期中壓軸必刷綜合（解析版）

期中壓軸必刷綜合一．選擇題（共7小題）1．如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，則∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°【答案】B【解答】解：∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝（m﹣15）°，故選：B．2．如圖，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝n°，則下列結(jié)論：①∠COE＝90°﹣n°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【解答】解：∵AB∥CD，∠ABO＝n°，∴∠ABO＝∠BOD＝n°，∵OE平分∠BOC，∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠COE＝（180﹣n）°，故①正確；∵OF⊥OE，OP⊥CD，OE平分∠BOC，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∠EOC+∠EOP＝90°，∠EOC＝∠EOB，∠EOC+∠DOF＝90°，∴∠POE＝∠BOF，∠BOF＝∠DOF，故③正確；∴OF平分∠BOD，故②正確；∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠BOD，∴∠ABO＝2∠DOF，而題目中不能得到∠ABO＝∠POB，故④錯(cuò)誤．故選：A．3．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點(diǎn)，且DE＝DF，連接BF、CE，且∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，下列說法：①△BDF≌CDE；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④∠DEC＝70°，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的面積＝△ACD的面積，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），故①②正確∴∠F＝∠CED，∠DEC＝∠F，∴BF∥CE，故③正確，∵∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，∴∠F＝180°﹣35°﹣75°＝70°，∴∠DEC＝70°，故④正確；綜上所述，正確的是①②③④4個(gè)．故選：D．4．對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如利用圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等式是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c【答案】B【解答】解：∵正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故選：B．5．如圖，直線AB∥CD，EF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，作∠BEF、∠DFE的平分線相交于點(diǎn)K；作∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1；依此類推，作∠BEK1、∠DFK2的平分線相交于點(diǎn)K2，…，作∠BEKn﹣1、∠DFKn﹣1的平分線相交于點(diǎn)Kn，則∠Kn的與∠K的關(guān)系為（）A．∠Kn＝∠K B．∠Kn＝∠K C．∠Kn＝∠K D．∠Kn＝∠K【答案】A【解答】解：如圖，過K作KG∥AB，可得KG∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∵EK、FK分別為∠BEF與∠EFD的平分線，∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，∵AB∥CD，∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，∴∠BEK+∠DFK＝90°，則∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；∵∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1，∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠KEK1+∠KFK1＝45°，∴∠K1＝180°﹣（∠KEF+∠EFK）﹣（∠KEK1+∠KFK1）＝×90°＝45°，歸納總結(jié)得：∠Kn＝×90°＝∠EKF．故選：A．6．觀察下列各式及其展開式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……請你猜想（2x﹣1）8的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是（）A．224 B．180 C．112 D．48【答案】C【解答】解：由所給四組式子的系數(shù)規(guī)律可得左邊式子的指數(shù)分別為6，7，8的等式，右邊各項(xiàng)的系數(shù)分別為：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2項(xiàng)的系數(shù)為：22×（﹣1）6×28＝112．故選：C．7．如圖，△ABC中，∠A＝α°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依此類推，∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線相交于點(diǎn)An，則∠An的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝α，∴∠A1＝α°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2＝α°，∴∠A2＝α°，∴∠A＝2n∠An，∴∠An＝α°?（）n＝（）°．故選：C．二．填空題（共17小題）8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，則∠E＝26°．（補(bǔ)充知識：等腰三角形兩底角相等．）【答案】26．【解答】解：∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B，∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB＝84°，∴∠B+2∠B+84°＝180°，解得∠B＝32°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠ADC＝64°，∵PE⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)E．∴∠E+∠ADC＝90°，解得∠E＝26°．故答案為26．9．如圖1，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)出發(fā)，沿B→C→A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BP的長度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線部分的最低點(diǎn)，則AC邊上的高長為4．【答案】4．【解答】解：由圖1看到，點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到A的過程中，y＝BP先從0開始增大，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)達(dá)到最大，對應(yīng)圖2可得此時(shí)y＝5，即BC＝5；點(diǎn)P從C運(yùn)動(dòng)到A的過程中，y＝BP先減小，到達(dá)BP⊥AC時(shí)達(dá)到最小，對應(yīng)圖2可得此時(shí)BP＝4；而后BP又開始增大，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)達(dá)到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC為等腰三角形．