新高考一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練考點(diǎn)25 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用原卷版

考點(diǎn)25二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N+)；(2)通項(xiàng)公式：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱(chēng)性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)增減性二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N+)時(shí)，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N+)時(shí)，是遞減的二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)SKIPIF1<0取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0取得最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.1.與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的解題策略（1）求展開(kāi)式中的第n項(xiàng)，可依據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)直接求出第n項(xiàng)．（2）求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可．（3）已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù)．2.（1）二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：C(k＝0，1，2，…，n)．（2）二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式，對(duì)于a，b的一切值都成立．因此，可將a，b設(shè)定為一些特殊的值．在使用賦值法時(shí)，令a，b等于多少時(shí)，應(yīng)視具體情況而定，一般取“1、－1或0”，有時(shí)也取其他值．3.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝SKIPIF1<0，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝SKIPIF1<0．4.二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)的應(yīng)用(1)對(duì)于二項(xiàng)式定理，不僅要掌握其正向運(yùn)用，而且應(yīng)學(xué)會(huì)逆向運(yùn)用與變形運(yùn)用.有時(shí)先作適當(dāng)變形后再展開(kāi)較為簡(jiǎn)便，有時(shí)需適當(dāng)配湊后逆用二項(xiàng)式定理.(2)運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后，具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，一定要注意順序問(wèn)題.(3)在通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.2.因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意給字母賦值是求解二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法.賦值法求展開(kāi)式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.求展開(kāi)式的指定項(xiàng)1.（2021山東師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上期中）在SKIPIF1<0的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為65，則常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.2.（2021吉林省樺甸市四中高三上10月月考）若二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為SKIPIF1<0，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.（2021新疆克拉瑪依市高三第三次模擬檢測(cè)）若二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則該二項(xiàng)式展開(kāi)式中含有SKIPIF1<0項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1344 B.672 C.336 D.1684．（2021安徽省懷寧中學(xué)高三上模擬測(cè)試）SKIPIF1<0的展開(kāi)式中SKIPIF1<0項(xiàng)的系數(shù)為（）A.140B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D.11205.（2021北京市第十三中學(xué)高三上期中）在SKIPIF1<0的展開(kāi)式中，SKIPIF1<0的系數(shù)為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或各項(xiàng)系數(shù)1．若二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和為SKIPIF1<0，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)）已知SKIPIF1<0的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.80 B.160 C.240 D.320二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及各項(xiàng)系數(shù)和1.．（多選題）若SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<01.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））SKIPIF1<0的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為（）A.5 B.10C.15 D.202.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））SKIPIF1<0的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．一、單選題1.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0的展開(kāi)式中，記SKIPIF1<0項(xiàng)的系數(shù)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（）A.648 B.1296 C.1944 D.38882.（2022·山東淄博·一模）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.-448 B.-112 C.112 D.4483.（2022·福建漳州·一模）已知二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為32，則SKIPIF1<0的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0二、多選題4.（2022·福建龍巖·一模）已知二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的有（）A.展開(kāi)式共有7項(xiàng) B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C.所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D.展開(kāi)式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)5.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為整數(shù)，則SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0是正整數(shù)C.SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的小數(shù)部分D.設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為整數(shù)，則SKIPIF1<06.（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為16，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為216 D.展開(kāi)式中SKIPIF1<0的系數(shù)為127.（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0三、填空題8.（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0的展開(kāi)式中，SKIPIF1<0的系數(shù)是___________.9.（2022·福建漳州·二模）已知SKIPIF1<0的展開(kāi)式中SKIPIF1<0的系數(shù)為_(kāi)___________10.（2022·天津·一模）在SKIPIF1<0的展開(kāi)式中，SKIPIF1<0的系數(shù)是___________.11.（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）12.（2022·湖南·雅禮中學(xué)一模）SKIPIF1<0展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.13.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.14．（2022·北京·二模）二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開(kāi)式中SKIPIF1<0的系數(shù)為21，則SKIPIF1<0__________.15．（2022·廣東湛江·二模）SKIPIF1<0的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.16．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．17．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若SKIPIF1<0的二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則SKIPIF1<0___________；展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.18．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）(1)若數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，則該數(shù)列中的最小項(xiàng)的值為_(kāi)_________．(2)若SKIPIF1<0的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于__________．(3)如圖所示的數(shù)陣中，用SKIPIF1<0表示第m行的第n個(gè)數(shù)，則以此規(guī)律SKIPIF1<0為_(kāi)_________．(4)SKIPIF1<0的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<