但能根據(jù)課程要求，進(jìn)行自主研究的學(xué)生也有合格機(jī)會(huì)。第一章走近中國(guó)古代數(shù)學(xué)史第1節(jié)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展史第2節(jié)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就第二章走進(jìn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)殿堂第1節(jié)《周髀算經(jīng)》與勾股定理第2節(jié)《九章算術(shù)》及劉徽注2.1九章算術(shù)2.2盈不足問(wèn)題與方程（組）2.3牟合方蓋與球體積公式2.4出入相補(bǔ)原理及其應(yīng)用2.5劉徽與割圓術(shù)第3節(jié)張邱建算經(jīng)與百雞問(wèn)題第4節(jié)李白沽酒與分析法第5節(jié)數(shù)書(shū)九章5.1大衍求一術(shù)5.2正負(fù)開(kāi)方術(shù)第6節(jié)田忌賽馬與對(duì)策論第7節(jié)百僧問(wèn)題第8節(jié)雞兔同籠第9節(jié)垛積招差第10節(jié)楊輝三角第三章中國(guó)古代數(shù)學(xué)方法第1節(jié)中國(guó)古代數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵的思想方法第2節(jié)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的構(gòu)造性證明第一章走近中國(guó)古代數(shù)學(xué)史第1節(jié)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展史數(shù)學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要的學(xué)科，根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，可以分為五個(gè)時(shí)期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合。1.1中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號(hào)。到原始公社末期，已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。西安半坡出土的陶器有用1～8個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個(gè)小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬(wàn)；與此同時(shí)，殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期；公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。春秋戰(zhàn)國(guó)之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的。這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的實(shí)體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”（無(wú)窮大）定義為“至大無(wú)外”，“小一”（無(wú)窮小）定義為“至小無(wú)內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”等命題。1.2中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期，它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)?！毒耪滤阈g(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō)，堪稱(chēng)是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)（西方稱(chēng)三率法）、開(kāi)平方與開(kāi)立方（包括二次方程數(shù)值解法）、盈不足術(shù)（西方稱(chēng)雙設(shè)法）、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法（特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法）等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系?！毒耪滤阈g(shù)》有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類(lèi)分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。這些特點(diǎn)是同當(dāng)時(shí)社會(huì)條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時(shí)期，一切科學(xué)技術(shù)都要為當(dāng)時(shí)確立和鞏固封建制度，以及發(fā)展社會(huì)生產(chǎn)服務(wù)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。最后成書(shū)于東漢初年的《九章算術(shù)》，排除了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期在百家爭(zhēng)鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當(dāng)時(shí)生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解法，這與當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展情況是完全一致的。1.3中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展魏、晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國(guó)趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期。趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書(shū)中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。劉徽約與趙爽同時(shí)，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家和墨家的思想，主張對(duì)一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡(jiǎn)明嚴(yán)密，利于讀者。他的《九章算術(shù)》注不僅是對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過(guò)程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。東晉以后，中國(guó)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后，南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作，他們?cè)趧⒒兆ⅰ毒耪滤阈g(shù)》的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。隋煬帝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題，反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要，也為后來(lái)天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對(duì)傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書(shū)》，對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對(duì)讀者是有幫助的。隋唐時(shí)期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。1.4中國(guó)古代數(shù)學(xué)的繁榮960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書(shū)省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書(shū)》，1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。從11～14世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》，李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些成就也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰從開(kāi)平方、開(kāi)立方到四次以上的開(kāi)方，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍，實(shí)現(xiàn)這個(gè)飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類(lèi)》中載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”、“增乘開(kāi)立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開(kāi)方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開(kāi)方法開(kāi)四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開(kāi)方法。這兩項(xiàng)成就對(duì)整個(gè)宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書(shū)九章》中收集了21個(gè)用增乘開(kāi)方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問(wèn)題。為了適應(yīng)增乘開(kāi)方法的計(jì)算程序，奏九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù)，把高次方程解法分成各種類(lèi)型。當(dāng)方程的根為非整數(shù)時(shí)，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來(lái)表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無(wú)理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時(shí)，秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時(shí)歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問(wèn)題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱(chēng)為招差術(shù))，朱世杰得到一個(gè)四次函數(shù)的內(nèi)插公式。