由圖形和圖象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC時(shí)，BP＝4，過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，則BD＝4．故AC邊上的高長為4．故答案為：4．10．如圖甲所示三角形紙片ABC中，∠B＝∠C，將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙），則∠ABC的大小為72°．【答案】72．【解答】解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°．故答案為：72．11．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）；請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含x2015項(xiàng)的系數(shù)是﹣4034．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（x﹣）2017展開式中含x2015項(xiàng)的系數(shù)，由（x﹣）2017＝x2017﹣2017?x2016?（）+…可知，展開式中第二項(xiàng)為﹣2017?x2016?（）＝﹣4034x2015，∴（x﹣）2017展開式中含x2015項(xiàng)的系數(shù)是﹣4034，故答案為：﹣4034．12．如圖①是長方形紙帶，∠CFE＝55°，將紙帶沿EF折疊成圖②，再沿GE折疊成圖③，則圖③中∠DEF的度數(shù)是15°．【答案】15°．【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°，∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°，∴圖②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°﹣2×55°＝70°，∴圖③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°﹣55°＝15°．故答案為：15°13．圖①是一個(gè)長為a，寬為b的長方形，以此小長方形按圖②拼成的一個(gè)大正方形和一小正方形，設(shè)小正方形ABCD的面積為S1，大正方形EFGH的面積為S2，小長方形的面積為S3．若S1＝S3，且S1+S2＝22，則S1＝3．【答案】3．【解答】解：由圖可得：大正方形EFGH的面積＝小正方形ABCD的面積+4×小長方形的面積，即S2＝S1+4S3，∵S1＝S3，∴S3＝S1，∵S1+S2＝22，∴S2＝22﹣S1，∴22﹣S1＝S1+4×S1，解得S1＝3．故答案為：3．14．如圖，等邊△ABC邊長為10，P在AB上，Q在BC延長線，CQ＝PA，過點(diǎn)P作PE⊥AC點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF∥BQ，交AC邊于點(diǎn)F，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案為：5．15．如圖，將△ABC沿直線AC翻折得到△ADC，連接BD交AC于點(diǎn)E，AF為△ACD的中線，若BE＝2，AE＝3，△AFC的面積為2，則CE＝1．【答案】1．【解答】解：∵AF為△ACD的中線，△AFC的面積為2，∴S△ACD＝2S△AFC＝4，∵△ABC沿直線AC翻折得到△ADC，∴S△ABC＝S△ADC，BD⊥AC，BE＝ED，∴S四邊形ABCD＝8，∴，∵BE＝2，AE＝3，∴BD＝4，∴AC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．故答案為1．16．如圖，四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，點(diǎn)P是△OCD角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝CD．其中正確的是①③④⑤．（填序號）【答案】①③④⑤．【解答】解：∵AC⊥BD，點(diǎn)P是△OCD角平分線的交點(diǎn)，∴∠DOC＝90°，∠CDP＝∠CDO，∠DCP＝∠DCO，∴∠CDO+∠DCO＝90°，∴∠CDP+∠DCP＝×90°＝45°，∴∠CPD＝180°﹣（∠CDP+∠DCP）＝135°，故①正確；∵點(diǎn)P是△OCD角平分線的交點(diǎn)，∴∠DCP＝∠ACP，∠CDP＝∠BDP，在△ACP和△DCP中，，∴△ACP≌△DCP（SAS），∴AP＝DP，∠CAP＝∠CDP＝∠BDP，∠APC＝∠DPC＝135°，∴∠DPA＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴△APD是等腰直角三角形，在△PAC和△PDB中，，∴△PAC≌△PDB（SAS），故③正確；∵△PAC≌△PDB，∴∠DPB＝∠APC＝135°，PB＝PC，∴∠BPC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴△BPC是等腰直角三角形，找不到BA＝BP的證據(jù)，故②錯(cuò)誤；過點(diǎn)A作AN∥BP交PM的延長線于點(diǎn)N，∴∠N＝∠BPM，∠PAN+APB＝180°，∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM，在△AMN和△BMP中，，∴△AMN≌△BMP（AAS），∴MN＝MP＝PN，AN＝PB＝PC，S△AMN＝S△BMP，∵∠DPA＝∠BPC＝90°，∴∠APB+∠DPC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠PAN+APB＝180°，∴∠PAN＝∠DPC，又∵AP＝DP，AN＝PC，∴△APN≌△PDC（SAS），∴PN＝CD＝2PM，即PM＝CD，故⑤正確；∵△AMN≌△BMP，△APN≌△PDC，S△APN＝S△PDC，S△AMN＝S△BMP，∴S△ABP＝S△APM+S△BPM＝S△APM+S△AMN＝S△APN，∴S△ABP＝S△DCP，故④正確；故答案為：①③④⑤．17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P以每秒2cm的速度沿圖甲的邊框按從B→C→D→E→F→A的路徑移動(dòng)，相應(yīng)的△ABP的面積S（cm2）與時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖乙中的圖象所示．其中AB＝6cm．當(dāng)t＝2.5或14.5時(shí)，△ABP的面積是15cm2．【答案】2.5或14.5．【解答】解：動(dòng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對應(yīng)的時(shí)間為0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8（cm）；動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對應(yīng)的時(shí)間為4到6秒，易得：CD＝2cm/秒×（6﹣4）秒＝4（cm）；動(dòng)點(diǎn)P在DF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對應(yīng)的時(shí)間為6到9秒，易得：DE＝2cm/秒×（9﹣6）秒＝6（cm），故圖甲中的BC長是8cm，DE＝6cm，EF＝6﹣4＝2（cm）∴AF＝BC+DE＝8+6＝14（cm），∴b＝9+（EF+AF）÷2＝17，∴或，解得t＝2.5或14.5．故答案為：2.5或14.5．18．甲、乙兩人騎車從學(xué)校出發(fā)，先上坡到距學(xué)校6千米的A地，再下坡到距學(xué)校16千米的B地，甲、乙兩人行駛的路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若甲、乙兩人同時(shí)從B地按原路返回到學(xué)校，返回時(shí)，甲和乙上、下坡的速度仍保持不變，則在返回途中二人相遇時(shí)離A地的距離是5千米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：乙上坡的速度是：6÷＝10千米/小時(shí)，下坡的速度是：10÷（﹣）＝20千米/小時(shí)．