新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第19講 等比數(shù)列及其求和（原卷版）

第19講等比數(shù)列及其求和學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱{an}為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng)：如果x，G，y是等比數(shù)列，則稱G為x與y的等比中項(xiàng)，且G2＝xy.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as·at＝apaq，特別地，如果2s＝p＋q，則aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.考點(diǎn)和典型例題1、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算【典例1-1】（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1024 B．960 C．768 D．512【典例1-2】（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0成公比為3的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0（

）A．14 B．34 C．41 D．86【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0的公比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年國(guó)慶閱兵活動(dòng)向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強(qiáng)軍的偉大成就以及維護(hù)世界和平的堅(jiān)定決心，在閱兵活動(dòng)的訓(xùn)練工作中，不僅使用了北斗導(dǎo)航、電子沙盤(pán)、仿真系統(tǒng)、激光測(cè)距機(jī)、邁速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝備，還通過(guò)管理中心對(duì)每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)、分析，有效保證了閱兵活動(dòng)的順利進(jìn)行，假如訓(xùn)練過(guò)程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a，其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的SKIPIF1<0倍，那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．16 B．24 C．32 D．8【典例1-6】（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖是標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力記錄，這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0．已知標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為SKIPIF1<0，則標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、等比數(shù)列的判定與證明【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)之和，且滿足SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0為等差數(shù)列 B．若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則公差為2C．SKIPIF1<0可能為等比數(shù)列 D．SKIPIF1<0的最小值為0，最大值為20【典例2-2】（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）（多選）著名的“河內(nèi)塔”問(wèn)題中，地面直立著三根柱子，在1號(hào)柱上從上至下?從小到大套著n個(gè)中心帶孔的圓盤(pán).將一個(gè)柱子最上方的一個(gè)圓盤(pán)移動(dòng)到另一個(gè)柱子，且保持每個(gè)柱子上較大的圓盤(pán)總在較小的圓盤(pán)下面，視為一次操作.設(shè)將n個(gè)圓盤(pán)全部從1號(hào)柱子移動(dòng)到3號(hào)柱子的最少操作數(shù)為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對(duì)于正整數(shù)k，SKIPIF1<0（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和小于SKIPIF1<0【典例2-4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求證：SKIPIF1<0．【典例2-5】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.3、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例3-1】（2022·湖南·邵陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-2】（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．512【典例3-3】（2022·河南省浚縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則公比q＝（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【典例3-4】（2022·海南?？凇ざ＃┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正整數(shù)且互不相等，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；②數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；③SKIPIF1<0．注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)