宋元數(shù)學(xué)的繁榮，是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果。此外，數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的。宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對(duì)理學(xué)家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源，但他后來(lái)認(rèn)識(shí)到，“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的，只有“經(jīng)世務(wù)類(lèi)萬(wàn)物”的數(shù)學(xué)；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真，以虛問(wèn)實(shí)”則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對(duì)縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，揭示出洛書(shū)的本質(zhì)，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些，無(wú)疑是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素。1.5中西方數(shù)學(xué)的融合中國(guó)從明代開(kāi)始進(jìn)入了封建社會(huì)的晚期，封建統(tǒng)治者實(shí)行極權(quán)統(tǒng)治，宣傳唯心主義哲學(xué)，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸衰落。16世紀(jì)末以后，西方初等數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國(guó)，使中國(guó)數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)一個(gè)中西融合貫通的局面；鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)以后，近代數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó)，中國(guó)數(shù)學(xué)便轉(zhuǎn)入一個(gè)以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時(shí)期；到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，近代數(shù)學(xué)研究才真正開(kāi)始。從明初到明中葉，商品經(jīng)濟(jì)有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應(yīng)的是珠算的普及。明初《魁本對(duì)相四言雜字》和《魯班木經(jīng)》的出現(xiàn)，說(shuō)明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識(shí)字的課本，后者把算盤(pán)作為家庭必需用品列入一般的木器家具手冊(cè)中。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣并在除法中廣泛應(yīng)用歸除，從而實(shí)現(xiàn)了珠算四則運(yùn)算的全部口訣化；朱載墑和程大位把籌算開(kāi)平方和開(kāi)立方的方法應(yīng)用到珠算，程大位用珠算解數(shù)字二次、三次方程等等。程大位的著作在國(guó)內(nèi)外流傳很廣，影響很大。1582年，意大利傳教士利瑪竇到中國(guó)，1607年以后，他先后與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測(cè)量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書(shū)》137卷?！冻绲潥v書(shū)》主要是介紹歐洲天文學(xué)家第谷的地心學(xué)說(shuō)。作為這一學(xué)說(shuō)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，希臘的幾何學(xué)，歐洲玉山若干的三角學(xué)，以及納皮爾算籌、伽利略比例規(guī)等計(jì)算工具也同時(shí)介紹進(jìn)來(lái)。在傳入的數(shù)學(xué)中，影響最大的是《幾何原本》?！稁缀卧尽肥侵袊?guó)第一部數(shù)學(xué)翻譯著作，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞都是首創(chuàng)，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認(rèn)為對(duì)它“不必疑”、“不必改”，“舉世無(wú)一人不當(dāng)學(xué)”。《幾何原本》是明清兩代數(shù)學(xué)家必讀的數(shù)學(xué)書(shū)，對(duì)他們的研究工作頗有影響。其次應(yīng)用最廣的是三角學(xué)，介紹西方三角學(xué)的著作有《大測(cè)》《割圓八線表》和《測(cè)量全義》?！洞鬁y(cè)》主要說(shuō)明三角八線(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性質(zhì)，造表方法和用表方法。《測(cè)量全義》除增加一些《大測(cè)》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些，在當(dāng)時(shí)歷法工作中都是隨譯隨用的。1646年，波蘭傳教士穆尼閣來(lái)華，跟隨他學(xué)習(xí)西方科學(xué)的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世后，薛鳳柞據(jù)其所學(xué)，編成《歷學(xué)會(huì)通》，想把中法西法融會(huì)貫通起來(lái)?！稓v學(xué)會(huì)通》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要有比例對(duì)數(shù)表》《比例四線新表》和《三角算法》。前兩書(shū)是介紹英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾和布里格斯發(fā)明增修的對(duì)數(shù)。后一書(shū)除《崇禎歷書(shū)》介紹的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著《數(shù)度衍》對(duì)對(duì)數(shù)理論進(jìn)行解釋。對(duì)數(shù)的傳入是十分重要，它在歷法計(jì)算中立即就得到應(yīng)用。清初學(xué)者研究中西數(shù)學(xué)有心得而著書(shū)傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書(shū)輯要》(其中數(shù)學(xué)著作13種共40卷)、年希堯《視學(xué)》等。梅文鼎是集中西數(shù)學(xué)之大成者。他對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進(jìn)行整理和研究，使瀕于枯萎的明代數(shù)學(xué)出現(xiàn)了生機(jī)。年希堯的《視學(xué)》是中國(guó)第一部介紹西方透視學(xué)的著作。思考：1、簡(jiǎn)述中國(guó)古代數(shù)學(xué)的歷史成就，及各時(shí)代的代表著作。2、討論中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)衰落的原因。第2節(jié)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就2.1古代數(shù)學(xué)杰出成就高次方程數(shù)值解法把增乘開(kāi)方法推廣到數(shù)字高次方程（包括系數(shù)為負(fù)的情形）解法的是劉益（12世紀(jì)中期）?！稐钶x算法》中《田畝比類(lèi)乘除捷法》卷下介紹了原書(shū)中22個(gè)二次方程和1個(gè)四次方程，后者是用增乘開(kāi)方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書(shū)九章》中收集了21個(gè)用增乘開(kāi)方法解高次方程（最高次數(shù)為10）的問(wèn)題。為了適應(yīng)增乘開(kāi)方法的計(jì)算程序，秦九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù)。他把高次方程解法分成各種類(lèi)型，如：n次項(xiàng)系數(shù)不等于1的方程，奇次冪系數(shù)均為零的方程，進(jìn)行x=y+с代換后常數(shù)項(xiàng)變號(hào)的方程與常數(shù)項(xiàng)符號(hào)不變而絕對(duì)值增大的方程等。方程的根為非整數(shù)時(shí)，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母、常數(shù)為分子來(lái)表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無(wú)理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第2位數(shù)時(shí)，秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第2位數(shù)的試除法。秦九韶的方法比霍納方法早500多年。一次同余式組解法《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題已提到一次同余式組解法的例子，秦九韶把它一般化。在這個(gè)方法中有一個(gè)必須解決的關(guān)鍵問(wèn)題是求同余式1(mod）中的，式中。秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》大衍類(lèi)里，用更相減損的方法給出一個(gè)計(jì)算程序，完滿(mǎn)地解決了這個(gè)問(wèn)題，此外，秦九韶還討論了模數(shù)是收數(shù)（小數(shù)）、通數(shù)（分?jǐn)?shù)）、元數(shù)（一般正整數(shù)）、復(fù)數(shù)（10n的倍數(shù)）非兩兩互素的情形，并分別給出變上述4種數(shù)為兩兩互素的模數(shù)的方法。高次方程立法用天元（相當(dāng)于現(xiàn)在的）作為未知數(shù)符號(hào)，立出高次方程，古代稱(chēng)為天元術(shù)。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào)，并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測(cè)圓海鏡》。李冶在一次項(xiàng)系數(shù)右旁記一“元”字（或在常數(shù)項(xiàng)右旁記一“太”字）。元以上的系數(shù)分別表示各正次冪，元以下的系數(shù)表示常數(shù)和各負(fù)次冪（在《益古演段》中又把這個(gè)次序倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)）。