甲的速度是：16÷＝12千米/小時(shí)，上坡時(shí)，甲與乙之間的距離是越來越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，設(shè)x小時(shí)乙追上甲．則有：12x＝10+20（x﹣1），x＝，此時(shí)離A地距離＝12×﹣10＝5（千米）．故答案為5．19．如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)E，BE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BD交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，連接AE，有以下結(jié)論：①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正確的結(jié)論有①③④（將所有正確答案的序號填寫在橫線上）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：①BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD，∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，∴∠BEC＝∠BAC，故①正確；∵②△HEF與△CBF只有兩個(gè)角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所有不能得出全等的結(jié)論，故②錯(cuò)誤．③BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE＝∠GEB，∴∠ABE＝∠GEB，∴BG＝GE，同理CH＝HE，∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，故③正確．④過點(diǎn)E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如圖，∵BE平分∠ABC，∴EM＝ED，∵CE平分∠ACD，∴EN＝ED，∴EN＝EM，∴AE平分∠CAM，設(shè)∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y(tǒng)，∠MAE＝∠CAE＝z，如圖，則∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，∴x+z＝y(tǒng)+90°，∵z＝y(tǒng)+∠AEB，∴x+y+∠AEB＝y(tǒng)+90°，∴x+∠AEB＝90°，即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正確；故答案為：①③④．20．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A﹣C﹣B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B﹣C﹣A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以2和6的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t＝1或者3.5或12秒時(shí)，△PEC與△QFC全等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖所示：由于PE⊥l，QF⊥l，∠ACB＝90°，∴∠PEC＝∠QFC＝90°，∠CPE＝∠QCF，t秒時(shí)，CQ＝16﹣6t，PC＝12﹣2t，當(dāng)CQ＝PC時(shí)，即16﹣6t＝12﹣2t，解得，t＝1．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒時(shí)，△PEC與△QFC滿足“AAS”全等．（2）如圖所示，t秒時(shí)，CQ＝6t﹣16，PC＝12﹣2t，當(dāng)CQ＝PC時(shí)，即6t﹣16＝12﹣2t，解得，t＝3.5．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3.5秒時(shí)，△PEC與△QFC重合，兩個(gè)三角形全等．（3）當(dāng)Q到達(dá)終點(diǎn)A，CP＝AC時(shí)，也滿足條件，即2t＝24，t＝12故答案為：1或者3.5或12．21．如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，則有AC∥DE；③如果∠2＝30°，則有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正確的有①②④．（填序號）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，∴∠1＝∠3．∴①正確．②∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE．∴②正確．③∵∠2＝30°，∴∠3＝90°﹣30°＝60°，∵∠B＝45°，∴BC不平行于AD．∴③錯(cuò)誤．④由②得AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④正確．故答案為：①②④．22．如圖，對面積為s的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長AB、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1順次連接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△AnBn?n，則其面積Sn＝19n?S．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接A1C；S△AA1C＝3S△ABC＝3S，S△AA1C1＝2S△AA1C＝6S，所以S△A1B1C1＝6S×3+1S＝19S；同理得S△A2B2C2＝19S×19＝361S；S△A3B3C3＝361S×19＝6859S，S△A4B4C4＝6859S×19＝130321S，S△A5B5C5＝130321S×19＝2476099S，從中可以得出一個(gè)規(guī)律，延長各邊后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延長第n次后，得到△AnBn?n，則其面積Sn＝19n?S．23．如圖，兩個(gè)正方形邊長分別為a、b，且滿足a+b＝10，ab＝12，圖中陰影部分的面積為32．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將a+b＝10兩邊平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，將ab＝12代入得：a2+b2+24＝100，即a2+b2＝76，則兩個(gè)正方形面積之和為76；如圖，S陰影＝S兩正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝×（76﹣12）＝32．故答案為：32．24．若m1，m2，…m2015是從0，1，2這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若m1+m2+…+m2015＝1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，則在m1，m2，…m2015中，取值為2的個(gè)數(shù)為510．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，∵m1，m2，…，m2015是從0，1，2這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，∴m1，m2，…，m2015中為1的個(gè)數(shù)是2015﹣1510＝505，∵m1+m2+…+m2015＝1525，∴2的個(gè)數(shù)為（1525﹣505）÷2＝510個(gè)．故答案為：510．三．解答題（共26小題）25．