振動(dòng)法測量楊氏模量實(shí)驗(yàn)講義

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)講義共振法測楊氏模量楊氏模量是表征固體材料彈性形變的一個(gè)重要力學(xué)參數(shù)，它標(biāo)志著材料抵抗彈性形變的能力。楊氏模量是固體材料在彈性形變范圍內(nèi)正應(yīng)力與相應(yīng)正應(yīng)變的比值，其數(shù)值的大小與材料的結(jié)構(gòu)、化學(xué)成分和加工制造等方法有關(guān)。測量楊氏模量的方法基本可分為四類：eq\o\ac(○,1)靜態(tài)測量法。包括靜態(tài)拉伸法、靜態(tài)扭轉(zhuǎn)法、靜態(tài)彎曲法。eq\o\ac(○,2)動(dòng)態(tài)測量法（共振測量法）。包括彎曲共振法（橫向共振法）、縱向共振法、扭轉(zhuǎn)共振法。eq\o\ac(○,3)波速測量法。包括連續(xù)波法、脈沖波法。eq\o\ac(○,4)其它的一些測量方法。我們學(xué)過的有靜態(tài)拉伸法，其缺點(diǎn)是不能真實(shí)地反映材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化，而且不能對脆性材料進(jìn)行測量。本實(shí)驗(yàn)采用共振法測材料的楊氏模量，此方法適用范圍廣（不同的材料和不同的溫度），可測量脆性材料（如玻璃、陶瓷等）。用懸絲耦合彎曲共振法測定金屬材料楊氏模量的基本方法是：將一根界面均勻的試樣（如圓截面棒或矩形截面棒）用兩根細(xì)絲懸掛在兩只傳感器（一只激振，一只拾振）下面，在試樣兩端自由的條件下，由激振信號(hào)通過激振傳感器使試樣做橫向彎曲振動(dòng)，并由拾振傳感器測出試樣共振時(shí)的共振頻率。再測出式樣的幾何尺寸，質(zhì)量等參數(shù)，即可求得試樣材料的楊氏模量。實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)用共振法測量楊氏模量的原理和方法。了解壓電陶瓷換能器的功能，熟悉信號(hào)源和示波器的適用。培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)和使用常用儀器使用方法的能力。

實(shí)驗(yàn)儀器功率函數(shù)信號(hào)發(fā)生器、LB-YM（動(dòng)態(tài)）彈性模量測定儀（激振傳感器—激發(fā)換能器、拾振傳感器—接收換能器、懸絲、懸掛測定支架及支撐測定支架）、示波器、醫(yī)用聽診器、游標(biāo)卡尺、螺旋測微計(jì)、電子天平。實(shí)驗(yàn)原理任何物體都有其固有的振動(dòng)頻率，這個(gè)固有振動(dòng)頻率取決于試樣的振動(dòng)模式、邊界條件、彈性模量、密度以及試樣的幾何尺寸、形狀。只要從理論上建立了一定振動(dòng)模式、邊界條件和試樣的固有頻率及其他參量之間的關(guān)系，就可通過測量試樣的固有頻率、質(zhì)量和幾何尺寸來計(jì)算彈性模量。桿振動(dòng)的基本方程一細(xì)長桿做微小橫（彎曲）振動(dòng)時(shí)，取桿的一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿桿的長度方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系，利用牛頓力學(xué)和材料力學(xué)的哈密頓原理可推出桿的振動(dòng)方程： 式中為桿上任一點(diǎn)x在時(shí)刻t的橫向位移；為楊氏模量；為繞垂直于桿并通過橫截面形心的軸的慣量矩；為桿的橫截面積。用分離變量法解微分方程（1），可得到兩個(gè)獨(dú)立的常微分方程： 這兩個(gè)線性常微分方程得通解分別為： 綜上可得，兩端自由彎曲振動(dòng)方程得通解為： 式中，K分離變量常數(shù)，為試樣的固有振動(dòng)頻率，可表示為： 這個(gè)公式稱為頻率公式。它對于任意形狀截面和不同邊界條件得試樣都是成立的。對長度為L，兩端自由的桿，邊界條件為：彎矩作用力即x=0,L時(shí)： 可推導(dǎo)出桿自由振動(dòng)的頻率方程： 方程GOTOBUTTONZEqnNum581060REFZEqnNum581060\*Charformat\!