建立方程的具體方法是，根據(jù)問(wèn)題的已知條件，列出兩個(gè)相等的多項(xiàng)式和，令二者相減，即得一個(gè)數(shù)字高次方程。若其中一個(gè)多項(xiàng)式是分式多項(xiàng)式，，李冶則變另一多項(xiàng)式為使二者相減時(shí)消去分式多項(xiàng)式的分母，得這是劉徽關(guān)于率的概念在多項(xiàng)式運(yùn)算中的應(yīng)用與發(fā)展。高次聯(lián)立方程組從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造。祖頤在《四元玉鑒》后序中提到，平陽(yáng)李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，霍山劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱漢卿“按天、地、人、物立成四元”。前二書(shū)已失傳，留傳至今并對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法無(wú)疑是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，他把常數(shù)放在中央。四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上，其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法。其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個(gè)一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，得到一個(gè)一元高次方程。最后用增乘開(kāi)方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展。朱世杰的方法比西方同類(lèi)方法早400多年。勾股形解法勾股形解法在宋元時(shí)期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足。李冶在《測(cè)圓海鏡》對(duì)勾股容圓問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得到一系列的結(jié)果。他把容圓勾股形分成14個(gè)相似的勾股形，除按傳統(tǒng)的方法給出這些勾股形的名稱(chēng)外，還用文字作符號(hào)來(lái)表示，與現(xiàn)今用字母A，B，C，…表示幾何圖形相似。從14個(gè)勾股形中，李冶得到692條“識(shí)別雜記”，闡明各勾股形的線段之間與線段的和、差、積之間的關(guān)系。除原有的勾股容圓外，李冶得到勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半等9個(gè)容圓公式，大大豐富了中國(guó)古代幾何學(xué)的內(nèi)容?；∈父顖A術(shù)已知黃道與赤道的夾角和太陽(yáng)從冬至點(diǎn)向春分點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個(gè)解球面直角三角形的問(wèn)題。傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括的會(huì)圓術(shù)（已知弦、矢、半徑求弧長(zhǎng)的近似公式）和天元術(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題。由于王恂、郭守敬求直徑時(shí)用圓周率3以及沈括的公式是一個(gè)近似公式，因此結(jié)果不夠精確。除此以外，整個(gè)推算步驟是正確無(wú)誤的。從數(shù)學(xué)意義上講，這個(gè)方法開(kāi)辟了通往球面三角法的途徑?？v橫圖縱橫圖又稱(chēng)幻方，根據(jù)《乾鑿度》和東漢鄭玄注，至遲在漢代已有一個(gè)三行縱橫圖。宋元時(shí)期，縱橫圖研究有了很大發(fā)展，楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中記錄了這方面的成就。楊輝指出，九宮圖是一個(gè)從1～32的9個(gè)自然數(shù)排成三行三列，其行、列或?qū)蔷€之和均為15的三行縱橫圖。這種圖可以推廣到從1到的情形，它的行、列或?qū)蔷€之和為。他還列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8個(gè)縱橫圖,并指出三行和四行縱橫圖的構(gòu)造方法。楊輝的這一工作為這個(gè)領(lǐng)域的研究開(kāi)辟了道路。小數(shù)現(xiàn)傳本《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》已有化名數(shù)為十進(jìn)小數(shù)的例子。宋元時(shí)代，這種十進(jìn)小數(shù)有了廣泛應(yīng)用和發(fā)展，秦九韶用名數(shù)作為小數(shù)的符號(hào)，例如18.56寸可以如圖表示；李冶則依靠算式的位置表示，例如－8.25x2+2.673=0表示為如圖。楊輝和朱世杰的化斤價(jià)為兩價(jià)的歌訣，是小數(shù)的具體應(yīng)用。2.2中國(guó)古代數(shù)學(xué)特點(diǎn)①以算法為中心，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。中國(guó)數(shù)學(xué)不脫離社會(huì)生活與生產(chǎn)的實(shí)際，以解決實(shí)際問(wèn)題為目標(biāo)，數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開(kāi)的。②具有較強(qiáng)的社會(huì)性。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中，數(shù)學(xué)被儒學(xué)家培養(yǎng)人的道德與技能的基本知識(shí)六藝（禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)）之一，它的作用在于“通神明、順性命，經(jīng)世務(wù)、類(lèi)萬(wàn)物”，所以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中國(guó)哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印，往往與術(shù)數(shù)交織在一起。同時(shí)，數(shù)學(xué)教育與研究往往被封建政府所控制，唐宋時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度、歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員，這些事例充分反映了這一性質(zhì)。③寓理于算，理論高度概括。由于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問(wèn)題，而且因中國(guó)人綜合、歸納思維的決定，所以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化，但這并不意味中國(guó)傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次而無(wú)理論建樹(shù)。其實(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ)，中國(guó)數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個(gè)不證自明、形象直觀的數(shù)學(xué)原理之上，如代數(shù)中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理，立體幾何中的“陽(yáng)馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱(chēng)劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等。2.3中國(guó)古代數(shù)學(xué)的深遠(yuǎn)影響數(shù)學(xué)活動(dòng)有兩項(xiàng)基本工作證明與計(jì)算，前者是由于接受了公理化（演繹化）數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)，后者是由于接受了機(jī)械化（算法化）數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)。在世界數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)中，以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數(shù)學(xué)，無(wú)疑是西方演繹數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)，而以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)數(shù)學(xué)無(wú)疑是東方算法化數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)，它們東西輝映，共同促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。中國(guó)數(shù)學(xué)通過(guò)絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區(qū)，后來(lái)經(jīng)阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內(nèi)，一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國(guó)家的數(shù)學(xué)發(fā)展。思考：查閱相關(guān)資料，舉例說(shuō)明中國(guó)古代數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。第二章走進(jìn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)殿堂第1節(jié)《周髀算經(jīng)》與勾股定理《周髀算經(jīng)》最早的古算，不知道它的作者是誰(shuí)，據(jù)考證，它成書(shū)的年代當(dāng)不晚于西漢后期（公元前一世紀(jì)）?！吨荀滤憬?jīng)》不僅是數(shù)學(xué)著作，更確切地說(shuō)，它是講述當(dāng)時(shí)的一派天文學(xué)學(xué)說(shuō)——“蓋天說(shuō)”的天文著作。就其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，書(shū)中記載了用勾股定理來(lái)進(jìn)行的天文計(jì)算，還有比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算。當(dāng)然不能說(shuō)這兩項(xiàng)算法都是到公元前一世紀(jì)才為人們所掌握，它僅僅說(shuō)明在現(xiàn)在已經(jīng)知道的資料中，《周髀算經(jīng)》是比較早的記載。勾股定理，又稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理。是一個(gè)基本的\o"幾何"幾何\o"定理"定理，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由\o"古希臘"古希臘的\o"畢達(dá)哥拉斯"畢達(dá)哥拉斯所證明。