新能源純電動(dòng)汽車的不斷普及讓很多人感受到了它的好處，其中最重要的一點(diǎn)就是對環(huán)境的保護(hù)，如圖是某型號新能源純電動(dòng)汽車充滿電后，蓄電池剩余電量y（千瓦時(shí)）與已行駛路程x（千米）之間關(guān)系的圖象．（1）圖中點(diǎn)A表示的實(shí)際意義是什么？（2）當(dāng)0≤x≤150時(shí)，行駛1千米的平均耗電量多少？（3）求行駛多少千米時(shí)，剩余電量降至15千瓦時(shí)．【答案】（1）A點(diǎn)表示充滿電后行駛150千米時(shí)，剩余電量為35千瓦時(shí)；（2）千瓦時(shí)；（3）190．【解答】解：（1）由圖象可知，A點(diǎn)表示充滿電后行駛150千米時(shí)，剩余電量為35千瓦時(shí)；（2）（35﹣10）÷（200﹣150）＝0.5當(dāng)0≤x≤150時(shí)，行駛1千米的平均耗電量是＝千瓦時(shí)；（3）（千米），150+40＝190（千米）．答：當(dāng)汽車已行駛190千米時(shí)，蓄電池的剩余電量為15千瓦時(shí)．26．（1）如圖，CD，CE分別是△ABC的高和中線，AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，∠ACB＝90°．求：①CD的長；②△BCE與△ACE的周長差；（2）閱讀理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，又∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．方法應(yīng)用：①a2+4a+b2＝﹣4，則a＝﹣2，b＝0；②已知x+y＝10，xy﹣m2﹣6m＝34，求（x﹣y）m的值．【答案】（1）①CD＝；②△BCE與△ACE的周長差為7；（2）①﹣2，0；②．【解答】解：（1）①由題可知：AC＝5、BC＝12、AB＝13，∴根據(jù)等面積法可得，CD＝；②△BCE的周長＝BC+CE+EB，△ACE的周長＝AC+CE+AE，且AE為中線，∴△BCE與△ACE的周長差＝BC+CE+EB﹣（AC+CE+AE）＝BC+CE+EB﹣AC﹣CE﹣AE＝BC﹣AC＝12﹣5＝7；（2）①將原式進(jìn)行移項(xiàng)和配方可得：（a+2）2+（b+0）2＝0，∴a＝﹣2，b＝0；故答案為：﹣2，0．②由題可得：x+y＝10，∴x＝10﹣y，∴（10﹣y）y﹣m2﹣6m﹣34＝0，配方可得：（m+3）2+（y﹣5）2＝0，∴m＝﹣3，y＝5，x＝5；∴＝＝＝．27．已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)【答案】（1）90°；（2）96°；（3）50°．【解答】解：（1）如圖1，過G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵M(jìn)G⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如圖2，過G作GK∥AB，過點(diǎn)P作PQ∥AB，設(shè)∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝32°，∴∠MGK＝∠BMG＝32°，∵M(jìn)G平分∠BMP，∴∠GMP＝∠BMG＝32°，∴∠BMP＝64°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥GK，∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝α，∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°；（3）如圖3，過G作GK∥AB，過E作ET∥AB，設(shè)∠AMF＝x，∠GND＝y(tǒng)，∵AB，F(xiàn)G交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠AME＝2x，∵CD∥AB，AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y(tǒng)，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB，AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠MGN＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．28．已知直線PQ∥MN．（1）如圖1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，G為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），BD平分∠GBA，交MN于點(diǎn)D，試探究∠CBD與∠BGA的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于點(diǎn)K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，當(dāng)BK與△ACK的一邊平行時(shí)，直接寫出此時(shí)t的值．【答案】（1）∠ACB＝90°；（2）∠CBD與∠BGA的數(shù)量關(guān)系為：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3s或9s或18s或21s或27s時(shí)，BK與△ACK的一邊平行．【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∴∠PBA+∠MAB＝180°，∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，∴∠CBA+∠CAB＝（∠PBA+∠MAB）＝90°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝90°；（2）由題意可分三種情況討論：①如圖，BG在∠CBA左側(cè)，則：∠CBD＝∠GBD﹣∠GBC＝∠GBD﹣（∠PBA﹣∠BGD）＝∠GBD﹣∠PBA+∠BGD，∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）＝∠BGD，∴∠BGA＝2∠CBD；②如圖，BG在∠CBA內(nèi)部，則：∠CBD＝∠GBD+∠GBC＝∠GBD+（∠BGD﹣∠PBA）＝∠GBD+∠BGD﹣∠PBA，∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）＝∠BGD，∴∠BGA＝2∠CBD；③如圖，BG在∠CBA右側(cè)，則：∠CBD＝180°﹣（∠GBD+∠GBQ+∠PBA）＝180°﹣（∠GBD+∠BGD+∠PBA）∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，∴∠CBD＝180°﹣（90°﹣∠BGD﹣∠GAB+∠BGD+∠PBA）＝180°﹣（90°+∠BGD+∠PBA﹣∠GAB）＝180°﹣（90°+90°﹣∠ABG﹣∠GAB）＝（∠ABG+∠GAB）＝（180°﹣∠BGA），∴∠BGA＝180°﹣2∠CBD；綜上，∠CBD與∠BGA的數(shù)量關(guān)系為：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD．（3）如圖，可以畫出△BCK以每秒10°繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BK與△ACK的一邊平行的所有情況，①△BCK旋轉(zhuǎn)到△DCL處，DL∥CA，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角＝∠BCK＝30°，t＝30÷10＝3s，②△BCK旋轉(zhuǎn)到△FCO處，F(xiàn)O∥CK，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角＝∠OCK＝90°，t＝90÷10＝9s，③△BCK旋轉(zhuǎn)到△GCW處，WG∥KA，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角＝∠WCK＝180°，t＝180÷10＝18s，④△BCK旋轉(zhuǎn)到△HCR處，HR∥CA，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角＝∠GCW+∠WCK＝180°+30°＝210°，t＝210÷10＝21s，⑤△BCK旋轉(zhuǎn)到△TCS處，ST∥CK，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角＝∠SCW+∠WCK＝180°+90°＝270°，t＝270÷10＝27s，⑥△BCK再旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)BK回到原處，與AK在同一直線，不算平行，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3s或9s或18s或21s或27s時(shí)，BK與△ACK的一邊平行．