(9)為超越方程，不能用解析法求解，利用數(shù)值計(jì)算法求得K和L的乘積應(yīng)滿足 式中，為第一個(gè)根，它與試樣的靜止?fàn)顟B(tài)相對應(yīng)；第二個(gè)根對應(yīng)的頻率為基頻頻率，相應(yīng)的基頻振型曲線如圖1所示，從圖中可以看出試樣在做基頻振動(dòng)時(shí)，其上有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，它們的位置在距端面0.224L和0.776L處。將基頻對應(yīng)的值代入頻率公式，可得到楊氏模量為： 對于圓形截面試樣，則，所以式GOTOBUTTONZEqnNum248624REFZEqnNum248624\*Charformat\!(10)可改寫為： 式中為棒長；為棒的直徑；為棒的質(zhì)量；為試樣共振頻率。楊氏模量的測量本實(shí)驗(yàn)的基本問題是測量在一定溫度下試樣的固有頻率。實(shí)驗(yàn)中采用如圖2所示裝置。由信號(hào)發(fā)生器輸出的等幅正弦波信號(hào)，加在換能器（I）上。通過換能器把電信號(hào)轉(zhuǎn)變成機(jī)械振動(dòng)，再由懸線把機(jī)械振動(dòng)傳給試樣，使試樣作橫向振動(dòng)。試樣另一端的懸線，把機(jī)械振動(dòng)傳給換能器（II），這時(shí)機(jī)械振動(dòng)又轉(zhuǎn)變成電信號(hào)。該信號(hào)經(jīng)放大后送到示波器中顯示。而數(shù)字頻率計(jì)則用于測定信號(hào)發(fā)生器的信號(hào)頻率。當(dāng)信號(hào)發(fā)生器的頻率不等于試樣的固有頻率時(shí)，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒有波形或波形很小。當(dāng)信號(hào)發(fā)生器的頻率等于試樣的固有頻率時(shí)，試樣發(fā)生共振，示波器的波形突然增大，這時(shí)頻率計(jì)上讀出的頻率就是試樣在該溫度下的共振頻率。將此值代入GOTOBUTTONZEqnNum130271REFZEqnNum130271\*Charformat\!(11)式，即可計(jì)算出試樣楊氏模量。實(shí)驗(yàn)步驟（1）測量試樣的長度、直徑（測6次），注意在不同的部位和不同的方向多次測量直徑，使用天平稱量試樣的質(zhì)量。（2）根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理，要是試樣自由振動(dòng)就應(yīng)把懸線吊扎在試樣的節(jié)點(diǎn)上（見附錄），但是這樣做就不能激發(fā)和拾取試樣的振動(dòng)。因此，實(shí)際的吊扎位置都要偏離節(jié)點(diǎn)。一般用“內(nèi)插法”準(zhǔn)確測定懸線吊扎在試樣節(jié)點(diǎn)上時(shí)的共振頻率。（3）室溫下銅和不銹鋼的楊氏模量分別約為和，先由GOTOBUTTONZEqnNum130271REFZEqnNum130271\*Charformat\!(11)式估算出共振頻率，以便尋找共振點(diǎn)。（4）把信號(hào)發(fā)生器的輸出與測試臺(tái)的輸入相連，測試臺(tái)的輸出與放大器的輸入相接，放大器的輸出與示波器的Y輸入相接。（5）在偏離共振點(diǎn)左右均勻各5個(gè)點(diǎn)懸掛試樣，由外向內(nèi)或由內(nèi)向外分別測出8個(gè)懸掛點(diǎn)的共振頻率，懸掛點(diǎn)距離兩端點(diǎn)的距離和共振點(diǎn)壓V紀(jì)錄在表格中。注意：在實(shí)驗(yàn)中保持每次左右兩個(gè)懸點(diǎn)位置對稱，兩根懸線保持平行和豎直。因試樣共振狀態(tài)的建立需要有—個(gè)過程，共振峰十分尖銳，因此在共振點(diǎn)附近調(diào)節(jié)信號(hào)頻率時(shí)，必須十分緩慢地進(jìn)行，緩慢調(diào)節(jié)“頻率微調(diào)”，直至示波器示波屏上出現(xiàn)最大的信號(hào)。實(shí)驗(yàn)時(shí)信號(hào)發(fā)生器電壓輸出約。（6）求出試樣的楊氏模量。數(shù)據(jù)記錄及數(shù)據(jù)處理：1、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：實(shí)驗(yàn)溫度23.3℃，試樣種類鋼棒試樣質(zhì)量33g，試樣長度150mm試樣直徑5.950c，節(jié)點(diǎn)位置（距端面）33mm表1．測量試樣直徑：次數(shù)123456平均值直徑(mm)5.9555.9525.9465.9