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯證明了這個(gè)定理后，即斬了百頭\o"牛"牛作慶祝（百牛大祭），因此又稱(chēng)“百牛定理”。\o"法國(guó)"法國(guó)和\o"比利時(shí)"比利時(shí)稱(chēng)為驢橋定理，\o"埃及"埃及稱(chēng)為埃及三角形。勾股定理在\o"中國(guó)數(shù)學(xué)史"中國(guó)數(shù)學(xué)史中同樣源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中算的重中之重?！禱o"周髀算經(jīng)"周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的特例（勾三股四弦五），相傳是在公元前11世紀(jì)\o"商代"商代由\o"商高（頁(yè)面不存在）"商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱(chēng)之為商高定理；高商答周公問(wèn)曰：“勾廣三，股備四，徑隅五”；\o"三國(guó)"三國(guó)時(shí)代的\o"趙爽"趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)汗垂蓚€(gè)自乘，并之，為弦實(shí)，開(kāi)方除之，即弦?！禱o"九章算術(shù)"九章算術(shù)》卷第九《句股》章詳細(xì)討論了勾股定理的運(yùn)用，\o"魏國(guó)"魏國(guó)數(shù)學(xué)家\o"劉徽"劉徽反復(fù)運(yùn)用勾股定理\o"劉徽割圓術(shù)"求圓周率，他的的《\o"海島算經(jīng)"海島算經(jīng)》更進(jìn)一步將勾股理論發(fā)展成為領(lǐng)先世界一千余年的四次勾股重差測(cè)量術(shù)。\o"金朝"金朝數(shù)學(xué)家\o"李冶(數(shù)學(xué)家)"李冶的《\o"測(cè)圓海鏡"測(cè)圓海鏡》通過(guò)\o"勾股容圓（頁(yè)面不存在）"勾股容圓圖式的十五個(gè)勾股形和直徑的關(guān)系，系統(tǒng)的建立了\o"天元術(shù)"天元術(shù)，推導(dǎo)出692條關(guān)于勾股形的各邊的公式，從而將勾股問(wèn)題\o"代數(shù)"代數(shù)化。定理：在一個(gè)直角三角形中,兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是a和b，斜邊長(zhǎng)度是c，那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：勾股定理是\o"余弦定理"余弦定理中的一個(gè)特例。勾股定理的證明勾股定理現(xiàn)約有400種\o"證明"證明方法，是\o"數(shù)學(xué)定理"數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。證法1、利用相似三角形的證法（總統(tǒng)證法）1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為勾股定理的“總統(tǒng)”證法。設(shè)ABC為一直角三角形,直角于角C.從點(diǎn)C畫(huà)上三角形的\o"垂直"高，并將此高與AB的交叉點(diǎn)稱(chēng)之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因?yàn)樵趦蓚€(gè)三角形中都有一個(gè)直角（這又是由于“高”的定義），而兩個(gè)三角形都有A這個(gè)共同角，由此可知第三只角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系：因?yàn)?，所以可以?xiě)成綜合這兩個(gè)方程式，我們得到換句話說(shuō):證法2、歐幾里得證法歐幾里得證法是目前所得見(jiàn)到的最早證法。在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。在定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的思路為：把上方的兩個(gè)正方形，透過(guò)等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。證明輔助圖（如右圖）其證明如下：設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對(duì)應(yīng)的，同理可證B、A和H?！螩BD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。因?yàn)锳B和BD分別等于FB和BC，所以△ABD必須相等于△FBC。因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積于△ABD。因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF=AB。同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=AC。把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB2+AC=BD×BK+KL×KC由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB+AC=BC。此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)所提出的:由于這個(gè)定理的證明依賴(lài)于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。證法3、以面積減算法證明此證明以圖形重新排列證明。兩個(gè)大正方形的面積皆為。把四個(gè)相等的三角形移除后，左方余下面積為，右方余下面積為，兩者相等。證畢。證法4、梅文鼎證法作四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180°―90°=90°又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90°∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90°即∠CBD=90°又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，BC=BD=a.∴BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，∴BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：證法5、如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高通過(guò)證明三角形相似則有射影定理如下：⑴BD2=AD·DC，⑵AB2=AD·AC；，⑶BC2=CD·AC。由公式⑵+⑶得：AB2+BC2=AD·AC+CD·AC=（AD+CD）·AC=AC2這就是勾股定理AB2+BC2=AC2?！吨荀滤憬?jīng)》是一部天文著作，為討論\o"天文歷法"天文歷法，而敘述一些有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中重要的題材有勾股定理、比例測(cè)量與計(jì)算天體方位所不能避免的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，其在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位是不可磨滅的，尤其是勾股定理，為后人的研究提供了廣闊的空間。思考題：1、下面是關(guān)于勾股定理證明的一些其他著名證明方法，你能夠根據(jù)證者給出的圖形完成么？趙爽的“勾股圓方圖”劉徽的“青朱出入圖”李善蘭“勾股冪合成弦冪”2、上網(wǎng)查閱更多的勾股定理的證明方法。課外拓展閱讀：《幾何原本》（希臘語(yǔ)：Στοιχε?α）是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，共13卷。這本著作是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書(shū)籍。古希臘大數(shù)學(xué)家歐幾里得是與他的巨著——《原本》一起名垂千古的。這本書(shū)是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里得最有價(jià)值的一部著作。在《原本》里，歐幾里得系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動(dòng)人民和學(xué)者們?cè)趯?shí)踐和思考中獲得的幾何知識(shí)，歐幾里德把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來(lái)研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué)。而這本書(shū)，也就成了歐式幾何的奠基之作。兩千多年來(lái)，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過(guò)《幾何原本》，從中吸取了豐富的營(yíng)養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。《幾何原本》總共十三卷，分別為：第一卷幾何基礎(chǔ)第二卷幾何與代數(shù)第三卷圓與角第四卷圓與正多邊形第五卷比例第六卷相似第七卷數(shù)論（一）第八卷數(shù)論（二）第九卷數(shù)論（三）第十卷無(wú)理量第十一卷立體幾何第十二卷立體的測(cè)量第十三卷建正多面體第一卷：幾何基礎(chǔ)。重點(diǎn)內(nèi)容有三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最后兩個(gè)命題是畢達(dá)哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：幾何與代數(shù)。講如何把三角形變成等積的正方形；其中12、13命題相當(dāng)于余弦定理。第三卷：本卷闡述圓，弦，切線，割線，圓心角，圓周角的一些定理。第四卷：討論圓內(nèi)接和外切多邊形的做法和性質(zhì)；第五卷：討論比例理論，多數(shù)是繼承自歐多克斯的比例理論,被認(rèn)為是"最重要的數(shù)學(xué)杰作之一"第六卷：講相似多邊形理論，并以此闡述了比例的性質(zhì)。第五、第七、第八、第九、第十卷：講述比例和算術(shù)的理論；第十卷是篇幅最大的一卷，主要討論無(wú)理量（與給定的量不可通約的量），其中第一命題是極限思想的雛形。第十一卷、十二、十三卷：最后講述立體幾何的內(nèi)容.從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長(zhǎng)期以來(lái)，人們都認(rèn)為《幾何原本》是兩千多年來(lái)傳播幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)。屬于《幾何原本》內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡(jiǎn)稱(chēng)為歐氏幾何在幾何學(xué)上的影響和意義在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這歐幾里得種作用歸結(jié)到一點(diǎn)，就是提出了幾何學(xué)的“根據(jù)”和它的邏輯結(jié)構(gòu)的問(wèn)題。在他寫(xiě)的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開(kāi)全部幾何學(xué)，這項(xiàng)工作，前人未曾作到。