29．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．連接BD、CE，過點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H，反向延長線段AH交BD于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)AB＝AD時(shí)①請直接寫出BF與DF的數(shù)量關(guān)系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：CE＝2AF（2）如圖2，當(dāng)AB≠AD時(shí)，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）①＝；②證明見解答過程；（2）成立，證明見解答過程．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，∴AC＝AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAF，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，故答案為：＝；②∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝EH＝CE，∴CE＝2CH，∵∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠BAF＝∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠AFB＝∠CHA，在△AFB和△CHA中，，∴△AFB≌△CHA（AAS），∴AF＝CH，∴CE＝2AF；（2）成立，證明如下：作BM⊥AF于點(diǎn)M，作DN⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)N，∴∠BMA＝∠N＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，∵AH⊥CE，∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，在△AMB和△CHA中，，∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB＝AH，同理可證△AND≌△EHA（AAS），∴DN＝AH，∴BM＝DN，在△BMF和△DNF中，，∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF＝DF，MF＝NF，∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM＝CH，AN＝EH，∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，∵CE＝CH+EH，∴CE＝2AF，即BF＝DF，CE＝2AF．30．已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點(diǎn)C為直線GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，且∠GCD＝50°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B右邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點(diǎn)P，請直接寫出∠BPC的度數(shù)，不說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PE∥MN．∵M(jìn)N∥GH．∴PE∥MN∥GH．∵PB平分∠DBA．∴∠DBP＝∠MBA＝40°．∵M(jìn)N∥PE，∴∠BPE＝∠DBP＝40°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．同理可證．．∴∠BPC＝40°+25°＝65°．（2）如圖2，過點(diǎn)P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴．∵M(jìn)N∥PE，∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵PC平分∠DCA．∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠BPC＝130°+25°＝155°．（3）如圖3，過點(diǎn)P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝40°＝∠BPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．∴．∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠BPC＝40°+115°＝155°；如圖4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；如圖5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；綜上，∠BPC的度數(shù)為25°或155°．31．閱讀理解并完成下面問題：我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)c都可以進(jìn)行這樣的因式分解：c＝p×q（p，q是正整數(shù)），在c的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是c的最佳分解．并規(guī)定：F（c）＝（其中p≤q）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)閨1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)，若m是一個(gè)完全平方數(shù)，求F（m）的值；（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，交換其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到的新兩位數(shù)減去原數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)兩位正整數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求符合條件的所有“吉祥數(shù)”；（3）在（2）中的所有“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最小值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵m是完全平方數(shù)∴m＝p×q且p＝q∴F（m）＝＝1；（2）設(shè)正整數(shù)為：10x+y，則t′＝10y+x，∵10y+x﹣（10x+y）＝18，則9y﹣9x＝18，故（y﹣x）＝2．∴t可取13，24，35，46，57，68，79；（3）由（2）得．∴，，，，，，．∵．∴F（t）的最小值為．32．在數(shù)學(xué)中，有許多關(guān)系都是在不經(jīng)意間被發(fā)現(xiàn)的，請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）如圖1，用兩種不同的方法表示陰影圖形的面積，得到一個(gè)等量關(guān)系：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．