二次函數(shù)與一元二次方程不等式 高三數(shù)學一輪復習

第五節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課前自主預習案課堂互動探究案課前自主預習案必

備

知

識二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??{x|x<x1或x>x2}

夯

實

基

礎1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(

)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(

)(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的條件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)(4)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(

)√××√

答案：D

3．(教材改編)已知關于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，則a＋b的值是________．答案：－1解析：若關于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，則2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.

5．(易錯)要使函數(shù)y＝mx2＋mx＋m－1的值恒為負值，則m的取值范圍為________．答案：(－∞，0]

課堂互動探究案1.會結合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù)．2．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式．3．了解簡單的分式不等式、絕對值不等式的解法．問題思考·夯實技能【問題1】一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系是什么？

【問題2】不等式ax2＋bx＋c>0(≥0)，ax2＋bx＋c<0(≤0)在R上恒成立的條件分別是什么？

關鍵能力·題型剖析題型一

一元二次不等式的解法角度一不含參數(shù)的一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)－x2＋4x＋5<0；(2)2x2－5x＋2≤0.

題后師說解一元二次不等式的一般步驟

答案：A

角度二含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).

【變式練習】把本例中的條件“a>0”改為“a∈R”，不等式的解集如何？

題后師說解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進行分類，其次根據(jù)根是否存在，即Δ的符號進行分類，最后在根存在時，根據(jù)根的大小進行分類．鞏固訓練2解關于x的不等式12x2－ax>a2.

答案：C

答案：C

答案：BD

題后師說給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數(shù)的關系求待定系數(shù)．

答案：C

答案：B

角度二在給定區(qū)間上恒成立問題例6已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]時，f(x)≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案：[－7，2]

角度三在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問題例7已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍為__________．

題后師說恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略鞏固訓練5(1)若不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)的解集為R，則k的取值范圍為________．

(2)若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈[1，3]恒成立，則a的最小值為________．答案：－4

(3)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4，6]，f(x)≥0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是__________．

答案：C

2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．{a|a≤－4或a≥4}B．{a|－4≤a≤4}C．{a|a<－4或a>4}D．{a|－4<a<4}答案：B解析：因為不等式x2＋ax＋4<0的解集為空集，所以Δ＝a2－4×4≤0，即－4≤a≤4.

答案：B

答案：A

5．[2024·河北保定模擬]若?x∈R，