《幾何原本》的誕生，標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。并且《幾何原本》中的命題1.47，證明了是歐幾里德最先發(fā)現(xiàn)的勾股定理，從而說(shuō)明了歐洲是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的大洲。關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時(shí)候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過(guò)的事實(shí)開(kāi)始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項(xiàng)；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過(guò)的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來(lái)命題的結(jié)論是正確的，也稱(chēng)作反證法。從歐幾里得發(fā)表《幾何原本》到現(xiàn)在，已經(jīng)過(guò)去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方法相結(jié)合的特點(diǎn)，在長(zhǎng)期的實(shí)踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻(xiàn)。（牛頓的例子）少年時(shí)代的牛頓在劍橋大學(xué)附近的夜店里買(mǎi)了一本《幾何原本》，開(kāi)始他認(rèn)為這本書(shū)的內(nèi)容沒(méi)有超出常識(shí)范圍，因而并沒(méi)有認(rèn)真地去讀它，而對(duì)笛卡兒的“坐標(biāo)幾何”很感興趣而專(zhuān)心攻讀。后來(lái)，牛頓于1664年4月在參加特列臺(tái)獎(jiǎng)學(xué)金考試的時(shí)候遭到落選，當(dāng)時(shí)的考官巴羅博士對(duì)他說(shuō)：“因?yàn)槟愕膸缀位A(chǔ)知識(shí)太貧乏，無(wú)論怎樣用功也是不行的。”這席談話對(duì)牛頓的震動(dòng)很大。于是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復(fù)進(jìn)行了深入鉆研，為以后的科學(xué)工作打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

第2節(jié)《九章算術(shù)》及劉徽注2.1九章算術(shù)2.1.1簡(jiǎn)介《九章算術(shù)》是中國(guó)古代\o"數(shù)學(xué)"數(shù)學(xué)專(zhuān)著，是《算經(jīng)十書(shū)》(漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書(shū))中最重要的一種。魏晉時(shí)\o"劉徽"劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)說(shuō):“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”，又說(shuō)“漢北平侯\o"張蒼"張蒼、大司農(nóng)中丞\o"耿壽昌"耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱(chēng)刪補(bǔ)，故校其目則與古或異，而所論多近語(yǔ)也”?？梢?jiàn)《九章算術(shù)》上承先秦?cái)?shù)學(xué)發(fā)展之源流，入漢之后又經(jīng)許多學(xué)者的刪補(bǔ)方才最后成書(shū)的。它的出現(xiàn)，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成。《九章算術(shù)》是流傳到現(xiàn)在\o"中國(guó)"中國(guó)古代最早的一部\o"數(shù)學(xué)"數(shù)學(xué)著作，是\o"《算經(jīng)十書(shū)》"《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一種。其作者已不可考。一般認(rèn)為它是經(jīng)多人增補(bǔ)修訂而成。根據(jù)研究，\o"西漢"西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過(guò)增補(bǔ)。最后成書(shū)最遲在\o"東漢"東漢前期，但是其基本內(nèi)容在東漢后期已經(jīng)基本定型?！稘h書(shū)藝文志》(\o"班固"班固根據(jù)劉歆《七略》寫(xiě)成者)中著錄的數(shù)學(xué)書(shū)僅有《許商算術(shù)》、《杜忠算術(shù)》兩種，并無(wú)《九章算術(shù)》，可見(jiàn)《\o"九章算術(shù)"九章算術(shù)》的出現(xiàn)要晚于《七略》?！逗鬂h書(shū)馬援傳》載其侄孫\o"馬續(xù)"馬續(xù)“博覽群書(shū)，善《九章算術(shù)》”，馬續(xù)是公元1世紀(jì)最后二、三十年時(shí)人。再根據(jù)《九章算術(shù)》中可供判定年代的官名、地名等來(lái)推斷，現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》的成書(shū)年代大約是在公元1世紀(jì)的下半葉。九章算術(shù)將書(shū)中的所有數(shù)學(xué)問(wèn)題分為九大類(lèi)，就是“九章”。\o"1984年"1984年，在湖北出土了\o"《算數(shù)書(shū)》"《算數(shù)書(shū)》書(shū)簡(jiǎn)。據(jù)考證，它比《九章算術(shù)》要早一個(gè)半世紀(jì)以上，書(shū)中有些內(nèi)容和《九章算術(shù)》非常相似，一些內(nèi)容的文句也基本相同。有人推測(cè)兩書(shū)具有某些繼承關(guān)系，但也有不同的看法認(rèn)為《九章算術(shù)》沒(méi)有直接受到《\o"算數(shù)書(shū)"算數(shù)書(shū)》影響。后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，許多人曾為它作過(guò)注釋。其中最著名的有劉徽(263)、\o"李淳風(fēng)"李淳風(fēng)(656)等人。劉、李等人的注釋和《九章算術(shù)》一起流傳至今。唐宋兩代，《九章算術(shù)》都由國(guó)家明令規(guī)定為\o"教科書(shū)"教科書(shū)。到了\o"北宋"北宋，《九章算術(shù)》還曾由政府進(jìn)行過(guò)刊刻(1084)，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)。在現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》中，最早的版本乃是上述北宋本的\o"南宋"南宋翻刻本(1213)，現(xiàn)藏于上海圖書(shū)館(孤本，殘，只余前五卷)。清代戴震由《永樂(lè)大典》中抄出《九章算術(shù)》全書(shū)，并作了校勘。此后的\o"《四庫(kù)全書(shū)》"《四庫(kù)全書(shū)》本、武英殿聚珍本、孔繼涵刻的《算經(jīng)十書(shū)》本(1773)等，大多數(shù)都是以戴校本為底本的。作為一部世界\o"科學(xué)"科學(xué)名著，《九章算術(shù)》在隋唐時(shí)期即已傳入\o"朝鮮"朝鮮、\o"日本"日本?，F(xiàn)在，它已被譯成日、俄、德、法等多種文字。2.1.2主要內(nèi)容《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，\o"查看大圖"《九章算術(shù)》全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，收有246個(gè)與\o"生產(chǎn)"生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)（\o"題目"題目）、答（\o"答案"答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒(méi)有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。這些問(wèn)題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。《九章算術(shù)》共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，分為九章、它們的主要內(nèi)容分別是：第一章“方田”：田畝\o"面積"面積計(jì)算；提出了各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；分?jǐn)?shù)的通分、約分和加減乘除\o"四則運(yùn)算"四則運(yùn)算的完整法則。后者比歐洲早1400多年。第二章“粟米”：谷物糧食的按\o"比例"比例折換；提出比例算法，稱(chēng)為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱(chēng)為衰分術(shù)；第三章“衰分”：比例分配問(wèn)題；介紹了開(kāi)平方、開(kāi)立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分?jǐn)?shù)開(kāi)方法則。它奠定了中國(guó)在高次方程數(shù)值解法方面長(zhǎng)期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。第四章“少?gòu)V”：已知面積、\o"體積"體積，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等；第五章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；第六章“均輸”：合理攤派\o"賦稅"賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。\o"西方"西方直到15世紀(jì)末以后才形成類(lèi)似的全套方法。第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類(lèi)型的盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。第八章“方程”：一次方程組問(wèn)題；采用分離系數(shù)的方法表示\o"線性方程組"線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的\o"矩陣"矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了\o"負(fù)數(shù)"負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系。外國(guó)則到7世紀(jì)\o"印度"印度的婆羅摩及多才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。第九章“勾股”：利用\o"勾股定理"勾股定理求解的各種問(wèn)題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問(wèn)題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，\o"畢達(dá)哥拉斯"畢達(dá)哥拉斯、\o"歐幾里得"歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況，直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比《九章算術(shù)》晚約3個(gè)世紀(jì)了。勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國(guó)外到19世紀(jì)末才由美國(guó)的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。2.1.3《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)成就是多方面的。在算術(shù)方面的主要成就有分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問(wèn)題和“盈不足”算法?！毒耪滤阈g(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作?！胺教铩闭轮邢到y(tǒng)敘述了約分、通分、比較不同\o"分母"分母分?jǐn)?shù)的大小以及分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。通分時(shí)使用的是輾轉(zhuǎn)相減法。在“粟米”、“衰分”、“均輸”各章中，有著許多比例問(wèn)題，在世界上也是比較早的?！坝蛔恪彼惴ㄒ彩且豁?xiàng)創(chuàng)造。如“人出八盈三，人出七則不足四，問(wèn)人數(shù)物價(jià)各幾何”這類(lèi)“盈不足”問(wèn)題的解法，需要給出兩次\o"假設(shè)"假設(shè)，\o"中世紀(jì)"中世紀(jì)歐洲稱(chēng)它為“雙設(shè)法”，有人認(rèn)為它是由中國(guó)經(jīng)中世紀(jì)\o"阿拉伯"阿拉伯國(guó)家傳去的。在幾何方面：主要是面積(方田)、體積(商功)計(jì)算問(wèn)題。在代數(shù)方面：主要有一次方程組解法、負(fù)數(shù)概念的引入及其加減法法則、開(kāi)平方、\o"開(kāi)立方"開(kāi)立方、一般二次方程解法等。2.1.4現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》成書(shū)于何時(shí)，\o"查看大圖"目前眾說(shuō)紛紜，多數(shù)認(rèn)為在\o"西漢"西漢末到\o"東漢"東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，《九章算術(shù)》的作者不詳。很可能是在成書(shū)前一段歷史時(shí)期內(nèi)通過(guò)多人之手逐次整理、修改、補(bǔ)充而成的集體創(chuàng)作結(jié)晶。由于二千年來(lái)經(jīng)過(guò)輾轉(zhuǎn)手抄、刻印，難免會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)和遺漏，加上《九章算術(shù)》文字簡(jiǎn)略有些內(nèi)容不易理解，因此歷史上有過(guò)多次校正和注釋。關(guān)于對(duì)《九章算術(shù)》所做的注住要有：三國(guó)時(shí)曹魏劉徽注，唐朝\o"李淳風(fēng)"李淳風(fēng)注，南宋\o"楊輝"楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術(shù)》中80道典型的題作過(guò)詳解并分類(lèi)，清\o"李潢"李潢(？～1811年)所著《九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)》對(duì)《九章算術(shù)》進(jìn)行了校訂、列算草、補(bǔ)插圖、加說(shuō)明，尤其是圖文并茂之作?，F(xiàn)代錢(qián)寶琮(1892～1974年)曾對(duì)包括《九章算術(shù)》在內(nèi)的《算經(jīng)十書(shū)》進(jìn)行了校點(diǎn)，用通俗語(yǔ)言、近代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)《九章算術(shù)》及劉、李注文詳加注釋。80年代以來(lái)，今人\o"白尚恕"白尚恕、\o"郭書(shū)春"郭書(shū)春、李繼閔等都有校注本出版。《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作；其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則；現(xiàn)在中學(xué)講授的線性方程組的解法和《九章算術(shù)》介紹的方法大體相同。注重實(shí)際應(yīng)用是《九章算術(shù)》的一個(gè)顯著特點(diǎn)。該書(shū)的一些知識(shí)還傳播至\o"印度"印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過(guò)這些地區(qū)遠(yuǎn)至\o"歐洲"歐洲?！毒耪滤阈g(shù)》是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成．后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的。唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書(shū)。\o"1084年"1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)?？梢哉f(shuō)，《九章算術(shù)》是中國(guó)為數(shù)學(xué)發(fā)展做出的又一杰出貢獻(xiàn)。思考：簡(jiǎn)述《九章算術(shù)》的內(nèi)容及其歷史成就。簡(jiǎn)述《九章算術(shù)》對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用及意義。解決下列問(wèn)題今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何．（選自《九章算術(shù)》卷第九“句股”中的第九題，1尺=10寸）今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問(wèn)日織幾何？今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升。問(wèn)中間二節(jié)欲均容各多少？

2．2盈不足問(wèn)題與方程（組）盈不足術(shù)，中國(guó)古代一項(xiàng)非常重要的數(shù)學(xué)成就，它曾經(jīng)對(duì)世界數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很大的影響。成書(shū)于公元1世紀(jì)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，專(zhuān)辟一章名為“盈不足”，介紹它的各種形式及其用法，是以往所知中關(guān)于盈不足問(wèn)題的最早記載。盈不足問(wèn)題是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。《算數(shù)書(shū)》、《九章算術(shù)》及后來(lái)的著作中都有盈不足問(wèn)題，不過(guò)以《九章算術(shù)》中最完整，解法最抽象。其中第一個(gè)問(wèn)題是：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四。問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”這是有關(guān)盈不足術(shù)的典型問(wèn)題，可用通用的數(shù)學(xué)符號(hào)表示如下：今有若干人共買(mǎi)物,若每人出8錢(qián),則多3錢(qián);若每人出7錢(qián),又不足4錢(qián).問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各多少？用符號(hào)語(yǔ)言表示就是，每人出，多了；每人出，少了；問(wèn)人數(shù)u、物價(jià)v各幾何？《九章算術(shù)》的解法是：盈不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，并，以為實(shí)。并盈、不足為法。實(shí)如法而一。盈、不足相與同其買(mǎi)物者，置所出率，以少減多。余，以約法、實(shí)。實(shí)為物價(jià)，法為人數(shù)。《九章算術(shù)》中把，叫做所出率，和叫做盈和不足。他的方法用現(xiàn)代的方法描述就是：先擺好數(shù)陣，把對(duì)角線的兩數(shù)相乘再相加作為被除數(shù)，叫做實(shí)；（1）再把和相加，和作為除數(shù)，叫做法，+（2）然后用法除以實(shí)（+）()(3)這里并沒(méi)有說(shuō)（3）是什么，劉徽在注中說(shuō)了為“不盈不朒之后數(shù)”，即為所出總錢(qián)數(shù)比物價(jià)不多不少之?dāng)?shù)。再以?xún)纱渭僭O(shè)人均出錢(qián)數(shù)（所出率）之差為除數(shù)，亦稱(chēng)為法：（4）以此分別去除上面所得的實(shí)（1）和法（2），得到物品的價(jià)錢(qián)=()(）(5)出錢(qián)人數(shù)=(+)(）（6）二對(duì)于兩次都盈或不足的問(wèn)題，或者一盈一個(gè)恰好，一不足一個(gè)恰好的情況，書(shū)中都給出了相應(yīng)的解法。劉徽以齊同原理論證了術(shù)文的正確性?！毒耪滤阈g(shù)》還提出了兩盈、兩不足術(shù)，盈適足、不足適足術(shù)。盈不足術(shù)是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)杰出成就。用盈不足算法不僅能解決盈虧類(lèi)問(wèn)題，而且能解決一些更復(fù)雜的問(wèn)題。在11～13世紀(jì)一些阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家的著作中，也出現(xiàn)了盈不足術(shù)，并稱(chēng)之為天秤術(shù)或契丹算法。當(dāng)時(shí)阿拉伯人所說(shuō)的“契丹”,即指中國(guó)。在歐洲中世紀(jì),為了解決px-q=0這種類(lèi)型的問(wèn)題,有時(shí)用到所謂“雙設(shè)法”,即通過(guò)兩次假設(shè)以求未知數(shù)的方法。這種方法的大意是：設(shè)和是x的兩個(gè)假設(shè)值，和是差值，這時(shí)有：①②兩式作差，得：得從而解得而這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中的解方程組所用的消元法。而解方程（組）在代數(shù)學(xué)創(chuàng)始人之一丟番圖在《算術(shù)》一書(shū)中引入了未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)了未知數(shù)符號(hào)，建立起方程并加以運(yùn)算.從此，用未知數(shù)、符號(hào)、方程去求解盈不足問(wèn)題,是非常簡(jiǎn)單的一件事。代數(shù)不是算術(shù),《算術(shù)》雖然晚于《九章算術(shù)》,后者成書(shū)在公元1世紀(jì)下半葉,但是就達(dá)到的高度和影響來(lái)看,二者的差距是明顯的,后者差不多相當(dāng)于算了246道數(shù)學(xué)題，每題由問(wèn)、答、術(shù)組成。《九章算術(shù)》里沒(méi)有今天的阿拉伯?dāng)?shù)字，沒(méi)有字母,也沒(méi)有演繹或邏輯.卻也有一些著名的題目,如傳入歐洲的“盈不足”術(shù),可這樣的問(wèn)題也就相當(dāng)于簡(jiǎn)單的二元一次方程，用的或許就是試探的方法。