（2）若圖1中a、b滿足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；（3）如圖2，C是線段AB上一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，AC+BC＝8，兩正方形面積和S1+S2＝40，求圖中陰影部分面積．【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．（2）29．（3）6．【解答】（1）圖1中陰影部分的面積可以表示為兩個(gè)邊長分別為a，b的小正方形的面積之和，即a2+b2，也可表示為邊長是a+b的大正方形的面積減去兩個(gè)長、寬分別為a，b的小長方形的面積，即（a+b）2﹣2ab．∴等量關(guān)系為a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．故答案為：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．（2）∵a+b＝7，ab＝10，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29．（3）設(shè)AC＝x，BC＝y(tǒng)，∵AC+BC＝8，S1+S2＝40，∴，∴xy＝＝（82﹣40）＝12．∴陰影部分的面積為xy＝6．33．閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．（1）閱讀并補(bǔ)充下面推理過程．解：過點(diǎn)A作ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC．∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．方法運(yùn)用：（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)．深化拓展：（3）如圖3，已知AB∥CD，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC＝60°，DE平分∠ADC，點(diǎn)B是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），AB＜CD，BE平分∠ABC，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在AB與CD兩條平行線之間．若∠ABC＝n°，請你直接寫出∠BED的度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）∠EAB，∠DAC；（2）360°；（3）30°+n°或210°﹣n°．【解答】解：（1）∵ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，故答案為：∠EAB，∠DAC；（2）過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D＝∠FCD，∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，（3）如圖3，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+n°；如圖4，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝30°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+30°＝210°﹣n°．34．珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若兩燈發(fā)出的射線AC與BC交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）60；（2）當(dāng)t＝30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）見解析．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案為：60；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，當(dāng)t＝30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）結(jié)論：∠BAC＝2∠BCD．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，35．某中學(xué)校長決定帶領(lǐng)市級“三好學(xué)生”去北京旅游，甲旅行社承諾：“如果校長買全票一張，則學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠”；乙旅行社承諾：“包括校長在內(nèi)所有人按全票的6折優(yōu)惠”．若全票價(jià)為240元．（1）設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲、乙旅行社收費(fèi)分別為y甲（元）和y乙（元），分別寫出兩個(gè)旅行社收費(fèi)的表達(dá)式．（2）哪家旅行社收費(fèi)更優(yōu)惠？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）y甲＝240+120x；y乙＝240×60%（x+1）；（2）分三種情況討論：即兩家都一樣；甲更優(yōu)惠；乙更優(yōu)惠240+120x＝240×60%（x+1）解得x＝4，當(dāng)x＞4時(shí)，y乙＞y甲，當(dāng)x＜4時(shí)，y乙＜y甲所以當(dāng)有4名學(xué)生時(shí)，兩家都可以；當(dāng)大于4名時(shí)，甲比較劃算；當(dāng)小于4名時(shí)，乙比較劃算．36．已知，如圖，把直角三角形MON的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．（1）如圖1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度數(shù)．（2）若∠MOC＝m°，則∠BON的度數(shù)為2m°．（3）由（1）和（2），我們發(fā)現(xiàn)∠MOC和∠BON之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（4）若將三角形MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，試問∠MOC和∠BON之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，又∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC＝62°，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，（2）如圖1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，又∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，故答案為：2m°；（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；（4）∠MOC和∠BON之間的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，如圖2，∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，即：∴∠BON＝2∠MOC．37．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是1＜AD＜7；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由見解析過程；（3）EF＝2AD，理由見解析過程．【解答】解：（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．38．已知，AB∥CD，點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，則∠AED＝70°．