新高考數(shù)學一輪復習 講與練第16講 平面向量及其應用（解析版）

第16講平面向量及其應用學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面內不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面內兩個向量a與b不共線，則對該平面內任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得c＝xa＋yb.2.平面向量的坐標一般地，給定平面內兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標，記作a＝(x，y).3.平面向量的坐標運算(1)平面向量線性運算的坐標表示假設平面上兩個向量a，b滿足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).(2)向量模的坐標計算公式如果向量a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(3)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.向量平行的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x2y1＝x1y2.5.平面向量數(shù)量積的有關概念(1)向量的夾角：給定兩個非零向量a，b，在平面內任選一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則稱[0，π]內的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉.(2)向量的垂直：當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，稱向量a與向量b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量垂直.(3)數(shù)量積的定義：一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a||b|cos〈a，b〉為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內積)，記作a·b,即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(4)數(shù)量積的幾何意義：①投影向量：設非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A′，B′，則稱向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))__為向量a在直線l上的投影向量或投影.②投影的數(shù)量：一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影的長度有關，投影的數(shù)量既可能是非負數(shù)，也可能是負數(shù).③兩個非零向量a，b的數(shù)量積a·b，等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.6.平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).7.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).8.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.考點和典型例題1、平面向量基本定理【典例1-1】（2022·江蘇蘇州·模擬預測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D在線段SKIPIF1<0上，點E在線段SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：B【典例1-2】（2022·江蘇·南京外國語學校模擬預測）已知SKIPIF1<0均為單位向量，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：B.【典例1-3】（2022·江西·模擬預測（理））已知圓C的半徑為2，點A滿足SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是C上兩個動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【答案】C【詳解】取EF的中點M，連接CM，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線同向時，SKIPIF1<0取得最大值22；向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線反向時，SKIPIF1<0取得最小值6，故選：C．【典例1-4】（2022·河南·模擬預測（理））如圖，在SKIPIF1<0中，M為BC的中點，SKIPIF1<0，則m＋n＝（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不共線，故SKIPIF1<0，故選：C.【典例1-5】（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（文））設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內兩個不共線的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若A，B，C三點共線，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【詳解】因為A，B，C三點共線，所以向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共線，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，等號成立.故選：A2、坐標運算及其數(shù)量積【典例2-1】（2022·湖北·華中師大一附中模擬預測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線，則SKIPIF1<0的值為（

）A．0 B．48 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線，故SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C.【典例2-2】（2022·全國·二模（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，故選：D.【典例2-3】（2022·河南·高三階段練習（理））在長方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運動，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運動，且保持SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：如圖，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立平面直角坐標系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0．故選：A．【典例2-4】（2022·河南·方城第一高級中學模擬預測（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由SKIPIF1<0，兩邊平方可得：SKIPIF1<0，因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單位向量，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.故選：C【典例2-5】（2022·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心三模（文））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方向上的投影是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不平行，A錯，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不垂直，B錯，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0，C對，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不垂直，D錯，故選：C.3、綜合應用【典例3-1】（2022·北京·潞河中學三模）已知菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.【典例3-2】（2022·北京工業(yè)大學附屬中學三模）已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則當實數(shù)SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【答案】A【詳解】如圖，設SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【典例3-3】（2022·內蒙古赤峰·三模（文））若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：B【典例3-4】（2022·重慶八中模擬預測）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于O．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】在平行四邊形SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于O．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的長為4故選：C【典例3-5】（2022·寧夏·平羅中學三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在銳角SKIPIF1<0中內角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，(1)若SKIPIF1<0，求角SKIPIF1<0的大??；(2)在（1）的條件下，SKIPIF1<0