數(shù)學(xué)發(fā)展起來(lái)之前，雙設(shè)法是中世紀(jì)歐洲解決算術(shù)問(wèn)題的一種主要方法，并導(dǎo)致了正負(fù)號(hào)(+，-)的創(chuàng)用。時(shí)這種方法還有許多別的名稱(chēng)，如雙假位法或迭借術(shù)，增損術(shù)或盈朒術(shù)等。13世紀(jì)著名意大利數(shù)學(xué)家L.斐波那契在《算盤(pán)書(shū)》中說(shuō):“契丹法,阿拉伯名詞。拉丁譯文當(dāng)為迭借法，……亦可稱(chēng)增損術(shù)?！泵鞔_指出了這種方法的淵源。因此,可以認(rèn)為,正是中國(guó)古代的盈不足術(shù)經(jīng)由阿拉伯傳入歐洲，在歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展中起了重要的作用。明代之后，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)逐漸失傳，西方數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國(guó)。李之藻與利瑪竇共同編譯《同文算指》10卷(1613),載有雙設(shè)法，譯稱(chēng)“迭借互征”。于是,誕生于中國(guó)的盈不足術(shù)，經(jīng)過(guò)一段漫長(zhǎng)而曲折的道路，又重新回到了中國(guó)。盈不足術(shù)是中國(guó)古代一種解算術(shù)難題的算法。一般算術(shù)應(yīng)用題，都有確切答案。盈不足術(shù)為了推算答案，預(yù)先設(shè)立一個(gè)數(shù)字作為答案，依題目核算，若結(jié)果合問(wèn)題，所設(shè)之?dāng)?shù)就是答案；若不合問(wèn)，非盈即不足；通過(guò)兩次假設(shè)，即可利用盈不足術(shù)求出答案。這類(lèi)問(wèn)題共有五種，即一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足?！毒耪滤阈g(shù)》則匯集這五種問(wèn)題，并給出算法。盈不足章除了擁有算術(shù)應(yīng)用問(wèn)題外，還包括一些初等超越方程問(wèn)題，用這種模式算法解出前一類(lèi)問(wèn)題得到確切解，用以解后一類(lèi)問(wèn)題則得近似解。思考：《九章算術(shù)》第14題:

“今有大器五、小器一容三斛;大器一、小器五容二斛.問(wèn)大、小器各容幾何？”（注：舊時(shí)，十升等于一斗，十斗即一百升，等于一斛。）答案：大器容13/24斛;小器容7/24斛.“術(shù)曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗;令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗.”

這里先設(shè)(假令)大器容5斗,5*5=25,30-25=5,即小器容5斗;然后代入第二句里就是1*5+5*5-20=10,即盈10斗.

然后再設(shè)(令之)大器容5.5斗,30-5*5.5=2.5,即小器容2.5斗,代入第二句里就是1*5.5+5*2.5-20=-2,即不足2斗.

再就是“以盈不足維乘，除之”，你能用現(xiàn)代代數(shù)的角度理解上述解法？課外拓展閱讀：現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》成書(shū)于何時(shí)，目前眾說(shuō)紛紜，多數(shù)認(rèn)為在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，《九章算術(shù)》的作者不詳。很可能是在成書(shū)前一段歷史時(shí)期內(nèi)通過(guò)多人之手逐次整理、修改、補(bǔ)充而成的集體創(chuàng)作結(jié)晶。由于二千年來(lái)經(jīng)過(guò)輾轉(zhuǎn)手抄、刻印，難免會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)和遺漏，加上《九章算術(shù)》文字簡(jiǎn)略有些內(nèi)容不易理解，因此歷史上有過(guò)多次校正和注釋。關(guān)于對(duì)《九章算術(shù)》所做的校注主要有：西漢張蒼增訂、刪補(bǔ)，三國(guó)時(shí)曹魏劉徽注，唐李淳風(fēng)注，南宋楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術(shù)》中80道典型的題作過(guò)詳解并分類(lèi)，清李潢(？～1811年)所著《九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)》對(duì)《九章算術(shù)》進(jìn)行了校訂、列算草、補(bǔ)插圖、加說(shuō)明，尤其是圖文并茂之作?，F(xiàn)代錢(qián)寶琮(1892～1974年)曾對(duì)包括《九章算術(shù)》在內(nèi)的《算經(jīng)十書(shū)》進(jìn)行了校點(diǎn)，用通俗語(yǔ)言、近代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)《九章算術(shù)》及劉、李注文詳加注釋。80年代以來(lái)，今人白尚恕、郭書(shū)春、李繼閔等都有校注本出版?！毒耪滤阈g(shù)》是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成．后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的。唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書(shū)。1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)。“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類(lèi)型的盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法。《九章算術(shù)》第七章“盈不足”專(zhuān)講盈虧問(wèn)題及其解法其中第一題：“今有(人)共買(mǎi)物，(每)人出八(錢(qián))，盈(余)三錢(qián)；人出七(錢(qián))，不足四(錢(qián))，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何”，“答曰：七人，物價(jià)53(錢(qián))?！薄坝蛔阈g(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘(即交錯(cuò)相乘)所出率，并以為實(shí)，并盈，不足為法，實(shí)如法而一……置所出率，以少減多，余，以約法、實(shí)。實(shí)為物價(jià)，法為人數(shù)”。盈不足術(shù)是中國(guó)數(shù)學(xué)史上解應(yīng)用問(wèn)題的一種別開(kāi)生面的創(chuàng)造，它在我國(guó)古代算法中占有相當(dāng)重要的地位。盈不足術(shù)還經(jīng)過(guò)絲綢之路西傳中亞阿拉伯國(guó)家，受到特別重視，被稱(chēng)為“契丹算法”，后來(lái)又傳入歐洲，中世紀(jì)時(shí)期“雙設(shè)法”曾長(zhǎng)期統(tǒng)治了他們的數(shù)學(xué)王國(guó)。

2.3牟合方蓋與球體積公式球體是一種完美的幾何體,上至行星天體,下至乒乓、足球,這些無(wú)時(shí)無(wú)刻不在給我們展示著球體的魅力.對(duì)于它的研究,不僅僅是天文學(xué)家的愛(ài)好,也是數(shù)學(xué)家們腦海和筆尖思索的焦點(diǎn).球體體積是求積法其中一項(xiàng)須要研究的題目。在二千多年前，希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)球體體積的公式，而且采用的方法更是使用了積分的概念。在中國(guó)則要到南北朝時(shí)代才正確地求出球體的體積，而使用的方法稱(chēng)為“牟合方蓋”。牟合方蓋是一種\o"幾何體（頁(yè)面不存在）"幾何體，是兩個(gè)等\o"半徑"半徑\o"圓柱"圓柱躺在\o"平面"平面上\o"垂直"垂直\o"相交"相交的\o"公共部分（頁(yè)面不存在）"公共部分，因?yàn)橄袷莾蓚€(gè)方形的蓋子合在一起，所以被稱(chēng)作“牟合方蓋”。劉徽在《九章算術(shù)注》中指出了《九章算術(shù)》中球體積公式（為球的直徑）是錯(cuò)誤的。作物的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積比為π∶4。為了糾正這一錯(cuò)誤，劉徽提出了一種特殊的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算球的體積。他不直接求球的體積，而是先計(jì)算一個(gè)叫做“牟合方蓋”的幾何體的體積。劉徽通過(guò)計(jì)算得到球的體積與牟合方蓋的體積比為π∶4，把對(duì)于球體積問(wèn)題的研究推進(jìn)了一大步。只要求出牟合方蓋的體積，那么球的體積便迎刃而解。可惜，他沒(méi)有能夠給出牟合方蓋的體積，但是他坦誠(chéng)地記下了自己的困惑，表示“敢不闕疑，以俟能言者”，表現(xiàn)了一位偉大學(xué)者實(shí)事求是、寄希望于后學(xué)的坦蕩胸懷。二百年后，祖沖之和他的兒子祖暅才在這個(gè)問(wèn)題上取得了突破。祖沖之父子推算出牟合方蓋的體積等于(為球的半徑)，從而得到正確的球體積公式，徹底解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題。祖氏父子在推導(dǎo)牟合方蓋體積公式的過(guò)程中，提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”（即二立體如果在等高處截面的面積相等，則它們的體積也必定相等）的原理?，F(xiàn)在一般把這個(gè)原理稱(chēng)為“祖暅原理”。在西方，17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里重新提出這個(gè)原理，即被稱(chēng)為“卡瓦列里公理”，這個(gè)原理成為后來(lái)創(chuàng)立微積分學(xué)的重要的一步。祖暅(gèng)原理，又名等冪等積定理，是指所有等高處橫截面積相等的兩個(gè)同高立體，其體積也必然相等的\o"定理"定理。祖暅之《\o"綴術(shù)"綴術(shù)》有云：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異?！痹跉W洲17世紀(jì)\o"意大利"意大利數(shù)學(xué)家\o"卡瓦列里"卡瓦列里亦發(fā)現(xiàn)相同定理，所以西方文獻(xiàn)一般稱(chēng)該原理為卡瓦列里原理他們的求法紀(jì)錄在唐代\o"李淳風(fēng)"李淳風(fēng)為《九章算術(shù)》作的注解中，留傳至今。祖暅之開(kāi)立圓術(shù)曰：以乘積開(kāi)立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棋一枚，令立樞于左后之下隅，從規(guī)去其右上之廉。又合而橫規(guī)之，去其前上之廉。于是立方之棋分而為四，規(guī)內(nèi)棋一，謂之內(nèi)棋；規(guī)外棋三，謂之外棋。更合四棋，復(fù)橫斷之。以勾股言之，令余高為勾，內(nèi)棋斷上方為股，本方之?dāng)?shù)，其弦也。勾股之法，以勾冪減弦冪，則余為股冪。若領(lǐng)余高自乘，減本方之冪，余即內(nèi)棋橫斷上方之冪也。本方之冪，即外四棋之?dāng)嗌蟽纭Ｈ粍t余高自乘，即外三棋之?dāng)嗌蟽缫?。