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長線上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H，則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長線上時(shí)，DP平分∠EDC，且∠EAP：∠BAP＝1：2，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD的度數(shù)．【答案】（1）70°．（2）見解析；（3）122°．【解答】解：（1）過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠EAF＝∠AEH＝25°，∠EAG＝∠DEH＝45°，∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝70°，故答案為：70°；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．理由如下：過E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠EAF+∠MEH＝180°，∠EDG+∠AED+MEH＝180°，∴∠EAF＝180°﹣∠MEH，∠EDG+∠AED＝180°﹣MEH，∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAP：∠BAP＝1：2，設(shè)∠EAP＝x，則∠BAE＝3x，∵∠AED﹣∠P＝32°﹣30°＝2°，∠DKE＝∠AKP，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAP+∠KPA+∠AKP＝180°，∴∠EDK＝∠EAP﹣2°＝x﹣2°，∵DP平分∠EDC，∴∠CDE＝2∠EDK＝2x﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，即3x＝32°+2x﹣4°，解得x＝28°，∴∠EDK＝28°﹣2°＝26°，∴∠EKD＝180°﹣26°﹣32°＝122°．39．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE＝AD．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，連接DE，求證：EH＝AC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，連接BE交CA的延長線于點(diǎn)M．求證：BM＝EM；（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線CB上時(shí)，連接BE交直線AC于M，若2AC＝5CM，請求出的值．【答案】（1）證明見解答過程；（2）證明見解答過程；（3）的值為或．【解答】（1）證明：∵AD⊥AE，EH⊥AC，∴∠AHE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠EAH＝∠ADC，又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AHE＝90°，∴△AHE≌△DCA（AAS），∴EH＝AC；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)E作EN⊥AM，交AM的延長線于N，∵AD⊥AE，EN⊥AM，∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，∴∠EAN＝∠ADC，又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，∴△ANE≌△DCA（AAS），∴EN＝AC，∵BC＝AC，∴BC＝NE，又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，∴△BCM≌△ENM（AAS），∴BM＝EM；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖，∵2AC＝5CM，∴設(shè)CM＝2a，AC＝5a，由（1）得：△AHE≌△DCA，∴AH＝DC，EH＝AC＝5a，∵AC＝BC＝5a，∴BC＝EH＝5a，又∵∠BMC＝∠EMH，∠BCM＝∠EHM＝90°，∴△BCM≌△EHM（AAS），∴HM＝CM＝2a，∴AH＝AC﹣CM﹣HM＝a，∴AM＝AH+HM＝3a，BD＝BC﹣CD＝4a，∴＝；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖2，由圖可得：AC＜CM，2AC＝5CM不可能，∴此情況不存在；③當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EN⊥AM，交AM的延長線于N，∵2AC＝5CM，∴設(shè)CM＝2a，AC＝5a，∵AD⊥AE，EN⊥AM，∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，∴∠EAN＝∠ADC，又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，∴△ANE≌△DCA（AAS），∴EN＝AC，∵BC＝AC，∴BC＝NE，又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，∴△BCM≌△ENM（AAS），∴CM＝MN＝2a，BC＝NE＝AC＝5a，∴AN＝AC+CM+MN＝9a，AM＝AC+CM＝7a，∵△ANE≌△DCA，∴AN＝CD＝9a，∴BD＝4a，∴＝．綜上，的值為或．40．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）如圖2，BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度數(shù)；②∠A和∠C為任意角時(shí)，其他條件不變，猜想∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）在圖3中，點(diǎn)E為CD延長線上一點(diǎn)，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延長線與DP交于點(diǎn)P，請直接寫出∠P與∠A、∠C的關(guān)系，無需證明．【答案】（1）見解答；（2）①32°；②∠C+∠A＝2∠P；（3）∠A+3∠C+4∠P＝180°．【解答】解：（1）設(shè)AD與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）①由（1）得：∠P+∠PBC＝∠CDP+∠C，∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，兩式相加得：2∠P+∠PBC+∠ADP＝∠A+∠C+∠CDP+∠ABP，∵BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC，∴∠PBC＝∠ABP，∠ADP＝∠CDP，∴∠C+∠A＝2∠P，∴∠P＝（∠A+∠C）＝32°；②由①可得：∠C+∠A＝2∠P；（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，∴∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，∴+∠CBQ＝∠C+45°﹣∠EDP，設(shè)AD與PQ的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，兩式相減可得：∠BOD﹣∠A＝∠C+∠ADC+∠EDP﹣45°，∴∠BOD﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣45°，∴45°﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣∠BOD，∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，∴45°﹣∠A＝∠C+∠P，即∠A+3∠C+4∠P＝180°．41．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，則90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，則∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．42．如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．（1）求證：△ADC≌△BEC．（2）求∠AEB的度數(shù)．（3）試探究線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）解：∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝135°，∵△ADC≌△BEC，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°；（3）解：AE＝2CM+BE，理由如下：∵△ADC≌△BEC，∴BE＝AD，∵△DCE為等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．43．若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；（3）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝2，CF＝6，長方形EMFD的面積是192，分別以MF、DF為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】（1）21；（2）﹣5；（3）陰影部分的面積為112．【解答】解：（1）設(shè)7﹣x＝a，x﹣2＝b，則（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣2＝5，∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21；（2）設(shè)n﹣2021＝a，n﹣2022＝b，則（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝1，（n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022）＝﹣ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）]＝＝﹣5；（3）根據(jù)題意可得，MF＝x﹣2，F(xiàn)D＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，設(shè)x﹣2＝a，x﹣6＝b，則（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，S陰＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）＝×4＝28×4＝112．陰影部分的面積為112．44．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，E為BC上的一點(diǎn)，在AE的右側(cè)作△AEF，使得AE＝AF，∠EAF＝∠BAC，連接FC并延長交AB的延長線于點(diǎn)D，∠D＝45°．（1）求∠ABC的度數(shù)．（2）如圖2，若點(diǎn)E在BC的延長線上，當(dāng)AC＝CE時(shí)，求證：FC平分∠AFE．（3）如圖3，△ABC的形狀和大小保持不變，若點(diǎn)E在直線BC上（不與點(diǎn)C重合），射線AC與直線EF相交于點(diǎn)M，則當(dāng)△AFM是等腰三角形時(shí)，求∠AEC的度數(shù)．【答案】（1）75°；（2）證明見解析部分；（3）30°或52.5°或37.5°．【解答】（1）解：如圖1中，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ACF，∵∠BAC+2∠ABC＝180°，∠BCD+2∠ACB＝180°，∴∠BCD＝∠BAC，設(shè)∠BCD＝∠BAC＝x，則∠ABC＝∠ACB＝∠D+∠BCD＝45°+x，∴x+2（45°+x）＝180°，∴x＝30°，∴∠ABC＝75°；（2）證明：如圖2中，同法可證△BAE≌△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠ACB＝∠CAE+∠CEA＝75°，∴∠CEA＝∠AFC＝37.5°，∵∠AFE＝75°，∴∠CFE＝37.5°，∴∠AFC＝∠CFE＝37.5°，∴CF平分∠AFE；（3）解：如圖3﹣1中，當(dāng)AM＝MF時(shí)，∴∠MAF＝∠MFA＝75°，∵∠ACB＝75°，∴∠ACB＝∠MAF，∴AF⊥BE，∴∠AEC＝∠EAF＝30°；如圖3﹣2中，當(dāng)FA＝FM時(shí)，∴∠FAM＝∠M＝52.5°，∴∠EAC＝52.5°﹣30°＝22.5°，∴∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝52.5°．如圖3﹣3中，當(dāng)FA＝FM時(shí)，∠FAM＝∠M＝37.5°，∴∠EAC＝30°+37.5°＝67.5°，∴∠AEC＝180°﹣67.5°﹣75°＝37.5°．綜上所述，滿足條件的∠AEC的度數(shù)為30°或52.5°或37.5°．45．已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針方向排列），連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①△ABD≌△ACE，②AC＝CE+CD；（2）當(dāng)點(diǎn)D不在邊BC上時(shí)，其他條件不變，請寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①②證明見解答過程；（2）點(diǎn)D在邊BC的延長線上，AC＝CE﹣CD；點(diǎn)D在邊CB的延長線上，AC＝CD﹣CE．【解答】（1）證明：①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∵BC＝BD+CD，AC＝BC，∴AC＝CE+CD；（2）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，AC＝CE﹣CD，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，∴AC＝CE﹣CD；如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上時(shí)，AC＝CD﹣CE，理由如下：同（2）的方法可證，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．∵BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，∴AC＝CD﹣CE，綜上所述，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，AC＝CE﹣CD；點(diǎn)D在邊CB的延長線上，AC＝CD﹣CE．46．直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，MN⊥PQ，若∠BAO＝30°，∠BAO與∠ABO的角平分線相交于點(diǎn)E，∠AEB的度數(shù)為135°，（2）如圖2，MN⊥PQ，∠BAP與∠ABM的角平分線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（3）如圖3，若∠MOQ＜90°，∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于點(diǎn)E，延長BA至點(diǎn)G，∠OAG的角平分線與射線EO相交于點(diǎn)F，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，試探索∠F與∠ABO之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）135°；（2）不會發(fā)生變化，∠AEB＝45°；（3）∠ABO+∠F＝90°．【解答】解：（1）∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝30°，∴∠ABO＝60°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠ABE＝∠ABO＝3