不?wèn)高卑，勢(shì)皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠(yuǎn)以演類(lèi)，借況以析微。按陽(yáng)馬方高數(shù)參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數(shù)，亦等蔫。夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異。由此觀之，規(guī)之外三棋旁蹙為一，即一陽(yáng)馬也。三分立方，則陽(yáng)馬居一，內(nèi)棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八內(nèi)棋成一合蓋。內(nèi)棋居小方三分之二，則合蓋居立方矣三分之二，較然驗(yàn)矣。祖沖之考慮這剩余部分的八分之一，其形狀可以看做是一個(gè)的牟合方蓋，外接一個(gè)立方體；的牟合方蓋即是“內(nèi)棋”，立方體減去內(nèi)棋的余部即為“外棋”?，F(xiàn)在將內(nèi)外棋橫向切開(kāi)。內(nèi)棋的截面是\o"正方形"正方形，可以用\o"勾股弦定理"勾股弦定理求出其邊長(zhǎng)與圓半徑的關(guān)系式。令圓半徑（立方體邊長(zhǎng)）為，底面到截面的高為，則正方形邊長(zhǎng)為，面積為；也就是說(shuō)外棋截面的面積為?，F(xiàn)在以立方體的一個(gè)底面和底面以外的一個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)四角錐（這個(gè)形狀稱(chēng)為陽(yáng)馬）。對(duì)陽(yáng)馬距離角錐h處橫向切開(kāi)，則截面是一個(gè)正方形，面積等于。祖氏父子在此解釋?zhuān)核械雀咛帣M截面積相等的兩個(gè)同高立體，其體積也必然相等。這就是今天所稱(chēng)的“\o"祖暅原理"祖暅原理”。套用此定理，外棋的截面積陽(yáng)馬的截面積=所以外棋體積也等于陽(yáng)馬體積。《九章算術(shù)》中已有提到，陽(yáng)馬的體積等于其外接立方體的體積的，所以?xún)?nèi)棋的體積是立方體的，即。由于內(nèi)棋是牟合方蓋的，故牟合方蓋的體積為，而球體體積即為。完成了劉徽未竟的事業(yè)。值得注意的是，外三棋的每一塊截面積的變化都不是線性的，然而它們同一截面的截面積的和的變化卻是線性的。祖暅在應(yīng)用后來(lái)以他的名字命名的原理上比劉徽更加靈活，認(rèn)識(shí)也更加深刻。高中數(shù)學(xué)教材中求球的體積方式是采用無(wú)限分割的方法，思路為：如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小之時(shí)得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應(yīng)的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來(lái)進(jìn)行。步驟：第一步：分割如圖：把半球的垂直于底面的半徑ＯＡ作n等分，過(guò)這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個(gè)“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。如圖：得第二步：求和第三步：化為準(zhǔn)確的和當(dāng)n→∞時(shí)，→0（同學(xué)們討論得出）所以，故球的體積思考：探究阿基米德的科學(xué)發(fā)現(xiàn)：圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱(chēng)為圓柱容球。在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的.你還有哪些方法推導(dǎo)球的體積公式？

2.4出入相補(bǔ)原理及其應(yīng)用出入相補(bǔ)原理有時(shí)稱(chēng)為「以盈補(bǔ)虛」，或「損廣補(bǔ)狹」，是將其積未知的平面圖形或立體圖形分割成若干部分，將它們重新拼合成其面積或體積為已知的圖形，從而解決與面積、體積有關(guān)的問(wèn)題，成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解決面積、體積和勾股、測(cè)望問(wèn)題的重要方法。它起源于《算數(shù)書(shū)》、《九章算術(shù)》編纂的時(shí)代，不過(guò)現(xiàn)傳最早的記載在趙爽《周髀算經(jīng)注》的勾股圓方圖說(shuō)與劉徽《九章算術(shù)注》的方田、少?gòu)V、商功、勾股等章中。它基于這樣兩個(gè)基本的前提：將一個(gè)圖形分割成若干部分，則它們?nèi)w的面積或體積之和等于原圖形的面積或體積；將一個(gè)圖形平移或旋轉(zhuǎn)不改變其面積或體積。出入相補(bǔ)原理是把一個(gè)陌生的或者復(fù)雜的圖形，經(jīng)過(guò)分割、移補(bǔ)，變成熟悉的簡(jiǎn)單的圖形，由于在分割、移補(bǔ)的過(guò)程中，變化的只是圖形的形狀、位置和組成方式，圖形的面積并沒(méi)有改變，所以，最后得到的圖形的面積仍然與原來(lái)圖形的面積相等，而后者可以用已知的方法比較方便地計(jì)算出來(lái)，這就是出入相補(bǔ)原理的本質(zhì)特征。出入相補(bǔ)原理蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化的思想方法，是一種典型的重要的數(shù)學(xué)思考。出入相補(bǔ)原理在我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展史上產(chǎn)生過(guò)重大影響。以勾股定理的證明為例，三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的趙爽在出入相補(bǔ)原理的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了“演段算法”，利用“弦圖”證明了勾股定理。到了清代，華蘅芳更是把“演段算法”發(fā)展到極致，利用22幅“青朱出入圖”對(duì)勾股定理進(jìn)行了別開(kāi)生面的證明，令人對(duì)這種具有中國(guó)特色的“演段算法”刮目相看。2.4.1《九章算術(shù)》提出了長(zhǎng)方形、三角形、梯形等多邊形的面積公式。劉徽對(duì)長(zhǎng)方形的面積公式?jīng)]有證明，只給出了面積的定義：凡廣從相乘謂之冪。顯然，冪是面積，與今天指乘方是不同的。對(duì)其他多邊形的面積公式，都是用出入相補(bǔ)原理證明的。如三角形，《九章算術(shù)》的公式是：半廣以乘正從。廣即其底，正從即其高。劉徽《九章算術(shù)注》記載的方法是：如圖2，將三角形的Ⅰ、Ⅱ移至Ⅰ′、Ⅱ′處，便構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形，其底為三角形的底的一半，高為三角形的高，三角形的面積與其相等，完成了證明。已知三角形的三邊為：小斜a，大斜b，中斜c，秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了三斜求積術(shù)：以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上。以小斜冪乘大斜冪，減上，余，四約之，為實(shí)。一為從隅，開(kāi)平方得積。此即：，將根號(hào)下的多項(xiàng)式分解因式，便成為

可見(jiàn)，三斜求積術(shù)與古希臘海倫公式是等價(jià)的。2.4.2用出入相補(bǔ)原理解決求體積的問(wèn)題《算數(shù)書(shū)》、《九章算術(shù)》提出了若干多面體體積公式。其中以長(zhǎng)方體，塹堵（沿長(zhǎng)方體相對(duì)兩棱斜解，得二塹堵），陽(yáng)馬（沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)一棱斜解，得一陽(yáng)馬，一鱉臑），鱉臑最為重要，V，a，b，h分別是它們的體積，寬，長(zhǎng)，高?！端銛?shù)書(shū)》、《九章算術(shù)》時(shí)代用驗(yàn)法推導(dǎo)多面體的體積公式。這里要用到長(zhǎng)、寬、高均1尺的正方體、塹堵、陽(yáng)馬，稱(chēng)為三品（如圖1）。以芻甍（屋脊形草垛）為例。取底面長(zhǎng)3尺，寬2尺，上長(zhǎng)1尺，高1尺的標(biāo)準(zhǔn)芻甍，將它分解為2個(gè)塹堵，4個(gè)陽(yáng)馬，如圖2-1。構(gòu)造這樣一個(gè)長(zhǎng)方體：長(zhǎng)是芻甍底長(zhǎng)的2倍加上長(zhǎng)，即7尺，寬為芻甍底之寬，即2尺，高為芻甍之高，即1尺。它可分解為12個(gè)塹堵，24個(gè)陽(yáng)馬。因此，芻甍中的塹堵、陽(yáng)馬都是1個(gè)變成了6個(gè)，如圖2-2。而它們可以重新并合成6個(gè)芻甍。顯然，1個(gè)芻甍的體積是這個(gè)長(zhǎng)方體體積的。于是推出芻甍體積，其中分別是芻甍的下長(zhǎng)、上長(zhǎng)。這個(gè)公式及用驗(yàn)法推導(dǎo)的其它多面體公式都是正確的。然而驗(yàn)法只適應(yīng)于可分解為三品的標(biāo)準(zhǔn)多面體，對(duì)一般尺寸的多面體則無(wú)法應(yīng)用。劉徽在證明了劉徽原理，進(jìn)而證明了陽(yáng)馬、鱉臑體積公式之后，將多面體分解為有限個(gè)長(zhǎng)方體、塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑，如圖3，求其體積之和，嚴(yán)格證明了多面體的體積公式。比如，將芻甍分解為2個(gè)塹堵，4個(gè)陽(yáng)馬，如圖4，求其體積之和，給出了另一體積公式?！毒耪滤阈g(shù)》還給出、劉徽證明了羨除（三面為等腰梯形而有兩面互相垂直，兩側(cè)面為三角形的楔形體，即隧道，如圖5）的體積公式，其中分別為上廣、下廣、末廣、長(zhǎng)與高。2.4.3用出入相補(bǔ)原理本身討論的是初等幾何學(xué)中圖形在分割與重組中的等積問(wèn)題。但在解決初等代數(shù)或者三角問(wèn)題也可以通過(guò)構(gòu)造圖形利用出入相補(bǔ)原理，從而使得抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔、直觀。例1、圖解等差樹(shù)列的求和公式對(duì)于項(xiàng)數(shù)為自然數(shù)的（高階）等差數(shù)列，可以考慮用單位正方形的拼拆來(lái)計(jì)算。如圖，把左邊的圖形分成兩部分得到右邊的圖形，由出入相補(bǔ)原理便可得到等式（本圖只給出情況）例2、圖說(shuō)代數(shù)式出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就之一，它貫穿于代數(shù)，幾何，三角等各個(gè)領(lǐng)域，使得抽象的數(shù)學(xué)在具體的圖形中得以演繹，煥發(fā)出燦爛的光芒。思考:用圖形證明不等式求和：，求和：下列兩個(gè)圖形分別為三角中的哪個(gè)公式：

2.5劉徽與割圓術(shù)所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)去無(wú)限逼近圓周并以此求取圓周率的方法?！毒耪滤阈g(shù)》方田章提出了圓面積公式，其中分別是圓面積、周長(zhǎng)、半徑。在劉徽之前，人們以圓內(nèi)接正6邊形周長(zhǎng)代替圓周長(zhǎng)，以正12邊形面積代替圓面積，用出入相補(bǔ)原理近似驗(yàn)證上述公式。劉徽指出，此「合徑率一而弧周率三也」，而圓的周長(zhǎng)與直徑「非周三徑一之率也」。從而創(chuàng)造了用無(wú)窮小分割和極限思想證明圓面積公式的方法。\o"三國(guó)"三國(guó)時(shí)代\o"數(shù)學(xué)家"數(shù)學(xué)家